4 算法分析与设计 第四讲 分治法及相关实例分析(续)
算法设计与分析分治法
• 缺点：
– 需要线性的额外空间,体现在何处 – 虽然合并也可做到在位,但导致算法过于复杂,
16
4.2 快速排序
• 算法思路: 对于A 0.. n-1 ,按以下三个步骤进行排序：
• 1 分区:取A中的一个元素为支点 pivot 将A 0..n-1 划分成3段: A 0..s-1 , A s , A s+1..n-1 , 使得 A 0..s-1 中任一元素A s , A s+1..n-1 中任一元素 A s ; 下标s 在划分过 程中确定,
• 有了上面的中序遍历的过程,前序遍历也是类似的,在遍 历以前首先确定遍历的树是否为空,如果为空,则直接返 回；否则前序遍历的算法步骤如下： 1 访问输出根结点V的值； 2 对左子树L执行前序遍历算法, 3 对右子树R执行前序遍历算法,
1
分治法的基本思想
subproblem 1 of size n/2
a solution to subproblem 1
a problem of size n
subproblem 2 of size n/2
a solution to subproblem 2
a solution to the original problem
32
中序遍历 Inorder Traversal
• 二叉树的中序遍历算法比较简单,使用递归的策略,在遍 历以前首先确定遍历的树是否为空,如果为空,则直接返 回；否则中序遍历的算法步骤如下： 1 对左子树L执行中序遍历算法 2 访问输出根结点V的值, 3 对右子树R执行中序遍历算法,
33
算法设计与分析-第四章-分治算法
第四章分治算法§1. 算法基本思想考虑下面折半搜索算法程序4-1-1 折半搜索template<class T>int BinarySearch(T a[], const T& x, int n){//在数组a[0:n-1]中搜索x，数组中的元素满足a[0]<=a[1] //<= ···<=a[n-1]。
如果找到x，则返回所在位置（数组元素的下标），//否则返回–1int left=0; int right=n-1;while(left<=right){int middle=(left+right)/2;if(x==a[middle]) return middle;if(x>a[middle]) left=middle+1;else right=middle – 1;}return –1; //未找到x}while 的每次循环（最后一次除外）都将以减半的比例缩小搜索范围，所以，该循环在最坏的情况下需要执行)Θ次。
由于每次循环需耗时)1((log nΘ，因此在最坏情况下，总的时间复杂性为)Θ。
(log n折半搜索算法贯彻一个思想，即分治法。
当人们要解决一个输入规模，比如n，很大的问题时，往往会想到将该问题分解。
比如将这n个输入分成k个不同的子集。
如果能得到k个不同的可独立求解的子问题，而且在求出这些子问题的解之后，还可以找到适当的方法把它们的解合并成整个问题的解，那么复杂的难以解决的问题就可以得到解决。
这种将整个问题分解成若干个小问题来处理的方法称为分治法。
一般来说，被分解出来的子问题应与原问题具有相同的类型，这样便于采用递归算法。
如果得到的子问题相对来说还较大，则再用分治法，直到产生出不用再分解就可求解的子问题为止。
人们考虑和使用较多的是k=2的情形，即将整个问题二分。
以下用A[1:n]来表示n个输入，用DanC(p,q)表示处理输入为A[p:q]情况的问题。
算法设计与分析 第四次课
KRUSKAL(G, w) _Disjoint Set
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. A← for each vertex v ∈ V [G] do MAKE-SET (v) sort the edges of E by nondecreasing weight w for each edge (u, v) ∈ E, in order by nondecreasing weight do if FIND-SET (u) ≠ FIND-SET (v) then A ← A ∪ { (u, v)} UNION(u, v) Return A
Algorithm MERGE
输入：数组A[1..m]，索引1≤p ≤ q <r ≤ m，两个子数组A[p..q]和A[q+1..r] 别非降序排列 输出：合并A[p..q]和A[q+1..r]的数组A[p..r] B[p..r]为辅助数组 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. s←p; t←q+1; k←p; while s ≤ q and t ≤ r If A[s] ≤ A[t] then B[k] ← A[s] s ← s+1 else B[k] ← A[t] t ← t+1 end if k ←k+1 end while If s=q+1 then B[k..r] ← A[t..r] else B[k..r] ← A[s..q] end if A[p..r] ← B[p..r] 分
合并排序效率
