高中数学不等式归纳讲解
(完整版)高中数学不等式归纳讲解
第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。
③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。
④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+ (6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a bc R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。
高中数学不等式解题方法全归纳
高中数学不等式解题方法全归纳大家好，今天咱们来聊聊高中数学里的不等式。
这个话题呢，看起来有点吓人，但其实掌握了几个方法，解起来也就像吃饭喝水那么简单了。
我们就像个探险家，一步步揭开不等式的神秘面纱吧！1. 不等式基础知识1.1 不等式的基本概念首先，不等式呢，其实就是用来比较两个数值之间大小关系的。
最常见的有“<”、“>”、“≤”、“≥”这四种符号。
比如，3 < 5，这里表示3小于5。
其实，不等式就像是一道门，我们要找出哪一方在门的左边，哪一方在右边。
1.2 不等式的基本性质要解不等式，得先了解几个基本性质。
比如说，加减乘除这几个操作在不等式中是怎么表现的。
举个简单的例子：加减法：如果你在不等式的两边都加上或减去一个相同的数，结果不等式的方向不会改变。
比如，3 < 5，加2后变成了5 < 7。
乘除法：如果你在不等式的两边都乘以一个正数，结果不等式的方向也不会改变。
但如果你乘或除以负数，不等式的方向就会翻转。
比如，2 < 4，当你乘以1时，就变成了2 > 4。
2. 不等式的常见解法2.1 线性不等式的解法线性不等式是最简单的一类不等式。
比如，2x + 3 < 7。
这种情况，我们可以通过移项和合并同类项来解。
步骤如下：1. 移项：把常数项移到另一边。
2x < 7 3。
2. 化简：化简右边的数值。
2x < 4。
3. 除以系数：最后，除以2，得到x < 2。
这时候，不等式就解出来了。
简单吧？2.2 二次不等式的解法二次不等式可能有点复杂，但不怕，我们一步步来。
假如有一个不等式x^2 4 < 0。
解这个不等式可以分为几个步骤：1. 解对应的方程：先解x^2 4 = 0。
这个方程的解是x = ±2。
2. 画图分析：我们可以把这个方程的解标在数轴上，x = 2和x = 2。
然后就可以用测试点法或者符号法来判断在哪些区间内不等式成立。
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳什么是不等式一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
高中数学基本不等式知识点数学知识点1．不等式性质比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0数学知识点2．算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、b∈R＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：如果为实数，则重要结论(1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。
数学知识点3．证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。
高中数学不等式
高中数学不等式不等式是数学中重要的一部分，它们将代数和几何结合在一起，使它们同时成为数学研究的重要方面。
在高中数学教学中，《不等式》是一个重要章节，考查学生的代数运算和几何直观，也是进一步掌握高中数学的重要基础。
本文将着重讲解高中数学不等式的相关概念，同时介绍不等式的基本类型和解决问题的方法。
1.不等式的基本概念不等式是数学中一种比较关系，它关注“大于”、“小于”、“不等”之间的关系，是指两个数或两个算式之间的大小关系，包括不等式的符号、不等式的解集和不等式的性质等。
其中，符号是不等式的基本元素，不同的符号表示不同的关系，如小于表示左边的值小于右边的值，大于表示左边的值大于右边的值，小于等于表示左边的值小于或等于右边的值，大于等于表示左边的值大于或等于右边的值，不等于表示左边的值不等于右边的值。
符号在不等式中具有极其重要的作用，它能够对不等式的解集产生影响。
不等式的解集是指满足不等式的所有实数的集合，也就是能够使不等式成立的数的范围。
例如，不等式x+2>0的解集是x>-2，也就是x大于-2的所有实数。
解集可以通过图像表示出来，在平面直角坐标系中，不等式的解集是平面直角坐标系上的某一部分，它可能是一条直线，一个区域或整个坐标系。
不等式的性质也是研究不等式的重要方面，不等式的性质包括可加性、可乘性、对称性、转化等。
其中，可加性和可乘性是不等式的基本运算性质，它们在求解不等式中具有重要的作用。
对称性是指如果将不等式两边的数交换，则不等式依然成立。
转化是指将不等式转化为等价的不等式，便于求解和证明。
2.不等式的基本类型不等式的类型有很多，其中最重要的类型包括一次不等式，二次不等式，分式不等式和绝对值不等式。
一次不等式是指只有一次方的不等式，一般形式大于（》）、小于（《）、大于等于（》=）、小于等于（《=）等形式，例如3x+2>5、4x-6<18x+9等。
求解一次不等式的过程就是将不等式中的未知数找出来并移项，将类似于项归列，用代数方法或图形法求出其解集。
高中不等式知识点归纳总结
高中不等式知识点归纳总结一、基本概念不等式是数学中的一种关系式，表示两个数或两个式子之间的大小关系。
不等式中包含了大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
二、解不等式的方法1.加减法原理：将同一个数加减到不等式的两边，不等式仍然成立。
2.乘除法原理：将同一个正数或同一个负数乘除到不等式的两边，不等式的方向不变；将同一个正数乘除到不等式的两边，不等式方向不变；将同一个负数乘除到不等式两边，不等式方向改变。
3.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
用平方差公示来解决有些带有平方项的二次函数。
4.配方法：通过添加适当的常量或因子使得方程左右完全匹配。
然后可以使用因子分解法或其他方法进行求解。
三、常见类型1.一元一次不等式：形如ax+b>c(x∈R)，其中a≠0。
可使用加减法和乘除法原理进行求解。
2.二元一次不等式组：形如{ax+by>c,dx+ey>f}(x,y∈R)。
可使用代数法或图象法进行求解。
3.绝对值不等式：形如|ax+b|>c(x∈R)。
可使用分段函数法进行求解。
4.二次不等式：形如ax²+bx+c>0(x∈R)。
可使用配方法、因式分解和图象法进行求解。
四、常见应用1.经济学中的应用：在生产和消费中，需要考虑成本和收益之间的关系，可以通过不等式来表示。
2.几何学中的应用：在三角形或四边形中，需要考虑各边长之间的大小关系，可以通过不等式来表示。
3.物理学中的应用：在力学问题中，需要考虑物体的速度、加速度等与时间相关的因素，可以通过不等式来表示。
4.竞赛数学中的应用：许多数学竞赛都会涉及到不等式问题，需要灵活运用各种方法进行求解。
五、注意事项1.注意符号方向：在使用乘除法原理时要注意符号方向是否改变。
2.注意取值范围：在解二次不等式时要注意判别式大于0或小于0的情况，以确定其根的取值范围。
