不等式的解集 方法点拨
苏科版数学七年级下册 解一元一次不等式易错题专讲、方法点拨(含解析)
解一元一次不等式易错题专讲知识点概述：解一元一次不等式属于初中基础知识点，中考所占分值3分（计算题），解法与一元一次方程类似，只有最后一步系数化为1时，注意当系数为负时，不等号注意变号一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点： 1.解一元一次不等式；2.数形结合（不等式与数轴相结合）3.整体思想的应用易错点： 1.系数为负时，要变号2.去分母时，常数项、整式项不要漏乘【典例演练】1.【答案】a＜1【解析】因为不等号的符号改变，所以x前系数为负，则a-1＜0，a＜1.思路点拨：本题考查不等式的变号问题，所有不等式求解的最后一步都会遇到，请时刻注意判断是否变号。
2.【答案】x＞2方法二：因为分母为正数，结果为正数，所以分子只能为正，所以直接列x-2＞0，解得x＞2.思路点拨：法二可以提升解题速度，对于计算薄弱的学生可以避免计算出错，同类型问题非正数，非负数等，都可用此方法进行解答3.【答案】 x≥-2【解析】（x＋2）-3×3x≤18x＋2-9x≤18-8x≤16x≥-2思路点拨：本类型一元一次不等式易错点在于不等号右侧的6，在去分母的时候需要同乘3 4.若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x＜a＋5成立，则a 的取值范围【答案】1＜a≤7【解析】∵2x＜4∴x＜2……①∵2x＜4的解都能使（a-1）x＜a＋5成立∴a+5≥2a-2-a≥-7a≤7∵a＞1，∴1＜a≤7思路点拨：1.一个不等式的解满足另一个不等式，注意哪个不等式的解的范围大2.不等式的系数有代数式时，注意通过题目先进行判断，不要盲目分类讨论3.已经得出的范围，在结果上不要忘了加上，如本题中a＞1，结果不要漏了5.【答案】6＜m≤7【解析】∵x-m＜0∴x ＜m ∵7-2x ≤1 ∴x ≥3 ∵整数解共有4个，为3，4,5,6∴结合数轴考虑如图，右侧空心点应该大于6，小于等于7则6＜m ≤7思路点拨：1.数形结合2.端点判断6. 当m 为何值时，关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数。
专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型【沪科版】【考点1 不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞yC．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜B．由（a﹣b）x＞2，得x＞C．由bx＜a，得x＞D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【考点2 由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【考点3 解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：（1）求出每个不等式的解集；（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）（3）用代数符号语言来表示公共部分。
含解绝对值不等式的几种类型解析
含绝对值不等式的几种类型解析(一) 形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a ∈R )型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a 等价于－a <()f x <a ；|()f x |>a 等价于()f x >a 或()f x <－a ；② 当a =0时，|()f x <a 无解，|()f x |>a 等价于()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a 等价于()f x 有意义。
例1 解以下不等式：(1)|22x －3|>5；(2)3≤|8－2x x -|；1|≥－2；(4)|332x x -+|<－1 (二) 形如|()f x |<|()g x |型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0例2 解不等式|x －1|>|2x +3|(三) 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x例3 解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；解：原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x －2x －6|<3x解：原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(四) 形如a <|()f x |<b (b >a >0)型不等式此类不等式的简捷解法是利用等价命题法，即a <|()f x |<b (b >a >0)⇔a <()f x <b 或－b <()f x <－a例4 解不等式3<|2x －3|<5(五) 形如|()f x |<()f x ，|()f x |>()f x 型不等式此类题的简捷解法是利用绝对值的定义，即：|()f x |<()f x ⇔无解|()f x |>()f x ⇔()f x <0例5 解不等式|1x x +|>1x x + (六) 形如|()f x |+|()g x |<()h x ，|()f x |+|()g x |>()h x 型不等式此类题的简捷解法是利用等价命题法转化，即：|()f x |+|()g x |<()h x |()()|()|()()|()f xg xh x f x g x h x +<⎧⇔⎨-<⎩|()f x |+|()g x |>()h x |()()|()f x g x h x ⇔+>或|()()|()f x g x h x ->(七) 形如|()f x |+|()g x |<a ，|()f x |+|()g x |>a （a 为常数）型不等式 常用零点分段法及图像法求解例6 解不等式下列不等式（1）|x +2|+|x －2|<12（2）|4-2x |+|x +2|+|3x -6|<12(八) 含参数绝对值不等式的解法，以下是典型例题思路点拨,例7 关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
3.不等式的解和解集
数学运算
“粗心者”大都在这倒下的。你能做的，就是严格准守“游戏规则”。 1.搞清楚：运算对象，运算步骤，运算法则。 2.认真：态度决定一切。
情境
问题 1： 若不等式2-m＜ 1 3 (x-m)的解集为x＞2，则m的值为（）. 问题 2： 已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，且x=1不是这个不等式的 解，则实数a的取值范围是（）. 讨论 （1）解等式2-m＜ 1 3 (x-m)可得x＞6-2m，故6-2m=2，m=2. 【运算-已知解集求字母】已知不等式的解集，求不等式中字母的值时，应先用 字母表示出不等式的解集，再建立方程或不等式进行求解.
知识点 不等式的解和解集
数学抽象ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
简单讲，数学抽象就是符号，概念，公理，定理，公式。这些就是数学的本质。 当你一直坚持在用学语文的方式“背数学”时，有一天你会背不动的，因为你不知道背后的“所 以然”。 学数学能够化繁为简，靠的就是对数学抽象的全面理解。
情境
在xx卫视上，神秘嘉宾“x-3＞1”与它的解和解集隆重亮相.
讨论 （1）我们曾学过“能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，结合情境想一 想什么是不等式的解？ 【概念-解】能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）根据情境中的“介绍”，想一想什么是不等式的解集？ 【概念-解集】不等式所有解的集合叫做不等式的解集. （3）思考不等式的解与不等式的解集一样吗？它们之间存在哪些区别与联系？
2 / 3
（2）x=2是不等式组(x-5)(ax-3a+2)≤0的解，故(2-5)(2a-3a+2)≤0；x=1不 是这个不等式的解，所以(1-5)(a-3a+2)＞0，联立两个不等式进行求解，就可以 得出a的取值范围了. 【运算-已知解求字母】已知不等式的解，求不等式中字母的取值情况时，应先 根据不等式的解一定满足该不等式，建立不等式（或不等式组），再求解该不 等式（或不等式组），从而得出答案.注意若给出某一未知数不是题目中不等式 的解，那它一定是与该不等式相对立的那个不等式的解，“＜”与“≥”相对 立，“＞”与“≤”相对立. 实战演练 （导学号 导学号 S2658440）已知关于x的不等式(k-2)x+3＜11-k(3-x)的解都是不等 式4x＞3x-2的解，求k的取值范围． 点拨：分析题意，先根据 “不等式 (k-2)x+3＜ 11-k(3-x)的解都是不等式 4x＞ 3x-2的解 ”求出不等式 4x＞ 3x-2的解，再结合【运算 -已知解集求字母】进行解答 即可 .