• 假定n 是2的幂，即n = 2k, k 是大于等于0的 整数。 • 如果n = 1, 则算法不执行任何元素的比较 • 如果n > 1, 则执行了步骤2到步骤5，根据函 数C 的定义(n元素需比较次数），执行步骤3 和步骤4需要的元素比较次数都为C(n/2)。 • 合并两个子数组所需的元素比较次数在n/2 与n – 1 之间
算法设计与分析-分治法
3.2.1 归并排序
算法3.1——归并排序
void MergeSort(int r[ ], int r1[ ], int s, int t) {
if (s= =t) r1[s]=r[s]; //只有一个元素，直接赋值 else {
m=(s+t)/2; Mergesort(r, r1, s, m); //归并排序前半个子序列 Mergesort(r, r1, m+1, t); //归并排序后半个子序列 Merge(r1, r, s, m, t); //合并两个已排序的子序列 } }
A、B、C、D 四个区域
Ø想法
Ø 用二维数组data[N][N]表示N×N的方阵，观察方阵中数
字的规律，可以从外层向里层填数。 Ø 设变量size表示方阵的大小，则初始时size = N，填完一
层则size = size - 2；
Ø想法
Ø 设变量begin表示每一层的起始位置，变量i和j分别表示
MergeSort(r,r1,1,1) r1[1]=r[1]
Merge(r1,r,0,0,1)
MergeSort(r,r1,2,3)
MergeSort(r,r1,2,2) r1[2]=r[2]
MergeSort(r,r1,3,3) r1[3]=r[3]
Merge(r1,r,2,2,3)
Merge(r1,r,0,1,3)
• 分治思想 • 归并排序 • 快速排序 • 折半查找 • 选择问题 • 最大子段和问题 • 棋盘覆盖问题 • 循环赛日程安排问题
3.1 基本思想 3.2 排序问题中的分治算法 3.3 查找问题中的分治算法 3.4 组合问题中的分治算法 3.5 典型问题的C++程序（略）
算法设计与分析的一些实例分析
实验一递归与分治策略一、实验目的：熟练掌握递归与分治策略的思想并应用其解决实际问题。
二、递归与分治策略思想基本思想:将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。
对这k个子问题分别求解。
如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
实验题目(1-2):找出从自然数1,2,…，n中任取r个数的所有组合。
算法思想：当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。
这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。
设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。
第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未确定组合的其余元素，继续递归去确定；或已确定了组合的全部元素，输出这个组合。
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5，r=3的所有组合为：（1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1（10）3、2、1分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。
设函数为void find(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。
当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。
这就将求m个数中取k 个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。
设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。
第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。
算法设计与分析讲义分治法
分别对左右两个子数组递归进行快速排序。
合并已排序的子数组
将两个已排序的子数组合并成一个有序数组。
快速排序的时间复杂度
1 2
最好情况
O(nlogn)，即当数据已经有序时的时间复杂度 。
平均情况
O(nlogn)，根据概率计算得到的平均时间复杂 度。
3
最坏情况
O(n^2)，即当数据已经逆序时的时间复杂度。
合并的结果应该是原问题的 解
完善细节
01
对合并的结果进行检验和调整
02
对算法进行优化，提高运行效 率
03
处理特殊情况或异常情况
03
分治法的优化策略
动态规划优化
总结词
通过将问题拆分为子问题，并存储子问题 的解，以避免重复计算，提高算法效率。
VS
详细描述
动态规划是一种常见的优化技术，其基本 思想是将问题拆分为一系列子问题，并将 子问题的解存储起来，以便在需要时可以 重复使用。通过这种方式，可以避免重复 计算相同的子问题，从而提高算法效率。 此外，动态规划通常用于优化递归问题， 如背包问题、最长公共子序列等。