3.注意绝对值问题：在解绝对值不等式时要注意分段函数的定义域和取值范围。
高中基本不等式知识点归纳总结
高中基本不等式知识点归纳总结一、基本概念：不等式是数学中的一种关系，表示两个数之间的大小关系。
高中基本不等式主要包括一元一次不等式、一元二次不等式和简单的多元不等式。
二、一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。
常用的解法有图像法、代入法和分段讨论法。
三、一元二次不等式：一元二次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式。
解一元二次不等式的关键是找到不等式的根，并确定根的取值范围。
常用的解法有图像法、配方法和开口方向法。
四、基本性质：1. 对称性：如果a>b，则-b>-a。
2. 传递性：如果a>b，并且b>c，则a>c。
3. 加减性：如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
4. 倍数性：如果a>b，并且c>0，则ac>bc；如果a>b，并且c<0，则ac<bc。
五、常用不等式：1. 平均值不等式：对于任意非负实数a和b，有(a+b)/2 >= √(ab)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)| <= √(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b| <= |a|+|b|。
六、应用：1. 解实际问题：不等式在解决实际问题中起着重要作用，例如在优化问题、最值问题和约束问题中常常会用到不等式。
2. 推导其他不等式：基本不等式可以推导出其他不等式，例如根据平均值不等式可以推导出均值不等式和加权均值不等式。
七、注意事项：1. 在解不等式时，需要注意不等号的方向，切勿将不等号颠倒。
2. 在使用不等式进行推导时，需要保持不等式的严格性，即不等号不能变为等号，否则可能导致错误的结论。
高中不等式知识点归纳总结
高中不等式知识点总结1. 不等式的定义和基本性质不等式是数学中用来表示大小关系的符号。
一般地，设a、b是实数，可以有以下四种不等式关系：•$ a < b $ ：表示a小于b，即a严格小于b；•$ a > b $ ：表示a大于b，即a严格大于b；•$ a b $ ：表示a小于等于b，即a小于或等于b；•$ a b $ ：表示a大于等于b，即a大于或等于b。
基本性质：•对于不等式的加减运算：若a小于等于b，则a+c小于等于b+c，a-c小于等于b-c（c为实数）；•对于不等式的乘法运算：若a小于等于b且c大于0，则ac小于等于bc，若c小于0，则ac大于等于bc；•对于不等式的除法运算：若a小于等于b且c大于0，则a/c小于等于b/c，若c小于0，则a/c大于等于b/c（c不等于0）。
2. 一元一次不等式2.1 不等式的解集表示一元一次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。
对于形如ax+b>0或ax+b<0的一元一次不等式，可以先求出方程的零点x=-b/a，再根据a的正负判断不等式的解集：•当a>0时，不等式的解集为x<−b/a或x>−b/a；•当a<0时，不等式的解集为x>−b/a或x<−b/a。
2.2 一元一次不等式的性质•当且仅当不等式两边同时加上（或减去）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变；•当且仅当不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。
3.1 不等式的解集表示一元二次不等式的解集可以用数轴上的区间表示。
对于形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的一元二次不等式，可以先求出抛物线的顶点和判别式D的值，再根据D的正负判断不等式的解集。
•当a>0时，不等式的解集为抛物线顶点的左右两侧；•当a<0时，不等式的解集为抛物线顶点的外侧。
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总一、均值不等式：均值不等式是不等式理论中的重要分支，其中最基本的是算术平均数和几何平均数之间的关系。
1.算术均值不等式(AM-GM):对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn , 有以下不等式成立：(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n ≥ √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn)证明：令a = (x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n，其中x1, x2, x3,⋯, xn为非负实数。
令 b = √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn) ，则要证明的不等式即为 a ≥ b。
根据均值不等式的性质，两个算术均值之间有一个几何均值，即a≥b。
2. 加权平均值不等式 (Chebyshev 不等式)：对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn 和 w1 , w2 , w3 ,⋯, wn 为正实数，并且 w1 + w2 + w3 + ⋯ + wn = 1，有以下不等式成立：w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥ (x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯xn^wn)证明：将w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn 展开为 w1/x1 + w2/x2 +w3/x3 + ⋯ + wn/xn，利用 AM-GM 不等式即可证明。
即 w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥(x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯ xn^wn)二、特殊不等式：特殊不等式是指在一些特殊条件下成立的不等式，是数学中的一种重要类型。
1. 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz):对于任意实数 a1, a2, a3,⋯, an 和 b1, b2, b3,⋯, bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ⋯ + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + a3^2 + ⋯+ an^2)· (b1^2 + b2^2 + b3^2 + ⋯ + bn^2)证明：考虑函数 f(t) = (a1t + a2t + a3t + ⋯ + ant)^2 ，求导可证明。
数学基本不等式知识点(高中数学知识点复习资料归纳整理)
