第四节 电场的能量和能量密度
《电磁学》教案
电磁学笔记物理081 李庆波 08103118第一章 真空中的静电场1.物质结构理论 原子由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子组成 物体带电的过程 摩擦起电 ； 感应起电电量 带电体所带电荷的多少，用Q 或q 表示，单位：库仑(用C 表示)电子和质子各带电量 e ＝1.6×1910-库仑， 1库仑的电量相当于6.25×1810个电子或质子所带的电量电荷是量子化的 一个物体所带电荷的多少只能是电子电量eq ＝ne (n ＝0，±1，±2)“夸克”被认为带的电荷是e 的分数倍 2．电荷守恒定律大量实验表明：电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分，在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的，这个结论叫电荷守恒定律。
它不仅在一切宏观过程中成立，而且在一切微观过程中也是成立的，它是物理学中的普适守恒定律之一。
3．库仑定律1875年英国物理学家库仑从实验上总结出两个点电荷之间相互作用力的规律，后人称之为库仑定律，它表明真空中带电量为q 1和q 2的两个点电荷之间作用力的大小与它们所带电量q 1和q 2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比；作用力的方向沿着F＝ k rq q 221式中q 1和q 2分别表示两个点电荷的电量，r 为两个点电荷之间的距离，k 是比例系数。
在真空中k ＝8.99×109C mN22-,为了使表达式既能表示力的大小又能表示力的方（1）通常令 k ＝1/4πε。
则ε。
＝1/4πk=8.85⨯1012-C 2N 1-m 2-,ε。
称之为真空的介电常数（或称为电容率）这样库仑定律的数学表达式可称F ＝4πε1rq q 221该式称为库仑定律的有理化形式。
F ＝4πε1rq q 221r 。
式中r 。
表示施力电荷指向受力电荷方向的单位矢量第二节 电场强度1. 电场电荷之间的相互作用是通过一种特殊的物质来作用的，这种特殊的物质就叫电场。
电场能量密度公式
电场能量密度公式
电场能量密度是指一个电场中每单位体积所存在的电能量的大小。
电场能量密度的表达式为：U = 1/2 ρE2，它的单位是电子伏特的平方，其中ρ是电荷密度，E是电场强度。
电场能量密度可以用来计算在一定体积中有多少电能量。
例如，如果电场强度为5伏/厘米，电荷密度为5伏/厘米，则电场能量密度为25电子伏特的平方。
这意味着，在1立方厘米的体积中存在25电子伏特的电能量。
电场能量密度的另一个用途是计算电容器的工作能量。
电容器的电容量C可以用电容器的电场能量密度U来计算：U = 1/2Cv2，其中v是电压。
如果电容器的电压为5伏，那么电容器的工作能量就是25伏特的平方，也就是1/2Cv2。
电场能量密度不仅可以用来计算电能量和电容器的工作能量，还可以用来计算电磁场的能量。
如果电磁场的电场强度为E，磁场强度为H，则电磁场的能量密度可以表示为U = 1/2(E2 + H2)。
电场能量密度的量纲是电子伏特的平方，它可以用来计算一定体积中的电能量、电容器的工作能量和电磁场的能量。
因此，电场能量密度是电力学中非常重要的概念，在电子设备和电力系统的设计中都被广泛使用。
电场的能量
电场的能量
电场的能量是描述电场中电荷所具有的能量。
电场是由电荷产生的，它的存在和变化都与电荷的位置和状态有关。
电场的能量可以通过计算电场中电荷所受到的力，或者通过电势能和电场能量密度来描述。
在电场中，电荷受到电场力的作用，当电荷沿着电场方向移动时，电场力对电荷做功，从而将电势能转化为动能。
电场力的大小与电荷的电量和电场的强度有关。
当电场力与电荷的移动方向相同时，电场力对电荷做正功，电场能量增加；当电场力与电荷的移动方向相反时，电场力对电荷做负功，电场能量减少。
电场能量还可以通过电势能来描述。
电势能是指单位正电荷在电场中由于位置变化而具有的能量。
电场中的电势能与电荷的电量和电势差有关。
电场中的电势差是指单位正电荷从一个位置移动到另一个位置时所具有的能量变化。
电势差越大，电场能量越大。
