2020年秋人教版七年级数学上册热点专题高分特训：第4章：线与角
人教版七年级上册数学第4章 几何图形初步 阶段核心归类 计算线段、角的常见应用
(2)根据(1)中计算过程和结果，设AB＝a，BC＝b，且a＞ b，其他条件都不变，你能猜出MN的长度吗？(直接写 出结果)
解：MN＝12(a＋b)或 MN＝12(a－b)．
10．如图，已知OE是∠AOC的平分线，∠AOE＝59°35′， ∠AOB＝∠COD＝16°17′22″.
(1)求∠BOC的度数；
7．直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB 的中点.
(1)如图，若点P在线段AB上，且AB＝14，AP＝8， 求线段MN的长度；
解：MN＝PM＋PN＝12AP＋12PB＝ 12(PA＋PB)＝12AB＝7.
(2)若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P 在直线AB上的位置无关．
②当 OD 靠近 OC 时，如图②， 因为 OD 为∠AOC 的三等分线， 所以∠COD＝13∠AOC＝12°. 综上，∠COD 的度数为 12°或 24°.
12．如图，∠AOB＝90°，ON是∠AOC的平分线，OM是 ∠BOC的平分线，求∠MON的大小．
解：因为 ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线， 所以∠NOC＝12∠AOC，∠MOC＝12∠BOC， 所以∠MON＝∠NOC－∠MOC＝12∠AOC－12∠BOC＝ 12(∠AOC－∠BOC)＝12∠AOB＝12×90°＝45°.
如图③，设∠BOC＝x°， 则∠AOC＝35x°，由 x＋35x＝80， 解得 x＝50，所以∠AOC＝30°.
如图④，设∠BOC＝y°， 则∠AOC＝35y°， 由 y＋35y＋80＝360，解得 y＝175. 所以∠AOC＝105°.
综上，∠AOC 的度数为 30°或 105°.
3．已知M，N为线段AB上的点(AM＜AN)，若AM：MN＝ 5：2，NB－AM＝12，AB＝24，求BM的长．
人教版七年级数学上册 第四单元 角 复习讲义
21．学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是 A、B、C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西 25
方向，那么平面图上的∠CAB 等于（ ）．
A．115
B．155
C． 25
D． 65
22．如图 12，AB、CD 相交于点 O，OB 平分∠DOE，若∠DOE＝60°，则∠AOC 的度数是
①15 的角；② 65 的角；③ 75 的角；④135 的角；⑤145 的角．
A．①③④
B．①③⑤
C．①②④
D．②④⑤
能用一副三角板画出来的角都是______的倍数．
16．时钟在 4 点整时，时针与分针的夹角为
度．
17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1 比∠2 大 40°，
则∠2 的度数是（ ）．
求∠2 和∠3 的度数．
E
D
A
2
B
3 O1
CFΒιβλιοθήκη 11．如图，从∠AOB 内部引出一条射线 OC，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC，若∠AOB＝80°，求∠DOE 的度 数．
12．如图，BD 平分∠ABC，BE 分∠ABC 为 2 : 5 两部分，∠DBE＝21°，求∠ABC 的度数．
D
C
E
A
B
两步一回头
D．140
同一个角的补角与余角的联系
同一个角的补角比它的余角大________． 8．一个角的补角加上10 后，等于这个角的余角的 5 倍，求这个角的度数．
9．两个角的大小之比是 7 : 3 ，他们的差是 72°，求这两个角的度数．
重点题型 2
【角度计算】
10．如图所示，直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，
最新部编版人教初中数学七年级上册《第4章：截面与三视图 热点专题高分特训及答案》精品优秀测试题
前言：该热点专题高分特训由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。
以高质量的热点专题高分特训助力考生查漏补缺，在原有基础上更进一步。
（最新精品热点专题高分特训）学生做题前请先回答以下问题问题1：举出一个几何体，使得从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状都一样，你能举出几种？问题2：观察一个几何体的形状通常从三个方向看，从正面看（主视图），从左面看（左视图），从上面看（俯视图），从正面看可以看到几何体的________和________；从左面看可以看到几何体的________和________；从上面看可以看到几何体的________和________．问题3：在利用三视图确定小木块个数时，数字一般标在________图上．截面与三视图（人教版）一、单选题(共16道，每道6分)1.用一个平面去截五棱柱，则截面不可能是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.圆答案：D解题思路：五棱柱的面均为平面，面面相交得直线，而不可能成为曲线，圆是由曲线构成的，所以五棱柱的截面不可能是圆．故选D．试题难度：三颗星知识点：几何体的截面2.用一个平面去截如图所示的圆锥，得到的图形不可能是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如果用平面去截圆锥，平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个等腰三角形；如果不过顶点，且平面与底面平行，那么得到的截面就是一个圆；如果不与底面平行且与底面相交，得到就是选项A中的图形；不可能是C中的直角三角形．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何体的截面3.用一个平面去截下面的几何体，所得截面是三角形，则这个几何体不可能为( )。
人教版七年级数学上册热点专题高分特训：第4章：中点及角平分线
学生做题前请先回答以下问题问题1：线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________．问题2：从一个角的顶点引出一条_________，把这个角分成两个_________的角，这条射线叫做这个角的平分线．问题3：如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是__________________________________________________________________．（1）若已知AC=3，求BC，则用哪一种表示方法：_____________．（2）若已知AC=3，求AB，则用哪一种表示方法：_____________．（3）若已知AB=6，求AC，则用哪一种表示方法：_____________．问题4：如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是_______________________________________________________________．（1）若已知∠BOC=35°，求∠AOB，则用哪一种表示方法：_____________．（2）若已知∠BOC=35°，求∠AOC，则用哪一种表示方法：_____________．（3）若已知∠AOB=70°，求∠BOC，则用哪一种表示方法：_____________．中点及角平分线（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列关于中点的说法，正确的是( )A.如果MA=MB，那么点M是线段AB的中点B.如果MA=AB，那么点M是线段AB的中点C.如果AB=2AM，那么点M是线段AB的中点D.如果点M是线段AB上一点，并且MA=MB，那么点M是线段AB的中点答案：D解题思路：A，B，C选项均未强调点A，B，M位于同一直线上．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的定义与表示2.点P在∠AOB内部，下面四个等式：①∠POA=∠BOP；②∠AOP=∠AOB；③∠AOP=∠BOP；④∠AOB=2∠BOP，其中能表示OP是∠AOB的平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：由角平分线的6种表示可知，正确的有：①②④．故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线的定义及表示3.如图所示，长度为12cm的线段AB的中点为点M，点C将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长4.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是( )。
初一数学上册(人教版)第四章 几何图形初步4.3 知识点总结含同步练习及答案
已知 ∠A = 37∘ ，则 ∠A 的余角等于（
）
A. 37∘
B. 63∘
C. 143∘
D. 53∘
解：D．
如图，将一副三角尺的直角顶点重合后叠放在一起，若 ∠1 = 40∘ ，则 ∠2 的度数为（ ）
A. 60∘ 解：C．
B. 50∘
同角的余角相等．
C. 40∘
D. 30∘
下列关于角的说法，正确的有（ ）
分析：根据角平分线的定义求得 ∠COB + ∠DOC = 70∘，由已知条件和图示求得
∠AOB = ∠BOC = 40∘．
解：因为 OB 是 ∠AOC 的平分线，OD 是 ∠COE 的平分线，
所以 ∠COB + ∠DOC = 又因为 ∠COD = 30∘ ，
1 2
∠AOE =
1 2
× 140∘
= 70∘．
所以 ∠AOB = ∠BOC = 40∘．
已知一个角的补角比这个角的余角的 3 倍大 10∘ ，求这个角的度数 解：设这个角是 x，则
(180∘ − x) − 3(90∘ − x) = 10∘ .
解得
所以这个角的度数 50∘ ．
x = 50∘ .