数学基本不等式知识点（高中数学知识点复习资料归纳整理）基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决最大（小）值问题.3. 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.3. 如图，是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b，过点C作交圆于点D，连接AD、BD易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.要点诠释：1. 在数学中，我们称为a,b的算术平均数，称为a,b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果a>0，b>0，我们用、分别代替a、b，可得：如果a>0，b>0，则，（当且仅当a=b时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果a>0，b>0，，（当且仅当a=b时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
用数学归纳法证明不等式-高中数学知识点讲解
用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0 时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1/ 2【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．2/ 2。
高中数学不等式的性质及一元二次不等式知识要点及例题讲解
不等式的性质及一元二次不等式考纲解读 1.利用不等式的性质判断不等式成立或比较大小；2.根据二次函数求解给定的一元二次不等式；3.利用三个“二次”间的关系求参数或不等式恒成立问题．[基础梳理]1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .3．两个实数比较大小的依据 (1)a －b >0⇔a >b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b <0⇔a <b .4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系有两个相等实根[三基自测]1．下列四个结论，正确的是( )①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ；②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③ 答案：D2．不等式x (9－x )<0的解集为( ) A ．(0,9) B ．(9，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(9，＋∞)答案：D3．(必修5·习题3.2B 组改编)若函数y ＝mx 2－(1－m )x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．答案：[13，＋∞)4．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤0x 2 x >0，则f (x )≥1的解集为__________．答案：{0}∪[1，＋∞)考点一 一元二次不等式的解法|方法突破[例1] (1)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (2)解不等式x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． [解析] (1)－x 2－3x ＋4>0⇒(x ＋4)(x －1)<0. 如图，作函数y ＝(x ＋4)(x －1)的图象， ∴当－4<x <1时，y <0. (2)由x 2－4ax －5a 2>0， 知(x －5a )(x ＋a )>0.由于a ≠0，故分a >0与a <0讨论． 当a <0时，x <5a 或x >－a ； 当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }； a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． [答案] (1)(－4,1) [方法提升][母题变式]1．将例(1)的不等式改为“－x 2－3x ＋4≤0”，其解集为________． 解析：由－x 2－3x ＋4≤0得x 2＋3x －4≥0， 即(x ＋4)(x －1)≥0，∴x ≥1或x ≤－4. 答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)2．将例(1)的不等式变为“x 2－3x ＋4>0”，其解集为________． 解析：令y ＝x 2－3x ＋4，∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y >0恒成立．∴x ∈R . 答案：R3．将例(2)变为“x 2－4ax －5a 2>0”，如何求解． 解析：由例(2)知，(1)若a ＝0，不等式为x 2>0解集为{x |x ≠0}， (2)当a >0,5a >－a ，解集为{x |x >5a 或x <－a }， (3)当a <0,5a <－a ，解集为{x |x <5a 或x >－a }．考点二 不等式恒成立问题|方法突破[例2] (1)(2018·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0](2)(2018·郑州调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12都成立，则a 的最小值是________．(3)对于任意a ∈[－1,1]，f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，那么x 的取值范围是________．[解析] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－8k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A. (2)法一：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，⎝⎛⎭⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52. 法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a 2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a2<0，即a >0时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上，a 的最小值为－52.(3)令g (a )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，由题意知g (－1)>0且g (1)>0，解得x <1或x >3.[答案] (1)A (2)－52 (3)(－∞，1)∪(3，＋∞)[方法提升]一元二次不等式恒成立问题的破解方法[母题变式]在本例(1)中，改为“对于x ∈[1,2]上，2kx 2＋kx －38<0恒成立”，求k 的取值范围．解析：k (2x 2＋x )<38，当x ∈[1,2]时，3≤2x 2＋x ≤10，∵k <38(2x 2＋x )恒成立，380≤38(2x 2＋x )≤18，∴k <380.