但是，如果每个子问题的规模很大， 则空间复杂度也可能很大。
THANKS
谢谢您的观看
02
分治法的基本步骤
分解问题
将原问题划分成若干个子问题 每个子问题都包含原问题的一部分 子问题的规模尽可能小，以便更容易解决
解决子问题
对每个子问题进行递归求解 子问题的解可以构成原问题的解的一部分 对每个子问题进行归纳，得出原问题的解
合并子问题的解
将子问题的解合并成一个整 体
合并的过程中需要处理数据 结构或数据类型的一致性
算法设计与分析讲义分治 法
4算法第四章分治法
变型算法BINSRCH1
将BINSRCH的case语句用if语句来替换。
procedure BINSRCH(A, procedure n, x, j) BINSRCH1(A, n, x, j) integer low, high, mid, integer j, n; low, high, mid, j, n; low←1; high←n low←1; high←n+1 //high总比可能的取值大1 while low≤high do while low<high-1 do ← mid← mid (low+high)/2 (low+high)/2 case if x<A(mid) //在循环中只比较一次 :x<A(mid): high←mid-1 then high←mid :x>A(mid): low←mid+1 else low←mid //x>=A(mid) : else: j←mid; return; endif 最好、最坏和平均 endcase repeat repeat if x=A(low) then j←low //x出现 情况时间对于成功 j←0 else j←0 //x不出现 和不成功的检索都 end BINSRCH end BINSRCH1
//取中间值 //寻找前一半 //寻找后一半 //检索成功, 结束
//检索失败
二分检索实例
设在A(1:9)中顺序放了以下9个元素：
A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9]
-15 -6 检索x=9
0
7
9
①
23
low 1
54
算法设计与分析-第四章1-常用算法策略迭代蛮力分治PPT课件
.
4
数学建模：y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2，n=3，4，5，……。
算法1：
main( ) { int i,a=1,b=1;
print(a,b); for(i=1;i＜=10;i++)
{ c=a+b; print (c); a=b; b=c；
} }
.
5
算法2：
表4-1 递推迭代表达式
12 3
.
21
【例2】牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速度，如图 4-5所示。首先, 选择一个接近函数f(x)零点的x0, 计算相应的f(x0)和 切线斜率f‘(x0)（这里f ’表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点 (x0,f (x0))且斜率为f ‘(x0)的直线方程为：
{a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1) a[j]=a[j]+a[j-1];
for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”);
} }
.
13
【例3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为500加仑， 耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在 沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少的耗油量穿越沙漠，应在 什么地方建油库，以及各处的贮油量。
问题分析：题目中要求用一个一维数组即完成。 1 4 6 4 1
数组空间一定是由下标从小到大利用的，这 ……………
样其实杨辉三角形是按下图4-2形式存储的。 图4-1 杨辉三角形
若求n层，则数组最多存储n个数据。
算法设计：
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行
算法分析与设计(习题答案)
算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解：算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。
频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。
多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。
指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。