除了电势能，电场能量还可以通过电场能量密度来描述。
电场能量密度是指单位体积内电场能量的大小。
在电场中，电场能量密度与电场强度的平方成正比。
电场能量密度越大，电场能量越大。
电场的能量在许多实际应用中起着重要作用。
例如，在电力系统中，电场能量可以用来传输电能；在电子设备中，电场能量可以用来驱动电子器件的工作；在化学反应中，电场能量可以用来促使电解反
应发生。
总结起来，电场的能量是描述电场中电荷所具有的能量。
它可以通过计算电场中电荷所受到的力、电势能和电场能量密度来描述。
电场的能量在许多实际应用中起着重要作用。
了解电场的能量可以帮助我们更好地理解电场的性质和应用。
电场能量密度公式推导
电场能量密度公式推导电场能量密度是电场的一种物理量，描述了单位体积内电场所具有的能量。
它的公式推导的过程如下。
我们知道电场能量与电场强度有关。
根据电场能量的定义，单位体积内的电场能量可以表示为电场强度的平方乘以介质的电容率的一半。
即U = 1/2 * ε * E^2其中，U表示电场能量密度，ε表示介质的电容率，E表示电场强度。
为了推导出电场能量密度的具体公式，我们需要考虑两种情况：介质是真空和介质是非真空。
考虑介质是真空的情况。
根据真空的性质，其电容率可以表示为真空介电常数ε_0。
因此，真空中的电场能量密度公式可以简化为：U_0 = 1/2 * ε_0 * E^2其中，U_0表示真空中的电场能量密度。
考虑介质是非真空的情况。
在这种情况下，介质的电容率不再是常数，而是与电场强度有关的函数。
我们将介质的电容率表示为ε_r，其中r表示介质的电容率与真空的比值。
因此，非真空介质中的电场能量密度可以表示为：U = 1/2 * ε * E^2其中，ε表示非真空介质的电容率。
通过比较真空和非真空介质中的电场能量密度公式，可以得出它们之间的关系：U = U_0 * ε_r这个关系表明，非真空介质中的电场能量密度是真空中的电场能量密度乘以介质的电容率。
电场能量密度的公式可以表示为：U = 1/2 * ε * E^2 (介质是非真空)U = 1/2 * ε_0 * E^2 (介质是真空)其中，U表示电场能量密度，ε表示介质的电容率，E表示电场强度，ε_0表示真空的介电常数。
通过以上推导，我们得到了电场能量密度的公式。
这个公式可以用来计算电场中的能量分布情况，并在电场能量相关的问题中起到重要的作用。
电场能量
R
· r
dr dq
(r > R)
2
场分布具有球对称性,故取体积元为： 场分布具有球对称性 故取体积元为：dV = 4πr dr 故取体积元为 R ∞ ε0 ε0 1 2 2 2 2 2 W = ∫ ε 0 E dV = ∫ E1 ⋅ 4π r dr + ∫ E2 ⋅ 4π r dr
§4 电场的能量
一.电容器储能
设电容器的电容为C， 设电容器的电容为 ，某一瞬时极板带电量绝对值 q (t ) 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u (t ) = ， C 此时在继续将电量为-dq的电子从正极板 的电子从正极板—>负 此时在继续将电量为 的电子从正极板 负 极板，电源作多少功？ 极板，电源作多少功？
C=
ε0S
, U = Ed
1 Q We = CU 2 2
1 2 We = ε 0 E ⋅V 2
单位体积内的电能
We 1 2 we = = ε0E V 2
一般情况,定义电场能量密度： 一般情况,定义电场能量密度： 电场能量密度
dW e 1 r r we = = D⋅E dV 2
1r r 电场的总能量： 电场的总能量： W = ∫ w ⋅ dV = ∫ D⋅ E ⋅ dV e e 2 V V
dA ' = − dA = dW e = − dq (U − − U + ) = dq (U + − U − ) = u (t ) dq
We = ∫ u (t )dq = ∫
0 Q Q 0
q (t ) 1 Q2 dq = C 2 C
的电容器中所储存的电能： 带电量 Q，电容为 C 的电容器中所储存的电能： ，
电场的能量能量密度
电场的能量能量密度
电能分布与电场中，最好能将电能的公式通过描述电场的特征量——场强E表示出来。
我们可以通过平行板电容器的特例来说明：
电容器的储能公式为：
