初中函数概念之欧阳光明创编

函数及其相关概念 1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

Ⅱ

欧

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数

1、一次函数的概念：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常

数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线

一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

3、斜率：1

21

2tan x x y y k --=

=α

①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)③由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距

式：1=+b

y

a x

④设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+2l ：

22y k x b =+若

若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。

⑤点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:

4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）

则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()2

21221y y x x -+-

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。

6、（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y 轴。（2）当k>0时，图象过一、三象限，y 随x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；（3）当k<0时，图象过二、四象限，y 随x 的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；（4）当b>0时，与y 轴的交点（0，b ）在正半轴；当b<0时，与y 轴的交点(0,b)在负半轴。当b ＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线（5）几条直线互相平行时 ，k 值相等而b 不相等。

反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数

x k

y =

（k

是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例

B

函数的解析式也可以写成

1-=kx y 的形式。自变量

x 的取值范围是

x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k 是常数，k≠0)

反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k ，因为k 为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y 与x 成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由x

y =k (k≠0)，因为k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。

2、反比例函数y=x

k (k≠0)的图象的画法 画图方法：描点法

。

由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。

特点：y=x

k

=kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原

点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x 轴、y 轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。

3、反比例函数的性质和图像

4、反比例函数解析式的确定

确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数

x

k y =

中，只有

一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何的意义 如下图，过反比例函数)0(≠=

k x k

y 图像上任一点

P 作x 轴、y 轴

的垂线

PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积

S=PM •PN=xy x y =•k S k xy x k

y ==∴=,,

二次函数

1、二次函数的概念：一般地，如果

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么

y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于a b

x 2-

=对称的

曲线，这条曲线叫抛物线。