2. 解：算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣，进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法，以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。
3. 解：事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数（它是一些有关参数的函数）；事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。
4. 解：评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行，事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析；事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。
5. 解：①n=11； ②n=12； ③n=982； ④n=39。
第2章 递归算法与分治算法1． 解：递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中，递归算法充分地利用了计算机系统内部机能，自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复；分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题，每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路，进而可以按照递归的思路进行求解。
2． 解：通过分治算法的一般设计步骤进行说明。
3． 解：int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解：void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解：①22*2)(−−=n n f n② )log *()(n n n f O =6． 解：算法略。
分治算法及其典型应用
分治算法及其典型应用分治算法是一种非常重要的算法设计思想，它将一个大问题分解成多个小问题，然后分别解决这些小问题，最后将它们的解合并起来得到原问题的解。
分治算法的典型应用包括快速排序、归并排序、二分搜索等。
快速排序是一种高效的排序算法，它采用分治思想将原始数组分解成较小的子数组，然后分别对这些子数组进行排序。
最后将这些子数组合并起来得到有序的数组。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，在实际应用中被广泛使用。
归并排序也是一种常见的排序算法，它同样采用分治思想将原始数组分解成较小的子数组，然后分别对这些子数组进行排序。
不同的是，归并排序是通过将有序的子数组合并起来得到有序的数组。
归并排序同样具有O(nlogn)的时间复杂度。
二分搜索是一种查找算法，它也是基于分治思想。
在一个有序数组中查找特定元素时，二分搜索将数组分为两部分，然后分别在两部分中查找目标元素。
如果找到了目标元素，算法返回其索引；否则继续在相应的子数组中查找。
二分搜索的时间复杂度为O(logn)。
除了排序和查找，分治算法还被广泛应用于解决许多其他问题，如最大子数组问题、矩阵乘法、棋盘覆盖等。
通过将原始问题分解成较小的子问题，分治算法能够显著降低问题的复杂度，提高算法的效率。
总之，分治算法是一种非常重要的算法设计思想，它在计算机科学和工程领域有着广泛的应用。
通过将原始问题分解成多个小问题，然后分别解决这些小问题，最后将它们的解合并起来，分治算法能够解决许多复杂的问题，并且在实际应用中取得了巨大的成功。
算法分析与设计PPT教学课件 Algorithms Chapter 4 分治法
n>1
Memory 冒泡 合并 Time
15
Example of merge sort
Example of merge sort sorting a list of random numbers
16
练习 p98-11 Tromino谜题
如何将右图中L型瓦片覆盖到一个缺了一 个方块的2n × 2n的棋盘？
//输入：两个有序数组B[0..p-1]和C[0..q-1]
//输出：非降序列数组A-0..p+q-1] i0; j0; k0; while (i<p and j<q do){
if (n>1){
copy A[0.. [n/2]-1] to B[0..[n/2]-1] ; copy A[[n/2]..n-1] to C[0..[n/2]-1]; Mergesort(B[0..[n/2]-1]);
5
分治法的抽象化控制
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Divide-and-Conquer(P) if |P|≤n0 判断输入规模是否足够的小 then return(ADHOC(P))//直接解小规模的问题P 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk for i←1 to k do yi ← Divide-and-Conquer(Pi)//递归解决Pi T ← MERGE(y1,y2,...,yk) // 合并子问题 return(T)
