柱面坐标变换

柱面坐标变换

容易得出，点M 的直角坐标),,(z y x 与柱坐标

),,(z r θ之间的关系为：

θc o s r x =,

θsin r y =, z z =.

下述三族曲面，称为柱面坐系中的坐标曲面:

（¡）一族以oz 轴为对称轴的圆柱面：i r r

=（常数），即222i r y x

=+; （¡¡）一族通过oz 轴的半平面：i θθ=（常数），

即i x y θtan =;

（¡¡¡）一族通过oz 轴的半平面=z i z （常数），

若用这三族坐标曲面把空间区域V 分成若干个小区

域，这样所得到的小区域中，有规则的小区域（如图

9-38）的体积为z S V ∆⋅≈∆扇形，由平面极坐标变换

知，r r S ∆∆≈θ扇形，有 z r r V ∆∆∆≈∆θ,

而),sin ,cos (),,(z r r f z y x f θθ=，于是 ⎰⎰⎰∆∑=→V v z y x f dv z y x f ),,(lim ),,(0

λ ⎝

⎛+∆∆∆=∑∑→规则区域不规则区域z y x f z r r z r r f ,,(),sin ,cos (lim 0θθθλ

且∑=∆→不规则区域0),,(lim 0v z y x f λ，因此

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=v

v dz rdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(.

这就是三重积分从直角坐标变换为柱面坐标的换元公式. 柱面坐标系中的体积元素为dz rdrd ϑ. 为了把上式右端化成累次积分，设平行于oz 轴的直线与区域V 的边界最多只有两个交点，设V 在oxy 平面上的投影区域为xy σ，把区域xy σ用ϑ,r 表示，区域V 关于oxy 平面的投影柱面将V 的边界曲面分为上、下两面部分，其方程表示为z 是ϑ,r 的函数，即 上曲面：

),(2ϑr z z =, 下曲面：),(1ϑr z z =,

),(),(21ϑϑr z z r z ≤≤，xy r σϑ∈),(，

于是

⎰⎰⎰V

dz

rdrd z r r f ϑϑϑ),sin ,cos (⎰⎰⎰=σϑϑϑϑϑdz z r r f r z r z rdrd ),sin ,cos (),(),(12.

在这里可以看到，采用柱面坐标按上述公式计算三重积分，实际上是对z 采用直角坐标进行积分，而对另外两个变量采用平面极坐标进行积分.

例5 计算⎰⎰⎰V

zdV ，其中是由

4222=++z y x 及抛物面2

23y x z +=所围成（在抛物面内的那一部分）的立体区域（如图9-39）.

解法一 按直角坐标系中的

计算，由两曲面交线的方程为：

⎩⎨⎧+==++.

3,422222y x z z y x 这曲线在oxy 平面上的投影曲线

方程为⎩⎨⎧==+.

6,322z y x 由此可知V 在oxy 平面的投影区

域为圆域322≤+y x .

下曲面：3

22y x z +=，上曲面：224y x z --=，有

,43

:222

2y x z y x V --≤≤+3:),(22≤+∈y x xy y x σ,

于是 图9-39

⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++--=V y x zdz

y x y x d zdV 3222

22234σ6)3(42132222222d y x y x y x ⎰⎰≤+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+---=

r d r r r d ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--=⎰⎰9421030242θπdr r r r ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎰940353π ππ413035442642=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--=r r r . 解法二 经柱面坐标变换，由上曲面方程为

422=+z r ，即24r z -=.

下曲面方程为2

3r z =，即3

2

r z =. 2243:r z r V -≤≤,,30,20:),(≤≤≤≤∈r xy r πθσθ

于是

⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=V zdz r r rdrd zdV σθ22

3

14dr r r d ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=⎰⎰9421030242θπππ413940353=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎰dr r r r . 因此，利用柱面坐标变换时,首先求出V 在oxy 平面上的投影区域xy σ,确定上、下曲面，然后用柱面坐标变换,把上、下曲面表示成ϑ,r 的函数，投影区域用ϑ,r 不等式来表示.

若被积函数中含有22x y +，V 在yoz 平面上的投影区域是圆域或部分时，可用柱面坐标变换

.,sin ,cos x x r z r y ===ϑϑ

若被积函数中含有2

2x z +，

V 在xoz 平面上的投影区域是圆域或部分时，可用柱面坐标变换，ϑcos r z =，ϑsin r x =，.y y =