四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学） 1. 如图所示，用两种方法表示同一角的是 ( )
① 角是由两条有公共端点的两条射线组成的图形，故原命题错误；
② 角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故原命题正确； ③ 角的边是射线，无需延长，故在角的一边的延长线上取一点 D 说法错误；
④ 角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，正确；
⑤ 把一个角放到一个放大 10 倍的放大镜下观看，角的度数不变，故原命题错误， 故正确的有两个．
人教版七年级数学上册热点：第4章：线与角
学生做题前请先回答以下问题问题1：请写出关于直线和线段的两个基本事实：①____________________________；②____________________________．问题2：（1）角可以分为______、______、______、______和______．（2）平角是_______度，周角是______度，直角是_______度，______________是锐角，_________________是钝角．问题3：度分秒的换算：1°=______′；1′=_______″．问题4：比较线段长短的方法和比较角大小的方法是：______________、______________．问题5：请用四种方式表示下面的角：_________________________．线与角（人教版）一、单选题(共14道，每道7分)1.下列说法正确的是( )A.直线AB和直线BA是两条直线B.射线AB和射线BA是两条射线C.线段AB和线段BA是两条线段D.直线AB和直线a不能是同一条直线答案：B解题思路：A：直线没有方向，所以直线AB和直线BA是同一条直线，A选项错误；B：射线有方向，射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，所以射线AB和射线BA是两条射线，B选项正确；C：线段无方向，所以线段AB和线段BA是同一条线段，C选项错误；D：直线AB和直线a可以是同一条直线的两种表示方式，D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线2.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③平角是一条直线；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：角的定义：有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的，所以①错误，④正确；角的两边是射线，射线无法度量，所以角的度数与边长无关，所以②错误；根据角的定义，角要有顶点和边，直线没有端点，所以③错误．综上，正确的有1个．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的定义与分类3.一条直线上有4个点，那么( )A.它有6条线段，4条射线B.它有6条线段，8条射线C.它有3条线段，8条射线D.它有4条线段，2条射线答案：B解题思路：根据题意，首先画图：直线上有4个点，以A为端点的线段有：AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段有：BC、BD共2条；以C为端点的线段有：CD共1条；所以线段有3+2+1=6条线段；以每个点为端点的射线有2条，则共有8条射线．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线4.往返于郑州和某市之间的某高速客车，在途中共有两个停车点，那么该客车应该准备( )种车票．A.4B.6C.8D.12答案：D解题思路：根据题意，可以用点A表示郑州，用点D表示某市，点B，C表示途经的两个停车点，如下图：要求票的种类，首先要求出线段的条数，因为车票有往返两种，所以再乘2即可．由图可知，图中有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条线段，所以，该客车应该准备6×2=12种车票．故选D．试题难度：三颗星知识点：求线段的个数5.如图所示，由A到B有①、②、③、④四条路线，最短的线路选②的理由是( )A.因为它是直线B.两点确定一条直线C.两点间距离的定义D.两点之间，线段最短答案：D解题思路：因为A，B两点是确定的，由“两点之间，线段最短”，可知最短的线路为②．故选D．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短6.值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是( )A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.两点之间，线段最短D.以上说法都不对答案：A解题思路：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，两点确定一条直线，那么沿着这条直线摆放课桌，课桌都在这一条直线上，就会整整齐齐的．故选A．试题难度：三颗星知识点：两点确定一条直线7.下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )A.①②B.①③C.②④D.③④答案：C解题思路：①③是利用“两点确定一条直线”，②④是利用“两点之间，线段最短”．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短8.下列选项正确的是( )A.延长直线ABB.反向延长射线AB到点C，使AC=aC.延长射线OAD.以上说法都不对答案：B解题思路：直线可以向两边无限延伸，射线可以向一个方向无限延伸，所以不能说延长直线或射线，但可以反向延长射线，故A，C选项错误，B选项正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线9.如图1，已知三点A，B，C，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是( )A.作射线CAB.作直线ABC.连接BCD.取线段BC的中点D，连接AD答案：A解题思路：射线只有一个端点，并且有方向，从图中可以看出是作射线AC，所以A选项错误．故选A．试题难度：三颗星知识点：几何作图10.下列图形中所标出的角可用∠O来表示的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：角的表示：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以只有B选项可用∠O来表示．故选B．试题难度：三颗星知识点：角的表示11.如图，下列说法中：①∠BAC，∠A，∠EAD表示同一个角；②∠DBC与∠CBD表示同一个角；③∠AED 与∠DEC表示同一个角；④∠AED也可表示为∠E．正确的说法有( )A.①②B.③④C.①②④D.①②③④答案：A解题思路：根据角的表示，结合图形，只有①②说法正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的表示12.如图，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是( )A.∠COD＞∠AOBB.∠AOB＞∠CODC.∠COD=∠AOBD.∠AOB与∠COD的大小关系无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较13.下列等式成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：进行度、分、秒的换算，，则．选项A：所以A选项错误；选项B：所以B选项正确；选项C：所以C选项错误；选项D：所以D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：度分秒的换算14.若，，，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α=∠β的图形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2．在直线l 上有A 、B 、C 三点，AB=5cm,BC=2cm,则线段AC 的长度为（ ）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．以上答案都不对3．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A ．B ．C 分别填上适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A ．B ．C 的三个数依次为（ ）A.1，﹣2，0B.0，﹣2，1C.﹣2，0，1D.﹣2，1，04．按如图所示的运算程序,能使输出的结果为12的是（ ）A.3,3x y ==B.4,2x y =-=-C.2,4x y ==D.4,2x y ==5．已知某种商品的原出售价为204元，即使促销降价20%仍有20%的利润，则该商品的进货价为（ ）A ．136元B ．135元C ．134元D ．133元6．如图所示,a 、b 是有理数，则式子a b a b b a ++++-化简的结果为（ ）A.3a ＋bB.3a －bC.3b ＋aD.3b －a7．某县正在开展“拆临拆违”工作，某街道产生了m 立方米的“拆临拆违”垃圾需要清理，一个工程队承包了清理工作，计划每天清理80立方米，考虑到还有其它地方的垃圾需要清理，该工程队决定增加人手以提高50%的清理效率，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了（ ） A.240m 天 B.250m 天 C.260m 天 D.270m 天8．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由5个圆组成，第3个图由11个圆组成，……按照这样的规律排列下去，则第6个图形由( )个圆组成A ．39B ．40C ．41D ．429．若关于x 的方程230m mx m --+=是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）A.0x =B.3x =C.3x =-D.2x =10的相反数是（ ）B. C.2 D.﹣211．2018年1月12日，东明县白天的最高气温2℃，到了夜间气温最低时﹣9℃，则这天的温差为（ ）A ．11℃B ．2℃C ．7℃D ．18℃12．在下面的四个有理数中，最小的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．﹣2二、填空题13．如图，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点，若AB ＝10，AC ＝6，则CD=______；14．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+3y 的值为____．15．某商品进价100元，提价30%后再打九折卖出，则可获利______元．16．如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正八边形“扩展”而来的多边形的边数为______．17．某水果店进了一批葡萄，按50%利润定价.当售出这批葡萄重量的70%以后，决定降价售出，剩下的葡萄按定价的8折出售，在此过程中有5%的葡萄因各种原因损失.这批葡萄全部售完后的利润率是______．18．式子|m ﹣3|+6的值随着m 的变化而变化，当m= 时，|m ﹣3|+6有最小值，最小值是 ．19．互联“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为_____元．20．计算：﹣3+（﹣4）=________三、解答题21．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，OF平分∠BOE，垂足为O．（1）直接写出图中所有与∠BOC互补的角；（2）若∠BOE=110°，求∠AOC的度数．22．第16届亚运会将于2010年11月12日至27日在中国广州进行，广州是中国第二个取得亚运会主办权的城市。
人教版七年级数学上册第四章知识点总结及阶梯练习优秀版
人教版七年级数学上册第四章知识点总结及阶梯练习优秀版人教版七年级数学上册第四章知识点总结第四章图形的初步认识1、几何体也简称为体，包围体的是面，面面相交为线，线线相交为点；点动成线，线动成面，面动成体，几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
2、线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；线段可以度量，直线、射线不能度量。
3、直线、线段性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线；或者说两点确定一条直线；两点之间，线段最短。
4、角的意义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
角的大小的比较：（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；（2）度量法。
角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线二、基础知识巩固1、如图所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。
（1）（2）（3）2、（1）过一个已知点的直线有多少条？答：（2）过两个已知点的直线有多少条？答：（3）过三个已知点的直线有多少条？答：（4）经过平面上三点A，B，C中的每两点可以画多少条直线？请画出图来。
（5）根据（4）的结论，猜想经过平面上四点A，B，C，D中的任意两点画直线，会有什么样的结果？如果不能画，请简要说明理由；如果能画，请画出图来。
3、（1）计算：①27°42′30″＋1070′；②63°36′°。
°。
（3）用度表示50°7′30″。
4、小明从A点出发，向北偏西33°方向走33 m到B点，小林从A点出发，向北偏东20°方向走了6.6 m到C点，试画图确定A，B，C三点的位置（1cm表示3m），并从图上求出点B，C的实际距离。
5、已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，CD=2．5厘米，请你求出线段AB、AC、AD、BD的长各为多少？6、如图，经过直线a外一点p的４条直线中，与直线a平行的直线有___,共有__条．∠A与∠C__________．7、如图，如果AB∥CD，那么8、如图中几何体的展开图形是（）A B C D9、如图是某些几何体的表面展开图，则这些几何体分别是 图1： 图2： 图3：10、若要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上 两个数之和为6，x=_ ___，y=______.11、俯视图为圆的立体图形可能是________或___________。
人教版七年级数学上册第四章 4. 角
看作由一条 射 线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角可以用一个 数字 表示,如∠1,∠2等.也可用一个小写
希腊字母
表示,如∠α,∠β,∠γ等.若用一个大写英文字母表
示角,则必须在顶点处只有 一 个角时才能用.若用三个大写英
文字母表示任意一个角,则角的顶点的字母必须写在 中间 ,
பைடு நூலகம்
角的两边上各任取一点.
1
2
2.角度的计算 【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示;
(2)将26°48'36″用度表示.
分析:(1)70.23°实际是70°+0.23°,这里70°不要变,只要先将0.23°化 为分,再把所得的分中的小数部分化为秒.将0.23°化为分,只要用 0.23乘60'即可.
(2)将26°48'36″用度表示,应先将36″化成分,再将分化成度就可 以了.将36″化成分,可以用 1'乘以36.
3.1周角= 2 平角= 4 直角,1周角= 360°,1平角
= 180° ,1直角= 90° .
知识梳理 预习自测
1.下图中表示∠ABC的是( )
-5-
12345
关闭
C
答案
-6-
知识梳理 预习自测
12345
2.下列关于角的说法正确的个数是( ) ①由两条射线组成的图形一定是角;②角的边越长,角越大;③角可 以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.0 B.1 C.2 D.3
关闭
B
答案
知识梳理 预习自测
3.在钟表上,时针1 h转
度的角.
-7-
12345
关闭
30
答案
知识梳理 预习自测
人教版七年级数学上册第四章 专题训练(十) 角的计算中的数学思想及动点问题 作业练习题
(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°. ①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的 某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请直接写出所有满 足题意的t的取值；若不存在，请说明理由； ②在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时(如图③)，求∠AOC－ ∠BOE的度数．
②因为∠AOC＝∠COE－∠AOE＝140°－∠AOE，∠BOE＝90°－ ∠ AOE， 所 以 ∠ AOC－ ∠ BOE＝ (140° － ∠ AOE)－(90°－∠ AOE)＝ 50°，所以∠AOC－∠BOE的度数为50°
类型三 整体思想 4．如图，已知∠AOB＝110°，OD为∠AOB内一条射线， OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
解：因为 OE 平分∠AOD，OF 平分∠BOD，所以∠EOD＝12 ∠AOD， ∠DOF＝12 ∠DOB，所以∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝12 ∠AOD＋12 ∠DOB ＝12 (∠AOD＋∠DOB)＝12 ∠AOB＝12 ×110°＝55°
5．如图，OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平 分∠COD，∠MON＝80°.
