拉格朗日中值定理教育教学设计
说课：拉格朗日中值定理
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
情景 引入
几何 意义 具体 运用
复习 引入
2、时间安排：
新课引入约10分钟， 探索求知约10分钟， 灵活运用约20分钟， 小结提高约5分钟。
概念 建构
演 练
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究 — 合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。 力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的 形成知识结构，并将其转化为数学能力。
教学过程 （三）灵活运用 透析内涵 求函数 f ( x) x 在[0,2]上满足拉 格朗日中值定理条件的 ？
2
设计意图
' f 解： ( x) 2 x，
由拉格朗日中值定理得：
22 02 2 (2 0)
这是学生思维上升的 又一个层次，设计该 题目的在于加深学生 对导数刻画函数单调 性的理解，通过它及 时发现学生的问题， 及时纠正，能对学生 情况给予及时评价。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
拉格朗日中值定理说课稿
二、说学生
打好基础，够用为度，少讲推理，多讲应用
三、说教学目标
1.知识目标：记忆Lagrange中值定理的条 件和结论，了解其几何意义，并用它来建立 导数与函数单调性之间的关系。
2.能力目标：会求满足Lagrange中值定理
一般 课后作业：P99-4（1）、7
罗尔（Rolle）定理与Lagrange中值定 理
f()f(b)f(a).
ba
f()0.
f()f(b)f(a).
ba
令 a x 0 ,b x 0 x , y f ( x 0 x ) x ( 0 1 )
总结归纳
知识点总结：三个定理各自的条件和结论 方法总结：形象思维---抽象思维，特殊---
中的 值并应用Lagrange中值定理进行简
单的不等式、等式证明,会用单调性定理求 函数的单调区间。
四、说教学重点、难点
1.教学重点：
Lagrange中值定理及其推论的应用，会用单调 性定理求函数的单调区间。
2.教学难点：
Lagrange中值定理的证明。
五、说教学方法
讲授法 探究法 练习法 启发式
六、说教学过程
遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳” 的原则，本节课的教学内容由以下六部分组 成：
导入
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
单调性定理
总结
费尔马引理与罗尔( Rolle )定理
yA
y A y f(x)
B
o x0 x
f(x0)0
o
a bx
pflqbAAA微分中值定理教案
p f l q b A A A微分中值定理教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
理的内容：若函数)(x f 满足下列条件：①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
Lagrange中值定理教学设计共4页word资料
Lagrange中值定理教学设计一、教材背景分析在数学分析中，Lagrange中值定理是数学分析中的重要组成部分，为后面Cauchy中值定理具有重大影响作用；同时，在导数中的应用也起着桥梁的作用。
Lagrange中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学目标1.知识目标掌握Lagrange中值定理及对应的几何意义，掌握基本的一些推论。
2.能力目标首先让同学们了解四大定理（Roll定理，Lagrange中值定理，Cauchy 中值定理，泰勒定理），然后通过前期学习的Roll定理，类比学习Lagrange 中值定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感态度与价值观在教学的过程中，让学生发现教学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
三、教学重难点分析重点：Lagrange中值定理的引入及其证明。
难点：Lagrange中值定理满足条件的探求，Lagrange中值定理的应用。
四、教学目标1.通过上节内容学习的Roll中值定理，类比学习和理解Lagrange中值定理，培养数学分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2.通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
五、新课讲解1.Roll定理的回?与Lagrange中值定理的引入①在闭区间[a，b]连续；②在开区间（a，b）可导；Roll定理的几何意义已经讲过，如下所示现在我们将这个图形进行旋转，请同学们注意发生的变化大家看看有什么不同。
通过旋转得到的图形和原来的图形只是位置发生了改变，但是它的作用也发生了一些变化，通过旋转得到的图形几何意义就是本节课探讨的内容，Lagrange中值定理。
2. Lagrange中值定理类比前面Roll定理的几何意义猜想出Lagrange中值定理满足的条件若函数f满足如下条件：①f在闭区间[a， b]上连续；②f在开区间（a，b）上可导，则在（a，b）上至少存在一点ξ，使得称为Lagrange中值定理.显然，特别当f（a）=f（b）时，为Roll定理.3. Lagrange中值定理的证明具体证明通过借助辅助函数可以证明证明：作辅助函数显然，①②F（x）在[a， b]连续，③F[x]在（a，b）可导可得：命题得证.4. Lagrange中值定理的几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数，a与b是它定义区间内的两点（），假定此函数在（a，b）上处处可导，也就是在（a，b）内的函数图象上处处有不垂直与x轴的切线，那么我们从旋转的图容易看到，差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会会达到离割线最远的一点处成为曲线的切线，尔切线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此成立.补充说明：它有几种常用的等价形式，可以根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。
中值定理 教案