不等式的解集 一元二次不等式的解法
11
7．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
有两个不相等 有两个相等的
解不等式 y＞0 求方程 y＝0 的
7
4.一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 的不等式称为一元二次不等式，其 中 a，b，c 是常数，而且 a≠0. 5．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
18
3．不等式|x|－3＜0 的解集为________． {x|－3＜x＜3} [不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]
19
4．不等式－3x2＋5x－4>0 的解集为________． ∅ [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－ 23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解． 由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]
38
[解]
(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－
1 2
，x2＝2，∴
不等式2x2－3x－2>0的解集为
xx<－12或x>2
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为x|x≠2.
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第九章9-5《不等式与不等式组》章末复习(能力提升)
第九章不等式与不等式（组）9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确； （2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误； （3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误； （4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确． （6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确． 故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
人教版七年级数学下册_9.1.1不等式及其解集
A.5
B.4
C.3
D.2
感悟新知
知识点 3 不等式的解集的表示方法
在数轴上表示不等式的解集：
特别提醒 在数轴上表示不等式的解集时，
大于向右画， 小于向左画；界点处 用空心圆圈圈住该点.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等
式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数
C. 3
D. 2
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的一半与3 的和大于5； (2)x 的3 倍与1 的差小于2； (3)a 的 1 与1 的差是正数；
2
(4)m 与2 的差是负数.
知1－练
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式.
感悟新知
解：(1) 1 a+3>5.
2
(2)3x－1<2.
第9章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
不等式 不等式的解与解集 不等式的解集的表示方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 不等式
知1－讲
1. 定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等
式. 用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)：
不等式的解集 x>a
x>－4a
x<a
x<－a
数轴表示
感悟新知
知3－练
例4 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x>2 (2)x<－2 解题秘方：紧扣不等式解集在数轴上的表示方法， 看清不等号和端点值是解决问题的关键.
苏科版数学七年级下册_不等式解集考点例析
不等式解集考点例析一、考查不等式的解例1、判断下列说法是否正确，为什么？①x=2是不等式2x＜6的一个解；②x=1不是不等式x－2＞0的解；③因为x=1是不等式x－5＜0的一个解，所以该不等式的解为x=1.点拨：只要能使不等式成立的未知数的值，都是不等式的解，反之，则不是这个不等式的解。
解：①正确。
因为当x=2时，不等式2x＜6成立②正确。
因为当x=1时，不等式x－2＞0不成立③错误。
因为当x=1时，不等式x－5＜0成立，所以x=1是它的一个解，但不是全部解，除1之外它还有其他的解，如x=2.1、x=－2等。
二、考查不等式的整数解例2、①不等式1324x-≤<的整数解有；②不等式2x－1≤5最大整数解是。
点拨：整数包括正整数、零和负整数。
解：①介于134-和2(不包括2)之间的整数有－3、－2、－1、0和1，故填－3、－2、－1、0、1；②先利用不等式的基本性质，将原不等式化为x≤3,它的整数解有无数个，最大的为3。
故填3三、考查不等式的解集例3、下列说法正确的是()A、x=3是不等式x＋1＞2的解集B、不等式－4x＞8的解是x＜－2C、不等式－6x＜18的解集为＜－3D、12x>是不等式2x－1＞0的解集。
点拨：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，它包含不等式的每一个解。
不等式的解集一般要化为x＞a或x＜a的形式。
在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向一定要改变。
解：A、错。
因为x=3是不等式x＋1＞2的一个解；B、错。
因为x＜－2是不等式－4x＞8的解集，而不是解C、错。
不等式－6x＜18的两边都除以一个负数时，不等号的方向应改变；D、对。
故选D。
四、考查用数轴表示不等式的解集例4、在数轴上表示下列不等式的解集①x＞3 ②x＜3.5 ③－2≤x＜2点拨：由于数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，所以“大于”应在这个数的右边，“小于”应在这个数的左边，包括这个数应画实心点，不包括这个数应画空心圈。
不等式及其基本性质易错点剖析
）
D. ①②④⑤
错解：因为 c2 是正数，所以③正确，故选 B． 错解分析： 本题的条件是 a＞b， 变形是在不等式的两边同乘 （或除以） c 或 c2，变形正确与否的关键是看 c 或 c2 的取值情况．而本题中 c 为不确定大小的
有理数，故很容易判断①②⑤变形错误．因为 c2 大于等于零，而其在分母中， 故只能大于 0，所以④正确．故选 A． 例 5．已知 am＞bm（m≠0） ，下面结论中，正确的是（ A. a＞b B. a＜b C.
2a－b＝7， a＝5， 字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出 解得 从而错 5b－a＝10， b＝3．
5
3 误得到 ax＞b 的解集是 x＞ ． 5 2a－b＜0， 10 正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0 的解集是 x＜ ，得5b－a 10 解 7 ＝ ， 2a－b 7
A. ①④
错解：5＜3 不成立，故选 B． 错解分析：不等式是指用“＜” ， “＞” ， “≤” ， “≥”或“≠”来表示不等 关系的式子，不受其是否成立的影响．5＜3 虽然不成立，但它仍然是不等式， 故选 D．
6
二、性质类错误 例 3．命题“若 a＜b，c＜d，则 ac＜bd”是否成立？ 错解：成立．因为两个较小数的积一定小于两个较大数的积，例如 2＜3， 4＜5，则有 2×4＜3×5． 错解分析：此题的错误在于对概念的理解模糊不清，若 a，c 为负数，例如 -3＜2，-4＜1，显然（-3）×（-4）不小于 2×1，故该命题不成立． 例 4．若 a＞b， c 为有理数，则下列式子中正确的是（ ①ac＞bc；②ac＜bc；③ac2＞bc2；④ A. ④ B. ③ C. ①②⑤
含绝对值不等式解法要点归纳
含绝对值不等式解法要点归纳解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键．一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有：1．定义法去掉绝对值符号根据实数绝对的意义，即| x | =(0)(0)x xx x≥⎧⎨-<⎩，有：| x |＜c⇔(0)(0)c x c ccφ-<<>⎧⎨≤⎩；| x |＞c⇔(0)0(0)(0)x c x c cx cx R c<->>⎧⎪≠=⎨⎪∈<⎩或；2．利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c ＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b⇔a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．3．平方法去掉绝对值符号．对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点．4．零点分段法去掉绝对值符号．所谓“零点分段法”是指：设数x1，x2，x3，…，xn是分别使含有|x－x1|，|x－x2|，|x－x3|，…，|x－xn|的代数式中相应的绝对值为零，称x1，x2，x3，…，xn 为相应绝对值的零点，零点x1，x2，x3，…，xn将数轴分为n＋1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，从而得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值的不等式组来解．即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．“零点分段法”是解含有多个绝对值符号的不等式的常用手段，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化，思路直观．5．数形结合法去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．数形结合法形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于| x－a|＋| x－b |＞m或| x－a|＋| x－b |＜m (m为正常数)类型的不等式．二、几点注意事项1．根据绝对值定义，将| x |＜c或| x |＞c (c＞0)转化为两个不等式组，这两个不等式组的关系是“或”而不是“且”，因而原不等式的解集是这两个不等式组解的并集，而不是交集．2．| x |＜c和| x |＞c (c＞0)的解集公式要牢记，以后可以直接作为公式使用．但要注意的是，这两个公式是在c＞0时导出的，当c≤0时，需要另行讨论，不能使用该公式．3．解不等式问题与集合运算有密切联系，在应用集合有关内容处理绝对值不等式的过程中，要注意在不等式组的解集中，对不等式端点值的取舍情况．再有，因为已学习了集合表示法，所以不等式的解集要用集合形式表示，不要使用不等式的形式．4．解含有绝对值的不等式的关键是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值符号的不等式，然后再求解，但这种转化必须是等价转化，尤其是平方法去掉绝对值符号时，一定要注意两边非负这一条件，否则就会扩大或缩小解集的范围．5．要学会灵活运用分类讨论思想、数形结合思想、等价专化与化归思想方法处理绝对值不等式问题．三、典型例题思路点拨例1 关于x的不等式| kx－1|≤5的解集为{x |－3≤x≤2}，求k的值．