式中Q0为极板上的自由电荷，它与电位移的关系是：
S是极板面积；U是电压，它与场强的关系是U=Ed（d 是极板间距）
代入上式得：
V=Sd是极板间电场所占空间的体积。
在单位体积内有电能
We=we/V，这个量叫做电能密度。
根据上式：在真空中ε=1，则:这里场能密度的表达式虽然是通过平行板电容器中均匀电场的特例推导出来的，但它们却是普遍成立的。
因为能量是物质的状态特性之一，所以它是不能和物质分割开的。
电场具有能量，这就证明电场也是一种物质。
当电场不均匀时，总电能We应是电能密度we的体积分：在真空中，上式可化为:。
大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。
4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。
q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E ⊥表表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。
3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。
电场能量体密度计算公式
电场能量体密度计算公式在电磁学中，电场能量体密度是描述电场能量分布的重要物理量。
它可以用来计算电场中的能量分布情况，对于电场的研究和应用具有重要意义。
本文将介绍电场能量体密度的计算公式及其应用。
电场能量体密度的定义。
电场能量体密度是指单位体积内的电场能量。
在电磁学中，电场能量体密度通常用符号u表示，其单位是焦耳/立方米（J/m^3）。
电场能量体密度的计算公式如下：u = (1/2) ε0 E^2。
其中，ε0是真空介电常数，其数值约为8.854 × 10^-12 F/m；E是电场强度，单位是伏特/米（V/m）。
根据这个公式，我们可以看出电场能量体密度与电场强度的平方成正比，而与真空介电常数成正比。
这意味着在相同的电场强度下，介质的介电常数越大，电场能量体密度就越大。
电场能量体密度的物理意义。
电场能量体密度是描述电场能量分布的物理量，它反映了电场中的能量密度分布情况。
在电磁学中，电场能量体密度可以用来计算电场中的能量总量，以及分析电场的能量转换和传输过程。
在实际应用中，电场能量体密度可以用来计算电场中的能量密度分布情况，为电场的设计和优化提供重要参考。
例如，在电场传感器和电场屏蔽器的设计中，需要考虑电场能量体密度的分布情况，以确保设备的性能和稳定性。
电场能量体密度的计算方法。
根据上述的公式，我们可以通过电场强度和真空介电常数来计算电场能量体密度。
在实际应用中，通常需要通过电场测量实验或数值模拟来获取电场强度的数值，然后再利用上述公式计算电场能量体密度。
在电场测量实验中，可以使用电场传感器来测量电场强度，然后利用上述公式计算电场能量体密度。
在数值模拟中，可以通过有限元分析或其他数值方法来计算电场强度的分布情况，然后再利用上述公式计算电场能量体密度。
电场能量体密度的应用。
电场能量体密度在电磁学中有着广泛的应用。
它可以用来分析电场中的能量分布情况，为电场的设计和优化提供重要参考。
例如，在电场传感器和电场屏蔽器的设计中，需要考虑电场能量体密度的分布情况，以确保设备的性能和稳定性。
电场的能量电势能和电场的能量密度
电场的能量电势能和电场的能量密度电场的能量：电势能和电场的能量密度电场是物理学中重要的一个概念，它存在于许多现象和实际应用中。
在电场中，电荷之间会发生相互作用，电场的能量是其中一个重要的性质。
本文将介绍电场的能量的两个方面：电势能和电场的能量密度。
一、电势能在电场中，电荷受到电场力的作用，会发生位移。
电场力对电荷所做的功被存储为电势能。
对于一个点电荷，其电势能可以表示为：E_p = qV其中，E_p是电势能，q是电荷，V是该点的电势。
电势能的单位是焦耳（J）。
对于一组离散的点电荷系统，总电势能可以通过求和每个电荷的电势能来得到。
而对于连续分布的电荷，总电势能可以用积分来表示。
二、电场的能量密度除了电势能，电场的能量还可以通过能量密度来描述。
电场的能量密度表示单位体积内所含有的电场能量量。