...... ......
I2=(n-[n/2], A[[n/2]-1…n-1])
...... ......
Ih=(1,A[0])
Ii=(1,A[1])
Ij=(1,A[m])
Ik=(1,A[n])
4+ 算法分析与设计 第四讲分治法总结
算法分析与设计 第六讲
分治法总结
1
主要内容
分治法基本思想 分治法基本步骤 算法分析 分治法注意点 实验中分治算法的设计 实验中分治算法的编码提示
分治法基本思想
最为常用的算法技术 分治法的基本思想是将一个规模较大的问 题分解为若干个规模较小的子问题，子问 题相互独立且与原问题同类 求解时，首先求出这些子问题的解，然后 把子问题的解组合起来就可得到原问题的 解
11
求第i小元素
期望线性时间求解方法
使用Random Partition对数组进行划分 检查主元元素是否第i小，如果是，则返回 否则，确定第i小落在划分后的低区还是高区 如果落在低区，则在低区的子数组中递归选择 如果落在高区，则在高区的子数组中递归选择
12
求第i小元素
最坏情况线性时间求解方法
13
最近点对问题
预处理
将点对按X坐标排序 将点对按Y坐标排序
分解
按照X坐标将点集二分 同时获得分解后的已按Y坐标排好序的点集
递归求解 合并
找出带状区域中的点 检查带状区域中的点（已排序），计算每点与其后面7 个点的距离，更新最近点对距离
14
3
分治法基本步骤
分解（Divide）：将原问题分解为子问题 解决（Conquer）：求解子问题 合并（Combine）：将子问题的解组合得 到原问题的解
第四讲分治法
33第四讲 分治法一、引入问题1：找出伪币给你一个装有1 6枚硬币的袋子。
1 6枚硬币中有一个是伪造的，并且那个伪造的硬币比真的硬币要轻一些。
你的任务是找出这枚伪造的硬币。
为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用来比较两组硬币重量的仪器，比如天平。
利用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否相同。
方法1任意取1枚硬币，与其他硬币进行比较，若发现轻者为伪币。
最多可能有15次比较。
方法2将硬币分为8组，每组2个，每组比较一次，若发现轻的，则为伪币。
最多可能有8次比较。
方法3分析上述三种方法,分别需要比较15次,8次,4次,那么形成比较次数差异的根本原因在哪里?方法1:每枚硬币都至少进行了一次比较,而有一枚硬币进行了15次比较方法2:每一枚硬币只进行了一次比较方法3:将硬币分为两组后一次比较可以将硬币的范围缩小到了原来的一半,这样充分地利用了只有1枚伪币的基本性质。
问题2：金块问题有一个老板有一袋金块。
每个月将有两名雇员会因其优异的表现分别被奖励一个金块。
按规矩，排名第一的雇员将得到袋中最重的金块，排名第二的雇员将得到袋中最轻的金块。
根据这种方式，除非有新的金块加入袋中，否则第一名雇员所得到的金块总是比第二名雇员所得到的金块重。
如果有新的金块周期性的加入袋中，则每个月都必须找出最轻和最重的金块。
假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最轻和最重的金块。
方法1假设袋中有n 个金块。
可以用函数M a x通过n-1次比较找到最重的金块。
找到最重的金块后，可以从余下的n-1个金块中用类似的方法通过n-2次比较找出最轻的金块。
这样，比较的总次数为2n-3。
算法如下：max:=a[1];min:=a[1];for i:=2 to n do {2n-2次比较}beginif a[i]>max then max:=a[i];if a[i]<min then min:=a[i];end ;可对上述改进少1次max:=a[1];for i:=2 to n do {n-1次比较，从n个元素中找到最大的}if a[i]>max then begin max:=a[i]; j:=i; end;for i:=j+1 to n do a[i-1]:=a[i]; {去掉最大的数a[j]}min:=a[1];for i:=2 to n-1 do {n-2次比较，从剩下的元素中找最小的}if a[i]>max then min:=a[i];找金块的示例图3435方法2：n ≤2，识别出最重和最轻的金块，一次比较就足够了。
算法分析与设计第四章2分治法归并分类PPT课件
{
item=a[j];i=j-1;
while(i>=1&&item<a[i])
{
a[i+1]=a[i];i=i-1;
}
a[i+1]=item;
}
}
2008-09-01
i指示的是j之前的一位， 即当前已排序子表的 最末一个元素的下标
4
性能分析
输入数据按非增次序排列,每次内层while循 环执行j次（j=1,2,…, n-1)。