(1)若∠BOC＝40°，求∠AOD的度数； (2)若∠AOD＝x°，求∠BOC的度数(用含x的式子表示)
解 ：(1)因为∠ MON－ ∠BOC＝ ∠ BOM＋∠ CON， ∠ BOC＝40°， ∠MON＝80°，所以∠BOM＋∠CON＝80°－40°＝40°，因为OM平 分∠AOB，ON平分∠COD，所以∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON， 所以∠AOM＋∠DON＝40°，所以∠AOD＝∠MON＋∠AOM＋∠DON ＝80°＋40°＝120°
解 ： (1)∠BOC ＝ ∠ BOE ， 理 由 ： 因 为 ∠ AOB ＝ 90° ， 所 以 ∠ BOC ＋ ∠ AOC＝ 90° ， ∠ AOD ＋ ∠ BOE＝ 90° ， 因 为 OA平 分 ∠ COD ， 所 以 ∠AOD＝∠AOC，所以∠BOC＝∠BOE
七年级数学上册第四章知识点及练习题
七年级数学上册第四章知识点及练习题知识梳理一、线段、射线、直线1、线段、射线、直线的定义（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。
线段可以量出长度。
（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,射线有一个端点。
射线无法量出长度。
（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线,直线没有端点。
直线无法量出长度。
结论：直线、射线、线段之间的区别：联系：射线是直线的一部分。
线段是射线的一部分,也是直线的一部分2、线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示。
（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示,端点要写在前面。
（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示。
3、直线公理：过两点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
4、线段的比较（1）叠合比较法；（2）度量比较法。
5、线段公理：“两点之间,线段最短”。
连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
6、线段的中点：如果线段上有一点,把线段分成相等的两条线段,这个点叫这条线段的中点。
若C 是线段AB 的中点,则：AC=BC=21AB 或AB=2AC=2BC 。
例题：1、如果线段AB=5cm,BC= 3cm,那么A 、C 两点间的距离是（ ）A ．8 cmB 、2㎝C ．4 cmD ．不能确定解：D 点拨：A 、B 、C 三点位置不确定,可能共线,也可能不共线．2、已知线段AB=20㎝,C 为 AB 中点,D 为CB 上一点,E 为DB 的中点,且EB=3 ㎝,则CD= ________cm ．解：4 点拨：由题意,BC=0.5AB=10cm,DB=2 EB=6cm,则CD=BC －DB ＝10－6=4（cm ）3、平面上有三个点,可以确定直线的条数是（ ）A 、1B ．2C ．3D ．1或 3二、角1、角的概念：（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
2021-2022学年人教版七年级上册数学第四章线段射线直线高频考点汇总
A．12 条
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．10 条
C．8 条
D．3 条
6．（2021·绵阳市七年级课时练习）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：
（1）在同一平面内，两条直线相交最多有 1 个交点，3 条直线相交最多有______个交点，4 条直线相交最
多有______个交点，……，像这样，8 条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点：
（）
A．6
B．5
C．4
D．3
3．（2021·安徽包河区·七年级期末）若四条直线在平面内交点的个数为 a ，则 a 的可能取值有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
4．（2021·贵州德江县·七年级期末）如图中的直线表示方法中，正确的是（
）．
A．①
B．②
C．③
D．④
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5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直 线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有 （）
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成 ：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线 ．（4）两 条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图 3 所示，点 A 在直线 m 上，也可以说：直线 m 经过点 A． （2）点在直线外，如图 4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线 n 不经过点 B．
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1．（2021·广西宜州区·）同一平面上 A 、 B 两点间的距离是指（ ）
人教版数学七年级上册 第四章 分类思想巧解线段和角的计算型问题
人教版数学七年级上册第四章分类思想巧解线段和角的计算型问题计算线段的长度，角的大小，是基本平面图形中的一种题型，当我们遇到线段的端点位置不确定时，角的一边的位置不确定时，解答时，就需要利用分类的思想加以解决，下面就和同学们谈谈这个话题.一、根据有一个公共端点的两条线段的长度，探求非公共端点构成线段的长度例1 点A,B,C是直线a上的三点，且AB=10,AC=6, 求：BC的长度.分析：解答时，我们的基本思路是：1、固定一条线段，就等于固定了两个端点；2、确定重合的端点；3、非重合的两个端点在重合端点同侧，计算线段的长度；4、非重合的两个端点在重合端点异侧，计算线段的长度；5、综合上述，得出最后的结论.解：AB与AC重合的端点是点A，当点B,C在点A的同侧时，如图1所示，因为AB=AC+BC，所以BC=AB-AC=10-6=4；当点B,C在点A的异侧时，如图2所示，因为BC=AC+AB，所以BC=AB+AC=10+6=16，所以线段BC的长为4或16.点评：此题可以引申为一般性结论：点A,B,C是直线a上的三点，且AB=a,AC=b, (a＞b)，则BC的长度为a-b或a+b.二、根据有一个公共端点的两条线段的长度，探求线段中点构成线段的长度例2 在一条直线上任意取一点A,截取 AB=12cm,再截取AC=38cm, 点D是AB的中点，点E是AC的中点，求：D,E之间的距离.分析：解答时，我们的基本思路是：1、固定一条线段，就等于固定了两个端点；2、确定重合的端点；3、非重合的两个端点在重合端点同侧，计算线段的长度；4、非重合的两个端点在重合端点异侧，计算线段的长度；5、综合上述，得出最后的结论.解：AB与AC重合的端点是点A，当点B,C在点A的同侧时，如图3所示，因为点D是AB的中点，所以AD=BD=1/2AB；因为点E是AC的中点，所以AE=1/2AC,因为DE=AE-AD,所以DE=1/2AC-1/2AB=1/2(AC-AB)，因为AB=12,AC=38,所以DE=1/2(38-12)=13(cm)；当点B,C在点A的异侧时，如图4所示，因为点D是AB的中点，所以AD=BD=1/2AB；因为点E是AC的中点，所以AE=1/2AC,因为DE=AE+AD,所以DE=1/2AC+1/2AB=1/2(AC+AB)，因为AB=12,AC=38,所以DE=1/2(38+12)=25(cm)；所以线段DE的长为13cm或25cm.点评：此题可以引申为一般性结论：在一条直线上任意取一点A,截取 AB=b,再截取AC=a, 点D是AB的中点，点E是AC的中点，则D,E之间的距离为1/2(a-b)或 1/2(a+b).三、根据两角有公共的顶点，有一条公共边，探求角的度数例3 已知∠AOB=60°，∠COB=45°，则∠AOC的度数为（）A. 15°B. 105°C. 15°或105°D. 75°或105°分析：这两个角具有如下的特点：一是它们的顶点相同，二是它们有一条公共的边，现在亟待解决的问题是不知道这两个角是在公共边的同侧还是异侧，这种不确定性，就提醒我们在解答时，要分两角在公共边的同侧和两角在公共边的异侧两种情形加以求解，否则，就会漏解.解：当两角在公共边的同侧时，∠AOC表示是∠AOB与∠COB的差，所以∠AOC=∠AOB-∠COB =60°-45°=15°；当两角在公共边的异侧时，∠AOC表示是∠AOB与∠COB的和，所以∠AOC=∠AOB+∠COB=60°+45°=105°；综上所述，∠AOC的度数为15°或105°，所以选C.点评：公共顶点，有一条公共边的两个角，求非共边构成的角的度数时，要分两角在公共边的同侧和两角在公共边的异侧两种情形加以求解，千万不要漏解.此题可以引申如下结论：如果∠AOB=α，∠COB=β，且α＞β，则∠AOC的度数为（α+β）或（α-β）.四、根据两角有公共的顶点，有一条公共边，引入角的平分线，探求两角的平分线构成的角的度数例4 已知∠AOC=120°∠BOC=20°,OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，求∠DOE的度数.分析：利用分类的思想，画出符合题意的图形，是解题的关键.解答时，分∠BOC在∠AOC 的内部和外部两种情形加以求解，否则，就会漏解.解：当∠BOC在∠AOC的外部时，如图5，因为OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠BOC=2∠EOC，∠AOC =2∠DOC，因为∠AOC+∠BOC=120°+20°=140°，所以2∠EOC+2∠DOC=140°，所以∠EOC+∠DOC=70°，因为∠DOE=∠EOC+∠DOC，所以∠DOE=70°；当∠BOC在∠AOC的内部时，如图6，因为OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠COD=1/2∠AOC，∠EOC =1/2∠BOC，因为∠DOE=∠COD-∠EOC，所以∠DOE=1/2∠AOC-1/2∠BOC=1/2(∠AOC-∠BOC)= 1/2(120°-20°)=50°,所以∠DOE的度数为50°或70°.点评：此题可以引申如下的结论：如果∠AOC=α∠BOC=β°,OD是∠AOC的平分线， OE是∠BOC 的平分线，且α＞β，则∠DOE的度数为（α+β）/2或（α-β）/2.五、根据两角有公共的顶点，有一条公共边，引入角的平分线，探求两角的平分线构成的角的度数例5 已知∠AOC=120°∠BOC=20°,OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，求∠DOE的度数.分析：利用分类的思想，画出符合题意的图形，是解题的关键.解答时，分∠BOC在∠AOB 的内部和外部两种情形加以求解，否则，就会漏解.解：当∠BOC在∠AOC的外部时，如图7，因为OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠BOD=1/2∠AOB，∠EOB =1/2∠BOC，因为∠DOE=∠BOD-∠EOB，所以∠DOE=1/2∠AOB-1/2∠BOC=1/2(∠AOB-∠BOC)= 1/2(140°-20°)=60°；当∠BOC在∠AOC的内部时，如图8，因为OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，所以∠BOD=1/2∠AOB，∠EOB =1/2∠BOC，因为∠DOE=∠BOD+∠EOB，所以∠DOE=1/2∠AOB+1/2∠BOC=1/2(∠AOB+∠BOC)= 1/2(100°+20°)=60°；所以∠DOE的度数为60°.点评：此题可以引申如下的结论：如果∠AOC=α∠BOC=β°,OD是∠AOB的平分线， OE是∠BOC 的平分线，且α＞β，则∠DOE的度数为α/2.。
人教版七年级数学上册热点：第4章：线与角(附模拟试卷含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：请写出关于直线和线段的两个基本事实：①____________________________；②____________________________．问题2：（1）角可以分为______、______、______、______和______．（2）平角是_______度，周角是______度，直角是_______度，______________是锐角，_________________是钝角．问题3：度分秒的换算：1°=______′；1′=_______″．问题4：比较线段长短的方法和比较角大小的方法是：______________、______________．问题5：请用四种方式表示下面的角：_________________________．线与角（人教版）一、单选题(共14道，每道7分)1.下列说法正确的是( )A.直线AB和直线BA是两条直线B.射线AB和射线BA是两条射线C.线段AB和线段BA是两条线段D.直线AB和直线a不能是同一条直线答案：B解题思路：A：直线没有方向，所以直线AB和直线BA是同一条直线，A选项错误；B：射线有方向，射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，所以射线AB和射线BA是两条射线，B选项正确；C：线段无方向，所以线段AB和线段BA是同一条线段，C选项错误；D：直线AB和直线a可以是同一条直线的两种表示方式，D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线2.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③平角是一条直线；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：角的定义：有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的，所以①错误，④正确；角的两边是射线，射线无法度量，所以角的度数与边长无关，所以②错误；根据角的定义，角要有顶点和边，直线没有端点，所以③错误．综上，正确的有1个．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的定义与分类3.一条直线上有4个点，那么( )A.它有6条线段，4条射线B.它有6条线段，8条射线C.它有3条线段，8条射线D.它有4条线段，2条射线答案：B解题思路：根据题意，首先画图：直线上有4个点，以A为端点的线段有：AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段有：BC、BD共2条；以C为端点的线段有：CD共1条；所以线段有3+2+1=6条线段；以每个点为端点的射线有2条，则共有8条射线．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线4.往返于郑州和某市之间的某高速客车，在途中共有两个停车点，那么该客车应该准备( )种车票．