考点三 比较大小问题|模型突破角度1 作差(商)法比较代数式的大小 [例3] 已知a >0，b >0，且a ≠b ，则( ) A ．ab ＋1>a ＋b B ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2 C ．2a 3b >3a 2bD ．a a b b <a b b a[解析] 选项A(作差法)，ab ＋1－(a ＋b )＝ab －a ＋(1－b )＝a (b －1)＋(1－b )＝(a －1)(b －1)，显然当a ，b 中有一个等于1时，(a －1)(b －1)＝0，即ab ＋1＝a ＋b ；故选项A 不正确． 选项B(作差法)，a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a 2－b 2)(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．因为a >0，b >0，a ≠b ，所以a ＋b >0，(a －b )2>0，故(a －b )2(a ＋b )>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，故选项B 正确．[答案] B [模型解法]角度2 巧用不等式性质比较大小[例4] 若a >b ，则下列各式正确的是( ) A ．a ·lg x >b ·lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x[解析] 已知a >b ，选项A ，由已知不等式两边同乘lg x 得到，由不等式的性质可知，当lg x >0时，a ·lg x >b ·lg x ；当lg x ＝0时，a ·lg x ＝b ·lg x ；当lg x <0时，a ·lg x <b ·lg x ．故该选项不正确．选项B ，由已知不等式两边同乘x 2得到，由不等式的性质可知，当x 2>0时，ax 2>bx 2；当x 2＝0时，ax 2＝bx 2.故该选项不正确．选项C ，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a >b >0时，a 2>b 2；当a >0>b 且|a |<|b |时，a 2<b 2.故该选项不正确．选项D ，由已知不等式两边同乘2x 得到，且2x >0，所以a ·2x >b ·2x .故该选项正确． [答案] D [模型解法]角度3 构造函数法比较代数式的大小[例5] 已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln ⎝⎛⎭⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝⎛⎭⎫32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1x ×x －1×ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f ⎝⎛⎭⎫54<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即b <a <c .故选B. [模型解法][高考类题]1．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：依题意a ＝g (－log 25.1)＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)． 因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2， 则f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数． 又log 25.1>0,20.8>0,3>0， 且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3， 而20.8<21＝log 24<log 25.1，所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .故选C. 答案：C2．(2017·高考山东卷)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a解析：法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1.∵b 2a ＝1a 2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.故选B. 法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b .故选B. 答案：B1.[考点一](2014·高考大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：由x (x ＋2)>0得x >0或x <－2；由|x |<1得－1<x <1，所以不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C.答案：C2.[考点三](2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0D ．ln x ＋ln y >0解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；当x >0且y >0时，ln x ＋ln y >0⇔ln xy >0⇔xy >1，而x >y >0⇒/ xy >1，故D 错误．答案：C3.[考点二](2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3解析：∵a x <a y,0<a <1， ∴x >y ，∴x 3>y 3. 答案：D4.[考点二、三](2014·高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A 、B 、C 均错，只有D 正确． 答案：D。
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法
高中数学知识点归纳不等式的性质与求解方法高中数学知识点归纳——不等式的性质与求解方法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或者表达式之间大小的关系。
不等式是数学中重要且广泛应用的概念，在高中数学学习中，学生需要掌握不等式的性质及求解方法。
本文将对不等式的性质及求解方法进行归纳总结。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性是指如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在求解不等式问题时经常会使用到。
2. 不等式的加减性对于不等式a>b和一个非负实数c，有以下结论：a+c > b+ca-c > b-c利用这个性质可以对不等式进行加减运算，从而简化不等式的形式。
3. 不等式的乘除性对于不等式a>b和一个正实数c，有以下结论：a*c > b*c (当c>0时)a*c < b*c (当c<0时)同样地，利用这个性质可以对不等式进行乘除运算，从而简化不等式的形式。
4. 不等式的倒置性对于不等式a>b，将不等式两边同时取负，得到-b>-a，即b<a。
这就是不等式的倒置性。