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a[i] 6 7 8 9 2 3 4 5 0 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a[i] 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
步骤4：length=8
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a[i] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16
public static void MergeSort(int n,int DataLength) { //n为待合并数据个数
int i,t; //循环计数变量 i=1; //还有两段长度为DataLength的list可合并 while(i<=(n-2*DataLength+1)) {
Merge(i, i+DataLength-1, i+2*DataLength-1); i=i+2*DataLength; } if(i+DataLength<n) {//合并两段list，一段长度为DataLength，另一段长度不足DataLength Merge(i, i+DataLength-1, n); } else {//将剩下一段长度不足DataLength的list中的值不变 } }
分治算法问题分解与解决及代码示例
分治算法问题分解与解决及代码示例在计算机科学领域中，分治算法是一种将问题分解成若干个相互独立且具有相同结构的子问题，然后通过解决子问题并将结果合并得到原问题的解决方法。
它常常被用于处理复杂问题，特别是在算法设计和分析中起到了重要的作用。
本文将介绍分治算法的问题分解与解决的基本思想，并提供相应的代码示例。
一、问题分解与解决的基本思想分治算法的关键思想是将大问题划分为若干个规模较小且结构相似的子问题，然后递归地解决这些子问题，并将结果进行合并以得到原问题的解决方案。
该算法可以分为三个基本步骤：分解、解决和合并。
1. 分解：将原问题划分为若干个规模较小的子问题。
这一步骤需要根据具体问题的特点来确定如何进行子问题的划分，确保子问题的规模逐步减小。
2. 解决：通过递归地调用分治算法来解决子问题。
当子问题的规模足够小可以直接求解时，就不需要再进行递归调用。
3. 合并：将子问题的解进行合并，得到原问题的解。
这一步骤通常需要根据具体问题的特点进行具体的合并操作。
二、代码示例以下是一个经典的分治算法的代码示例，用于计算一个整数数组的最大值。
```pythondef find_max(nums, left, right):if left == right:return nums[left]mid = (left + right) // 2left_max = find_max(nums, left, mid)right_max = find_max(nums, mid+1, right)return max(left_max, right_max)nums = [5, 2, 9, 3, 1, 6]max_value = find_max(nums, 0, len(nums)-1)print("The maximum value is:", max_value)```上述代码中，`find_max`函数用于递归地寻找给定数组 `nums` 中的最大值。
《算法设计与分析》课程实验报告 (分治法(三))
《算法设计与分析》课程实验报告实验序号：04实验项目名称：实验4 分治法（三）一、实验题目1.邮局选址问题问题描述：在一个按照东西和南北方向划分成规整街区的城市里，n个居民点散乱地分布在不同的街区中。
用x 坐标表示东西向，用y坐标表示南北向。
各居民点的位置可以由坐标(x,y)表示。
街区中任意2 点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离可以用数值∣x1−x2∣+∣y1−y2∣度量。
居民们希望在城市中选择建立邮局的最佳位置，使n个居民点到邮局的距离总和最小。
编程任务：给定n 个居民点的位置,编程计算邮局的最佳位置。
2.最大子数组问题问题描述：对给定数组A，寻找A的和最大的非空连续子数组。
3.寻找近似中值问题描述：设A是n个数的序列，如果A中的元素x满足以下条件：小于x的数的个数≥n/4,且大于x的数的个数≥n/4 ，则称x为A的近似中值。
设计算法求出A的一个近似中值。
如果A中不存在近似中值，输出false，否则输出找到的一个近似中值4.循环赛日程表问题描述：设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。
现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次，每个选手一天只能赛一次，循环赛一共进行n-1天。
二、实验目的（1）进一步理解分治法解决问题的思想及步骤（2）体会分治法解决问题时递归及迭代两种不同程序实现的应用情况之差异（3）熟练掌握分治法的自底向上填表实现（4）将分治法灵活于具体实际问题的解决过程中，重点体会大问题如何分解为子问题及每一个大问题涉及哪些子问题及子问题的表示。
三、实验要求（1）写清算法的设计思想。
（2）用递归或者迭代方法实现你的算法，并分析两种实现的优缺点。