A.4B.6C.8D.12答案：D解题思路：根据题意，可以用点A表示郑州，用点D表示某市，点B，C表示途经的两个停车点，如下图：要求票的种类，首先要求出线段的条数，因为车票有往返两种，所以再乘2即可．由图可知，图中有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条线段，所以，该客车应该准备6×2=12种车票．故选D．试题难度：三颗星知识点：求线段的个数5.如图所示，由A到B有①、②、③、④四条路线，最短的线路选②的理由是( )A.因为它是直线B.两点确定一条直线C.两点间距离的定义D.两点之间，线段最短答案：D解题思路：因为A，B两点是确定的，由“两点之间，线段最短”，可知最短的线路为②．故选D．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短6.值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是( )A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.两点之间，线段最短D.以上说法都不对答案：A解题思路：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，两点确定一条直线，那么沿着这条直线摆放课桌，课桌都在这一条直线上，就会整整齐齐的．故选A．试题难度：三颗星知识点：两点确定一条直线7.下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )A.①②B.①③C.②④D.③④答案：C解题思路：①③是利用“两点确定一条直线”，②④是利用“两点之间，线段最短”．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短8.下列选项正确的是( )A.延长直线ABB.反向延长射线AB到点C，使AC=aC.延长射线OAD.以上说法都不对答案：B解题思路：直线可以向两边无限延伸，射线可以向一个方向无限延伸，所以不能说延长直线或射线，但可以反向延长射线，故A，C选项错误，B选项正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线9.如图1，已知三点A，B，C，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是( )A.作射线CAB.作直线ABC.连接BCD.取线段BC的中点D，连接AD答案：A解题思路：射线只有一个端点，并且有方向，从图中可以看出是作射线AC，所以A选项错误．故选A．试题难度：三颗星知识点：几何作图10.下列图形中所标出的角可用∠O来表示的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：角的表示：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以只有B选项可用∠O来表示．故选B．试题难度：三颗星知识点：角的表示11.如图，下列说法中：①∠BAC，∠A，∠EAD表示同一个角；②∠DBC与∠CBD表示同一个角；③∠AED 与∠DEC表示同一个角；④∠AED也可表示为∠E．正确的说法有( )A.①②B.③④C.①②④D.①②③④答案：A解题思路：根据角的表示，结合图形，只有①②说法正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的表示12.如图，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是( )A.∠COD＞∠AOBB.∠AOB＞∠CODC.∠COD=∠AOBD.∠AOB与∠COD的大小关系无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较13.下列等式成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：进行度、分、秒的换算，，则．选项A：所以A选项错误；选项B：所以B选项正确；选项C：所以C选项错误；选项D：所以D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：度分秒的换算14.若，，，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．下列关于角的说法正确的个数是：（ ）①由两条射线组成的图形一定是角 ②角的边长，角越大 ③在角的一边的延长线取一点D ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形A ．1B ．2C ．3D ．42．下列各图中，经过折叠能围成一个正方体的是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，平行河岸两侧各有一城镇P ，Q ，根据发展规划，要修建一条公路连接P ，Q 两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）A ．B ．C ．D ．4．如果方程2x+1＝3和203a x --=的解相同，则a 的值为（ ） A.7 B.5 C.3 D.05．有m 辆客车及n 个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则还多出2个座位．有下列四个等式：①4010432m m +=-；②1024043n n +-=；③1024043n n -+=；④4010432m m -=+．其中正确的是（ ）．A.①②②B.②④C.①③D.③④ 6．下列计算正确的是（ ）A ．3x 2﹣x 2＝3B ．﹣3a 2﹣2a 2＝﹣a 2C ．3（a ﹣1）＝3a ﹣1D ．﹣2（x+1）＝﹣2x ﹣27．下列计算正确的是（ ）A ．a 5+a 2＝a 7B ．2a 2﹣a 2＝2C ．a 3•a 2＝a 6D ．（a 2）3＝a 68．当x=4时，式子5(x ＋b)－10与bx ＋4的值相等，则b 的值为（ ）.A.-7B.-6C.6D.79．若-2a m b 4与5a n+2b 2m+n 可以合并成一项，则m n 的值是（ ）A.0B.1-C.1D.210．-（–5）的绝对值是（ ）A.5B.-5C.15D.15- 11．若a≠0，则a a +1的值为( ) A ．2 B ．0 C ．±1 D ．0或212．有理数a 、b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A.0a b +<B.0a b +>C.0ab >D.a b＞0 二、填空题13．如图是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“社”在相对面上的字是_____．14．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，30A ︒∠=，9BC =，若点P 是边AB 上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A B A →→运动，同时点Q 从B C →以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。
人教版数学七年级上册第四章第四章课题：角专题(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如如何利用角度知识设计图案等。 Nhomakorabea四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《角的专题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量角度或判断角的大小的情况？”（如用直尺和量角器量画图等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角的奥秘。
人教版数学七年级上册第四章第四章课题：角专题（教案)
一、教学内容
人教版数学七年级上册第四章《角的专题》：
1.角的定义及表示方法；
2.角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角；
3.周角与平角的关系；
4.角的度量：度、分、秒的换算；
5.两条直线相交形成的角：对顶角、邻补角；
6.角的加减运算及几何图形中角的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述角的特征、分类及度量，提升数学表达与交流能力；
2.培养学生通过观察、操作、推理等过程，发展空间观念和几何直观，提高解决实际问题的能力；
3.培养学生掌握角的换算方法，培养数感和符号意识，提高数据处理能力；
4.培养学生在解决角的加减运算及几何图形问题时，运用逻辑思维和抽象思维，发展数学建模和问题解决能力；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的分类和度量这两个重点。对于难点部分，如对顶角和邻补角的性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版七年级数学上册热点：第4章：线与角
学生做题前请先回答以下问题问题1：请写出关于直线和线段的两个基本事实：①____________________________；②____________________________．问题2：（1）角可以分为______、______、______、______和______．（2）平角是_______度，周角是______度，直角是_______度，______________是锐角，_________________是钝角．问题3：度分秒的换算：1°=______′；1′=_______″．问题4：比较线段长短的方法和比较角大小的方法是：______________、______________．问题5：请用四种方式表示下面的角：_________________________．线与角（人教版）一、单选题(共14道，每道7分)1.下列说法正确的是( )A.直线AB和直线BA是两条直线B.射线AB和射线BA是两条射线C.线段AB和线段BA是两条线段D.直线AB和直线a不能是同一条直线答案：B解题思路：A：直线没有方向，所以直线AB和直线BA是同一条直线，A选项错误；B：射线有方向，射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，所以射线AB和射线BA是两条射线，B选项正确；C：线段无方向，所以线段AB和线段BA是同一条线段，C选项错误；D：直线AB和直线a可以是同一条直线的两种表示方式，D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线2.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③平角是一条直线；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：角的定义：有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的，所以①错误，④正确；角的两边是射线，射线无法度量，所以角的度数与边长无关，所以②错误；根据角的定义，角要有顶点和边，直线没有端点，所以③错误．综上，正确的有1个．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的定义与分类3.一条直线上有4个点，那么( )A.它有6条线段，4条射线B.它有6条线段，8条射线C.它有3条线段，8条射线D.它有4条线段，2条射线答案：B解题思路：根据题意，首先画图：直线上有4个点，以A为端点的线段有：AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段有：BC、BD共2条；以C为端点的线段有：CD共1条；所以线段有3+2+1=6条线段；以每个点为端点的射线有2条，则共有8条射线．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线4.往返于郑州和某市之间的某高速客车，在途中共有两个停车点，那么该客车应该准备( )种车票．A.4B.6C.8D.12答案：D解题思路：根据题意，可以用点A表示郑州，用点D表示某市，点B，C表示途经的两个停车点，如下图：要求票的种类，首先要求出线段的条数，因为车票有往返两种，所以再乘2即可．由图可知，图中有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条线段，所以，该客车应该准备6×2=12种车票．故选D．试题难度：三颗星知识点：求线段的个数5.如图所示，由A到B有①、②、③、④四条路线，最短的线路选②的理由是( )A.因为它是直线B.两点确定一条直线C.两点间距离的定义D.两点之间，线段最短答案：D解题思路：因为A，B两点是确定的，由“两点之间，线段最短”，可知最短的线路为②．故选D．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短6.值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是( )A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.两点之间，线段最短D.以上说法都不对答案：A解题思路：把每一列最前和最后的课桌看作两个点，两点确定一条直线，那么沿着这条直线摆放课桌，课桌都在这一条直线上，就会整整齐齐的．故选A．试题难度：三颗星知识点：两点确定一条直线7.下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )A.①②B.①③C.②④D.③④答案：C解题思路：①③是利用“两点确定一条直线”，②④是利用“两点之间，线段最短”．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短8.下列选项正确的是( )A.延长直线ABB.反向延长射线AB到点C，使AC=aC.延长射线OAD.以上说法都不对答案：B解题思路：直线可以向两边无限延伸，射线可以向一个方向无限延伸，所以不能说延长直线或射线，但可以反向延长射线，故A，C选项错误，B选项正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：直线9.如图1，已知三点A，B，C，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是( )A.作射线CAB.作直线ABC.连接BCD.取线段BC的中点D，连接AD答案：A解题思路：射线只有一个端点，并且有方向，从图中可以看出是作射线AC，所以A选项错误．故选A．试题难度：三颗星知识点：几何作图10.下列图形中所标出的角可用∠O来表示的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：角的表示：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以只有B选项可用∠O来表示．故选B．试题难度：三颗星知识点：角的表示11.如图，下列说法中：①∠BAC，∠A，∠EAD表示同一个角；②∠DBC与∠CBD表示同一个角；③∠AED 与∠DEC表示同一个角；④∠AED也可表示为∠E．正确的说法有( )A.①②B.③④C.①②④D.①②③④答案：A解题思路：根据角的表示，结合图形，只有①②说法正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：角的表示12.