工学地下水动力学渗流理论基础3专

体质量为ρ n Δx Δy Δz， Δt时间内，单元体内液体
质量的变化为：
nxyzt
根据质量守恒定律，上二式t 应相等，因此，
vx
x
vy
y
vz
z
xyzt
t
nxyzt
消去Δt得
vx
x
vy
y
vz
z
xyz
t
nxyz
此式为渗流的连续性方程（研究地下水运动的基本方程）。
§1—7 承压水运动的基本微分方程
x2 y2 z 2
二维流，去掉上式中左边第三项。
小结：
承压水三维非稳定流
非均质各向同性：
x
K
H x
y
K
H y
z
K
H z
W
s
H t
非均质各向异性：
x
K
xx
H x
y
K yy
H y
z
K
zz
H z
W
s
H t
均质各向同性：
2H x 2
2H y 2
2H z 2
y
K
H y
z
K
H z
W
s
H t
7. 稳定流：水位H不随时间变化，即 分方程的右端项等于零，即
H t
0 ，上述微
非均质各向同性：
x
K
H x
y
K
H y
z
K
H z
W
0
非均质各向异性：
x
K
xx
H x
y
K yy
H y
z
K
zz
H z
W
0
均质各向同性： 2H 2H 2H W 0
假设条件：
(1) 水流服从Darcy定律；
(2) K不随ρ= ρ(p)的变化而变化；
(3) μs和K也不受n变化的影响；
(4) 含水层侧向无压缩，即Δx、 Δy为常量，只有
垂直方向Δz的压缩。
vx
x
vy
y
vz
z
xyz
t
nxyz
在连续性方程的右端项中，有三个变量，随压力p的 变化而变化。
三个变量随时间的变化转化成压力随时间的变化。
x
x 2
,
y,
z
的单位时间
vx1
vx
x
x 2
,
y,
z
用Taylor级数展开：vx1Fra bibliotekvx x,
y,
z
vx
x
x 2
略去二阶导数以上的高次项，得Δt时间内由abcd面 流入单元体的质量为：
vx
1 2
vx
x
xzyt
同理，通过a´b´c´d´面流出单元体的质量为：
vx
1 2
vx
x
xzyt
沿x轴方向流入和流出单元体的质量差为：
4. 地下水流为二维流时，非均质各向同性介质承
压水流微分方程为：
K x
H x
y
K
H y
s
H t
两边乘含水层厚度M，得
x
KM
H x
y
KM
H y
sM
H t
或
x
T
H x
y
T
H y
*
H t
5. 柱坐标：如果能用柱坐标表示，则x = rcosθ、
y = rsinθ，代入 可化成式
液体压缩后，质量不变。即密度ρ和体积V变化，
二者乘积不变。 d(ρ V)= ρdV +Vdρ=0 得：
d dV
V
由水的压缩系数：
1 V
dV dp
得：
dV V
dp
所以，dρ=ρβdp
前面给出了含水层厚度Δz和孔隙度n随压力p的变 化关系：
d(Δz)= Δzαdp ；dn=(1-n) αdp
式中：α为多孔介质压缩系数。
W
s
K
H t
承压水二维非稳定流
非均质各向同性：
x
T
H x
y
T
H y
W
*
H t
非均质各向异性：
x
Txx
H x
y
Tyy
H y
W
*
H t
均质各向同性：
2H x 2
2H y 2
W
s
K
H t
承压水三维稳定流
非均质各向同性：
2H x 2
2H y 2
2H z 2
s
K
H t
1 r
r H r r
1 r2
2H
2
2H z 2
s
K
H t
6. 有源汇项，用W表示。 源：在垂向上有水流入含水层称源。W为正。 汇：在垂向上有水流出含水层称汇。W为负。 有源汇项时，只需在上述方程中左边加W即可。 如各向同性介质：
x
K
H x
K
H x
y
K
H y
z
K
H z
xyz
g
n
H
t
xyz
因为μs=ρg（α+nβ）
所以上式变为：
x
K
H x
y
K
H y
z
K
H z
xyz
s
H t
xyz
两边消去单元体体积Δx ΔyΔz，得：
x
K
H x
y
K
H y
z
K
H z
s
H t
此式为非均质各向同性介质承压水流微分方程。
§1—6 渗流的连续性 方程
在渗流区内以P点取一 无限小的平行六面体，其 边长分别为Δx、 Δy、 Δz， 并且和坐标轴平行，设P 点沿坐标轴的渗透速度分 量为vx、vy、vz，液体密 度为ρ，则P点处，单位 时间内通过垂直于坐标轴 方向单位面积的水流质量 分别为ρ vx、 ρ vy、 ρ vz。
那单么位，面通积过的a水bc流d面质中量点为：P1
将三式代入连续方程右端项得：
t
nxyz
n
z
t
z
n t
nz
t
xy
nz
p t
z1
n
p t
nz
p t
xy
n p xyz
t
于是连续性方程变为：
vx
x
vy
y
vz
z
xyz
n
p t
xyz
将 p 化为 H ：
t
t
因为
H z p
，故有：p=γ（H-z）=ρg（H-z）
p g H Hg zg g H H zg
vx
1 2
vx
x
xzyt
vx
1 2
vx
x
xzyt
vx xyzt
x
同理，可得到沿y轴和z轴方向流入和流出这个单元 体的液体质量差，分别为：
vy xyzt y
vz xyzt
z
在Δt时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：
vx
x
vy
y
vz
z
xyzt
在均衡单元体中，孔隙体积为n Δx Δy Δz，其内液
t
t
t t
t
t
或： p g H p
t
t t
将dρ=ρβdp代入，得：
p g H p p
t
t
t
即，
p g H
t 1 p t 因为水的压缩性很小， βp忽略不计，
p g H
t
t
代入前式，得
vx
x
vy
y
vz
z
xyz
2g
n
H t
xyz
vx
x
vy y
vz
z
vx
x
2. 对于各向异性介质：
vx
K xx
H x
;
vy
K yy
H y
;
vz
K zz
H z
非均质各向异性介质承压水流微分方程为：
x
K
xx
H x
y
K yy
H y
z
K
zz
H z
s
H t
3. 对于均质各各向同性介质，K为常数，承压水流
微分方程为：
2H x 2
2H y2
2H z 2
s
K
H t
vy
y
vz
z
xyz
2 g n H xyz
t
第二项ρ非常小，忽略不计，于是上式变为：
vx
x
vy y
vz
z
xyz
2g
n
H
t
xyz
vx
x
vy y
vz
z
xyz
g
n
H
t
xyz
根据Darcy定律： 1. 在各向同性介质中，有：
vx
K
H x
;
vy
K
H y
;
vz
K
H z
代入上式，得
x