二、不等式的求解方法1. 图像法图像法是一种简单可行的不等式求解方法。
对于一元一次不等式，可以将其转化为一条直线，根据直线在数轴上的位置来判断不等式的解集。
2. 实数集合法通过观察不等式中的变量范围，结合实数集合的性质，可以得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x-3<5，可以通过观察得到x的范围应该是(-∞, 4)。
3. 符号法符号法是一种常用的不等式求解方法，通过对不等式两边进行推导和变形，利用不等式的性质进行运算，最终得到不等式的解集。
4. 区间法对于一元一次不等式，可以通过构造不等式的区间来求解。
例如，对于不等式x+2>5，可以通过将不等式两边同时减去2，得到x>3，表示x的取值范围是(3, +∞)。
三、不等式的分类与求解1. 一元一次不等式一元一次不等式是最简单的一类不等式，通常形式为ax+b>c或者ax+b<c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
高中数学不等式知识点
不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6、四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+ 小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1、不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 。
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2baab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b an b n a m a mb a b<++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小）， 如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
高一不等式知识点归纳总结
高一不等式知识点归纳总结高一阶段学习数学，不等式是一个重点知识点，也是数学建模等应用题的常见考点。
在高中阶段，学生需要对不等式的性质、解集的表示和不等式的应用等方面进行深入学习。
本文将对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。
一、不等式的性质1. 不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
这个性质在证明不等式的过程中经常会用到。
2. 不等式的加减性：如果a<b，那么a±c<b±c。
即不等式两侧同时加（或减）一个常数，不等号的方向保持不变。
3. 不等式的乘法性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。
如果a<b，且c<0，那么ac>bc。
也就是说，不等式两侧同时乘以一个正数（或负数），则不等号的方向保持不变；若乘以一个负数，不等号的方向则反向。
4. 不等式的倒数性：如果a<b，且ab≠0，那么1/b<1/a。
当不等式两侧取倒数后，不等号的方向发生改变。
二、不等式解集的表示1. 不等式解的表示方式：不等式解集通常用区间表示，包括开区间、闭区间和无穷区间。
- 开区间：表示不包含某一值的解集，一般用(a, b)表示，表示a<b 之间的所有数但不包括a和b。
- 闭区间：表示包含某一值的解集，一般用[a, b]表示，表示a≤x≤b 之间的所有数。
- 无穷区间：表示解集没有上下界的情况，分为无穷大区间和无穷小区间。
2. 解不等式的步骤：解不等式的主要步骤有：移项、消项、分析正负、绘制数轴和表示解集。
三、不等式的类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b 为已知实数，x为未知数。
- 解一元一次不等式的步骤：先将不等式化简为ax>c或ax<c的形式，然后根据a的正负情况进行讨论，最后找出解集。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 2、不等式的性质：（1）a b b a <⇔> ， a b b a >⇔< （反对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:证法一：（比较法）a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++- 2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）。
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳主要包括以下几个方面：
1. 不等式的概念和性质：不等式是数学中比较基础的概念，它表示两个数之间的大小关系。
不等式的性质包括：对称性、传递性、加法法则、乘法法则等。
这些性质在解决不等式问题时非常重要。
2. 一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过移项、合并同类项、化系数为1等方法，将其转化为一元一次方程，然后求解。
3. 一元二次不等式：一元二次不等式是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过因式分解、配方、判别式等方法，将其转化为一元二次方程，然后求解。
4. 分式不等式：分式不等式是含有分式的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过通分、分子分母同号或异号等方法，将其转化为整式不等式，然后求解。
5. 绝对值不等式：绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过绝对值的定义，将其转化为分段函数，然后分别求解每一段的情况。
6. 不等式的应用：不等式在实际生活中有广泛的应用，如优化问题、最值问题、范围问题等。
在解决这些问题时，需要根据问题的实际情况，建立相应的不等式模型，然后求解。
以上是高中数学不等式知识点的主要归纳，希望对你有所帮助。
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第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。
③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。
④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+ (6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a bc R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。
均值不等式求最值主要方法：1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.3-3-2 权方和不等式 m n3211m n 321m n 1m n m 31m 3m 21m 2m 11m 1)b ...b b (b )a ...a a a (b a ....b a b a b a ++++++++>+++++++++ a,b,n 为正整数。
m 为正数。