在电场中，电场能量密度（u）可以表示为：u = 0.5εE^2其中，ε是真空中的介电常数（ε ≈ 8.85 x 10^-12 C^2/N·m^2），E是电场强度。
电场能量密度的单位是焦耳每立方米（J/m^3）。
电场能量密度可以用于描述电场的能量分布和变化。
在不同区域的电场能量密度不同，强电场区域的电场能量密度较高，而弱电场区域的电场能量密度较低。
电场能量密度与电场强度的平方成正比，因此在较强的电场中，电场的能量密度会更高。
例如电容器中充满电荷的极板之间的电场能量密度较大。
总结：电场的能量包括电势能和电场的能量密度。
电势能是电荷在电场中由于相互作用而具有的能量，可以根据电势和电荷的关系进行计算。
电场的能量密度则表示电场能量在单位体积内的分布情况，与电场强度的平方成正比。
通过了解和研究电场的能量，我们可以深入理解电场的性质和应用。
2.4 电场的能量和能量密度
8e2 3a
)
2.4.1 带电体系的静电能
第一项来自六个最近的负离子，它们到中心的距离都是 a ；第二项来自十二个最近的正离子，它们到
中心的距离都是 2a；第三项来自大立方体八个顶点上的负离子，它们到中心的距离都是 3a 。式中
的“…”代表图中未画出的那些更远离子的贡献。这几乎是一个无穷级数。不过越远的离子对W互 的 贡
故六个面上十二对面对角顶点负电荷之间的相互作用能为
12e2 40 2b；体对角线的长度为 3b ，故四对体对角顶点负电荷之间的相互作用能为 荷4e之2 间4的0相3互b 作；用立能方是体中8(心2e到2)每4个顶0( 点3b的/ 2距) 离。是归纳3起b /来2 ，，这故个中点心电正荷电组荷的与总八相个互顶作点用负能电
然后再把 q2由无穷远处搬来，放在与 q1 相距r12 远的地方 P2 。也可以反过来，先固定 q2，再 搬运 q1。无论怎样，计算的结果应当相同。
现在我们采用上述第一种方式。在搬运 q1 时体系中还没有其它r电荷和r 电场，因而不需
作功。搬运 q2时，它已经处在q1 的电场 E1 中，因而需抵抗电场力F12 q2E1作功：
全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。我们设想，带电体系中的电荷可以无
限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规
定，处于这种状态下的静电能为0。现有的带电体系的静电能 We 是相对于这种初始状态而 言的。亦即，We 等于把各部分从无限分散的状态聚集成现有带电体系时抵抗静电力所做的 全部功 A。
用通用式来表达，则有
其中
i 1
Ai qi U ji
i 1, 2,, n
j 1
U ji U j
普通物理学 电场能量与能量密度
7-7 电场能量与能量密度一、4个重要基本公式①电介质下的电容C与真空下的电容C0的关系:C=C0εr②电场能量W e=12QU=12CU²③能量密度w e=12εE²=12DE④能量密度与电场能量的关系W e=w eVdV(V是电场体积，如果是平面采用二重积分)二、真空环境下与有介质环境下的各物理量间的关系引入：如图所示，已知真空下平行板电容器σ0，E0,U0,D0,C0,W e0,平行板电容器两板间距为d，求下面两种情况下电容器插入相对电容率为εr的σ，E,U,D,C,W e①充电后断开电源②充电后保持两板的电压不变①E=E0εr σ=Eε=E0εεr=E0ε0=σ0U=Ed=E0dεr=U0εrD=Eε=E0εrε0εr =E0ε0=σ0C=εr C0W e=12CU²=12εr C0(U0εr)²=W e0εr②保持电压不变，则：U=U0E=U0d =Ud=E0D= Eε=E0ε0εr=σ0εrσ=Eε=D=σ0εrC=εr C0W e=εr W e0小结：1、电容器的电容与电压大小无关，只和电介质相对电容率有关2、平行板电容器由于电荷增加而增加的能量，大于插入介质损失的能量，所以电场能量增加拓展：1、电位移矢量沿任何一个闭合曲面的通量为0，表明曲面内自由电荷代数和为0（D与E方向一致）2、介质中的电位移矢量和自由电荷与极化电荷的分布有关3、在自由电荷分布不发生变化时，含电介质的电容器电容一定是真空状态下的1ε0三、两个重要模型1、带电球壳电容器模型模型简述：如图所示,球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2,所带电荷为±Q .