思路点拨：按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k的取值不确定，要以k 的不同取值分类处理．解：原不等式可化为－4≤kx ≤6，当k ＞0时，－k 4≤x ≤k6，依题意，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.26,34k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==3,34k k ，此时无解． 当k = 0时，显然不满足题意．当k ＜0时， k 6≤x ≤－k 4，依题意，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-.36,24kk ⇒ k =－2． 例2 解不等式| x －1|＜| x ＋a |．思路点拨：由于两边均为非负数，因此可以两边平方去掉绝对值符号． 解：由于| x －1|≥0，| x ＋a |＞0，所以两边平方有| x －1|2＜| x ＋a |2， 即有x 2－2x ＋1＜x 2＋2ax ＋a 2，整理得：(2a ＋2)x ＞1－a 2，当2a ＋2＞0，即a ＞－1时，不等式的解为x ＞21(1－a)； 当2a ＋2 = 0，即a =－1时，不等式无解；当2a ＋2＜0，即a ＜1时，不等式的解为x ＜21(1－a)． 例3 若不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，求a 的取值范围． 思路点拨一：此不等式左边含有两个绝对值符号，如何去掉绝对值符号呢？可考虑采用“零点分段”，即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．解一：⑴当a ≤0时，不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集． ⑵当a ＞0时，先求不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 有解时a 的取值范围． 令x －4 = 0，得x = 4，令3－x = 0，得x = 3．①当x ≥4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：x －4＋x －3＜a ，即2x －7＜a ，解不等式组⎩⎨⎧<-≥.72,4a x x ⇒ 4≤x ＜27+a ⇒4＜27+a ， ∴a ＞1．②当3＜x ＜4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋x －3＜a ，解得a ＞1．③当x ≤3时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋3－x ＜a ，即7－2x ＜a ，解不等式组⎩⎨⎧<-≤.27,3a x x ⇒ 27a -＜x ≤3⇒，27a -＜3， ∴a ＞1．综合①②③可知，当a ＞1时，原不等式有解，从而当0＜a ≤1时，原不等式解集为空集．由⑴、⑵两种情况可知，不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，a 的取值范围是a ≤1．思路点拨二：解法一是按去掉绝对值符号的方法求解，这是处理此类问题的一般方法，但运算量大．若仔细观察不等式左边的结构，联想到绝对值| a ＋b|≤| a |＋| b|，便可把问题简化．解二：∵a ＞| x －4|＋| 3－x |≥| x －4＋3－x | = 1，∴当a ＞1时| x －4|＋| 3－x |＜a 有解，从而当0＜a ≤1时，原不等式解集为空集．例4 对任意实数x ，若不等式| x ＋1|－| x －2 |＞k 恒成立，求 k 的取值范围． 思路点拨一：要使| x ＋1|－| x －2 |＞k 对任意x 恒成立，只要| x ＋1|－| x －2 |的最小值大于k ．因| x ＋1|的几何意义为数轴上点x 到－1的距离，| x －2 |的几何意义为数轴上点x 到2的距离，| x ＋1|－| x －2 |的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求．解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1，2在 数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，原不等式即求| PA|－| PB|＞k 成立，因为|AB| = 3，即| x ＋1|－| x －2 |≥－3，故当k ＜－3时，原不等式恒成立．思路点拨二：如果把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出其图象，从图象观察k 的取值范围． 解法二：令y = | x ＋1|－| x －2 |，则 y =⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-.2.321,121,3x x x x 要使| x ＋1|－| x －2 |＞k 恒成立，从图象可以看出，只要k ＜－3即可．故k ＜－3满足题意思．。
2022年暑假初升高数学第15讲：不等式的解集 一元二次不等式的解法(教师版)
2022年暑假初升高数学第15讲：一元二次不等式的解法学习目标核心素养1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．2．解绝对值不等式．(重点、难点)3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1.通过数学抽象理解绝对值不等式．2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1．不等式的解集与不等式组的解集一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．2．绝对值不等式一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？提示：不等式|x|＜a |x|＞a解集{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}3.一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝a＋b 2.4.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c 是常数，而且a≠0.5．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．6．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．7．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像思考4：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？提示：结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎨⎧a >0，1＋4a <0，解得a ∈∅，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R .1．不等式组⎩⎨⎧2x ＋1＞0，3x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12≤x ≤23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ≤23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ≤23 D [因为2x ＋1＞0，∴x ＞－12，3x －2≤0，∴x ≤23，不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ≤23.] 2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅ D ．RD [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R .]3．不等式|x |－3＜0的解集为________．{x |－3＜x ＜3} [不等式变形为|x |＜3，解集为{x |－3＜x ＜3}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图像可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]求不等式组的解集【例1】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，x ＋3＞0的解集是( ) A ．x ＞－3 B ．－3≤x ＜2 C ．－3＜x ≤2 D ．x ≤2C [⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，①x ＋3＞0，②解不等式①得：x ≤2，解不等式②得：x ＞－3， ∴不等式组的解集为－3＜x ≤2，故选C.]一元一次不等式组解集的求解策略(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．1．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5＞3x ＋2，x ＋43≤3x ＋34＋1，并在数轴上表示该不等式组的解集．[解] ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5＞3x ＋2，①x ＋43≤3x ＋34＋1，②由①得，x ＜3， 由②得，x ≥－1，故此不等式组的解集为－1≤x ＜3， 在数轴上表示为：解绝对值不等式【例2】 不等式|5－4x |＞9的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞72 [∵|5－4x |＞9，∴5－4x ＞9或5－4x ＜－9.∴4x ＜－4或4x ＞14， ∴x ＜－1或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞72.]1．(变设问)不等式|5－4x |≤9的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤72 [∵|5－4x |≤9，∴－9≤4x －5≤9.∴－1≤x ≤72，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72.] 2．(变设问)若不等式|kx －5|≤9的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72，则实数k ＝________.4 [由|kx －5|≤9⇔－4≤kx ≤14.∵不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤72， ∴k ＝4.]1．|x |＜a 与|x |＞a 型不等式的解法不等式a ＞0a ＝0a ＜0|x |＜a {x |－a ＜x ＜a } ∅ ∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0}R2.|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －72≤x ≤－52或－12＜x ≤12C [∵2＜|2x ＋3|≤4，∴2＜2x ＋3≤4，或－4≤2x ＋3＜－2，∴－12＜x ≤12，或－72≤x ＜－52，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12，故选C.]一元二次不等式的解法【例3(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3.(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图像写出不等式的解集.3．解下列不等式．(1)2x 2－3x －2>0；(2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0；(4)－3x 2＋5x －2>0.