解不等式的方法归纳

当a <0时，解为x

a

当a = 0, b > 0时无解；当a = 0, b < 0时，解为R. _

一元二次不等式：(如下表)其中a > 0, x i , X 2是一元二次方程 ax 2

+bx+c=0的两实根，且 x i

a >0的解法一样)

3.简单的一元高次不等式：可用区间法

(或称根轴法)求解，其步骤是：,,

①将f(x)的最高次项的系数化为正数；,,

丄!^ > 0或丄凶 > 0的形式，转化为整式不等式求解，即:

g(x) g(x)

然后用 二、疑难知识导析

1. 不等式解法的基本思路

解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解 变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化 为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式

解不等式的方法归纳

一、知识导学 , 儿一次不等式 1. 当a>0时，解为 ax>b ,

b

② 将f(x)分解为若干个一次因式的积；,,

③ 将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线; ④ 根据曲线显示出的

2.

f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集

4.分式不等式：先整理成 Hxl > 0

g(x)

f(x)

-g(x) > 0J

> 0

g(x)

f(x)

g(x) 0

或 f(x) g(x)>0

“根轴法” 或化为不等式组求解

的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元

一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形，

2.

不等式组的解集是本组各不等式解集的交集， 所以在解不等式组时,

等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴， 一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高， 几个区间误看成是两个或几个不等式的解集

.3.

泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集 不等式求解一注意分类.,

三、经典例题导讲

取值范围是

错解：由 I x — 1 |< 3得：一2< x < 4, J 又由(X + 2) (x + a)=0 得 x=— 2 或 x = — a,」

A 是

B 的充分不必要条件理

{ x| — 2< x < 4} { x| — 2 < X V — a }

—a>4故选D.」 错因：忽略了 a =— 4时，{ x| — 2< x < 4} = { x| — 2< x <— a }，此时A 是B 的充要条

件,

不是充分不必要条件.,_

正解：由 I x — 1 |< 3 得：一2< x < 4, _1 又由(X + 2) (x + a)=0 得 x= — 2 或 x = — a, j

A 是

B 的充分不必要条件川

{ x| — 2< X < 4}

{ x| — 2< x <— a } .

—a>4故选C.」

x

［例 3］已知 f(x) = a x + b ，若 3

f(1) 0, 3 f (2) 6,求 f (3)的范围.」

先要解出本组内各不 将本组内各不等式的解集在同 不要将一个不等式解集

的两个或

集合的思想和方法在解不等式问题中有广

.解不等式的另一个难点是含字母系数的

2

［例1］如果kx+2kx — (k+2)<0恒成立，则实数

—1 w k<0 C. — 1

错解：由题意:

k

(2k)2 4k ［ (k 2)］

解得：—1

2

错因：将 kx +2kx — (k+2)<0 看成了- 正解：当k = 0时，原不等式等价于一

定是一元二次不等式，忽略了

k = 0的情况. 2 < 0，显然恒成立，

k = 0符合题意.,

k 0

当k 0时，由题意：

2

(2k)2 4k

［(k 2)］

解得：—1

1 k 0 ,故选 c.j

［例 2］命题 A:|x 1 <3,命题 B:(x 2)(x

a) < 0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的

A. (4,

) B. 4, C. ( , 4)

D.

3 15 ③

错解：由条件得

2a

②X 2—①

①X 2—②得 ③+④得 10

3 3a 43 3 x

f (x) ax -，其值是

b

同时受a 和b 制约的.当a 取最大(小)值时，b 不一定取最大(小)值，因而整个解题思路 是错误的.,, 错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实: 作为满足条件的函数

正解: f(1)

由题意有

f ⑵

2a b ，

-! 2 解得: a 3[2f(2) 2 b -[2f(1) f(2)], 3

f(3)

f(1). 把f (1)和f(2)的范围代入得 ［例4］解不等式( x+2) 2

(X +3)(X —2) 0., 错解： (x+2) 2 0 原不等式可化为：(x+3)(x 原不等式的解集为｛ x| x 错因：忽视了“ —2) 0, —3 或 x 2 ｝ IJ —2) 0 ②，_

解①得：x= — 3或x =— 2或x = 2,

解②得：x < — 3或x > 2 原不等式的解集为｛ x| x —3或x 2或x

2 ［例5］解关于x 的不等式a(x ab) b(x ab)

解：将原不等式展开，整理得：

(a b)x ab(a

b h

讨论：当a b 时，x

ab(a a

b) b ,

当a b 时，若a b > 0时x

;若

a b <0 时 x

”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中 2

①或(x+2) (x+3)(x 正解：原不等式可化为：(x+2) 2(x+3)(x — 2) 0