中值定理教案教案标题：中值定理教案教案目标：1. 理解中值定理的概念和意义；2. 掌握中值定理的基本原理和应用方法；3. 能够运用中值定理解决实际问题。
教案大纲：一、引入（5分钟）1. 引发学生对中值定理的兴趣，例如提问：你们有没有遇到过两个不同时间段之间的平均速度相等的情况？2. 引导学生思考：如何证明这个平均速度相等的情况？二、概念讲解（15分钟）1. 介绍中值定理的概念：中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一个函数在一个区间上连续且可导时，一定存在一个点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
2. 解释中值定理的意义：中值定理可以帮助我们证明某些函数存在零点、证明某些函数的单调性等。
三、中值定理的基本原理（20分钟）1. 介绍罗尔定理：当一个函数在闭区间的两个端点处取相等的函数值时，必定存在至少一点使得该点的导数为零。
2. 介绍拉格朗日中值定理：当一个函数在闭区间上连续且可导时，必定存在至少一点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
四、中值定理的应用方法（20分钟）1. 运用罗尔定理解决函数存在零点的问题；2. 运用拉格朗日中值定理证明函数的单调性；3. 运用拉格朗日中值定理解决函数的最值问题。
五、实例分析与讨论（15分钟）1. 提供几个实际问题，引导学生运用中值定理解决；2. 学生分组讨论并展示解决过程和答案。
六、练习与总结（15分钟）1. 课堂练习：提供一些练习题，让学生巩固所学知识；2. 总结中值定理的要点和应用方法。
七、作业布置（5分钟）1. 布置作业：要求学生完成一定数量的中值定理相关题目；2. 强调作业的重要性，并鼓励学生主动思考和解决问题。
教学辅助材料：1. 中值定理的定义和证明过程的PPT；2. 中值定理相关的练习题；3. 实际问题的案例材料。
教学评估：1. 课堂练习的答案和讨论；2. 学生对中值定理的理解和应用能力；3. 作业完成情况和质量。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究其他中值定理的应用领域，如泰勒中值定理等；2. 引导学生进行更复杂的中值定理证明和应用的研究。
试讲拉格朗日中值定理
…则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf 。
2、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出了一个 微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理， 但未证明。
拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1 拉格朗日中值定理 若函数()x f 满足下列条件：① 在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得…………………………装………………………订………………………线…………………………ξ()x f y =()()()a b a f b f f --=ξ'注意：（1）深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
（2）若加上()()b f a f =，则()()()00'=-=--=ab a b a f b f f ξ即()0'=ξf ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
（3）形象认识（几何意义），易知()()ab a f b f --为过B A 、两点的割线的斜率，()ξ'f 为曲线()x f 上过ξ点的切线的斜率：若()()()ab a f b f f --=ξ'即是说割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间[]b a ,上有一条连 续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点()()ξξf C ,，使得过点C 的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线…………………………装………………………订………………………线…………………………CyOABMN()x f y =a ξxb……………山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线…………………………。
微分中值定理-拉格朗日中值定理教案
微分中值定理-拉格朗日中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
回忆一下罗尔定理的内容：若函数①在闭区间连续②在开区间可导)(x f []b a ,()b a ,③则在内至少存在一点c ，使得 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理 若函数满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导则在开区间内至少存在一点c ，使注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则即：，拉格朗日定c 、形象认识（几何意义），易知为过A 斜率，为曲线上过c 割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点，使得过点的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一)()(b f a f =()b a ,0)('=c f )(x f []b a ,()b a ,()b a ,()()ab a f b fc f --=)(')()(b f a f =()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 0)('=c f ()()ab a f b f --)('c f )(x f ab c f -=)('[]b a ,))(,(c f c C C点的切线平行于曲线端点的弦。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案:拉格朗日中值定理教学目标:1.理解拉格朗日中值定理的基本概念和定义；2.掌握拉格朗日中值定理的应用方法。
教学准备:1.教材:数学分析教材中与拉格朗日中值定理有关的章节；2.工具:黑板、粉笔、教具等。