[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2. (2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2. (3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1，∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1.含参数的一元二次不等式的解法【例4】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[思路点拨] ①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1. 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0. 当a <0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a 或x >1.当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若1a <1，即a >1，则1a <x <1； 若1a ＝1，即a ＝1，则x ∈∅； 若1a >1，即0<a <1，则1<x <1a .综上所述，当a <0时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．4．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述， 当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a.三个“二次”的关系[1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图像说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？提示：y ＝x 2－2x －3的图像如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图像在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图像与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则x 1＋x 2，x 1x 2为何值？提示：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例5】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[思路点拨][解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或x ＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．[解] 由根与系数的关系知b a ＝－5，c a ＝6且a <0.∴c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0，即x 2－b c x ＋a c <0，即x 2＋56x ＋16<0.解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <－13. 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2知a ＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0， 即2ax 2＋5ax －3a ＞0.又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0，所求不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a ， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．不等式(组)的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．2．解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．3．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； ②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )＞0，则可得{x |x ＞n 或x ＜m }；若(x －m )(x －n )＜0，则可得{x |m ＜x ＜n }．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．4．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.5．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x 轴的交点坐标.1．思考辨析(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( )[提示] (1)错误．当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R .(3)错误．当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否则不成立．(4)显然c ＝0不成立，错误．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知数轴上A (3)，B (－5)，则线段AB 中点M 的坐标为________． M (－1) [3＋(－5)2＝－1，线段AB 中点M 的坐标为M (－1)．] 3．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么x 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12或x ＜－13 [由1x ＜2可得x ＜0，或x ＞12.①再由|x |＞13可得x ＞13，或x ＜－13.②把①②取交集可得x的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12或x ＜－13.] 4．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1)．[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}．(2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .。
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础
一元二次不等式及其解法【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为{}21x x x x <<要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程12．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】 （1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或 05x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅. 因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是∅. 【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.。
第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组(教师版)
第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。
（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。
）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。
如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。
2、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
4、解一元一次不等式组的一般步骤是:（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。
【典型例题】例1. 解不等式3(1)5182x x x +-+>-【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得．53x >∴不等式的解集为．53x >【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，；b x a=当a ＝0，b ≠0时，无解；当a ＝0，b ＝0时，x为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a>当a ＜0时，；b x a<当a ＝0，b ≥0时，无解；当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a<当a ＜０时，；b xa>当a ＝0，b ≤0时，无解；当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．5113x x -->解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4， 系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x （单位：度）电费价格（单位：元/度）0＜x≤200a 200＜x≤400b x ＞4000.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a ，b 的值．（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式．【答案与解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，解得：x≤450．答：李叔家六月份最多可用电450度．【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关系是关键．例3. 解不等式组： ，并求出正整数解。
不等式的解集
