概率论第六章作业附答案

概率论与数理统计
参数估计
二、计算题 1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得 直径（毫米）如下： 14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8. 设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信概率 0.95的置信区间.如果： (1) 已知标准差为0.15毫米； （2）未知标准差.

1 ˆ x
解得矩估计量为
4
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参数估计
2. 设总体服从指数分布 X ~ e( ) ， 取一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求 矩估计量 和最大似然估计量.
解 （2）似然函数为：
L( ) e
ˆ 最大似然估计为：
n
ln x
i 1
n
i
9
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x
参数估计

6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f ( x; ) 的矩估计值与最大似然估计值. 解 (1) 矩估计法
E( X 2 ) 1 2
解
(2) 似然函数为：
L( p )
p(1 p) p (1 p)
n xi 1
n
xi n
i 1
n
i 1
n ln L( p) n ln p ln(1 p) xi n i 1 n xi n d ln L( p) n i 1 令 0 dp p 1 p
，S 2
1 n ( X i X )2 n 1 i 1
，
B ） S 是 的最大似然估计量；
C
C） S 是 的相合估计量（即一致估计量） ； D） S 与 X 相互独立 .
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参数估计
概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
一、 填空题
2
2
1、设总体 ~ ( , ) , 1 ,…， n 是 的样本，则当 已知时，求 的置信区间所使用的统计量为
= =
x s n
X n
； 服从
N 0,1
分布；当 未知时，求 的置信区间所使用的统计量
2
， 服从 t
2
n 1. 分布．
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山东建筑大学理学院信息与计算科学教总体服从几何分布:
P X x p1 p
x 1
, x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
xi
n
n
xi
i 1
n
n ln L( p) ( xi )ln p n xi ln(1 p) i 1 i 1
令
d ln L( p) dp
x
i 1
n
i
p

n xi
i 1
n
1 p
0
得 p的极大似然估计值为：p ˆx
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n
n
a 1 xi x i e i 1 n
n
a
ln L( ) n ln( a ) (a 1) ln xi xia
i 1 i 1
d ln L( ) n n a xi 0 d i 1
最大似然估计值为
ˆ
n
a x i i 1 n
1 e , x , 2 其中 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数θ



x 2e

x

dx
1



0
x 2e

x

dx 2 2
n 1 2 2 2 令 E ( X ) xi 2 n i 1
参数θ的矩估计值为
ˆ
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8. 设 ˆ1 和 ˆ2 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 Dˆ1 2Dˆ2 ，求常数 c 和 d ，使
ˆ 最小 . ˆ c ˆ d ˆ 为 的无偏估计，并使方差 D 1 2
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参数估计
n
概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
i i 1
p( x , ) 1. 若 X 是离散型随机变量， 分布律是 P{ X x} P( x; ) ， （ 是待估计参数） ， 则似然函数 ，
X 是连续型随机变量，概率密度是 f ( x; ) ，则似然函数是
解得矩估计量为
a 2 ab b 2 1 n 2 xi 3 n i 1 2 3 n 2 ˆ x a xi 3 x n i 1
n 2 3 2 ˆ b x xi 3 x n i 1
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2
2、设总体 ~ ( , ) , 1 ,…， n 是来自 的一个样本，则当 已知时，求 的置信区间所使用的
1
统计量为 =
=
2 x i 2 i 1
n
(n 1) s 2
； 服从
2 n
分布．则当 未知时，求 的置信区间所使用的统计量为
1
dx
1
参数θ的矩估计值为
ˆ x 1 x
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参数估计
x 1 , 0 x 1, f ( x, ) 其它. 0,
5. 设总体 X 的概率密度为
其中 0 ，如果取得样本观测值为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计 值.
a 1 x a
x0 0 是未知参数， x 0 ，其中
参数估计
a 0 是已知常数，试根据来自总体 X 的简单随机样本 X 1 , X 2 , X n ，求
的最大似然估计量
^
解 似然函数 L( ) ax e
i 1
n
a 1 xia i
( a )
2
2
； 服从
2 n 1分布．
2
3、设由来自总体 ~ (,0.9 ) 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数 的置信度 为 0.95 的置信区间是
4.412,5.588 ．
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4. 设 X ~ U (a, b) ，一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 a, b 的矩估计量.
解
E( X )
2
b
a b
1 1 b2 a 2 a b x dx ba ba 2 2
2
1 1 b3 a 3 a 2 ab b 2 E( X ) x dx a ba ba 3 3 ab 1 n xi 按矩法得方程组 2 n i 1
参数估计
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1 , 0 x 1, f ( x, ) 其它. 0,
其中 0 ，如果取得样本观测值为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计 值.
解 (1) 矩估计法
Q E ( X ) x x
0
1
1 n 2 xi 2n i 1
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(2)最大似然估计法
1 似然函数 L( ) e i 1 2
n xi


2
1
n
1
e
1

xi
i 1
n
ln L( ) nln 2 ln
解
(2)似然函数为
1 n 1 L( ) x ( x g x L x ) 1 2 n i
i 1 n
ln L( ) n ln ( 1) ln xi
i 1
n
d ln L( ) n n ln xi 0 d i 1
m 1 解 (1) EX m p(1 p) m1 p m(1 p)


而
m 1


m 1
m 1
q
m
q 1q
∴
m 1
mq

m 1

1 (1 q)
2

1 p2
1 EX ∴ p 1 1 n xi x 令 p n i 1
1 ˆ 得 p的矩估计值为：p x
2
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二、计算题 1. 设总体服从几何分布:
P X x p1 p
x 1
, x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。