教学过程:一、导入(5分钟)1.引入拉格朗日中值定理的概念，与学生讨论导数的作用；2.回顾导数的定义和基本性质。
二、讲解(20分钟)1.讲解拉格朗日中值定理的概念和基本原理；2.说明定理的前提条件和使用范围；3.列举几个关于应用拉格朗日中值定理的典型例题，分析求解过程；4.引导学生思考定理的几何和物理意义。
三、示范演练(15分钟)1.给出一个具体的函数表达式，要求学生应用拉格朗日中值定理求解；2.带领学生分析解题步骤和关键点；3.鼓励学生互相合作，积极参与讨论和解答问题。
四、讨论交流(20分钟)1.学生对于示范演练的问题进行讨论和交流；2.学生提出自己的疑问和解题思路，并与同学和教师进行讨论；3.教师引导学生找出问题的关键和解决方法。
五、拓展延伸(20分钟)1.在教师的指导下，学生自主解决一些与拉格朗日中值定理相关的问题；2.学生以小组形式展示解题过程和结果；3.学生进行评价和讨论，总结解题方法和技巧。
六、归纳总结(10分钟)1.教师引导学生总结拉格朗日中值定理的基本理论和应用方法；2.强调学生在解题过程中需要注意的问题和技巧；3.学生自主归纳总结，并记录到笔记中。
七、作业布置(5分钟)1.教师布置拉格朗日中值定理的相关作业，并规定提交时间；2.强调作业的重要性，鼓励学生积极完成。
教学反思:本节课主要介绍了拉格朗日中值定理的基本概念和应用方法，通过示范、讨论和练习等多种形式，提高了学生对定理的理解和应用能力。
在教学过程中，学生的合作意识和创造力得到了充分发挥，让学生更好地理解和应用拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理教育教学设计
拉格朗日中值定理教学设计作者: 日期:教学段计第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2・能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗F1定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗H定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养敎形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢周，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗F）定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：知识回顾引出定理，探究案例——> 类比学习，理解定理____ ►升华、理解新知______ ►课堂小结作业六、教学情境设计(1学对)：1v知识回顾费马定理：设函数/(X)在心的某领域内有定义，且在兀可导。
若兀为/ 的极值点，则必有/(x0y = Oo它的几何意义在于：若函数/(M在J=x o可导，那么在该点的切线平行于X轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(心川小中值定理) 若函数f满足如下条件：(i)/在闭区间［“上］上连续；(ii)/在开区间仏方)内可导；(ii !)/(«)=/(/.),则在(a,Z?)内至少存在一点使得厂(沪0 •(1)罗尔定理的几何意狡是说：在每一点都可字的一段连续曲线上，如呆曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1).证因为/在［“上］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与加表示，现分两种情况来讨论：⑴若m = M ,则，/在［“,闰上必为常数，从而结论显然成立.(2)若m < M ,则因/(")=/(”)，使得最大值M与最小值川至少有一个在("")内某点纟处取得，从而§是/的极值点.由条件(ii), /在点§处可导，故由费马定理推知/W=o-注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)offl 6 — 2设/为R上可导函数，证明：若方程广(0 = 0没有实根，则方程/W=o至多有一个实根.证这可反证如下：倘若f（x）= 0有两个实根旺和勺（设Al < X2）,则函数/在［坷,七］上满足罗尔定理三个条件,从而存在<e（x H x2）,使广（§） = 0,这与广（兀）工0的假设相矛盾，命题得证.3、类比学习，理解定理定理6. 2 （拉格朗日（Sgwge）中值定理）若函数满足如下条件：（彷在闭区间［（"］上连续；（〃”在开区间仏b）内可导，则在（sb）内至少存在一点纟，使得显然，特别当f（a）= f（b）时，本定理的结论（2）即为罗尔定理的结论（1）.这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.证作辅助函数F(x) = f(x)~/ ⑷一少匕儿"(X -a).显然，F（a）= /0X= 0）,且F在［d,b］上满足罗尔定理的另两个条件.故存在§ e @,b）,使化）=广（纟）一/气）7⑺）=ob-a移项后即得到所要证明的（2）式。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案：拉格朗日中值定理目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念和背景；2.掌握拉格朗日中值定理的数学表达式和推导过程；3.学会应用拉格朗日中值定理解决实际问题。
知识点：1.拉格朗日中值定理的概念和意义；2.拉格朗日中值定理的数学表达式；3.拉格朗日中值定理的证明过程。
教学过程：一、拉格朗日中值定理的概念和意义（20分钟）1.引入：拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们提供了一种在一个区间内计算函数的平均变化率的方法，有助于我们理解函数在一些区间内的性质和行为。
2.概念解释：拉格朗日中值定理是指在给定的区间[a,b]上，若函数f(x)满足一定条件（连续且可导），则存在一个数c，使得f'(c)等于函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
3.意义解释：拉格朗日中值定理告诉我们，若函数f(x)满足一定条件，它在区间[a,b]上的平均变化率可以取到与该区间两端点对应的瞬时变化率相等的一些时刻的瞬时变化率。
这样的结果对于理解函数的变化规律和求解实际问题有很大的帮助。