如图，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是( )A.∠COD＞∠AOBB.∠AOB＞∠CODC.∠COD=∠AOBD.∠AOB与∠COD的大小关系无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较13.下列等式成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：进行度、分、秒的换算，，则．选项A：所以A选项错误；选项B：所以B选项正确；选项C：所以C选项错误；选项D：所以D选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：度分秒的换算14.若，，，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：角的比较2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，两块直角三角板的直顶角O重合在一起，若∠BOC=15∠AOD，则∠BOC的度数为（）A．30° B. 45° C．54° D．60°2．如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）A．B．C．D．3．如图，点A在点O的北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东20°的方向上，那么∠AOB的大小为（）A．150°B．140°C．120°D．110°4．如图，钟面上的时间是8：30，再经过t分钟，时针、分针第一次重合，则t为（）A．756B．15011C．15013D．180115．已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x﹣1,则这个多项式是（）A．﹣5x﹣1 B．5x+1 C．﹣13x﹣1 D．13x+16．若一个代数式与代数式2ab2+3ab的和为ab2+4ab-2，那么，这个代数式是（）A．3ab2+7ab-2 B．-ab2+ab-2 C．ab2-ab+2 D．ab2+ab-27．下列选项中，不是同类项的是( )A ．－1和0B ．－x 2y 和3yx 2C ．－2xy 2和2x 2yzD ．－m 2和6m 28．甲班有54人，乙班有48人，要使甲班人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班人数x ，可列方程（ ）A ．54+x=2（48﹣x ）B ．48+x=2（54﹣x ）C ．54﹣x=2×48 D．48+x=2×549．已知x 的方程2x+k=5的解为正整数，则k 所能取的正整数值为（ ）A ．1B ．1或3C ．3D ．2或310．五个有理数中有三个是负数，则这五个数的积为（ ）A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数11．2017的绝对值是（ ）A.2017B.2017-C.12017D.12017- 12．以下选项中比|﹣12|小的数是（ ） A.1B.2C.12D.-12二、填空题 13．如图，已知∠MOQ 是直角，∠QON 是锐角，OR 平分∠QON ，OP 平分∠MON ，则∠POR 的度数为_____．14．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+3y 的值为____．15．数学兴趣小组原有男生和女生相同，如果增加 6 名女生，那么女生是全组人数的23，求这个数学兴趣小组原有多少人？设数学兴趣小组原有 x 人，可得方 程_______________ .16．某商品进价100元，提价30%后再打九折卖出，则可获利______元．17．计算：()()35---=______；()225323a a b b ---=______． 18．写出3x 3y 2的一个同类项_____．19．24-+=______．20．小明家的冰箱冷冻室的温度为﹣5℃，调高4℃后的温度是_____℃．三、解答题21．已知：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，EO ⊥CD 于O ．（1）若∠AOC=36°，求∠BOE 的度数；（2）若∠BOD ：∠BOC=1：5，求∠AOE 的度数；（3）在（2）的条件下，请你过点O 画直线MN ⊥AB ，并在直线MN 上取一点F （点F 与O 不重合），然后直接写出∠EOF 的度数．22．某市出租车收费标准是：起步价为8元，3千米后每千米为2元，若某人乘坐了(3)x x >千米． ()1用含x 的代数式表示他应支付的车费．()2行驶30千米，应付车费多少钱？()3若他支付了36元，你能算出他乘坐的路程吗？23．某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中得48分，那么这个班胜了多少场？24．理解计算：如图①，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ．求∠MON 的度数；拓展探究：如图②，∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β为锐角），射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ．求∠MON 的度数；迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，如图③线段AB=m ，延长线段AB 到C ，使得BC=n ，点M ，N 分别为AC ，BC 的中点，则MN 的长为_____（直接写出结果）．25．先化简，再求值：()()()2331a a a +-+-，其中12a =． 26．计算：（1）()()()332122-⨯-+-÷（2）201813121234⎛⎫-+-+-⨯ ⎪⎝⎭（3）先化简，再求值：221131a 2a b a b 4323⎛⎫⎛⎫--+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中3a 2=，1b 2=-． 27．计算：（﹣13+56﹣38）×（﹣24）． 28．计算：（1）()2114--6031215⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭（2）()()()32201713--2-2-2-1184⨯÷⨯⨯+【参考答案】***一、选择题1．A2．A3．B4．B5．A6．A7．C8．A9．B10．D11．A12．D二、填空题13．45°14．15． SKIPIF 1 < 0解析：26(6)23xx +=+16．1717．SKIPIF 1 < 0解析：223a b +18．x3y219．220．-1三、解答题21．（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF 的度数为30°或150°．22．()1支付车费22(x +元)；(2)他应该支付62元；(3) 他乘坐的里程是17千米．23．10场24．理解计算：45MON ∠=︒；拓展探究：2MON α∠=；迁移应用：2m . 25．102a -，926．() 12-；()24-；（3）54-．27．－328．（1）-1；（2）-14 .2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．下列几何体是棱锥的是( )A. B. C.D.2．如图所示，两个直角∠AOB，∠COD有公共顶点O，下列结论：(1)∠AOC＝∠BOD；(2)∠AOC＋∠BOD＝90°；(3)若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；(4)∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.43．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A．B．C分别填上适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A．B．C的三个数依次为（）A.1，﹣2，0B.0，﹣2，1C.﹣2，0，1D.﹣2，1，04．一艘轮船航行在A、B两地之间，已知该船在静水中每小时航行12千米，轮船顺水航行需用6小时，逆水航行需用10小时，则水流速度和A、B两地间的距离分别为（）A．2千米/小时，50千米B．3千米/小时，30千米C．3千米/小时，90千米D．5千米/小时，100千米5．如图，两个面积分别为35，23的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为a，b(n>6)，则a-b的值为（）A.6B.8C.9D.12 6．下列代数式中：1x ，2x y +，213a b ，x y π-，54y x ，0，整式有（ ） 个 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个7．下列等式变形正确的是( )A.如果s ＝12ab ，那么b ＝2s aB.如果12x ＝6，那么x ＝3 C.如果x －3＝y －3，那么x －y ＝0D.如果mx ＝my ，那么x ＝y 8．﹣2的绝对值是（ ）A.2B.﹣2C.±2D.﹣|2|9．若x 1=时，3ax bx 7++式子的值为2033，则当x 1=-时，式子3ax bx 7++的值为( )A ．2018B ．2019C ．2019-D ．2018-10．下列算式中，结果正确的是（ ）A ．（﹣3）2=6B ．﹣|﹣3|=3C ．﹣32=9D ．﹣（﹣3）2=﹣911．12的相反数是（ ） A.﹣2 B.﹣12 C.12 D.212．将方程去分母，得（ ）A.B.C.D.二、填空题 13．如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角；求画n 条射线所得的角的个数 .14．上午9点钟的时候，时针和分针成直角，则下一次时针和分针成直角的时间是_____．15．一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是___元.16．若x=1是关于x 的方程2x+3m-5=0的解，则m 的值为______．17．如图是王明家的楼梯示意图，其水平距离(即AB 的长度)为(2a ＋b)米，一只蚂蚁从A 点沿着楼梯爬到C 点，共爬了(3a －b)米，则王明家楼梯的竖直高度(即BC 的长度)为________米．18．如图,用相同的小正方形按照某种规律进行摆放.根据图中小正方形的排列规律，猜想第n 个图中小正方形的个数为___________(用含n 的式子表示)19．－4的倒数是________,相反数是_______.绝对值是_________.20．a 的相反数是，则a 的倒数是___________。
部编数学七年级上册第04章重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算(解析版)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第04章重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算考点体系考点1：与线段有关的计数问题典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题：(1)试验分析：如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条.通过以上分析和总结，图1共有___________条直线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有_____________条直线；图3共有_____________条直线；(3)探索归纳：如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n 的式子表示)(4)解决问题：中职篮（CBA ）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3）(1)2n n - （4）190 【解析】（1）2；2；2；3；（2）6；10；（3）()12n n -（4）当n=20时，()12n n -=20201)1902´-=（（场）.故一共进行了190场比赛.方法或规律点拨本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．巩固练习1．（2019·河南许昌·）观察表格：1条直线0个交点平面分成（1+1）块2条直线1个交点平面分成（1+1+2）块3条直线（1+2）个交点平面分成（1+1+2+3）块4条直线（1+2+3）个交点平面分成（1+1+2+3+4）块根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（2）n 条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼．【答案】（1）10，16；（2）12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）56【解析】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；故答案为：10，16；（2）2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2＝3个交点；4条直线相交有1+2+3＝6个交点；5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+(n ﹣1)＝12n (n ﹣1)；平面被分成1+1+2+3+4+…+(n +1)＝1+12n (n +1)；故答案为：12n (n ﹣1)；1+12n (n +1)；（3）当n ＝10时，()()11111101015622++=+´´+=n n （块），故答案为：562．（2019·全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？n 条直线呢？【答案】10个交点；()12n n -个.【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点；第n 条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝()12n n -个交点．3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题．(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；(2)n 条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．【答案】(1)10,16;(2)()12n n -,[1＋()12n n +]【解析】如图，（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；（4）5条直线最多有10个交点；n 条直线最多有12n （n-1）个交点．一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n 条时比原来多了n 部分．因为n=1，a 1=1+1，n=2，a 2=a 1+2，n=3，a 3=a 2+3，n=4，a 4=a 3+4，…n=n ，a n =a n -1+n ，以上式子相加整理得，a n=1+1+2+3+…+n=1+()12n n+．