（3）根据你的数据结构设计测试数据，并记录实验结果。
（4）请给出你所设计算法的时间复杂度的分析，如果是递归算法，请写清楚算法执行时间的递推式。
四、实验过程（算法设计思想、源码）1.邮局选址问题(1)算法设计思想根据题目要求，街区中任意2 点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离可以用数值∣x1−x2∣+∣y1−y2∣度量。
算法设计与分析讲义分治法
分治法具有以下特点
将问题分解为多个子问 题，并对子问题进行递 归求解；
以空间换时间，需要额 外的存储空间；
可以将问题化简为多个 相同或相似的子问题， 从而减少计算量。
分治法的重要性
1
分治法是一种非常重要的算法设计和分析方法 ，在很多算法中都有应用，如排序算法、搜索 算法、图算法等。
2
分治法可以将一个复杂的问题分解为多个简单 的子问题，从而降低问题的复杂度，提高算法 的效率。
06
分治法的扩展阅读和练习建议
相关文献和资源推荐
01
《算法导论》
本书是算法领域的经典参考书之 一，详细介绍了各种算法的原理 和应用，包括分治法。
02
《数据结构和算法 分析》
本书深入浅出地讲解了数据结构 和算法的基本原理，包括分治法 的设计和实现。
03
《算法之美》
本书以通俗易懂的语言和丰富的 实例，介绍了多种算法的设计思 路和应用，包括分治法。
3
分治法的核心思想是将问题分解为多个相同的 或相似的子问题，可以借助递归实现算法的优 化，使算法的时间复杂度更低。
分治法的历史与发展
01
分治法是一种非常古老的算法设计方法，可以追溯到中国古代 的“鸡兔同笼”问题。
02
分治法在算法领域得到了广泛的应用，其中最著名的就是快速
排序算法。
随着计算机科学的发展，分治法在大数据处理、机器学习等领
使用分治法的注意事项
在使用分治法时，需要考虑到数据的规模和性质 ，以及计算机的内存和计算速度等硬件因素。
在处理大规模数据时，可能需要采用并行计算或 分布式计算等高级技术来提高算法效率。
需要注意分割点选择的艺术性和科学性，以及在 递归过程中如何有效地利用缓存和减少重复计算 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
最近点对问题
合并子问题小结
找出以L为中心线，宽度为2������������的带状区域 获得带状区域中排序后的点集Y’ 对Y’中的每个点，检查其后面的7个点，计算距离并 更新最近点对的距离
13
最近点对问题
递归的出口 点数较少时的情形
Y Y Y
直接计算
直接计算
d=∞
X X X
只有一个点
1 length[YL] ← length[YR] ← 0 2 for i ← 1 to length[Y] 3 do if Y[i] ∈ PL 4 then length[YL] ← length[YL] + 1 5 YL[length[YL]] ← Y[i] 6 else length[YR] ← length[YR] + 1 7 YR[length[YR]] ← Y[i]
10
最近点对问题
合并子问题
关注以直线L为中心，宽度为2������������的垂直带状区域 看是否可以找到一个点对的距离������������’<������������
11
最近点对问题
合并子问题 考察带状区域中的点
对于带状区域中的每个点p，算法试图找出距离p在 ������������单位以内的点，如果距离������������’<������������，则更新当前的最近 点对距离 如果带状区域中的点是按y坐标升序排列的，对于 每个点p，只需要检查p之后的7个点即可
最小元：第1个顺序统计量 最大元：第n个顺序统计量 i 中位数：= (n + 1) / 2
18
寻找顺序统计量问题
如下假设：
集合由n个数值不同的元素组成 在此假设下的结论可以推广到有重复数值的情形
问题描述：
输入：一个包含n个不同数的集合A和一个数i 输出：元素x，x大于A中其它的i-1个元素
示例，n个元素
30
寻找顺序统计量问题
示例， n个元素分为n/5+1组
31
寻找顺序统计量问题
示例，寻找 n/5+1组中每一组的中位数
32
寻找顺序统计量问题
示例，递归调用SELECT找出n/5的中位 数x
33
寻找顺序统计量问题
至少有一半组（ n/5 /2= n/10组）的 中位数小于或等于x
分治法
当n=2时，一次比较就可以找出两个数据元素的最 大元和最小元 当n>2时，可以把n个数据元素分为大致相等的两半 求数组最大元、最小元的算法下界
3n / 2 − 2
4
最近点对问题
对于平面上给定的N个点，给出距离最近 的两个点
Brute force法：把所有点对逐一检查一遍
26
寻找顺序统计量问题
最坏情况线性时间 基本思想：保证对数组的划分是好的划分
27
寻找顺序统计量问题
SELECT的步骤
1.将输入数组的n个元素分为n/5+1组，其中n/5 组每组5个元素，余下的一组由剩下的n mod 5个元 素组成； 2.寻找这n/5+1组中每一组的中位数（先对每组中 的元素进行插入排序，然后从排序后的序列中选出 中位数）； 3.对第二步中找出的n/5+1组中位数，递归调用 SELECT以找到其中位数x；
8
最近点对问题
解决