二、拉格朗日中值定理的数学表达式和证明过程（40分钟）1.数学表达式：拉格朗日中值定理的数学表达式为f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，其中a<c<b，函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
2.证明过程：我们可以通过引入一个辅助函数g(x)，构造一个新的函数F(x)=f(x)-g(x)，然后利用罗尔定理证明在函数F(x)上存在一个点c，使得F'(c)=0。
由于F(x)=f(x)-g(x)，所以F'(x)=f'(x)-g'(x)。
根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得F'(c)=f'(c)-g'(c)=0，即f'(c)=g'(c)。
由于g(x)在[a,b]上是一个常数函数，所以g'(x)=0。
拉格朗日中值定理教学设计
拉格朗日中值定理教学设计教学设计：拉格朗日中值定理一、教学目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念、公式及其在求函数极值、证明一元函数连续性等方面的应用；2.能够熟练运用拉格朗日中值定理，解决简单的实际问题；3.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：1.拉格朗日中值定理的概念及基本公式；2.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用；3.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过举例引出问题：如果一辆汽车在段时间内行驶了150公里，问在这段时间内这辆车必然存在一个时刻，它的瞬时速度等于它的平均速度？2.导入目标（5分钟）教师由导入问题引出拉格朗日中值定理，解释拉格朗日中值定理的应用价值和意义。
3.拉格朗日中值定理概念与公式（20分钟）教师给予学生一个具体的数学问题，通过图示和数学计算，引出拉格朗日中值定理的基本公式。
然后，对概念进行深入讲解，即如何理解拉格朗日中值定理。
4.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用（30分钟）（1）教师通过一个实际问题来引出拉格朗日中值定理在求函数极值问题中的应用，如"求证在区间[0,1]上函数f(x)=-x^3+3x^2+2x-1在x=1/3处取得极值"。
（2）教师引导学生通过拉格朗日中值定理来解决该问题，即先求取函数f(x)在[0,1]上的导数f'(x)，然后通过拉格朗日中值定理得到一个介于0和1之间的值c，使得f'(c)=0，进而得到函数的极值点。
5.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用（25分钟）（1）教师引出一个函数在一些点的连续性证明问题，如"证明函数f(x)=x^2在x=2处连续"。
6.拓展应用：拉格朗日中值定理在微分中的应用（20分钟）教师给出一个具体的微分问题，通过拉格朗日中值定理帮助学生求解。
如"证明函数f(x)=x^3在[a,b]上的其中一点c处的切线与割线的斜率之差为(f(b)-f(a))/(b-a)"。
(完整版)拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案 授课人：***一、教材分析微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。
它为我们研究函数和变量提供了重要的方法。
微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。
拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学重点和难点教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。
三、教学目标1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
四、授课过程1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)0(='x f 。
它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、新科讲授首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。
（板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足(1)在闭区间[]b a ,上连续;(2)在开区间()b a ,内可导;(3))()(b f a f = .那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即0)(='ξf . 罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。
如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。
注（1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一点，而不是唯一存在的。
（2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立；接下来看下面三个函数的图像：然后给出罗尔定理的严格数学证明：()()[]3,03)3(]1,1[)2(011,00,1)1(2∈-=-∈=⎪⎩⎪⎨⎧=∈=x x y x x y x x x y （1） （2）（3） -1 1 -1 1 3证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以必然存在最大值和最小值，分别设为m M ,，下面分两种情况来讨论：（1）若m M =，则f 在[]b a ,是常函数，从而结论显然成立；（2）若m M >，则因()()b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个是在 ()b a ,内某一点ξ处取到，从而ξ是f 的极值点。
关于拉格朗日(Lagrange)中值定理的教学设计
关于拉格朗日(Lagrange)中值定理的教学设计
张泽林
【期刊名称】《湖北科技学院学报》
【年(卷),期】2005(025)006
【摘要】以说课的形式从"教材分析"、"教学目的的制定"、"教学重点、难点的确立"、"教学方式、方法的选择"、"教学进程的设计"和"板书设计"等六个方面陈述Lagrange中值定理的教学设计.