当n=5时，1+()12n n+=16．4．（2019·全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价需要准备多少种车票?【答案】设定6种，准备12种车票.【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.【答案】（1）6；（2）(1)2m m-；（3）28【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；(2)()1.2m m-理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，∴2x =m +m +…+m,(m −1)个m ,(1)2m m x -\=； (3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行()881282´-=场比赛.考点2：线段作图与计算的综合题典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP 和点B ，C ，请用尺规按下列要求作图：（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，取BE 中点F ，若BD ＝6，BC ＝4，求CF 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF 的值为1【解析】解：如图所示，（1）连接AB ，并在射线AP 上截取AD ＝AB ；（2）连接BC 、BD ，并延长BC 到E ，使BE ＝BD ．（3）在（2）的基础上，∵BE ＝BD ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE ﹣BC ＝2∵F 是BE 的中点，∴BF ＝12BE ＝162´＝3∴CF ＝BC ﹣BF ＝4﹣3＝1．答：CF 的值为1．方法或规律点拨本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段AB 的长为2.8cm ．（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点C 在线段BA 的延长线上，且CA AB =；（2）在上题中，如果在线段BC 上有一点M ，且线段AM 、BM 长度之比为1:3，求线段CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）3.5cm 或1.4xcm【解析】（1）反向延长BA ，以点A 为圆心，AB 为半径作圆交BA 的延长线于点C ，则线段AC 即为所求;（2）当M 在线段AB 上时，∵ 2.8cm AB =,:1:3AM BM =，∴0.7cm AM =.∵CA AB =，∴ 3.5cm CM CA AM =+=．当M 在线段CA 上时，∵ 2.8cm AB =，:1:3AM BM =，∴ 1.4cm AM =.∵CA AB =，∴ 1.4cm CM CA AM =-=．2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a 和线段AB ，（1）延长线段AB 到C ，使BC ＝a （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB ＝5，BC ＝3，点O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长．【答案】（1）见解析；（2） OB 长为1．【解析】解：（1）如图：延长线段AB ，在AB 的延长线上截取BC ＝a ．（2）∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝8，∵点O 是线段AC 的中点，∴AO ＝CO ＝4，∴BO ＝AB ﹣AO ＝5﹣4＝1，∴OB 长为1．3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB .（1）根据下列语句顺次画图.① 延长线段AB 至C ，使BC=3AB ，② 画出线段AC 的中点D .（2）请回答：① 图中有几条线段；② 写出图中所有相等的线段.【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；② ,AB BD AD CD ==.【解析】解：(1)画出图形，如图所示.(2)①图中的线段有：AB 、BD 、DC 、AD 、BC 、AC ，共6条；②相等的线段有：AB=BD ，AD=CD.故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD ，AD=CD.4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a 和射线OA ，射线OA 上有点B ．（1）用圆规和直尺在射线OA 上作线段CD ，使点B 为CD 的中点，点C 在点B 的左边，且BC =a ．（不用写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若OB =12cm ，OC =5cm ，求线段OD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）19cm【解析】解：（1）如图所示：以B 为圆心，a 的长为半径画弧，交OA 于C 、D 两点（2）∵OB =12cm ，OC = 5cm ，∴ BC = OB -OC =12-5 =7cm ，∵ B 为CD 的中点，∴ BC =BD = 7cm ，∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm ．5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A 、B 、C 、D ．（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：①画直线AB ．②画射线DC ．③延长线段DA 至点E ，使AE AB =．(保留作图痕迹)④画一点P ，使点P 既在直线AB 上，又在线段CE 上．（2）在（1）中所画图形中，若2AB =cm ，1AD =cm ，点F 为线段DE 的中点，求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）0.5cm ．【解析】解：（1）如图，该图为所求，(2)∵AB=2cm ，AB=AE ，∴AE=2cm ，AD=1cm ，∵点F 为DE 的中点，∴EF=12DE=32cm ，∴AF=AE-EF=2-32=12cm ；∴AF=0.5cm.6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，其中AB BC ^，且12BC AB =．（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）①作射线CA ；②在线段AC 上截取CD CB =；③在线段AB 上截取AE AD =．恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点E 就称为线段AB 的“黄金分割点”．（2）阅读下面材料，并完成相关问题；黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，E 为线段AB 上一点，如果0.618AE AB =，那么点E 为线段AB 的黄金分割点．已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台MN 上的两个黄金分割点P 和Q 处，如图，则这两位主持人之间的距离PQ 约为_________米．【答案】（1）见解析；（2）7.08【解析】解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；（2）∵点Q是MN的黄金分割点，∴MQ≈0.618MN＝18.54，∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，∵点P是MN的黄金分割点，∴NP≈0.618MN＝18.54，∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米），故答案为：7.08．7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），并填空．（1）作线段AB，使得AB＝a＋b；（2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由是．【答案】（1）图见解析；（2）＞；两点之间线段最短．【解析】（1）如图所示：（2）由题意，得AC＋BC＞AB理由是两点之间线段最短.考点3：动点有关的线段问题典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求MNAB的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）13MNAB=或1．【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝13AB＝4，故答案为：4；（4）①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN ﹣AM ＝MN∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4∴13MN AB =；②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2，∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣BN ＝AB∴MN ＝AB ＝12∴1MN AB=；综上所述13MN AB =或1故答案为13MN AB =或1．方法或规律点拨本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．巩固练习1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点O 为原点，点A 对应的数为9，点B 对应的数为b ，点C 在点B 右侧，长度为2个单位的线段BC 在数轴上移动．（1）当线段BC 在O 、A 两点之间移动到某一位置时恰好满足AC OB =，求此时b 的值．（2）当线段BC 在射线AO 上沿AO 方向移动到某一位置时恰好满足12AC OB AB -=，求此时b 的值．【答案】（1）b=3.5；（2）53b =或—5【解析】解：（1）线段AC 可以表示为()92b -+，根据AC=OB ，列式()92b b -+=，解得 3.5b =；（2）当B 在O 点右侧（或O 点）时，19(2)(9)2b b b -+-=-，解得53b = ，当B 在O 点左侧时，()192()(9)2b b b -+--=-，解得5b =- ，∴b 的值为53b =或5-．2．（2021·重庆开学考试）如图，P 是线段AB 上任意一点，12AB cm =，,C D 两点分别从点,P B 开始，同时向点A 运动，且点C 的运动速度为2/cm s ，点D 的运动速度为3/cm s ，运动时间为ts ．（1）若8AP cm =．①求运动1s 后，CD 的长；②当点D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =．（2）如果2,1t CD cm ==，试探索AP 的长．【答案】（1）①3cm ；②见解析；（2）9或11【解析】解：（1）①由题可知：212,313CP cm DB cm=´==´=8,12AP cm AB cm==Q 4PB AB AP cm\=-=2433CD CP PB DB cm\=+-=+-=②8,12AP AB ==Q 4,82BP AC t\==-43DP t\=-2434CD DP CP t t t\=+=+-=-2AC CD\=（2）当2t =时，224,326CP cm DB cm=´==´=当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm=7CB CD DB cm\=+=5AC AB CB cm\=-=9AP AC CP cm\=+=当点D 在C 的左边时，如图所示：6AD AB DB cm\=-=11AP AD CD CP cm\=++=综上所述，9AP =或113．（2020·全国初一课时练习）已知A ，B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M ，N 均为数轴上的点，且OA OB <．（1）若A ，B 的位置如图所示，试化简：a b a b a b -+++-∣∣；（2）如图，若8.9a b +=，3MN =，求图中以A ，N ，O ，M ，B 这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且215MN AB =-，3a =-，若点P 为数轴上一点，且23PA AB =，试求点P 所对应的数．【答案】（1）b-a ；（2）41.6；（3）9-或3．【解析】（1）由已知得0a <，0b >．∵OA OB <，∴||||a b <，∴0a b +>，0a b -<，∴a b a b a b a b a b b a b a -+++-=--+++-=-；（2）∵8.9a b +=，∴8.9AB =，又∵3MN =，∴AN AO AM AB NO NM NB OM OB MB+++++++++()()()()AN NB AO OB AM MB AB NO OM NM=+++++++++AB AB AB AB NM NM=+++++42AB NM=+48.923=´+´41.6=；（3）∵3a =-，∴3OA =．∵M 为AB 的中点，N 为OA 的中点，∴12AM AB =，12AN OA =，∴11132222MN AM AN AB OA AB =-=-=-．又∵215MN AB =-，所以1321522AB AB -=-，解得9AB =，∴263PA AB ==．当点P 在点A 的左边时，点P 在原点的左边，9OP =，故点P 所对应的数为9-；当点P 在点A 的右边时，点P 在原点的右边，3OP =，故点P 所对应的数为3．综上，点P 所对应的数为9-或3．4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C 在线段AB 上，AC ＝6 cm ，且BC ＝4 cm ，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；(2)在(1)题中，如果AC ＝a cm ，BC ＝b cm ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，点C 在直线AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．【答案】(1)5 cm;(2)MN ＝+2a b cm.MN 的长度为线段AC ，BC 长度和的二分之一．(3)有变化．当AB 在点C同侧时，MN ＝1 cm.