初升高数学衔接知识点.pptx

（2）求
1 x2
1 x
2
的值；
1
2
（3）x13＋x23．
6.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质
3
学海无 涯
（1）当 a＞0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为( b , 4ac b2 )，对称 2a 4a
轴为直线 x＝－ b ；当 x＜ b 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞ b 时，y 随着 x 的增大
x1x2
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b2 (b2 4ac) 4ac c ．
4a2
4a2 a
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝ b ，x1·x2＝ c ．这一关
a
a
系也被称为韦达定理．
例 1 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值． 例 2 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平
方和比两个根的积大 21，求 m 的值．
例 3 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根． （1）求|x1－x2|的值；
x1＝x2＝－ b ； 2a
（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根．
x1＝x2＝1；
5.根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
x1
b
b2 2a
4ac
，
x2
b
b2 4ac 2a
，
则有
x1 x2
b
b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
2b b ； 2a a
（2） (4m )2 16m2 4m ( ) ；
(3) (a 2b c)2 a2 4b2 c2 ( ) ．
2. 选择题：
1 若 x2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于（） 2
（A） m2 （B） 1 m2 （C） 1 m2 （D） 1 m2
4
3
16
2 不论a ， b 为何实数， a2 b2 2a 4b 8 的值（）
1. 填空：
（1）若 x 5，则 x=
；若 x 4 ，则 x=
.
（2）如果 a b 5，且 a 1，则 b＝
；若 1 c 2 ，则 c＝
.
2. 选择题： 下列叙述正确的是（） （A）若 a b ，则 a b （B）若 a b ，则 a b
（C）若 a b ，则 a b （D）若 a b ，则 a b
2.提取公因式法与分组分解法
例 2 分解因式： （1） x3 9 3x2 3x ；（2）2x2 xy y2 4x 5y 6 ． 练习 1. 选择题：
多项式2x2 xy 15y2 的一个因式为（）
（A） 2x 5y （B） x 3y （C） x 3y （D） x 5y 2. 分解因式：
（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3； （3）x2－2x－1；（4） 4(x y 1) y(y 2x)． 3. 分解因式： （1） a3 1；（2）4x4 13x2 9 ；
（3） b2 c2 2ab 2ac 2bc ； （4） 3x2 5xy 2 y2 x 9 y 4 ．
（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
2
学海无涯
x1＝x2＝－ b ； 2a
（3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x b )2 一定大于或 2a
等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们
（2）立方差公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
3 两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ；
4 两数差立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ．
练习 1．填空：
（1） 1 a2 1 b2 ( b1 1 a) （）； 9 4 23
（A）总是正数（B）总是负数
（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数
1
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3.分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应 了解求根法及待定系数法． 1.十字相乘法
例 1 分解因式： （1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；
（3） x2 (a b)xy aby2 ；（4）xy 1 x y ．
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1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对 值仍是零．即
a, a 0, | a | 0, a 0,
a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b 之间的距离．
2a
2a
2a
而增大；当 x＝ b 时，函数取最小值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
（2）当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为(
b
4ac b2 ,
)，
2a 4a
对称轴为直线 x＝－ b ；当 x＜ b 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞ b 时，y 随着 x
3．化简：|x来自百度文库5|－|2x－13|（x＞5）．
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
1 平方差公式(a b)(a b) a2 b2 ； 2完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 ． 我们 还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ b b2 4ac ； 2a
（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根
2a
2a
2a
的增大而减小；当 x＝ b 时，函数取最大值 y＝ 4ac b2 ．
2a
4a
例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），
并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
4
4.
根的判别式
我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
(x b )2 b2 4ac ．①
2a
4a2
因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝ b b2 4ac ； 2a