初中数学《圆》全章讲义有例题培训讲学

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第二十四章《圆》复习课件

．r
O
S = nπr2
360
2024/10/13
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2024/10/13
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2024/10/13
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
本第1部分圆的基本性质
章第2部分与圆有关的位置关系
安
排第3部分正多边形和圆
复习
第4部分
弧长和面积的计算
内容
第5部分
有关作图
2024/10/13
一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
2024/10/13
∵PA、PB为⊙O的切线 ∴PA=PB, P ∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A．
A
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.
三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
不在同一直线上的三点确定一个圆.
2024/10/13
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.

初中数学专题讲义-圆(含答案)

初中数学专题讲义-圆【考纲说明】【知识梳理】一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

（1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。

（1）劣弧：小于半圆的弧。

（2）优弧：大于半圆的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质 1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8、直线与圆的位置关系。

d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；9、圆的切线判定。

（1）d=r 时，直线是圆的切线。

初中九年级数学圆的讲义

初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。

其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。

点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则d>r时，点P在__________d=r时，点P在__________d<r时，点p在__________< p="">圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：以C、D为端点的弧，记作，读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等弧。

同圆或等圆的半径相等。

圆心角、弧、弦之间的关系：1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。

在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。

3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

圆心角与圆周角的关系：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。

垂径定理：1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧确定圆的条件：1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。

(完整版)初三数学圆的经典讲义

圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

初中数学《圆》全章讲义

初中数学《圆》全章讲义内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；5、切线及切线长定理；6、弧长及扇形面积。

【知识要点1】圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

【知识要点2】点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r【知识要点3】直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d rr d=r r dd圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d【知识要点5】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

《圆》讲义

《圆》讲义一、圆的定义在平面几何中，圆是一个非常重要的图形。

圆可以被定义为平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。

我们可以想象一下，如果用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，那么笔尖所画出的轨迹就是一个圆。

圆是一种非常完美和对称的图形。

无论从哪个角度观察，它的形状都保持不变。

这种对称性使得圆在数学和实际生活中都有广泛的应用。

二、圆的基本元素1、圆心圆心是圆的中心位置，决定了圆的位置。

通常用字母 O 表示。

2、半径半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。

它决定了圆的大小。

用字母 r 表示。

3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

直径是半径的两倍，用字母 d 表示，即 d ＝ 2r 。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为优弧和劣弧。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

5、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径是圆中最长的弦。

6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

例如，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，则 CE ＝ DE ，弧 AC ＝弧 AD ，弧 BC ＝弧 BD 。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。

圆的周长公式为 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。

例如，如果一个圆的半径是 5 厘米，那么它的周长就是 2×314×5 ＝314 厘米。

初三数学圆的典讲义

圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

M AB C DOEBAC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

初三数学圆经典终极讲义

一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？MABCDOEB CB例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．例7.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

九年级圆全章辅导讲义

九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD=12×15×12×12 =45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心外心的理解针对性练习一、选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,-7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（）A ．35B ．45C ．60D ．70（第8题） x yO1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．BCA O （第1题）1o 2o 3o 4oCB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o4o5oA BCEDABC第3题图（第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOBNMABO C PMPA2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.BCPO AB DCEAOA PDBCO CPBO A D8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥．（1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，ADBOCE图ODBCF E ADCOABEC（第8题）BDAE连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

圆培优讲义

《圆》培优讲义（一）一、圆的基本概念例：思考：车轮为什么是圆的？否则：试想，如果车轮是方的或者是椭圆的，坐车的人会有什么感觉？例：如图：AB、CB 为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。

COBA例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。

2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。

3、两个半圆是等弧。

4、半径相等的弧是等弧。

5、半径相等的两个半圆是等弧。

6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。

例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。

B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。

C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。

D、直径是圆中最长的弦。

例：AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，OD//BC。

求证：OD 是AC 的垂直平分线ADOC B例：圆O 的半径为5，弦AB//CD，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。

对应练习：1. 设AB＝3 厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点 A 的距离等于2 厘米的点的集合；（2）和点 B 的距离等于2 厘米的点的集合；（3）和点 A、B 的距离都等于2 厘米的点的集合；（4）和点 A、B 的距离都小于2 厘米的点的集合B2. 在下面的矩形中，如果 OA、OB、OC、OD 的中点分别为E、F、G、H。