3-4绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |||||||a b a b -≤+3-5 不等式例题解析3-5-1 绝对值不等式1、求2|55|1x x -+<的解2、右边的常数变为代数式(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x形如|()f x|>()g x型不等式f x|<()g x，|()这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()f x<()g xg x<()f x|<()g x⇔－()②|()f x<－()g x或()g xg x⇔()f x>()f x|>()3、两个绝对值不等式解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.形如|()g x|型不等式f x|<|()1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()g x|⇔22f x|<|()<⇔[()()][()()]f xg x()()+-<0f xg x f x g x2）所谓零点分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含有1|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为零，称1x，1x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，n x将数轴分2为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
例题．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。
解：|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x 4、含参数绝对值不等式解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴3mx或x>m3<3-+当0m时，0|6m即3-=3=++x∴x≠-6|>当0m时，x∈Rm即3-<+3<方法归纳：形如|()f x|>a(a R∈)型不等式f x|<a，|()此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当a>0时，|()f x>af x|<a⇔－a<()f x|>a⇔()f x<a；|()或()f x<－a；②当a=0时，|()f x≠0f x|>a⇔()f x|<a无解，|()③当a<0时，|()f x有意义。
f x|<a无解，|()f x|>a⇔()4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式|x－4|+|3－x|<a的解集为空集，求a的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x |<a 有解时a 的取值范围。
令x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3① 当x ≥4时，原不等式化为x －4+x －3<a ，即2x －7<a 解不等式组474272x a x x a≥⎧+⇒≤<⎨-<⎩，∴a >1 ② 当3<x <4时，原不等式化为4－x +x －3<a 得a >1 ③ 当x ≤3时，原不等式化为4－x +3－x <a 即7－2x <a解不等式377337222x a a x x a≤⎧--⇒<≤⇒<⎨-<⎩，∴a >1 综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a ≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求a 取值范围是a ≤1解法二由|x －4|+|3－x |的最小值为1得当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵a >|x －4|+|3－x |≥|x －4+3－x |=1 ∴当a >1时，|x －4|+|3－x |<a 有解 从而当a ≤1时，原不等式解集为空集。
方法总结：1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补。
()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥。
()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a <恒成立()max a f x ⇒>。
()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补。
()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤。
()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤。
6、绝对值三参数不等式问题已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证：(1)||1b ≤；(2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f 、(0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。
因为由已知条件得|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。
［解题］证明：(1)由()()()()11,1[11]2f a b c f a b c b f f =++-=-+⇒=--，从而有11||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1,221||(|(1)||(1)|) 1.2b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤ (2)由()()()()()()111,1[11],[11],(0),22f a b c f a b c b f f a c f f c f =++-=-+⇒=--+=+-=从而()()1[11](0)2a f f f =+-- 将以上三式代入2()(,,)g x bx ax c abc R =++∈，并整理得22222211|()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)|2211|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)|2211|(0)|1||(1)||1||(1)||1|221111|1||1||1|1(1)(1)222222g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤收获1） 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数. 2）本题变形技巧性强，同时运用公式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+及已知条件进行适当的放大。