【解析】解：(1)∵AC =6cm ，BC =4cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，11()10522MN AC CB cm \=+=´=； (2)2a b MN +=， 直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；(3)如图，有变化，会出现两种情况：①当点C 在线段AB 上时,1()52MN AC BC cm =+=； ②当点C 在AB 或BA 的延长线上时,1()1.2MN AC BC cm =-= 5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P 是线段AB 上一点，AB =12cm ，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上），运动的时间为t .（1）当t =1时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（2）当t =2时，PD =2AC ，请求出AP 的长；（3）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC ，请求出AP 的长；（4）在（3）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ =PQ ，求PQ 的长.【答案】（1）4cm ；（2）4cm ；（3）4cm ；（4）4cm 或12cm【解析】解：(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以111PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =1(s)，所以212BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以122PC =´=(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t =2(s)，所以224BD =´=(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以PC t =(cm).因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t (s)，所以2BD t =(cm).故BD =2PC.因为PD =2AC ，BD =2PC ，所以BD +PD =2(PC +AC )，即PB =2AP .故AB =AP +PB =3AP .因为AB =12cm ，所以1112433AP AB ==´=(cm).(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故13PQ AB AP BQ AB =--=.因为AB =12cm ，所以1112433PQ AB ==´=(cm).(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②).因为AQ -BQ =PQ ，所以AQ =PQ +BQ .因为AQ =AP +PQ ，所以AP =BQ .因为13AP AB =，所以13BQ AP AB ==.故1433AQ AB BQ AB AB AB =+=+=.因为AB =12cm ，所以411233PQ AQ AP AB AB AB =-=-==(cm).综上所述，PQ 的长为4cm 或12cm.6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB 、a 、b ．（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①延长线段AB 到C ，使BC ＝a ；②反向延长线段AB 到D ，使AD ＝b ．（2）在（1）的条件下，如果AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，且点E 为CD 的中点，求线段AE 的长度．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AE ＝2cm ．【解析】（1）①如图所示，线段BC 即为所求，②如图所示，线段AD 即为所求；（2）∵AB ＝8cm ，a ＝6m ，b ＝10cm ，∴CD ＝8+6+10＝24cm ，∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝12DC ＝12cm ，∴AE ＝DE ﹣AD ＝12﹣10＝2cm ．7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点,A B ，它们的对应数分别是,a b ，其中12a =（1）在B 左侧作线段BC AB =，在B 的右侧作线段3BD AB =（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若点C 对应的数是c ，点D 对应的数是d ，且40AB =，求,c d 的值（3）在（2）的条件下，设点M 是BD 的中点，N 是数轴上一点，且4CN DN =，请直接写出MN 的长【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28或3403【解析】（1）解：如图，线段,BC BD 为所求的线段（2）因为40,,3AB BC AB AD AB===80,80AC AD \==12,128068,128092a c d =\=-=-=+=Q ；（3）分情况讨论：①点N 在线段CD 上，由（2）得CD ＝92−（−68）＝160，点B 对应的数为12−40＝−28，∴BD ＝92−（−28）＝120，∵点M 是BD 的中点，∴点M 对应的数为92−60＝32，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝15CD ＝32，∴点N 对应的数为92−32=60，∴MN ＝60−32＝28；②点N 在线段CD 的延长线上，∵CN ＝4DN ，∴DN ＝13CD ＝1603，∴点N 对应的数为92＋1603＝4363，∴MN ＝4363−32＝3403．故MN 的长为28或3403．8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从点P 、B 出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线AB 向左运动（点C 在线段AP 上，点D 在线段BP 上）．（1）若点C 、D 运动到任一时刻时，总有2PD AC =，请说明点P 在线段AB 上的位置；（2）在（1）的条件下，点Q 是直线AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求PQ AB 的值；（3）在（1）的条件下，若点C 、D 运动5秒后，恰好有12CD AB =，此时点C 停止运动，点D 继续运动（点D 在线段PB 上），点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM PN -的值不变；②MN AB 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P 在线段AB 的13处；（2）13或1；（3）结论②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.【解析】解：（1）设运动时间为t 秒，则2,PD PB t PC AP t =-=-，由2PD AC =得22()PB t AP t -=-，即2PB AP=AP PB AB +=Q ，2AP AP AB \+=，3AP AB \=，即13AP AB =所以点P 在线段AB 的13处；（2）①如图，当点Q 在线段AB 上时，由AQ BQ PQ -=可知AQ PQ BQ =+，AQ AP PQ =+Q13PQ AP AB \== 13PQ AB \=②如图，当点Q 在线段AB 的延长线上时，AQ BQ AB -=Q ，AQ BQ PQ-=AB PQ \=1PQ AB\=综合上述，PQ AB 的值为13或1；（3）②MN AB的值不变. 由点C 、D 运动5秒可得5,5210CP BD ==´=， 如图，当点M 、N 在点P 同侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \==14CM AB \= 154PM CM CP AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=-= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；如图，当点M 、N 在点P 异侧时，点C 停止运动时，12CD AB =，Q 点M 、N 分别是CD 、PD 的中点，11,22CM CD PN PD \== 14CM AB \= 154PM CP CM AB \=-=- 2103PD PB BD AB =-=-Q 121(10)5233PN AB AB \=-=- 112MN PN PM AB \=+= 当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以111212AB MN AB AB ==；所以②MN AB 的值不变正确，112MN AB =.考点4：静态图形中的角度计算与证明典例：（2020·江西东湖·期末）若a Ð的度数是b Ð的度数的k 倍，则规定a Ð是b Ð的k 倍角.（1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为；（2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB 的所有3倍角；（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.【答案】（1）106°25'；（2）∠AOD，∠BOE；（3）120°.°´=°=°；【解析】解：（1）2117'510585'10625'°.故答案为：10625'（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE；（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.∴∠BOC=4x，∵∠AOC和∠BOD互为补角，∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，即5x+7x=180°，解得：x=15°.∴∠AOD=8x=120°.方法或规律点拨此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．巩固练习1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知69AOD Ð=°，OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，()32AOB x Ð=-°，求COD Ð、AOB Ð的度数．【答案】19°，31°【解析】解：由题意得：Q OC 平分BOD Ð，()8COD x Ð=+°，\()=228BOD COD x ÐÐ=+°，又Q ()32AOB x Ð=-°，\()()283269x x +°+-°=°，解得11x =，∴()11819COD Ð=+°=°，()311231AOB Ð=´-°=°．2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB 的内部有一条射线OC ，OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ．（1）若∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，求∠MON 的度数．（2）若取掉（1）中的条件∠BOC ＝40°，只保留∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数．（3）若将∠AOB 内部的射线OC 旋转到∠AOB 的外部，如图2，∠AOB ＝120°，求∠MON 的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON 与∠AOB 的数量关系．【答案】（1）∠MON ＝60°；（2）∠MON ＝60°；（3）12MON AOB Ð=Ð．【解析】解：（1）∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝11804022AOCÐ=´°=°，11402022NOC BOCÐ=Ð=´°=°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC＝12AOCÐ，12NOC BOCÐ=Ð，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝1122AOC BOCÐ+Ð＝12AOBÐ＝11202´°＝60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝12∠AOC﹣12∠BOC＝12（∠AOC﹣∠BOC）＝12AOBÐ＝12×120°＝60°，综上可知12MON AOB Ð=Ð．3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB 的度数．【答案】120°【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上．（1）如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为°；②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为°；③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为；（2）如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为；②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为°；③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为．【答案】（1）①70；②35；③90°－α；（2）①118°30′；②135；③90°＋α【解析】解：（1）①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．（2）①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．②∵∠COD=90°，OB平分∠COD∴∠BOC=12∠COD=45°，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．5．（2020·全国初一课时练习）如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．【答案】（1）见解析；（2）72°【解析】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；【答案】（1）射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∠AOM＝45°；【解析】解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴∠NOC＝22.5°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】（1）45°；（2）∠MON=12α．