分别寻找PL和PR中的最近点对及距离，设其找到的 最近点对的距离分别是δL和 δR 置δ=min(δL, δR)
9
最近点对问题
合并
对于从PL和PR求得的δL和δR，如何合并？ 可能一：最近点对就是某次递归调用找出的距离为 ������������的点对 可能二：最近点对是由PL 中的一个点和PR中的一个 点组成的点对
• T(n)=Θ(n2)
分治策略
• 如何分解？ • 如何合并？
5
一维的最近点对问题
n个点退化为n个实数，最近点对即为这n 个实数中相差最小的两个实数 分治法求解
分解：用各点坐标的中位数m作为分割点，分成两 个点集 求解：在两个点集上分别找出其最接近点对{p1,p2} 和{q1,q2} 合并：整个点集的最近点对或者是{p1,p2}，或者是 {q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3和q3分属两 个点集
28
寻找顺序统计量问题
SELECT的步骤 续
4.PARTITION，按中位数x对输入数组进行划分，x 为第k小元素； 5.如果i=k，则返回x； 否则，如果i<k，则在低区递归调用SELECT寻找第i 小元素 否则，如果i>k，则 在高区寻找第(i-k)个最小元素
29
寻找顺序统计量问题
37
分治法小结
二分搜索 幂乘 合并排序 快速排序 Fibonacci数列 Strassen矩阵乘法 最大元、最小元、寻找顺序统计量问题 最近点对问题 ……
38
算法分析与设计 第五讲
分治法及相关实例分析（续）
1
主要内容
最大元最小元问题 最近点对问题 寻找顺序统计量问题
2
最大元、最小元
给定n个数据元素，找出其中的最大元和 最小元
直接解法：逐个找，用n-1次比较来找出最大元，再 用n-2次比较来找出最小元，比较次数（基本运算） 为2n-3次
3Байду номын сангаас
最大元、最小元
期望线性时间求解方法 伪码
RAND-SELECT(A, p, q, i) ⊳ith smallest of A[p..q] if p= q then return A[p] r←RAND-PARTITION(A, p, q) k←r–p+ 1 ⊳k = rank(A[r]) if i= k then return A[r] if i< k then return RAND-SELECT(A, p, r –1, i) else return RAND-SELECT(A, r + 1, q, i –k)
16
最近点对问题
分析 递归式为
= T (n) 2T (n / 2) + f (n) f ( n) = O ( n) T= '(n) T (n) + O(n lg n)
T (n) = O(n lg n) T '(n) = O(n lg n)
17
寻找顺序统计量问题
求第i小元素问题、选择问题
设集合S中共有n个数据元素，要在S中找出第i小元 素
34
寻找顺序统计量问题
至少有一半组（ n/5 /2= n/10组）的 中位数小于或等于x 因此，至少3 n/10个元素≤x
35
寻找顺序统计量问题
至少有一半组（ n/5 /2= n/10组）的 中位数小于或等于x 因此，至少3 n/10个元素≤x 至少3 n/10≥x
23
寻找顺序统计量问题
期望线性时间求解方法 示例
24
寻找顺序统计量问题
期望线性时间求解方法 直观分析 一般情况 T (n) = T (9n /10) + Θ(n) = Θ(n) 2 最坏情况 T (n) = T (n − 1) + Θ(n) = Θ(n )
25
寻找顺序统计量问题
期望线性时间求解方法 可以证明，在平均情况下，任何顺序统计 量可以在线性时间内得到
36
寻找顺序统计量问题
分析
1.将输入数组的n个元素分为n/5+1组； 2.寻找这n/5+1组中每一组的中位数； 3.对第二步中找出的n/5+1组中位数，递归调用 SELECT以找到其中位数x； 4.PARTITION，按中位数x对输入数组进行划分，x 为第k小元素； 5.如果i=k，则返回x；否则，如果i<k，则在低区递 归调用SELECT寻找第i小元素；否则，如果i>k，则 在高区寻找第(i-k)个最小元素。
6
一维的最近点对问题
合并
如果最近点对是{p3,q3}，即 |p3-q3|<d，则p3和q3 两者与m的距离不超过d，即p3∈(m-d,m]， q3∈(m,m+d]
7
最近点对问题
有n个点，输入点集记为P 分解
将P进行分割，分为2部分求最近点对 选择一条垂线L，将P拆分左右两部分为PL和PR
只有两个点
只有三个点
14
最近点对问题
以L为中心线，宽度为2������������的带状区域中的 点，如何筛选，并保证有序（按y坐标升 序排列）
筛选出来之后按照y坐标递增的方式进行排序？ 对Y进行预排序，将排好序的Y传入递归主过程
15
最近点对问题
难点
如何在线性时间内获得 YL , YR , X L , X R , Y ′ 若X,Y已按相应坐标排好序
19
寻找顺序统计量问题
求解方法
排序 期望线性时间 最坏情况线性时间
20
寻找顺序统计量问题
排序
合并排序 堆排序
有更好的方法？ 分治？
21
寻找顺序统计量问题
期望线性时间求解方法 Θ( n) 分解：用到Random Partition 求解：递归处理 合并
22
寻找顺序统计量问题