若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？解：根据笔记7-1，得到r 处的电场强度大小为E=Q4πεr能量密度w e =12× Q4πεr 2×ε=Q 232π2εr 那么根据第一幕的公式4，得到W e = w e V dV = dW e =Q 28πε drr ²R 2R 1=Q 28πε(1R 1−1R 2)回到笔记7-5的孤立导体，R 2趋近于无穷大，得到W e =Q 28πε1R 1是孤立导体的电场能量2、带电圆柱电容器模型模型简述：如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击穿场强是E b ，电容器外半径R 2.在空气不被击穿的情况下，内半径R 1为多少，可使电容器存储能量最多？解：根据7-3笔记得到任意圆柱面r 的电场强度是E=λ2πε0r带入击穿场强有λmax =E b 2πε0R 1 求出电容器电压U= λ2πε0r dr R 2R 1=λ2πε0ln R2R1根据能量公式得到W e =λl 2λ2πε0ln R 2R 1=λ²l 4πε0ln R 2R 1带入λmax =E b 2πε0R 1 得到：W e =πε0E b ²R 1²lnR 2R 1求导求出R 1取得的值使得W e 最大。
电场的能量
转化为其它能量形式储存在电源中，又将部分电荷送回电源中。
7
例8－21 求均匀带电球体的电场能量。球的半径为R，带电量
为q，球内电介质的相对介电常数为 r 、球外为真空。
解：由高斯定理可求得
E1
qr
4 0r
R3
(r R)
E2
q
4 0r2
(r R)
因场有球对称性，故取体积元为
++ + ++
+ E1 +
10
DE
★ 若介质各向异性或非均匀极化，则
1 we 2 D E
3、 由电场能量密度求电场能
W
V
w dV e
Ｖ是场强不为零的空间。
5
例8－20 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电 源上以保持电压为V。若将极板的距离拉开一倍，试计算 （１）静电能的改变； （２）电场对电源作的功； （３）外力对极板作的功。
以后我们将看到，随时间迅速变化的电场和磁场将以电磁波 的形式在空间传播，电场可以脱离电荷而传播到很远的地方去。 实际上，电磁波携带能量已经是人所共知的事实。
总之，大量事实证明，能量确实是定域在电场中的。
3
1、 用场强表示静电能
以平行板电容器为例
C 0 r s
d
U Ed
W
1 CU 2 1 0 r s (Ed)2
2
2d
1 2
0 r
E2
sd
式中 sd 表示平行板电容器两极板间的体积。如果忽略边 缘效应，其也就是带电平行板间电场所占据的空间，这说明
静电能确实是分布于整个电场的。
2、 电场能量密度
we
dW dV
电场的能量与能量密度
电场具有方向和大小，是一个矢量场。
03
电场对电荷的作用力遵循库仑定律。
电场强度与电势差
电场强度是描述电场强弱的物理量，用E表示， 单位是牛/库仑（N/C）。
电势差是指电场中两点间的电势之差，用U表 示，单位是伏特（V）。
电场强度和电势差之间存在微分关系：E = grad(U)。
电场线及等势面
03
能量密度概念
能量密度定义
能量密度是指单位体积内的能量储存 量，用于描述电Байду номын сангаас、磁场等物理场中 的能量分布情况。
在电场中，能量密度表示电场能量的 空间分布情况，即单位体积内电场能 量的多少。
能量密度与电场关系
电场强度与能量密度成正比关系。电场强度越大，能量密度 也越大。
电场中的能量密度与电场的分布、电荷的分布以及电场的边 界条件等因素密切相关。
电场的能量与能量密 度
汇报人：XX 2024-01-20
目录
• 电场基本概念 • 电场能量 • 能量密度概念 • 电场能量与能量密度关系 • 不同类型电场中能量与能量密度表现 • 实际应用举例
01
电场基本概念
电场定义及性质
01
电场是存在于电荷周围的一种特殊物质，它对放入 其中的电荷产生力的作用。
高压输电线路周围环境影响评估
电场强度分布