第三节不等式的解集—目标导引1.理解不等式的解与解集的意义.2.掌握不等式的解集的数轴表示.不等式的解集—内容全解1、不等式的解能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.［例1］x=3，6，9中，哪一个是不等式2x－2.5≥15的解？解：把x=3代入不等式2x－2.5≥15中2×3－2.5≥15，6－2.5≥15，3.5≥15显然不成立.∴x=3就不是此不等式的解.把x=6代入得，2×6－2.5≥15，12－2.5≥15，9.5≥15 不成立.∴x=6也不是此不等式的解.把x=9代入得2×9－2.5≥15，18－2.5≥15，15.5≥15∴x=9是不等式2x－2.5≥15的一个解，就此问题继续探索一下，2x－2.5≥15的解是不是就是这一个x=9呢？答案显然不是，由此我们得到：2.不等式的解集定义一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.3.不等式的解与解集的区别解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的.第三课时●课题§1.3 不等式的解集●教学目标（一）教学知识点1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3.会在数轴上表示不等式的解集.（二）能力训练要求1.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力.2.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.（三）情感与价值观要求从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造.●教学重点1.理解不等式中的有关概念.2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.●教学难点探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.●教学方法引导学生探索学习法.●教具准备投影片一张记作（§1.3 A）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］上节课，我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质，并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.［生］不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.［师］很好.在学习了等式的基本性质后，我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程，知道了方程的解、解方程等概念，大家还记得这些概念吗？［生］记得.能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解.求方程的解的过程，叫做解方程.［师］非常好.上节课我们用类推的方法，仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质，能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢？本节课我们就来试一试.Ⅱ.新课讲授1.现实生活中的不等式.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？［师］分析：人转移到安全区域需要的时间最少为410秒，导火线燃烧的时间为10002.0⨯x 秒，要使人转移到安全地带，必须有：10002.0⨯x ＞410.解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得10002.0⨯x ＞410∴x ＞5. 2.想一想（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？（2）你还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值吗？ ［生］（1）x =5不能使x ＞5成立，x =6,8能使不等式x ＞5成立. （2）x =9,10,11…等比5大的数都能使不等式x ＞5成立.［师］由此看来，6，7，8，9，10…都能使不等式成立，那么大家能否根据方程的解来类推出不等式的解呢？不等式的解唯一吗？［生］可以.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.如6、7、8都是x ＞5的解.所以不等式的解不唯一，有无数个解.［师］正因为不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集（solution set ）.请大家再类推出解不等式的概念.［生］求不等式解集的过程叫解不等式. 3.议一议.请你用自己的方式将不等式x ＞5的解集和不等式x －5≤－1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流.［生］不等式x ＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示（图1－3），在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.图1－3不等式x －5≤－1的解集x ≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示（图1－4），在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.图1－4［师］请大家讨论一下，如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？请举例说明. ［生］如x ＞3, 即为数轴上表示3的点的右边部分，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点.x ＜3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示，在这一点上画空心圆圈.x ≥3，可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点，表示包括这一点.x ≤3，可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点.4.例题讲解投影片（§1.3 A ）根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x －2≥－4;（2）2x ≤8 （3）－2x －2＞－10 解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x ≥－2 在数轴上表示为：图1－5（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x ≤4 在数轴上表示为：图1－6（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x ＞－8 根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜4 在数轴上表示为：图1－7Ⅲ.课堂练习 1.判断正误：（1）不等式x －1＞0有无数个解； （2）不等式2x －3≤0的解集为x ≥32. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x ＞4;（2）x ≤－1; （3）x ≥－2;（4）x ≤6. 1.解：（1）∵x －1＞0,∴x ＞1 ∴x －1＞0有无数个解.∴正确. （2）∵2x －3≤0,∴2x ≤3, ∴x ≤23,∴结论错误. 2.解：图1－8Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容1.理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念.2.会根据不等式的基本性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来.Ⅴ.课后作业习题1.3Ⅵ.活动与探究小于2的每一个数都是不等式x+3＜6的解，所以这个不等式的解集是x＜2.这种解答正确吗？解：不正确.从解不等式的过程来看，根据不等式的基本性质1，两边都减去3，得x＜3.所以不等式x+3＜6的解集为x＜3,而不是x＜2.当然小于2的值都在x＜3这个范围内，它只是解集中的一部分，不是全部，所以不能以部分来代替全部.因此说x＜2是不等式x+3＜6的解是错误的.●板书设计§1.3 不等式的解集一、1.现实生活中的不等式（水费问题）；2.想一想（类推不等式中的有关概念）；3.议一议（如何把不等式的解集在数轴上表示出来）；4.例题讲解.二、课堂练习三、课时小结四、课后作业●备课资料参考练习1.用不等式表示：（1）x的3倍大于或等于1；（2）x与5的和不小于0；（3）y与1的差不大于6；（4）x 的41小于或等于2. 2.不等式的解集x ＜3与x ≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来.3.不等式x +3≥6的解集是什么？ 参考答案1.（1）3x ≥1;（2）x +5≥0;（3）y －1≤6;（4）41x ≤2. 2.x ＜3指小于3的所有数，x ≤3指小于3的所有数和3；在数轴上表示它们时，x ＜3不包括3，只是3左边的部分，x ≤3不仅包括3左边的部分，而且还包括3.在数轴上表示略. 3.x ≥3.●迁移发散 迁移1.根据下列数量关系列出不等式：(1)x 的3倍大于1；(2)x 与5的和是负数； (3)y 与1的差是正数；(4)x 的一半不大于8.解：(1)3x ＞1；(2)x +5＜0；(3)y －1＞0；(4)21x ≤8. 2.在－4，－2，－1，0，1，2，3中找出使不等式成立的x 的值. (1)2x +5＞3；(2)5－x ≥3；(3)6≤3x +3. 解：(1)0，1，2，3；(2)－4，－2，－1，0，1； (3)1，2，3.3.在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x ＞3；(2)x ≥0；(3)x ＜－4. 解：(1)图1－9(2)图1－10(3)图1－114.不等式x ≤5有多少个解？有多少个正整数解. 答：有无数个解.正整数解只有1、2、3、4、5.5.某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%.那么商店要降多少元出售此商品？请列出不等式.点拨：利润率=进价进价售价-.解：设要降价x 元. 由题意列出不等式得：150150225--x ≥10%.发散本节我们用到了以前学过的数轴.你还记得这些吗？1.数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴.2.数轴上的点与实数的关系：一一对应.3.数轴上数的特点：右边的总比左边的大. ●方法点拨［例2］写出不等式x －5＜－1的3个解，并写出这个不等式的解集. 解：3个解x =0，x =－1，x =1. 解集是x ＜4.4.求不等式解集的过程叫做解不等式.5.不等式的解集在数轴上的表示.①当不等式的解集是x ＞a 时.(如图1－1)图1－1在数轴上把表示a 的这个点用空心圆圈(表示不等于a )向右画一折线.表示数轴上a 右边的数字，都比a 大.②不等式的解集是x ≥a 时.(如图1－2)图1－2在数轴上把表示a 的这个点用实心圆点向右画一折线. ③当不等式的解集是x ＜a 时.(如图1－3)图1－3在数轴上把表示a的这个点用空心圆圈向左画一条折线.④当不等式的解集是x≤a时.(如图1－4)图1－4在数轴上把表示a的点用实心圆点向左画一折线.［例3］用数轴表示下列不等式的解集.(1)x≥－3 (2)x＜－3.5解：(1)如图1－5图1－5(2)如图1－6图1－6［例4］根据数轴判断不等式的解集.(1)图1－7(2)图1－8解：(1)不等式的解集为x＞－1.(2)不等式的解集为x≤2.3.不等式的解集作业导航理解不等式的解和不等式的解集的含义，会在数轴上表示不等式的解集.一、选择题1.下列说法中，正确的是( ) A.x =2是不等式3x ＞5的一个解 B.x =2是不等式3x ＞5的唯一解 C.x =2是不等式3x ＞5的解集 D.x =2不是不等式3x ＞5的解2.不等式－4≤x ＜2的所有整数解的和是( ) A.－4 B.－6 C.－8 D.－93.用不等式表示图中的解集，其中正确的是( )图1A.x ＞－3B.x ＜－3C.x ≥－3D.x ≤－34.若不等式(a +1)x ＜a +1的解集为x ＜1，那么a 必须满足( ) A.a ＜0 B.a ≤－1 C.a ＞－1 D.a ＜－15.已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( ) A.x ＜2 B.x ＞－2C.当a ＞0时，x ＜2D.当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时，x ＞2 二、填空题6.当a ________时，x ＞ab表示ax ＞b 的解集. 7.不等式2x －1≥5的最小整数解为________. 8.如图2，表示的不等式的解集是________.图29.大于________的每一个数都是不等式5x ＞15的解. 10.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜3a b，那么a 的取值范围是________. 三、解答题11.