【总页数】3页(P24-26)
【作者】张泽林
【作者单位】咸宁职业技术学院,湖北,咸宁,437100
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理的构造性证明 [J], 丁显峰
2.拉格朗日（Lagrange）中值定理应用的分类剖析 [J], 陈天明
3.拉格朗日(Lagrange)中值定理的推广 [J], 张玉莲;杨要杰
4.拉格朗日(Lagrange)中值定理在高考数学中的应用 [J], 何兴兴
5.关于拉格朗日(Lagrange)中值定理的逆定理问题 [J], 陈建威
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拉格朗日中值定理教学设计课题
教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：辅助函数的引入和中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
拉格朗日中值定理的教与学
现代商贸工业２０２０年第３期１８１㊀基金项目:省级教学团队项目资助.作者简介:曾金平,汉族,教授,研究方向:计算数学.拉格朗日中值定理的教与学曾金平㊀李伯忍(东莞理工学学院,广东东莞５２３０００)摘㊀要:拉格朗日中值定理是微分学中非常重要的基本定理,是导数应用的理论基础,也是教学过程中的难点.探讨拉格朗日中值定理的教与学,力求学生正确理解并掌握该定理.关键词:中值定理;高等数学;拉格朗日中图分类号:G ４㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０２０．０３．０８７１㊀拉格朗日中值定理的基本内容拉格朗日中值定理叙述如下(参见[１]):设函数f x ()满足下面条件:(１)在[a ,b ]上连续.(２)在(a ,b)内可导.则至少存在一点ξɪa ,b (),使得f b ()－f a ()＝f (ξ)(b －a )(１)在拉格朗日中值定理中,式(１)也常常写成如下形式:f (ξ)＝f (b )－f (a )b －a (２)２㊀定理的证明拉格朗日中值定理是微分学中非常重要的基本定理.它的证明思想可帮助学生正确理解并掌握该定理的精髓(参见[１－６]).通过逆向思维,构造辅助函数,是在教学过程中证明该定理的常用方法之一.由于式(１)等价于下面等式f b ()－f a ()－f (ξ)b －a ()＝０(３)因此,如果引进辅助函数H x ()＝f b ()－f a ()[]x －f x ()b －a (),则式(３)相当于H (ξ)＝０.注意到H a ()＝f b ()－f a ()[]a －f a ()b －a ()＝f b ()a －f a ()b ,H b ()＝f b ()－f a ()[]b －f b ()b －a ()＝f b ()a －f a ()b 即H a ()＝H (b).再根据辅助函数的连续性和可导性以及罗尔中值定理,可得到常用于教学中的一种证明方法:证法一:引进辅助函数H x ()＝f b ()－f a ()[]x－f x ()b －a ().则函数H x ()在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,且H a ()＝H (b).因此,根据罗尔中值定理,至少存在一点ξɪa ,b (),使得H (ξ)＝０,即式(３)成立,也即式(１)成立.故得证.上面证明虽然并不难,但对于理工科学生而言,这种较抽象的逆向思维方法仍然会令他们望而生畏,不利于对拉格朗日定理的深刻理解.下面通过拉格朗日中值定理的几何意义给出另一种教学方法.首先注意到在拉格朗日中值定理中,如果函数f x ()还满足f a ()＝f b (),即函数f x ()满足罗尔定理条件,而相应地,式(１)退化成f ξ()＝０.换句话说,此时的拉格朗日中值定理退化成了罗尔中值定理.因此,拉格朗日中值定理可视为罗尔中值定理的推广.罗尔中值定理的几何意义是,存在一点ξɪa ,b (),使得在曲线y ＝f x ()上过点C ξ,f (ξ)()的切线与x 轴平行(如图１所示).图１㊀罗尔中值定理的几何意义过曲线y ＝f x ()的两端点A ,B 作割线A B (如图１所示).因为f a ()＝f b (),所以A B //x 轴.故罗尔中值定理的几何意义可叙述成:存在一点ξɪa ,b (),使得在曲线y ＝f x ()上过点C ξ,f (ξ)()的切线与割线A B 平行.在拉格朗日中值定理中.我们也试图过曲线y ＝f x ()的两端点A ,B 作割线A B ,此割线所在直线的方程可通过下面两点式方程给出:y ＝L x () f a ()＋f b ()－f a ()b －a(x －a )易知该割线的斜率为:L ＇x ()＝f b ()－f a ()b －a,x ɪa ,b ()因此,式(２)意味着曲线y ＝f x ()上过点C ξ,f (ξ)()的切线斜率和割线A B 的斜率相同,即切线与割线A B 平行(如图２所示).换句话说,函数f x ()和割线函数L x ()在点,处有相同的导数值．