高压输电线路周围存在强电场，其强度随距离的增加而迅 速减小。评估时需测量不同距离处的电场强度，以了解空 间分布情况。
对人体的影响
强电场可能对人体产生生理效应，如引发头痛、失眠等症 状。评估时需考虑电场对人体健康的影响，并制定相应的 防护措施。
对周围环境的影响
高压输电线路周围的强电场可能对周边设备、建筑物等产 生干扰或损坏。评估时需综合考虑电场对周围环境的影响 ，以确保输电线路的安全运行。
电场能量与能量密度
dA qi i ada
i 1
n
第二章 静 电 场 因而，电场能量的增量为
dWe qi i ada
i 1
n
在整个过程中，电场的储能为
We dWe qii
i 1
n
1
0
1 n ada qii 2 i 1
We
V
1 ( r ) ( r )dV 2
第二章 静 电 场
2.8 电场能量与能量密度
2.8.1 电场能量
设每个带电体的最终电位为φ1、φ2、…、φn，最终电荷为q1、
q2 、… 、 qn 。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系
统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带 电体的电量均是各自终值的 α 倍 (α<1) ，即带电量为 αqi ，电位为 αφi，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(αqi)，外源对它所作 的功为αφid (αqi)。外源对n个带电体作功为
1 We 0 E 2dV 2 V 1 q 0 2 4 0 3q 2 20 0a
2
a r 2 1 2 2 0 3 4r dr a 4 4r dr r a
第二章 静 电 场
并且注意在导体表面S上n=-n′，得
1 1 We E DdV D ndS 2 V 2 S'
第二章 静 电 场 式中V已经扩展到无穷大，故S′在无穷远处。对于分布在有限区域 的电荷，φ∝1/R，D∝1/R2, S′∝R2, 因此当R→∞时，上式中的面积 分为零，于是
1 We E DdV 2 V
第二章 静 电 场 则
1 1 1 DdV (D )dV E DdV 2 V 2 V 2 V 1 1 D dS E DdV 2 S S ' 2 V 1 1 1 D ndS D n ' dS E DdV 2 S' 2 S 2 V
第四节 电场的能量和能量密度
第二章 静电场中的导体和电介质§4 电场的能量和能量密度（P213）1. 计算例题1中场能的一半分布在半径多大的球面内。
解：2. 空气中一直径为10厘米的导体球，电位为8000伏，问它表面处的场能密度（即单位体积内的电场能量）是多少？解：3. 在介电常数为r ε的无限大均匀介质中，有一半径为R 的导体球带电荷Q 。
求电场的能量。
解：4. 半径为2.0厘米的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，壳的内外半径分别为4.0厘米和5.0厘米，球与壳间是空气。
壳外也是空气，当内球的电荷量为83.010-⨯库仑时，⑴ 这个系统储藏了多少电能？⑵ 如果用导线把壳与球联在一起，结果如何？解：5. 球形电容器的内外半径分别为1R 和2R ，电位差为U 。
⑴ 求电位能；⑵ 求电场的能量；比较两个结果。
解：6. 半径为a 的导体圆柱外面，套有一半径为b 的同轴导体圆筒，长度都是l ，其间充满了介电常数为r ε的均匀介质。
圆柱带电为Q ，圆筒带电为Q -，略去边缘效应。
⑴ 整个介质内的电场总能量e W 是多少？ ⑵ 证明：212e Q W C=，式中C 是圆柱和圆筒间的电容。
解：7. 半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b，导线与圆筒间充满介电常数为rε-。
略去边缘效应，求沿轴线单位长的均匀介质。
沿轴线单位长度上导线带电为λ，圆筒带电为λ度的电场能量。
解：8.圆柱电容器由一长直导线和套在它外面的共轴导体圆筒构成，设导线的半径为a，圆筒的内半径为b。
证明：这电容器所储藏的能量有一半是在半径r证明：。
电场能量密度公式推导
电场能量密度公式推导电场能量密度（u_e）是指单位体积中电场所具有的能量。