在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x ＞3 (2)x ≥－2 (3)x ≤4(4)x ＜－21 12.利用不等式的性质求出下列不等式的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)－2x ≥3 (2)－4x +12＜013.不等式的解集中是否一定有无限多个数？不等式|x |≤0、x 2＜0的解集是什么？不等式x 2＞0和x 2+4＞0的解集分别又是什么？ 14.已知－4是不等式ax ＞9的解集中的一个值，试求a 的取值范围. 15.已知不等式2x－1＞x 与ax －6＞5x 同解，试求a 的值.参考答案一、1.A 2.D 3.C 4.C 5.D二、6.＞0 7.3 8.x ＜2 9.3 10.a ＞3 三、11.略 12.(1)x ≤－23(2)x ＞3 13.不等式的解集中不一定有无数多个数. |x |≤0的解集是x =0，x 2＜0无解.x 2＞0的解集为x ＞0或x ＜0，x 2+4＞0的解集为一切实数. 14.a ＜－4915.2●作业指导 随堂练习1.解：(1)√ (2)×2.解：(1)x ＞4图1－12(2)x ≤－1图1－13(3)x ≥－2图1－14(4)x≤6图1－15习题1.31.解：有无数个解.如x=15，14，13，…，0，－1.都是它的解2.解：(1)x≤0图1－16(2)x＞－2.5图1－172(3)x＜3图1－18(4)x≥4图1－19§1.3 不等式的解集●温故知新想一想，做一做填空1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的__________.2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向__________.3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向__________.4.规定了__________、__________、__________的直线叫做数轴.5.数轴上的点与实数之间是__________的关系.你做对了吗？我们一起来对对答案：1.方向不变2.不变3.变向4.正方向原点单位长度5.一一对应看看书，动动脑1.x=3能满足2x－1.5≥15吗？2.填空①__________叫做不等式的解.②__________组成不等式的解集.③__________叫做解不等式.§1.3 不等式的解集班级：_______ 姓名：_______一、认真选一选1.下列说法错误的是（）A.－3x>9的解集为x<－3B.不等式2x>－1的整数解有无数多个C.－2是不等式3x<－4的解D.不等式x>－5的负整数解有无数多个2.如图1—3—1表示的是以下哪个不等式的解集（）图1—3—1A.x>－1B.x<－1C.x≥－1D.x≤－13.把不等式x>2的解集表示在数轴上，以下表示正确的是（）4.不等式－3≤x<2的整数解的个数是（）A.4个B.5个C.6个D.无数个二、请你填一填1.如果3+2x 是正数，则x 的取值范围是________，如果3+2x 是非负数，则x 的取值范围是________.2.不等式|x |<37的整数解是________. 3.x 的3倍不大于－8，用不等式表示为________，其解集是________. 4.使不等式x >－47且x <2同时成立的整数x 的值是________ .三、请在数轴上表示下列不等式的解集(1)x ≥0 (2)x <－2.5 (3)－2<x ≤3四、请写出满足下列条件的一个不等式（1）0是这个不等式的一个解.（2）－2，－1，0，1都是不等式的解.（3）0不是这个不等式的解.（4）与x ≤－1的解集相同的不等式. （5）不等式的整数解只有－1，0，1，2.参 考 答 案一、1.D 2.D 3.C 4.B 二、1.x ＞－23 x ≥－23 2.－2,－1,0,1,2 3.3x ≤－8 x ≤－384.－1,0,1 三、(1)(2)(3)四、(1)x ＞－1（或x ≥0,x ＞－2等都可以）（2）x ＜2(或x ≤1,x ≥－2,x ＞－5等均可) （3）x ＞1(或x ＜－1等均可)（4）2x ≤－2（或x +1≤0,2x +2≤0等均可） （5）－1≤x ≤2(或－1.5＜x ＜2.1等)。
不等式的解法
不等式的解法学科： 数学教学内容：6.4 不等式的解法【基础知识精讲】1.解不等式的差不多思想我们已学过的一元一次不等式、一元二次不等式的解法是学习本节的基础.在解其它类型的不等式时，通过转化，将它们等价变形为一次、二次不等式(组).转化思想为：假如不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；假如代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；假如有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；假如整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一次、二次不等式(组).注意：每一步变形，都应是不等式的等价变形. 2.不等式的解法①一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b 的解集情形是：1°当a>0时，解集为｛x ｜x>a b ｝ 2°当a<0时，解集为｛x ｜x<ab｝3°当a ＝0时， b ≥0时，解集为φb<0时，解集为R.②一元二次不等式的解法： 设a>0，x 1，x 2是方程.2注：当a<0时，可在不等式两边乘-1转化为二次项系数为正的情形，再按上表进行. ③高次不等式的解法：高次不等式用根轴法求解，其步骤是： 1°将f(x)的最高次项的系数化为正数. 2°将f(x)分解为若干个一次因式的积.3°将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次穿过每一个根点画曲线. 4°依照曲线显现出f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集. ④分式不等式的解法：先将不等式整理成)()(x g xf >0或)()(x g x f ≥0的形式，再转化为整式不等式求解. 即)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0 )()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥•0)(0)()(x g x g x f⑤无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.)(x f >g(x) ⇔⎩⎨⎧≥≥2)]x (g [)x (f 0)x (g 或⎩⎨⎧≥<0)x (f 0)x (g)(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x f x g)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)x (g )x (f 0)x (f 0)x (g ⇔f(x)>g(x)≥0⑥指数不等式的解法. 1°同底法 af(x)>ag(x)⇔⎩⎨⎧>><<<)()(1)()(10x g x f a x g x f a 2°取对数法 af(x)>bg(x)⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<<>>babax g x f a x g x f a log )()(10log )()(1 3°换元法⑦对数不等式的解法.1°同底法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>>>⎩⎨⎧><<<⇔>0)()()(10)()()(10log log )()(x g x g x f a x f x g x f a x g ax f a 2°换元法3.本节学习要求(1)解各种变型的不等式，关键要把它们变形为一次、二次不等式(组).(2)求函数的定义域、值域、二次方程的根的分布、讨论参变量的取值范畴等均可化为解不等式的问题.通过本节学习，培养学生的运算能力，使学生明白得把握等价转化的致学思想方法. 【重点难点解析】知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性、逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习初中的一元一次不等式、一元二次不等式的解法，在此基础上，连续学习高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式及对数不等式的解法.例1 解关于x 的不等式：2)1(--x x a >1 (a ≠1)分析 这是一个分式不等式，应先移项，再通分进行因式分解变形.切忌两边同乘以(x-2)而转化为整式不等式，因为(x-2)的正负未知.另外，注意对参数a 的正确的分类讨论.解：原不等式等价于2)2()1(----x x x a >0即为 2)2()1(----x a x a >0⇔ ［(a-1)x-(a-2)］(x-2)>0⇔ (a-1)(x-12--a a )(x-2)>0 ① 当a>1时，式①⇔ (x-12--a a )(x-2)>0 ∵ 12--a a -2＝-11-a -1<0∴1a 2a --<2. ∴ 原不等式的解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞). 当a<1时，式①⇔(x-12--a a )(x-2)<0 由 2-12--a a ＝1-a a知 当0<a<1时，1a 2a -->2，则原不等式解集为(2，12--a a ) 当a ＝0时，原不等式(x-2)2<0，解集为φ.当a<0时，12--a a <2，则原不等式解集为(12--a a ,2). 综上所述：当a<0时，原不等式解集为(12--a a ,2) 当a ＝0时，原不等式解集为φ. 当0<a<1时，原不等式解集为(2，12--a a )当a>1时，原不等式解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞) 点评：本题需要两级分类，第一级按a>1和a<1分为两级，多数学生都能做到，在a<1的情形下，又要按两根12--a a 与2的大小关系分为a<0,a ＝0和0<a<1三类，这时就有许多学生找不到分类的依据，甚至缺乏分类讨论的意识.例2 解不等式222322xx x x -+-+<x 分析 此题是分式不等式，可按分式不等式的解法求解.即需先移项通分，整理成)()(x g x f 0的形式，再转化为它们的整式不等式求解.解：移项整理，将原不等式转化为：)1)(3()1)(2(2+-++-x x x x x >0∵ x 2+x+1>0恒成立. ∴ 原不等式等价于)1)(3(2+--x x x >0解之，得原不等式解集为｛x ｜-1<x<2或x>3｝.注：此题也可用列表法或数轴标根法求解，但用根轴法更简捷. 例3 解不等式log 2)12(-x·log 21)22(1-+x >-2.分析 此题为对数不等式，(可通过换元)，由log 21)22(1-+x ＝21log)]12(2[1x -+＝-1-log 2)12(-x，因此可通过换元令t ＝log 2)12(-x，则可转化为代数不等式求解.解：原不等式可化为： log 2)12(-x·［-1-log 2)12(-x］>-2令log 2)12(-x＝t,则上面不等式可化为：t(-1-t)>-2.即t 2+t-2<0即 (t+2)(t-1)<0 ∴ -2<t<1 从而有 -2<log 2)12(-x<1则 2-2<2x-1<2 即45<2x<3∴ log 245<x<log 23∴ log 25-2<x<log 23∴ 原不等式解集为｛x ｜log 25-2<x<log 23｝ 【难题巧解点拨】例1 关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1＝0在区间［0，2］上有解，求实数m 的取值范畴. 分析 此题为含参的一元二次方程解的情形，可由二次方程的实根分布来解.则可设f(x)＝x 2+(m-1)x+1题意即为f(x)＝0在［0，2］上有解，其中包括两种情形：1°有一解，2°有两解.