因此,如果作函数f x ()和L x ()差得函数H x ()＝f x ()－L (x ),则H ξ()＝f ξ()－L ξ()＝０.而另外,由于曲线y ＝f (x )和割线y ＝L (x )都经过端点A 和B ,函数H x ()在点a 和b 处的函数值应都为零.据此,拉格朗日中值定理便可通过罗尔中值定理得到证明:证法二:引进辅助函数H x ()＝f x ()－f a ()－f b ()－f a ()b －a(x －a )则函数H x ()在[a ,b ]上连续,在(a ,b)内可导,且H a ()＝H b ()＝０.因此,根据罗尔中值定理,至少存在一点ξɪa ,b (),使得H (ξ)＝０,即f ＇ξ()－f b ()－f a ()b －a ＝０即式(２)成立,故得证.教育与培训现代商贸工业２０２０年第３期１８２㊀㊀图２㊀拉格朗日中值定理的几何意义３㊀进一步推广至柯西中值定理如果曲线由参数方程x ＝F t (),y ＝f t (),{t ɪ[a ,b ]表示．过点A (F a (),f a ())和B (F b (),f b ())作割线,其所在直线的方程可表示为:y ＝L t () f a ()＋f b ()－f a ()F b ()－F a ()[F t ()－F a ()]类似于证法二,引进辅助函数函数H t ()＝f t ()－f a ()－f b ()－f a ()F b ()－F a ()[F t ()－F a ()]则函数H t ()在[a ,b]上满足罗尔定理条件.因此,至少存在一点ξɪa ,b (),使得H (ξ)＝０,即f ＇ξ()－f b ()－f a ()F b ()－F a ()F ＇ξ()＝０由此得到柯西中值定理(参见[１]):设函数f x ()和F x ()满足下面条件:(１)在[a ,b ]上连续;(２)在(a ,b )内可导;(３)对任意x ɪa ,b ()都有F ＇x ()ʂ０则至少存在一点ξɪa ,b (),使得f ＇ξ()F ＇ξ()＝f b ()－f a ()F b ()－F a ()４㊀定理的有限增量形式我们知道,如果函数f (x )在点x 处可导,则当Δx 很小时,有近似公式Δy ʈd y ＝f (x )Δx (４)在拉格朗日中值定理中,如果令a ＝x ,b ＝x ＋Δx ,Δy 表示对应的函数的增量:Δy ＝F x ＋Δx ()－f x ()．则式(１)可写成如下有限增量形式Δy ＝f ＇x ＋θΔx ()Δx ,θɪ(０,１)(５)与式(４)相比,式(５)不仅给出了函数增量的精确表达式,而且不要求自变量的增量Δx 很小.因此,式(５)比式(４)更为好用.参考文献[１]同济大学数学系,高等数学上册[M ]．北京:高等教育出版社,２０１４,(７)．[２]杜广环,王佳秋,李焱．拉格朗日中值定理及其应用的教学探索[J ]．高师理科学刊,２０１０,３０(２):１１４Ｇ１１４．[３]余庆红．中值定理的应用探讨[J ]．西安航空学院学报,２００７,２５(３):５４Ｇ５６．[４]张卿．地方院校高等数学学习困难学生的调查分析[J ]．科技风,２０１１,(１８):１８５Ｇ１８５．[５]王洁,李娜．拉格朗日中值定理在生活中的应用[J],河南教育学院学报,２０１８,(２):４６Ｇ４８．[６]陈少云．拉格朗日中值定理的应用实例[J ]．河南教育学院学报(自然科学版),２０１７,２６(３):５４Ｇ５７．共建共管共享的民办高校经管类学院实践教育基地建设模式研究徐秋菊(武汉东湖学院管理学院,湖北武汉４３００００)摘㊀要:校外实践教育基地的建设,有助于民办高校应用型人才培养目标的实现,有助于学生就业竞争力的提高.基于某民办高校经管学院的部分实践教育基地的调研访谈,了解实践教育基地运行的现状,发现运行过程中存在的问题,提出实践教育基地建设的新思路新模式,希望能满足企业.学校和学生的实际需要,实现三方共赢,实现教育的长效发展.关键词:民办高校;实践教育基地;建设模式中图分类号:G ４㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j ．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０２０．０３．０８８㊀㊀民办高校作为培养社会主义需要的合格人才的摇篮,在我国高等教育和人才培养中发挥了不可缺少的作用.近年来,民办高校承担了大量为社会培养高素质应用型人才的重任,在我国高等教育体系中的比重逐渐增加,影响力逐渐提高,生源质量逐渐提高,人才培养的质量也不断提高.尤其民办高校更加重视对学生的创新精神和实践能力的培养,重视校外实践教育基地的建设,将实践教育基地建成为推进高校发展实践教学的有效力量,成为促进高校转型的有力工具.１㊀导论笔者所在的民办高校坚持 一体两翼 的人才培养目标,注重对学生的实践能力和创新精神的培养,以培养全面发展的高素质应用型人为目标,在加强学生专业技能提升的过程中,更注重学生就业能力㊁创新创业能力㊁应用能力等方面的培养.并以此为切入点,积极加大实践教育基地的建设力度,尤其是经管类专业的实践教育基地的建设.