高中数学不等式归纳讲解

第三章不等式

定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

3-1 不等式的最基本性质

①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；

②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；

③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；

④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）

3-2 不等式的同解原理

①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。

②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。

③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。

④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式

0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解

不等式解集表示方式

F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的

F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式

3-3-1 均值不等式

1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n

H n

21n +++= 2、几何平均数： n 1

n 21n )a ...a a (G =

3、算术平均数： n

)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=

这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn

a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号

3-3-1-1均值不等式的变形

(1)对正实数a,b ，有2ab b a

22≥+ (当且仅当a=b 时

取“=”号)

(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥

+ (6)对非负数a,b ，有ab )2

b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a b

c R +∈，有a b c ++

≥a b c ==时

成立）

(8)对非负数a,b,c ，有

ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 22

2b

1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理

当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。

均值不等式求最值主要方法：

1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.

2.当使用均值定理时等号不能成立时，

应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

3-3-2 权方和不等式 m n

3211m n 321m n 1m n m 31m 3m 21m 2m 11m 1)b ...b b (b )a ...a a a (b a ....b a b a b a ++++++++>+++++++++ a,b,n 为正整数。m 为正数。

3-4绝对值不等式

|a +b |≤|a |+|b |

||||||a b a b -≤+

3-5 不等式例题解析

3-5-1 绝对值不等式

1、求2|55|1x x -+<的解

2、右边的常数变为代数式

(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x

形如|()

f x|>()

g x型不等式

f x|<()

g x，|()

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

①|()

f x<()

g x

g x<()

f x|<()

g x⇔－()

②|()

f x<－()

g x或()

g x

g x⇔()

f x>()

f x|>()

3、两个绝对值不等式

解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.形如|()

g x|型不等式

f x|<|()

1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

|()

g x|⇔22

f x|<|()

<⇔[()()][()()]

f x

g x

()()

+-<0

f x

g x f x g x

2）所谓零点分段法，是指：若数

x，2x，……，n x分别使含有

1

|x－

x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为零，称1x，1

x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，n x将数轴分2

为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各

段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

例题．不等式|x+3|-|2x-1|<2

x +1的解集为 。 解：

|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x 4、含参数绝对值不等式

解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x

［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x

当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或