解：设f(x)＝x 2+(m-1)x+1 x ∈［0，2］，则： (1)f(x)＝0在区间［0，2］上有一解： 因为f(0)＝1>0 因此只需f(2)≤0 即 4+2(m-1)+1≤0⇒m ≤-23 (2)f(x)＝0在区间［0，2］上有二解.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤-⇒≤-≤≥0)2(12322100f m m △综上由(1)(2)可知：m ≤-1.例2 若关于x 的方程4x +a ·2x+a+1＝0有实数解，求实数a 的取值范畴?解法一：令t ＝2x (t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0(1)则问题转化为方程(1)在(0，+∞)上有实数解，求a 的取值范畴.由⎩⎨⎧≥0)1(0的较大根大于方程△ 即⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥+-020)1(42△a a a解得：a ≤2-22解法二：令t ＝2x(t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0，变形为：a ＝-tt ++112＝-12)1(2++-t t＝-［(t-1)+12+t ］ ＝-［(t+1)+ 12+t -2］≤-(22-2)＝2-22例3 已知f(x)是定义在区间(-∞，4)上的减函数，是否存在实数m ，使得 f(m-sinx)≤f(m 21+-47+cos 2x)对定义域内的一切实数x 均成立.若存在，求出m 的取值范畴，若不存在，说明理由.解：假设存在实数m ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧--≥++-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≤-22)21(sin 21214sin sin cos 47214sin x m m x m x x m m x m ∵sinx 的最小值为-1，且-(sinx-21)2的最大值为0，要满足题意，则须有： ⎪⎩⎪⎨⎧-=≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥++--≤-212330212114m m m m m m 或∴m 的取值范畴是｛m ｜m ＝21或23≤x ≤3｝【命题趋势分析】平常要求：1.按解各类不等式的解法来求解不等式. 2.含参的不等式问题，能对参数进行正确的分类讨论.3.应用不等式可求函数的定义域、值域、讨论函数的单调区间、讨论函数的一元二次方程根的存在和根的分布.【典型热点考题】例1 实数m 在什么范畴时方程x 2+(m-3)x+m ＝0的两根满足：(1)差不多上正根；(2)都在(0，2)内.解：(1)依题意，满足⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=00304)3(2m m m m △时，即m ∈(0,1)时两根均为正.(2)设f(x)＝x 2+(m-3)x+m ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<-≤≥⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥32031190)2(0)0(22300m m m m m f f m 或△⇒32<m ≤1，即m ∈(32，1)时，两根都在(0，2)内. 例2 关于实数x 的不等式｜x-21(a+1)2｜≤21(a-1)2与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 (a ∈R)的解集分别为A 和B ，求使A ⊆B 的a 的取值范畴.解：由｜x-21(a+1)2｜≤21(a+1)2得2a ≤x ≤a 2+1,∴A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2+1,a ∈R ｝. 由x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，可得(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2即a ≥31时，B ＝｛x ｜2≤x ≤3a+1 a ∈R ｝， 当3a+1<2即a<31时，B ＝｛x ｜3a+1≤x ≤2 a ∈R ｝,∴当a ≥31时，若A ⊆B ，则有⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ，解不等式组得1≤a ≤3. 当a<31时，若A ⊆B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≤+211221322a a a a a ，解不等式组得：a ＝-1，故使A ⊆B 的a 的取值范畴是｛a ｜1≤a ≤3或a ＝-1｝. 例3 设y ＝]1)(2[2122log +-+x x x b ab a (a>0,b>0)，求使y 为负值的x 的取值范畴.解：要y<0，只要a 2x +2(ab)x -b 2x >0，即b 2x［(b a )2x +2·(ba )x-1］>0, ∵b 2x>0,∴［(b a )x ］2+2(b a )x-1>0. 解那个关于(b a )x 的二次不等式得：(b a )x >2-1或(b a )x <-2-1，但(b a )x>0，∴只有(ba )x>2-1,∴当a ＝b>0时，x ∈R. 当a>b>0时，b a >1，两边取以b a 为底的对数，得x>)12(log -ba .当0<a<b 时，0<b a <1，两边取以b a 为底的对数，得x<)12(log -ba ，因此x 的取值范畴是：当a ＝b>0时，x ∈R.当a>b>0时，x ∈()12(log -ba,+∞).当0<a<b 时，x ∈(-∞，)12(log -ba).【同步达纲练习】A一、选择题1.若x 满足x 1<2与x 1>-3则x 的取值范畴是( ) A. -31<x<21 B .x>21C. x<-31 D. 0<x<21 2.函数y ＝)23(31log x -的定义域为( )A.｛x ｜x ≥-3｝B.｛x ｜-3≤x ≤23｝ C.｛x ｜1≤x ＜23D.｛x ｜x ≥-1｝ 3.与不等式xx --45≥0同解的不等式是( )A.(x-5)(4-x)≥0B.lg (x-4)≤0C.xx --45≥0 D.lg (x-5)≥0 4.设0<a<1，给出下面四个不等式： ①)1(2log +a a <)1(3log +a a②2a a >(2a )a③(2a )a >a a ④a a >2a a 其中不成立的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知方程mx 2-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根，则m 的取值范畴是( ) A.m<4 B.0<m<4C.m<-5或0<m<4D.m<-2或0<m<4 二、填空题6.不等式21x -≥x 的解集为 .7.不等式(31)82-x >3-2x的解集为 . 8.不等式lg )22(2++x x <1的解集为 .三、解答题9.若不等式49)1(220822+++++-m x m mx x x <0的解集为R ，求实数m 的取值范畴.10.解不等式lg )1(xx -<0AA 级一、选择题1.已知I ＝R ，集合M ＝｛x ｜20012000--x x ≤0,x ∈R ｝，N ＝｛x ｜(x-2000)(x-2001)≥0，x∈R ｝，P ＝｛x ｜10(x-2000)(x-2001)≥1，x ∈R ｝，则( )A.M ∩N ＝PB.M ∪P ＝NC.M ∩N ∪P ＝MD.M ∪N ∪P ＝R2.已知不等式x 2-4x+3<0① x 2-6x+8<0② 2x 2-9x+m<0③，要使同时满足①②的x 也满足③，则有( )A.m>9B.m ＝9C.m ≤9D.0<m ≤93.若函数f(x)＝)2(212log ++kx x 的值域为(-∞,+∞)，则实数k 的取值范畴是( )A.(-22，22)B.［-22,22］C.(-∞，-22)∪(22,+∞)D.(-∞,-22)∪［22,+∞］4.关于x 的不等式(k 2-2k+25)x <(k 2-2k+25)1-x的解集为( ) A.｛x ｜x<21｝ B.｛x ｜x>21｝C.｛x ｜x>2｝D.｛x ｜x<2｝ 5.若ax 2+bx+c>0的解集为｛x ｜x<-2或x>4｝，那么关于函数f(x)＝ax 2+bx+c 会有( ) A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5) 二、填空题6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-0492x x 的解集是 .7.不等式ax 2+bx+2>0的解集为(-21，31)，则a+b 的值是 . 8.4x(x+2)-8·32x >0的解集为 . 三、解答题9.已知A ＝｛x ｜5-x ≥21-x ｝B ＝｛x ｜x 2-ax ≤x-a ｝，当A ⊂B 时，求a 的取值范畴.10.设关于x 的二次方程px 2+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的两倍，求p 的取值范畴.【素养优化训练】 一、选择题1.假如不等式a x +≥x 的解集在数轴上构成长度为2a 的区间，则a 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同；命题Q ：21a a ＝21b b ＝21c c，则命题Q 是命题P 的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设x 1<x 2…<x n ,n ∈N 且n ≥2.｛x ｜(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0｝⊃｛x ｜x 2-(x 1+x n )x+x 1x n >0｝，则n( )A.等于2B.是大于2的任意奇数C.是大于2的任意偶数D.是大于1的任意自然数4.在x ∈(31,3)上恒有｜log a x｜<1成立，则实数a 的取值范畴是( ) A.a ≥3 B.0<a ≤31C.a ≥3或0<a ≤31D.a ≥3或0<a<315.已知f(x)、g(x)差不多上奇函数，f(x)>0的解集为(a 2-b),g(x)>0的解集为(22a ，b)，则f(x)·g(x)>0的解集为( )A.(22a ,2b ) B.(-b,-a 2)C.(a 2, 2b )∪(-2b ,-a 2) D.(22a ,b)∪(-b 2,-a 2)二、填空题6.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范畴是 .7.设函数f(x)＝122++x bax ,x ∈(-∞，+∞)的最大值为4，最小值为-1，则a 、b 的值为 .8.已知函数f(x)＝ax+2a+1的值在-1≤x ≤1时有正有负，则a 的取值范畴为 .三、解答题9.已知F(x)＝f(x)-g(x)，其中f(x)＝log a (x-b)，当且仅当点(x 0，y 0)在f(x)的图像上时，点(2x 0,2y 0)在y ＝g(x)的图像上.(b>0,a>0且a ≠1)(1)求y ＝g(x)的解析式. (2)当F(x)≥0时，求x 的范畴.10.汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车时还要连续向滑行一段距离才能停住，称这段距离为刹车距离，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发觉情形不对时，同时刹车，但依旧相撞了.事故后，现场测得甲车的刹车距离是略超过12米，乙车的距离略超过10米，又已知甲、乙两种车型刹车距离s 米与车速x 千米/小时之间有如下关系：S 甲＝0.1x+0.01x 2，S 乙＝0.05+0.005x 2，问超速应负责任的是谁?答案：A 级1.D2.C3.B4.B5.B6.｛x ｜x ≤22｝ 7.｛x ｜-2<x<4｝ 8.｛x ｜-4<x<2｝ 9.解：∵x 2-8x+20＝(x-4)2+4>0恒成立，∴原不等式等价于mx 2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立，则只须⎩⎨⎧<<00△m 即⎩⎨⎧<+-+<<0)49(4)1(402m m m m △，因此可得m ∈(-∞,- 21). 