《第18章平行四边形_复习课》精品课件

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人教版八年级下册第18章平行四边形复习课件共17张

人教版八年级下册第18章平行四边形复习课件共17张

1、如图,在四边形ABCD中,点E、F是对 角线BD上的两点,且BE=DF (1)若四边形ABCD是平行四边形, 求证四边形AECF是平行四边形
(2)若四边形ABCD是菱形,那么四边 形AECF也是菱形吗?为什么?
(3)若四边形ABCD是矩形,试判断四 边形AECF是否为矩形。
探究2.一题多解,培养发散思维 已知:如图,在正方形 ABCD,E是BC边上一点,F是CD 的中点,且AE = DC + CE. A D 求证:AF平分∠DAE.
F
B
E
C
证法一:
(延长法)延长EF,交AD 的延长线于G。 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠C=∠ADC=90° (正方形四边相等,四个角都是直角) ∴∠GDF=90°, ∴∠C =∠GDF 在△EFC和△GFD中
∴△EFC≌△GFD(ASA) ∴CE=DG,EF=GF ∵AE = DC + CE, ∴AE = AD + DG = AG, ∴AF平分∠DAE.
B
思考:如果用“截取法”,即在AE 取点G,使AG=AD,再连结GF、 EF,这样能证明吗?
A D F G B E C
当堂测评:
填空题.
1.有一组邻边相等的 平行四边形 是菱形,菱形的对角线互 相 垂直平分 .
2.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中,是中心对称 图形的有 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ;是轴对称图 形的有 矩形、菱形、正方形 . 3. 平行四边形相邻两边之比为3:5,它的周长32 cm, 则这个平行四边形较长边长为_________ cm. 10
4. 已知四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD 为平行四边形,需要增加的条件是____ AD=BC或AB _____ ∥ CD _(只需要填一个你认为正确的条件即可). 5、平行四边形ABCD中,∠A-∠B=30°,则 ∠A, 105°,75°,105°,75° ∠B,∠C,∠D的度数分别为___________

人教版初二下册数学第十八章《平行四边形》复习课(34张PPT)

人教版初二下册数学第十八章《平行四边形》复习课(34张PPT)

三角形的中位线
1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 (∵E为AC的中点,F为AB的中点,∴EF为△ABC中位线)
2、三角形的中位线平行三角形的第三边,且等于第三边 的一半. (∵EF为△ABC中位线 ∴EF=½ BC,EF∥BC)
3、一个三角形有三条中位线。
A
E
F
C
B
学习检测 1.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中若BC=5, 则DE的长是 2.5 2.已知:三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm , 10cm _. 连结各边中点所成三角形的周长为___ 3.△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点, 18 __ 若DE=4,AD=3,AE=2,则△ABC的周长为____ 4.已知:△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的 中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长 是 24 cm. A
ABF ≌ DCE
E F
D
C
(2)由(1)的结论知∠B=∠C ∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD ∴∠B+∠C=180 ∴B=90 ∴四边形ABCD是矩形
7.(2011中考题)如图,在△ABC中,点O是AC边 上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线 于点F,连接AE、AF。那么当点O运动到何下时,四边 A 形AECF是矩形?并证明你的结论。 当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时, F 四边形AECF是矩形 M 3 E O 证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2, 2 4 1 5 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3, B C ∴∠3=∠2,∴EO=CO. 同理,FO=CO∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形 又∵∠1=∠2,∠4=∠5, ∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90° ∴四边形AECF是矩形

人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 复习课 课件(共24张PPT)

人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 复习课  课件(共24张PPT)


对角相等 邻角互补 四个角
对角线
对称性
互相平分
中心对称图形 中心对称图形
平行且相等
平行 且四边相等 平行 且四边相等
都是直角 对角相等
互相平分且相等
互相垂直平分,且每一 条对角线平分一组对角
轴对称图形 中心对称图形
轴对称图形 邻角互补 四个角 互相垂直平分且相等,每 中心对称图形 都是直角 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
A
Q M
已知:△ABC中AB=AC=a,M 为底边BC上任意一点,过点M 分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q. (1)线段QM、PM、AB之间 有什么关系? P (2)图中的三角形之间有什么 关系?
B
C
中点四边形考点
1、如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是
边AB、BC、CD、DA的中点,请判断四边形EFGH A 的形状,并说明理由。 H
A O B 1题 D C A O 2题 D C
你准行
B
抢 答 3:
要使
要使
我说我所想
ABCD成为矩形,需增加的条件是______
ABCD成为菱形,需增加的条件是______
要使矩形ABCD成为正方形,需增加的条件是____ 要使菱形ABCD成为正方形,需增加的条件是____ 要使四边形ABCD成为正方形,需增加的条件是 ______
它们的周长和面积怎样?你能说说吗?
三、几种特殊四边形的常用判定方法:
四边形
条件
1、定义:两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 5、两组对角分别相等 2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
平行 四边形
矩形
1、定义:有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义:一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形