求证：E、F、G、H4 个点在同一个圆上。

二、圆的轴对称性例 1. 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8 厘米，圆心O 到AB 的距离为3 厘米，求⊙O的半径。

EAO变式 1：如上图，若以 O 为圆心再画一个圆交弦 AB 于C，D，则AC 与BD 间可能存在什么关系?A C E D BO （1）A C D BO（2）变式 2：如下图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC＝BD 还成立吗?变式 4：如图，设 AO ＝BO ，求证 AC ＝BD 。

变式 5：如图，设 OC ＝OD ，求证 AC ＝BD 。

结论：得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心 O 引弦 AB 的垂线。

初三数学圆的经典讲义

圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

初中数学总复习《几何基本图形3—圆》讲义

教师辅导讲义二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系共有三种：①，②，③；若点到圆心的距离为d和半径r，则它们之间的数量关系分别为：点在圆上→ d r，点在圆外→ d r，点在圆内→ d r2、直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③ .若圆心到直线的距离为d和圆的半径r，则它们之间的数量关系分别为：直线与圆相离→ d r，直线与圆相切→ d r，直线与圆相交→ d r，3、圆与圆的位置关系共有五种：①，②，③，④，⑤；若两圆的圆心距d和两圆的半径为R、r（R≥r）则它们之间的数量关系分别为：两圆外离→ d R－r，两圆外切→ d R－r，两圆相交→ R－r d R＋r，两圆内切→ d R＋r，两圆内含→ d R＋r.4、切线的性质定理：圆的切线过切点的半径；切线的判定定理：经过的一端，并且这条的直线是圆的切线.5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，相等，这点与圆心的连线平分两切线的夹角。

6、三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫心，是三角形的交点，它到相等。

锐角三角形直角三角形钝角三角形7、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的，它到相等.三、与圆有关的计算：1、圆的周长为， 1°的圆心角所对的弧长为， n °的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .2、圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为， n °的圆心角所在的扇形面积为S = 2R π⨯ = = .3、圆柱的侧面积公式：S =2rl π.（其中r 为的半径，l 为的高）。

4、圆柱的全面积公式：S = + 。

5、圆锥的侧面积公式：S =rl π.（其中r 为的半径，l 为的长）。

6、圆锥的全面积公式：S = + 。

【相关中考试题：】1、一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角45ACB ∠=︒，则这个人工湖的直径AD 为（）A. 502mB.1002mC.1502mD. 2002m2、如图2,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若120AOB ∠=,则大圆半径R 与小圆半径 r 之间满足（） A ．3R r =B ．3R r =C ．2R r =D ．22R r =C O AB3、一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（）A. 16B. 10C. 8D. 64、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 的弦AB 的长为23，则a 的值是（） A ．23B ．222+C ．23D ．23+5、如上左图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（）A. 13B.5C. 3D. 26、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA =（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．67.5°7、Rt ABC △中，90C ∠=，8AC =，6BC =，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（） A ．254π B ．258π C ．2516π D ．2532π 8、一个几何体的三视图如下：其中主视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（） A ．2πB ．12πC ． 4πD ．8π(第7题)A BOPxyy=xABOC 图2CDAO PB第9题图9、如图9圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC= 6cm，点P是母线BC上一点且PC=23BC 一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（64π+）cm B．5cm C．35cm D．7cm10、如图，AB是⊙O的弦，OC AB⊥于点C，若8cmAB=，3cmOC=，则⊙O的半径为 cm．11、如图，半圆的直径AB＝___ ．12、兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10 m，高度CD为____m．13、如图，⊙O中OA BC⊥，25CDA∠=，则AOB∠的度数为．14、如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC==320，则∠P的度数为。

初三数学圆的经典讲义70637

圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆⇔ d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD是直径，︒=∠84EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。

例3 ⊙O平面一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是MAB CDOEBC_________cm 。

初三数学圆的经典讲义

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

M AB C DOEBAC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

初三数学圆地经典讲义

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经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

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