10.解：由对数函数的性质和定义知：0<x-x 1<1，即0<x x 12-<1,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-110122xx xx 即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-0)1(0)1(22x x x x x ，当x>0时，有⎪⎩⎪⎨⎧<-->->0101022x x x x ，∴解集为｛x ｜1<x<251+｝,当x<0时，有⎪⎩⎪⎨⎧>--<-<0101022x x x x ,∴解集为｛x ｜-1<x<251-｝,∴原不等式解集为｛x ｜-1<x<251-｝∪｛x ｜1<x<251+｝. AA 级1.D2.C3.D4.A5.D6.［3，5］7.-148.｛x ｜x>23或x<-1｝ 9.解：A ＝｛x ｜1≤x ≤3｝，B ＝｛x ｜(x-a)(x-1)≤0｝，要使A ⊂B ，则只需a>3即可，故a 的取值范畴为a>3.10.解：方程有两不等正根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>0002121x x x x △，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>->+--=01010)1(4)1(2pp pp p p p △解得：0<p<332-1，证x 1＝p p p p 216312+----,x 2＝pp p p 216312+--+-，由x 2>2x 1并注意p>0得：31632+--p p >1-p>0,∴28p 2+52p-8<0，即7p 2+13p-2<0,∴-2<p<71,综上得p 的取值范畴为｛P ｜0<p<71｝. 【素养优化训练】1.B2.D3.C4.C5.C6.a>-17. ⎩⎨⎧==32b a 或⎩⎨⎧=-=32b a 8.-1<a<-319.解：(1)易知y 0＝log a)(0b x -，令2x 0＝u,2y 0＝v,则x 0＝2u ，y 0＝2v代入得v ＝2log a )2(b u-，又因为点(u 、v)在y ＝g(x)图象上，∴y ＝g(x)＝2log a)2(b x -.(2)F(x)＝f(x)-g(x)＝log a)(b x --2log a)2(b x-，由F(x)≥0得log a)(b x --2log a )2(b x-≥0①，当a>1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≥-020)2(2b xb x b x b x ⇒⎩⎨⎧>≤+++-b x b b x b x 2044)44(22⇒⎩⎨⎧>+++≤≤+-+bx b b x b b 244224422⇒2b<x ≤2b+2+21+b .当0<a<1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≤-020)2(2b xb x b x b x ⇒x ≥2b+2+21+b ，∴当a>1，2b<x ≤2b+2+21+b 时F(x)≥0，当0<a<1，x ≥2b+2+21+b 时，F(x)≥0.10.解：依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+>+10005.005.01201.01.022乙乙甲甲x x x x ②① 由①解得x 甲<-40或x 甲>30，由②解得x 乙<-50或x 乙>40，∴乙车超速，应负事故的要紧责任.。
人教版初一数学下册：不等式及其性质(基础)知识讲解
附录资料：不等式及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画． 注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性质】 要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)． 要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6； (3)m 除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m+≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x -y ＞0；若x 小于y ，则有x -y ＜0等．举一反三： 【变式】（2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B．类型二、不等式的解及解集2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是()A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】根据不等式解的定义作答．【答案】D【解析】解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．故知x＝2不是原不等式的解．【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是()【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．【答案】C【解析】解：∵不等式x＞1∴在数轴上表示为:故选C．【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．【高清课堂：一元一次不等式370042练习2】举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4【答案】B类型三、不等式的性质4.（2015•浙江模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【答案】C ． 【解析】解：A 、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B 正确； C 、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C 错误； D 、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D 正确； 故选：C ．【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 举一反三：【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？ 【答案】解：如图，设c ,b ,a 为任意一个三角形的三条边，则：b ac ,a c b ,c b a >+>+>+移项可得：a b c ,c a b ,b c a ->->-> 即：三角形两边的差小于第三边．附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用． 【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34. xx>⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集． 【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2． 其解集在数轴上表示如图所示．（2） 原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x < 解②得：12x ≥-故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x名学生，根据题意，得：437611 4376132x xx x+>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵） 答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【答案与解析】 解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本； 方案二：文学名著27本，动漫书47本； 方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？ 【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆． （2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）； 方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）； 方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。
方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析
中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组 （其中a ＞b ）图示 解集 口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解 （空集） （大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去． 【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由． 【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小． 【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0． 由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大． 【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想． 举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105； 若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110． 故今年最少可招收“宏志班”学生110名． 【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式； （2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可． 【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4； 当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去． 当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
●方法点拨
［例2］写出不等式x－5＜－1的3个解，并写出这个不等式的解集.
解：3个解x=0，x=－1，x=1.
解集是x＜4.
4.求不等式解集的过程叫做解不等式.
5.不等式的解集在数轴上的表示.
①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1)
图1－1
在数轴上把表示a的这个点用空心圆圈(表示不等于a)向右画一折线.表示数轴上a右边的数字，都比a大.
②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2)
图1－2
在数轴上把表示a的这个点用实心圆点向右画一折线.
③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3)
图1－3
在数轴上把表示a的这个点用空心圆圈向左画一条折线.
④当不等式的解集是x≤a时.(如图1－4)
图1－4
在数轴上把表示a的点用实心圆点向左画一折线.
［例3］用数轴表示下列不等式的解集.
(1)x≥－3 (2)x＜－3.5
解：(1)如图1－5
图1－5
(2)如图1－6
图1－6
［例4］根据数轴判断不等式的解集.
(1)
图1－7 (2)
图1－8 解：(1)不等式的解集为x＞－1.
(2)不等式的解集为x≤2.。