概率论第六章作业附答案

解
由题意得
cd 1
ˆ ) (2c2 d 2 ) D( ˆ) D( 2
即要求 2c 2 d 2 从而解得
达到最小值
c
1 2 ,d . 3 3
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概率论与数理统计
参数估计
1 n Xi n i 1
9、 设 n 个随机变量 X 1 ，X 2 ， …，X n 独立同分布，D( X 1 ) 2 ，X 则 A） S 是 的无偏估计量；
m 1 解 (1) EX m p(1 p) m1 p m(1 p)


而
m 1


m 1
m 1
q
m
q 1q
∴
m 1
mq

m 1

1 (1 q)
2

1 p2
1 EX ∴ p 1 1 n xi x 令 p n i 1
1 ˆ 得 p的矩估计值为：p x
1 ˆ 得 p的极大似然估计值为：p x
3
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参数估计
2. 设总体服从指数分布 X ~ e( ) ， 取一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求 矩估计量 和最大似然估计量.
解 （1）矩估计
E( X ) 1
1
dx
1
参数θ的矩估计值为
ˆ x 1 x
8
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参数估计
x 1 , 0 x 1, f ( x, ) 其它. 0,
5. 设总体 X 的概率密度为
其中 0 ，如果取得样本观测值为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计 值.
i 1 n xi
n
e
n

xi
i 1
n
ln L( ) n ln xi
i 1
d ln L( ) n n 令 xi 0 d i 1
ˆ 1 极大似然估计值为： x
5
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xi
n
n
xi
i 1
n
n ln L( p) ( xi )ln p n xi ln(1 p) i 1 i 1
令
d ln L( p) dp
x
i 1
n
i
p

n xi
i 1
n
1 p
0
得 p的极大似然估计值为：p ˆx
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参数估计
二、计算题 1. 设总体服从几何分布:
P X x p1 p
x 1
, x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
解
(2) 似然函数为：
L( p )
p(1 p) p (1 p)
n xi 1
n
xi n
i 1
n
i 1
n ln L( p) n ln p ln(1 p) xi n i 1 n xi n d ln L( p) n i 1 令 0 dp p 1 p
2
2、设总体 ~ ( , ) , 1 ,…， n 是来自 的一个样本，则当 已知时，求 的置信区间所使用的
1
统计量为 =
=
2 x i 2 i 1
n
(n 1) s 2
； 服从
2 n
分布．则当 未知时，求 的置信区间所使用的统计量为
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参数估计
3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p) ，这里 0 p 1. 现从总体中抽 取了一个样本 x1 ,, xn ，试求 p 的极大似然估计量.
解 似然函数为： L( p) p (1 p)
xi i 1
n
n
1 xi
i 1 p (1 p)
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参数估计
n
概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
i i 1
p( x , ) 1. 若 X 是离散型随机变量， 分布律是 P{ X x} P( x; ) ， （ 是待估计参数） ， 则似然函数 ，
X 是连续型随机变量，概率密度是 f ( x; ) ，则似然函数是
一、 填空题
2
2
1、设总体 ~ ( , ) , 1 ,…， n 是 的样本，则当 已知时，求 的置信区间所使用的统计量为
= =
x s n
X n
； 服从
N 0,1
分布；当 未知时，求 的置信区间所使用的统计量
2
， 服从 t
2
n 1. 分布．
总体均值E ( X )
的无偏估计量。样本方差 S
2
总体方差D( X )
的无偏估计量。
4. 设 总 体 X ~ P( ) ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1 ,, X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量 为
ˆ X ，极大似然估计为 ˆX
。
1

i 1
xi
n
d ln L( ) n 1 n 2 xi 0 d i 1
参数θ的最大似然估计值为 ˆ 1 n x i
n i 1
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ax e p ( x ; ) 7、设总体 X 的概率函数为 0
参数估计
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1 , 0 x 1, f ( x, ) 其它. 0,
其中 0 ，如果取得样本观测值为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计 值.
解 (1) 矩估计法
Q E ( X ) x x
0
1
解
(2)似然函数为
1 n 1 L( ) x ( x g x L x ) 1 2 n i
i 1 n
ln L( ) n ln ( 1) ln xi
i 1
n
d ln L( ) n n ln xi 0 d i 1
ˆ ) 称 ，若 E ( 是 的无偏估计量。设 1 , 2 是未知参数 的两个 2. 若未知参数 的估计量是
无偏估计量，若
) f ( x ,。
i i 1
n
ˆ ) D( ˆ ) D( 1 2
1 较 2 有效。 则称
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是 是
解(1) u
X 0 n
~ N 0,1.
0 0 P x u x u 1 . n 2 n 2
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参数估计
4. 设 X ~ U (a, b) ，一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求参数 a, b 的矩估计量.
解
E( X )
2
b
a b
1 1 b2 a 2 a b x dx ba ba 2 2
2
1 1 b3 a 3 a 2 ab b 2 E( X ) x dx a ba ba 3 3 ab 1 n xi 按矩法得方程组 2 n i 1
ˆ 最大似然估计为：
n
ln x
i 1
n
i
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x
参数估计

6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f ( x; ) 的矩估计值与最大似然估计值. 解 (1) 矩估计法
E( X 2 ) 1 2
2
2Байду номын сангаас
； 服从
2 n 1分布．
2
3、设由来自总体 ~ (,0.9 ) 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数 的置信度 为 0.95 的置信区间是
4.412,5.588 ．
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二、计算题 1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得 直径（毫米）如下： 14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8. 设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信概率 0.95的置信区间.如果： (1) 已知标准差为0.15毫米； （2）未知标准差.
1 n 2 xi 2n i 1
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(2)最大似然估计法
1 似然函数 L( ) e i 1 2
n xi


2
1
n
1
e
1

xi
i 1
n
ln L( ) nln 2 ln

1 ˆ x
解得矩估计量为
4
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2. 设总体服从指数分布 X ~ e( ) ， 取一个样本为 x1, x2 ,L , xn ，求 矩估计量 和最大似然估计量.
解 （2）似然函数为：
L( ) e
1 e , x , 2 其中 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数θ



x 2e

x

dx
1



0
x 2e

x

dx 2 2
n 1 2 2 2 令 E ( X ) xi 2 n i 1
参数θ的矩估计值为
ˆ
a 1 x a
x0 0 是未知参数， x 0 ，其中
参数估计
a 0 是已知常数，试根据来自总体 X 的简单随机样本 X 1 , X 2 , X n ，求
的最大似然估计量
^
解 似然函数 L( ) ax e
i 1
n
a 1 xia i
( a )
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8. 设 ˆ1 和 ˆ2 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 Dˆ1 2Dˆ2 ，求常数 c 和 d ，使
ˆ 最小 . ˆ c ˆ d ˆ 为 的无偏估计，并使方差 D 1 2
解得矩估计量为
a 2 ab b 2 1 n 2 xi 3 n i 1 2 3 n 2 ˆ x a xi 3 x n i 1
n 2 3 2 ˆ b x xi 3 x n i 1
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二、计算题 1. 设总体服从几何分布:
P X x p1 p
x 1
, x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
n
n
a 1 xi x i e i 1 n
n
a
ln L( ) n ln( a ) (a 1) ln xi xia
i 1 i 1
d ln L( ) n n a xi 0 d i 1
最大似然估计值为
ˆ
n
a x i i 1 n
，S 2
1 n ( X i X )2 n 1 i 1
，
B ） S 是 的最大似然估计量；
C
C） S 是 的相合估计量（即一致估计量） ； D） S 与 X 相互独立 .
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