可以通过以下公式来计算电场能量密度：u_e = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2其中，\epsilon_0是真空中的电介质常数，E是电场的强度。
现在我们来推导这个公式。
首先，记电荷密度为\rho，电势能密度为u_p，则有：u_p = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\epsilon_0 (\frac{\rho}{\epsilon_0})^2上式右边的\epsilon_0可以提取出来，得到：u_p = \frac{1}{2} \frac{\rho^2}{\epsilon_0}考虑一个体积元V内的电荷q，则有\rho = q/V，电势能U_p = qV_p，其中V_p是电势。
因此：u_p = \frac{U_p}{V} = \frac{qV_p}{V} = q \frac{V_p}{V}由电势的定义可得，E = - \nabla V_p，其中-\nabla是负梯度算子。
因此：E^2 = (\nabla V_p)(\nabla V_p) = \frac{\partialV_p}{\partial x}\frac{\partial V_p}{\partial x} +\frac{\partial V_p}{\partial y}\frac{\partial V_p}{\partial y} + \frac{\partial V_p}{\partial z}\frac{\partial V_p}{\partial z}考虑一个电荷q在电场E中的运动，它会受到力F = qE，在力的作用下运动一个位移\Delta r，因而它的动能变化为：\Delta K = F \Delta r = qE \Delta r上式左边表示动能的变化量，右边的qE\Delta r表示力作用下的功。
电场能量密度表达式
电场能量密度表达式
电场能量密度表达式可以通过以下方式得到：
首先，电场能量密度定义为单位体积内的电场能量。
假设电场强度为E，电场能量密度为u。
其次，电场能量可以通过电场做功获得。
当电场强度为E的时候，对电荷q施加一个位移dS，所做的功可以表示为dW = F ·ds = Eq ·ds。
其中F为电场对电荷施加的力。
假设媒质中的自由电荷密度为ρ_f，那么单位体积内的自由电荷数为n = ρ_f，自由电荷的能量为qE。
因此，单位体积内的电场能量可以表示为u = n ·qE = ρ_f ·E^2。
这就是电场能量密度的表达式。
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第二章 静电场中的导体和电介质
§4 电场的能量和能量密度（P213）
1. 计算例题1中场能的一半分布在半径多大的球面内。
解：
2. 空气中一直径为10厘米的导体球，电位为8000伏，问它表面处的场能密度（即单位体积内的电场能量）是多少？
解：
3. 在介电常数为r ε的无限大均匀介质中，有一半径为R 的导体球带电荷Q 。
求电场的能量。
解：
4. 半径为2.0厘米的导体球外套有一个与它同心的导体球壳，壳的内外半径分别为4.0厘米和
5.0厘米，球与壳间是空气。
壳外也是空气，当内球的电荷量为8
3.010-⨯库仑时，⑴ 这个系统储藏了多少电能？⑵ 如果用导线把壳与球联在一起，结果如何？
解：
5. 球形电容器的内外半径分别为1R 和2R ，电位差为U 。
⑴ 求电位能；⑵ 求电场的能量；比较两个结果。
解：
6. 半径为a 的导体圆柱外面，套有一半径为b 的同轴导体圆筒，长度都是l ，其间充满了介电常数为r ε的均匀介质。
圆柱带电为Q ，圆筒带电为Q -，略去边缘效应。
⑴ 整个介质内的电场总能量e W 是多少？ ⑵ 证明：2
12e Q W C
=，式中C 是圆柱和圆筒间的电容。
解：
7. 半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b，导线与圆筒间充满介电常数为rε
-。
略去边缘效应，求沿轴线单位长的均匀介质。
沿轴线单位长度上导线带电为λ，圆筒带电为λ
度的电场能量。
解：
8.圆柱电容器由一长直导线和套在它外面的共轴导体圆筒构成，设导线的半径为a，圆筒的内半径为
b。
证明：这电容器所储藏的能量有一半是在半径r
证明：。