但是民办高校毕竟不是国家公办院校,资金来源有限,对实践教育基地的物质投入稍显不足,实践教育基地的建设比较落后.因此,为了培养高素质应用型人才,不断提高民办高校学生的就业竞争力,对民办高校实践教育基地的建设模式的研究显得尤为重要.尤其是近年来,民办高校经管类专业的毕业生就业形势不算太好,这其中,学生的实践能力和主动精神薄弱是主要原因之一.因此,社会需要经管类专业的学生充实多项职业技能,如理解市场经济和企业管理的基本理论㊁原理㊁方法和技巧等这些基础常识,能够运用所学知识结合具体情境进行相应的分析,创造性地发现问题并解决问题.如何培养出这样的人才,实践教学就在其中发挥了重要的作用.校外实践教育基地可以帮助学生了解企业的真实环境,让学生尽早接触到社会,适应社会,锻炼自己的多方技能,充分挖掘自己的潜能.因此,民办高校应用型本科经管类专业要大力建设校外实践教育基地是时代发展的必然要求.。
拉格朗日中值定理说课共30页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
拉格朗日中值定理说课 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
教学方案设计
《拉格朗日中值定理》教学设计部门名称：基础部教师姓名：杨先伟一、教学背景1、拉格朗日中值定理是微积分学的一个重要内容，它是微积分后续定性分析函数性质的工具，是导数应用的理论基础，在微积分学中有着承前继后的作用；2、拉格朗日中值定理是一个意义深远的定理，它是微分中值定理的核心，它揭示了是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。
3、微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达法则、泰勒公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。
二、教学目标1、知识目标：使学生掌握拉格朗日中值定理条件和结论，理解定理的几何解释和物理解释，为后续定理的应用打下基础；使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。
2、能力目标：（1）培养几何观察能力、逻辑推理和归纳总结能力；（从几何图形归纳引入拉个朗日中值定理）（2）应用数学知识解决实际问题的能力。
（区间测速原理）3、素质目标：（1）培养提出疑问的习惯；（区间测速原理）（2）树立运动、变化的哲学思想；（曲线弦线和切线关系的讨论）（3）培养开拓创新、求真的品质。
（拉格朗日中值定理的引入过程）三、教学重点与难点重点：理解拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的几何意义和物理意义。
难点：拉格朗日中值定理及其应用。
四、教学方法概念的引入主要采用“问题导入法”，从实际问题出发，让学生理解建立拉格朗日中值定理的必要性和合理性。
在概念的引入中采用“图像演示法”、“观察法”等启发式教学，从而提高教学效果。
五、教学设计思路1、设计理念：根据高职院校学生的特点，要做到避免理论性过强；根据高职院校人才培养目标，要做到突出数学思想与数学应用。
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拉格朗日中值定理教学设计————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：知识回顾引出定理，探究案例类比学习，理解定理六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．升华、理解新知 课堂小结作业证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
例1 设f 为R 上可导函数，证明：若方程()0='x f 没有实根，则方程()0=x f 至多有一个实根．证 这可反证如下：倘若()0=x f 有两个实根1x 和2x (设21x x <)，则函数f 在[]21,x x 上满足罗尔定理三个条件，从而存在()21,x x ∈ξ，使()0='ξf ，这与()0≠'x f 的假设相矛盾，命题得证．3、类比学习，理解定理定理6.2 (拉格朗日(Lagrange )中值定理) 若函数满足如下条件：()f i 在闭区间[]b a ,上连续；()f ii 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()()()ab a f b f f --='ξ. ()2显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形． 证 作辅助函数()()()()()()a x ab a f b f a f x f x F -----=． 显然，()()()0==b f a F ，且F 在[]b a ,上满足罗尔定理的另两个条件．故存在),,(b a ∈ξ 使0)()()()(=---'='ab b f a f f F ξξ移项后即得到所要证明的（2）式。
拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB ，（如图6—3所示 ）。
定理的结论称为拉格朗日公式。
4、升华、理解新知 注解Note 1.定理的几何意义：在)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB 。
Note 2.定理只论证了ξ的存在性，),(b a ∈ξ，不知道ξ的准确数值，但并不妨碍它的应用.Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：;),)(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ （3）;1),))((()()(<<--+'=-θθo a b a b a f a f b f （4） ;10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f （5） 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于b a <，还是b a >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点ξ表示成了)(a b a -+θ，使得不论b a ,为何值，θ总可为小于1的某一正数。
例题讲解例2 证明对一切0,1≠->h h 成立不等式<+hh1 h h <+)1ln( 。
证 设)1ln()(x x f +=，则.10,11ln )1ln()1ln(<<+=-+=+θθhhh h当h >0时，由0<θ<1可推知1<h h h h h h h <+<++<+θ11,11. 当—1<h <0时，由0<θ<l 可推得1>.11,011h hh h h h h <+<+>+>+θθ 从而得到所要证明的结论。
推论推论1 若函数f 在区间I 上可导，且I x x f ∈≡',0)(，则f 为I 上一个常量函数．证 任取两点I x x ∈21, (设21x x <)，在区间[21,x x ]上应用拉格朗日定理，存在I x x ⊂∈),(21ξ，使得.0))(()()(1212=-'=-x x f x f x f ξ这就证得f 在区间I 上任何两点之值相等． 由推论1又可进一步得到如下结论：推论2 若函数f 和g 均在区间I 上可导，且),()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上)(x f 与)(x g 只相差某一常数，即c x g x f +=)()((c 为某一常数)．推论3 (导数极限定理) 设函数f 在点0x 的某邻域U(0x )内连续，在)(0x U 内可导，且极限)(lim 0x f x x '→存在，则f 在点0x 可导，且)(lim )(00x f x f xx '='→. (6)证 分别按左右导数来证明(6)式成立．(1) 任取)(0x U x+∈，)(x f 在[x x ,0]上满足拉格朗日定理条件，则存在),(0x x ∈ξ，使得)()()(00ξf x x x f x f '=-- (7)由于x x <<ξ0，因此当 +→0x x 时，随之有 +→0x ξ，对 (7)式两边取极限，得到)0()(lim )()(lim 0000+'='=--++→→x f f x x x f x f x x x x oξ (2) 同理可得 )0()(00-'='-x f x f ．因为k x f x x ='→)(lim 0存在，所以,)0()0(00k x f x f =-'=+' 从而='+)(0x f .)(,)(00k x f k x f ='='-即导数极限定理适合于用来求分段函数的导数例题讲解例3 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(,0,sin )(2x x x x x x f的导数。
解 首先易得⎪⎩⎪⎨⎧>+<+='.0,11,0cos 21)(,2x x x x x x f进一步考虑f 在 0=x 处的导数．在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理．由于),0(0)sin (lim 0(lim ),0(0)1ln(lim )(lim 2000f x x x f f x x f x x x x ==+===+=++++→→→→因此f 在0=x 处连续，又因,111lim )00(,1)cos 21(lim )00(020=+=+'=+=-'+-→→xf x x f x x所以.1)(lim 0='→x f x 依据导数极限定理推知f 在0=x 处可导,且.1)0(='f5、 课堂小结与作业1、罗尔中值定理的条件及几何意义。
2、拉格朗日中值定理的条件及几何意义。
3、加深定理理解的几个注解。
4、三个推论。
5、预习函数的单调性。
作业：习题2,4。