拉格朗日中值定理教育教学设计
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拉格朗日中值定理教学设计
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教学设计
第六章微分中值定理及其应用
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
题目:罗尔定理与拉格朗日定理
一、教学目的:
1.知识目标:分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义,掌握三个推
论。
2.能力目标:首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理(罗尔定理、拉格朗
日定理、柯西定理、泰勒定理),然后通过学习罗尔定理,类比学习理解拉格
朗日定理,培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标:在教学过程中,让学生发现数学知识的融会贯通,培养数形结合的
思想,以及严密的思维方法,从而亲近数学,爱上数学。
二、教学重点与难点:
1.重点:罗尔定理和拉格朗日定理,定理是基石,只有基石牢固,大厦才能建的
高。
2.难点:罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广,以及这两个定理之间的区别
与联系。
三、教学方法:教师启发讲授和学生探究学习的教学方法
四、教学手段:板书与课件相结合
五、教学基本流程:
知识回顾引出定理,探究案例类比学习,理解定理
六、教学
情境设计(1学时):
1、知识回顾
费马定理:设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义,且在0x 可导。若0x 为f 的极值点,则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于:若函数)('x f 在=x 0x 可导,那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理,探究案例
微分中值定理是微分学的重要组成部分,在导数的应用中起着桥梁作用,它包括
四大定理,分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理,先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理
6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件:
(i)f 在闭区间[]b a ,上连续; (ii)f 在开区间()b a ,内可导; (iii)()()b f a f =,
则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得
()0='ξf . ()1
罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线(图6—1).
升华、理解新知 课堂小结作业
证 因为f 在[]b a ,上连续,所以有最大值与最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况来讨论:
(1)若M m =,则,f 在[]b a ,上必为常数,从而结论显然成立.
(2)若M m <,则因()()b f a f =,使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点.由条件(ii),f 在点ξ处可导,故由费马定理推知
()0='ξf .
注 定理中的三个条件缺少任何一个,结论将不一定成立(图6—2)。
例
1 设f 为R 上可导函数,证明:若方程()0='x f 没有实根,则方程
()0=x f 至多有一个实根.
证 这可反证如下:倘若()0=x f 有两个实根1x 和2x (设21x x <),则函数f 在
[]21,x x 上满足罗尔定理三个条件,从而存在()21,x x ∈ξ,使()0='ξf ,这与()0≠'x f 的
假设相矛盾,命题得证.
3、类比学习,理解定理
定理
6.2 (拉格朗日(Lagrange )中值定理) 若函数满足如下条件:
()f i 在闭区间[]b a ,上连续;
()f ii 在开区间()b a ,内可导, 则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得 ()()()a
b a f b f f --=
'ξ. ()2
显然,特别当()()b f a f =时,本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1).这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形. 证 作辅助函数
()()()()()()a x a
b a f b f a f x f x F ----
-=. 显然,()()()0==b f a F ,且F 在[]b a ,上满足罗尔定理的另两个条件.故存在),,(b a ∈ξ 使
0)
()()()(=---
'='a
b b f a f f F ξξ
移项后即得到所要证明的(2)式。
拉格郎日中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点
))(,(ξξf P ,该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB ,(如图6—3所示 )。
定理的结论称为拉格朗日公式。
4、升华、理解新知 注解
Note 1.定理的几何意义:在)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ,该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB 。
Note 2.定理只论证了ξ的存在性,),(b a ∈ξ,不知道ξ的准确数值,但并不妨碍它的应用.
Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式:
;),)(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ (3)
;1),))((()()(<<--+'=-θθo a b a b a f a f b f (4) ;10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f (5) 值得注意的是,拉格朗日公式无论对于b a <,还是b a >都成立,而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数,而(4)、(5)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了)(a b a -+θ,使得不论b a ,为何值,θ总可为小于1的某一正数。
例题讲解
例2 证明对一切0,1≠->h h 成立不等式