那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
Ps :对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、 积分中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点],[b a ∈ξ使得
)()()(a b f dx x f b
a -=⎰ξ
Ps :该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的,下面我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为:若函数f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b
a -=⎰ξ
证明:设⎰=x a dx x f x F )()(,],[b a x ∈
因为)(x f 在闭区间上连续,则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导(导函数即为)(x f )。 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有:
),(b a ∈∃ξ使得a b dx
x f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ
而)()`(ξξf F =
所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f b
a -=⎰ξ。
在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用,因为课本给的定理是闭区间。
定理运用:
1、设)(x f 在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导函数,且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f . 证明:(1))2,0(∈∃η使)0()(f f =η
(2))3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf
证明:先看第一小问题:如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分。具体证明方法在上面已经
说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。
(1)、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x
则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续,在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有:
(2)、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用:
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个等式,如果有f(a)=f(b)=f(c),那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点,那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢,有了这样想法,就得往下寻找了,
)3()2()0(2f f f +=,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明:
]3,0[)(在x f 上连续,则在]3,2[上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,分别设为M,m;
则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤ 从而,M f f m ≤+≤
2
)3()2(,那么由介值定理就有: 则有罗尔定理可知: 0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ,0)`(),,(22=∈∃ξηξf c
Ps :本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来。
2、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.
证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、
本题第一问较简单,用零点定理证明即可。
(1)、首先构造函数:]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F
由零点定理知:ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得
(2)、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没想法,便无从下手。另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为1(你题目做多了,肯定就知道事实就是这样).并且第一问中0与1之间夹了个ξ,如果我们在0与ξ,ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。