（3）∠MON=12α【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=75°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=12α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°，∠NOC=12∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（12α+30°）﹣30°=12α．（3）如图3，∠MON=12α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=12（α+β），∠NOC=12∠BOC=12β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣12β=α+12β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）﹣12β=12α即∠MON=12α．8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当∠AOC＝a时，∠MON等于多少度？【答案】（21）45°；（2）45°【解析】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12×140°=70°，∠CON=12∠AOC=12×50°=25°，∴∠MON=∠COM-∠CON=70°－25°=45°；（2）当∠AOC=a时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+a，∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，∴∠COM=12∠BOC=12（90°+a），∠CON=12∠AOC=12a，∴∠MON=∠COM－∠CON=12（90°+a）－12a=45°.9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．【答案】（1）①115°；②答案见解析；（2）∠AOD ＝50°【解析】解：（1）①∵OD 平分∠AOC ，∠AOC =130°，∴∠AOD =∠DOC =12∠AOC =12×130°=65°，∴∠BOD =180°－∠AOD =180°－65°=115°；②∵∠DOE =90°，又∠DOC =65°，∴∠COE =∠DOE －∠DOC =90°－65°=25°，∵∠BOD =115°，∠DOE =90°，∴∠BOE =∠BOD －∠DOE =115°－90°=25°，∴∠COE =∠BOE ，即OE 平分∠BOC ；（2）若∠BOE ：∠AOE =2：7，设∠BOE =2x ，则∠AOE =7x ，又∠BOE ＋∠AOE =180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，∵∠DOE =90°，∴∠AOD ＝90°－40°=50°.10．（2020·辽宁庄河·期末）如图1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点O 处，90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，OC 与OB 重合，在OD 外AOB Ð，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线（1）求MON Ð的度数；（2）如图2，若保持三角尺AOB 不动，三角尺COD 绕点逆时针旋转(060)n n <<o o 时，其他条件不变，求MON Ð的度数（提示：旋转角BOC n Ð=o ）（3）在旋转的过程中，当120AOC BOD Ð+Ð=o 时，直接写出BOC Ð的值．【答案】（1）75o ；（2）75º；（3）15°．【解析】（1）∵90BOA Ð=o ，60COD Ð=o ，射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=45º，∠BON=12∠BOD=30º，∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；（2）∵90BOA Ð=°，60COD Ð=o ，BOC n Ð=o ，∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，∵射线OM 、ON 分别是AOC Ð、BOD Ð的角平分线，∴∠COM=12∠AOC=12(90º-nº)= 45º-12nº，∠BON=12∠BOD=12(60º-nº)=30º-12nº，∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º-12nº+30º-12nº+ nº=75º；（3）由叠合可得2BOC AOC AOB COD BOD +Ð=Ð+ÐÐ+Ð=150 º，∴BOC Ð=12(150 º-120 º)=15 º.11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使110BOC Ð=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处（30OMN Ð=°），一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使一边OM 在BOC Ð的内部，且恰好平分BOC Ð，求BON Ð的度数；（2）将图1中的三角板绕点O 以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角AOC Ð，求t 的值；将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图3，使一边ON 在AOC Ð的内部，请探究AOM NOC Ð-Ð的值．【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．【解析】解：（1）如图2中，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC=∠MOB ，又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°，∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；（2）（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°∴∠AOC=70°，当当ON 的反向延长线平分∠AOC 时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11；②如图3，当射线ON 平分∠AOC 时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47，综上所述，t=11s 或47s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC ；故答案为：11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，∴∠AOM=90°-∠AON ，∠NOC=70°-∠AON ，∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON ）-（70°-∠AON ）=20°，∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究：问题情境：如图，已知∠AOB ＝90°，射线OC 在∠AOB 的外部且0°＜∠BOC ＜180°．OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．特例探究：（1）如图1，①当∠BOC ＝40°时，∠MON 的度数为°；②当∠BOC ＜90°时，求∠MON 的度数；猜想拓广：（2）若∠AOB ＝α（0＜α＜90°），①当∠AOB ＋∠BOC ＜180°时，则∠MON 的度数是 °；（用含α的代数式表示）②当∠AOB ＋∠BOC ＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON 的度数．（用含α的代数式表示）【答案】（1）①45；②45°；（2）①12a ②画图见解析；11802a °-°．【解析】（1）①90,40,AOB BOC Ð=°Ð=°Q9040130,AOC \Ð=°+°=°。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1:请写出关于直线和线段的两个基本事实:
①____________________________；
②____________________________．
问题2:(1)角可以分为______、______、______、______和______．
(2)平角是_______度，周角是______度，直角是_______度，______________是锐角，_________________是钝角．
问题3:度分秒的换算:1°=______′；1′=_______″．
问题4:比较线段长短的方法和比较角大小的方法是:______________、______________．
问题5:请用四种方式表示下面的角:_________________________．
线与角(人教版)
一、单选题(共14道，每道7分)
1.下列说法正确的是( )
A.直线AB和直线BA是两条直线
B.射线AB和射线BA是两条射线
C.线段AB和线段BA是两条线段
D.直线AB和直线a不能是同一条直线
答案:B
解题思路:
A:直线没有方向，所以直线AB和直线BA是同一条直线，A选项错误；
B:射线有方向，射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，所以射线AB和射线BA是两条射线，B选项正确；
C:线段无方向，所以线段AB和线段BA是同一条线段，C选项错误；
D:直线AB和直线a可以是同一条直线的两种表示方式，D选项错误．
故选B．
试题难度:三颗星知识点:直线
2.下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③平角是一条直线；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案:A
解题思路:
角的定义:有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的，所以①错误，④正确；
角的两边是射线，射线无法度量，所以角的度数与边长无关，所以②错误；
根据角的定义，角要有顶点和边，直线没有端点，所以③错误．
综上，正确的有1个．
故选A．
试题难度:三颗星知识点:角的定义与分类
3.一条直线上有4个点，那么( )
A.它有6条线段，4条射线
B.它有6条线段，8条射线
C.它有3条线段，8条射线
D.它有4条线段，2条射线
答案:B
解题思路:
根据题意，首先画图:
直线上有4个点，
以A为端点的线段有:AB、AC、AD共3条；
以B为端点的线段有:BC、BD共2条；
以C为端点的线段有:CD共1条；
所以线段有3+2+1=6条线段；
以每个点为端点的射线有2条，则共有8条射线．
故选B．
试题难度:三颗星知识点:直线
4.往返于郑州和某市之间的某高速客车，在途中共有两个停车点，那么该客车应该准备( )种车票．
A.4
B.6
C.8
D.12
答案:D
解题思路:
根据题意，可以用点A表示郑州，用点D表示某市，点B，C表示途经的两个停车点，如下图:
要求票的种类，首先要求出线段的条数，因为车票有往返两种，
所以再乘2即可．
由图可知，图中有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条线段，
所以，该客车应该准备6×2=12种车票．故选D．
试题难度:三颗星知识点:求线段的个数
5.如图所示，由A到B有①、②、③、④四条路线，最短的线路选②的理由是( )
A.因为它是直线
B.两点确定一条直线
C.两点间距离的定义
D.两点之间，线段最短
答案:D
解题思路:
因为A，B两点是确定的，由“两点之间，线段最短”，可知最短的线路为②．
故选D．
试题难度:三颗星知识点:两点之间线段最短
6.值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间，直线最短
C.两点之间，线段最短
D.以上说法都不对
答案:A
解题思路:
把每一列最前和最后的课桌看作两个点，两点确定一条直线，那么沿着这条直线摆放课桌，课桌都在这一条直线上，就会整整齐齐的．
故选A．
试题难度:三颗星知识点:两点确定一条直线
7.下列生活现象:
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案:C
解题思路:
①③是利用“两点确定一条直线”，②④是利用“两点之间，线段最短”．
故选C．
试题难度:三颗星知识点:两点之间线段最短
8.下列选项正确的是( )
A.延长直线AB
B.反向延长射线AB到点C，使AC=a
C.延长射线OA
D.以上说法都不对
答案:B
解题思路:
直线可以向两边无限延伸，射线可以向一个方向无限延伸，所以不能说延长直线或射线，但可以反向延长射线，
故A，C选项错误，B选项正确．
故选B．
试题难度:三颗星知识点:直线
9.如图1，已知三点A，B，C，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是( )
A.作射线CA
B.作直线AB
C.连接BC
D.取线段BC的中点D，连接AD
答案:A
解题思路:
射线只有一个端点，并且有方向，从图中可以看出是作射线AC，
所以A选项错误．
故选A．
试题难度:三颗星知识点:几何作图
10.下列图形中所标出的角可用∠O来表示的是( )
A. B.
C. D.
答案:B
解题思路:
角的表示:角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以只有B 选项可用∠O来表示．
故选B．
试题难度:三颗星知识点:角的表示
11.如图，下列说法中:①∠BAC，∠A，∠EAD表示同一个角；②∠DBC与∠CBD表示同一个角；③∠AED与∠DEC表示同一个角；④∠AED也可表示为∠E．正确的说法有( )
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①②③④
答案:A
解题思路:
根据角的表示，结合图形，只有①②说法正确．
故选A．
试题难度:三颗星知识点:角的表示
12.如图，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是( )
A.∠COD＞∠AOB
B.∠AOB＞∠COD
C.∠COD=∠AOB
D.∠AOB与∠COD的大小关系无法确定
答案:B
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:角的比较
13.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
答案:B
解题思路:
进行度、分、秒的换算，，则．选项A:
所以A选项错误；
选项B:
所以B选项正确；
选项C:
所以C选项错误；
选项D:
所以D选项错误．
故选B．
试题难度:三颗星知识点:度分秒的换算
14.若，，，则( )
A. B.
C. D.
答案:A
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:角的比较。