第十八章+平行四边形+单元复习课件人教版八年级数学下册

第十八章+平行四边形+单元复习课件人教版八年级数学下册


在Rt△ABG和Rt△AFG中,
,பைடு நூலகம்

∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解:∵△ABG≌△AFG,∴BG=FG,
设BG=FG=x,则GC=6-x,
∵E为CD的中点,∴CE=EF=DE=3,
∴EG=3+x,∴在Rt△CEG中,32+(6-x)2=(3+x)2,
解得x=2,∴BG=2.
知识点五:中点问题
(1)直角三角形斜边上的中线性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)三角形的中位线
①定义
三角形两条边中点的连线就是三角形的中位线.
②中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一
半.
5.如图,在△ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中
点.若AB=10,AC=6,则四边形AEDF的周长为 16 .
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(3)判定平行四边形的基本思路
①若已知一组对边平行,可以证这一组对边相等或另一组对
边平行;②若已知一组对边相等,可以证这一组对边平行或
另一组对边相等;③若已知一组对角相等,可以证另一组对
角相等;④若已知条件与对角线有关,可以证对角线互相平
分.
1.(1)(2022广东)如图,在▱ABCD中,一定正确的是( C )
④对角线平分一组对角得到45°角;
⑤边长与对角线的长度比为1∶ .
(2)正方形的判定
①对角线相等的菱形是正方形;
②有一个角为直角的菱形是正方形;
③对角线互相垂直的矩形是正方形;
④有一组邻边相等的矩形是正方形.
(3)判定正方形的核心思路:如果一个四边形既是菱形又是

八年级数学下册第18章平行四边形总复习课件人教版24张ppt

八年级数学下册第18章平行四边形总复习课件人教版24张ppt
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习,自己研究,用自己的头脑来想,用自己的眼睛看,用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
方法1:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2:
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3:
对角线相等的平行四边形是矩形 。
1.菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质:
对边平行
对角线互相平分、
四边相等
对角相等
互相垂直且平分每
一组对角
•9、要学生做的事,教职员躬亲共做;要学生学的知识,教职员躬亲共学;要学生守的规则,教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 8:01:24 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住,你不仅是教课的教师,也是学生的教育者,生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021

人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课 (1)ppt课件

人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课 (1)ppt课件

(3)如果AC=BD 且AC⊥BD,
则四边形EFGH为
正方形 .
菱形 矩形
. A
.
E
H D
O
G
B
F
C
.
谢谢观看!
课堂小结
1. 熟记一般平行四边形和特殊平行四边形的性质和判定方法. 2.能熟练运用一般平行四边形和特殊平行四边形的性质和判定
方法解决相关计算或证明题. 3.解决折叠问题的基本原理是全等.
于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )
D
A.4cm
B.6cm
A E
B 第1题图
C.8cm
D
C
D.10cm
AE
O
B
C
第2题图
25°
D
复习巩固题
3.如图,矩形ABCD的对角线AC 和BD 相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,
BC=4,则图中阴影部分的面积为
.
4
试一试
1. 要使 ABCD成为矩形,需增加的条件是 2. 要使 ABCD成为菱形,需增加的条件是 3. 要使矩形ABCD成为正方形,需增加的条件是 4. 要使菱形ABCD成为正方形,需增加的条件是
有一个角是90°或对角线相等 一组邻边相等或对角线互相垂直
一组邻边相等或对角线互相垂直 有一个角是90°或对角线相等
学习目标
1、进一步理解矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系. 2、掌握特殊平行四边形的有关性质及判定方法,并能应用
所学知识解决相关问题. 3、进一步熟悉几何图形的推理与证明.
知识结构(定义)图
四边形
两组对边平行
平行四边形
矩形
一角为直角 且一组邻边相等

第十八章《平行四边形》复习课件

第十八章《平行四边形》复习课件

10.若一直角三角形两边长分别为8和6,则 第三边长为 10或 2 7 11.如图,平行四边形ABCD的对角线相交 于点O,且AB≠AD,过O作OE⊥BD交BC 于点E.若△CDE的周长为10,则平行四 边形ABCD的周长为 20 .
12.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=1, AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的 长为半径作弧交数轴于点M, 则点M表示的数为 10 1
c a 2b 解: ∵ 1 ca b 2
1 c a c a 2b b 2 即:c 2 a 2 b 2 亦即:a 2 b 2 c 2
∴×得:
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°
16.如图,点E、F在▱ABCD的对角线BD所在直线上, 且点E、F分别在BD的两侧,且DE=BF 求证:四边形AECF是平行四边形.
对角线 平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平 行 四 边 形 的 边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
a
ab
b
a
ab (a≥0,b≥0)
b (a≥0,b≥0)
二次根式的除法法则:
a b
a b

a b
(a≥0,b>0)
a b
(a≥0,b>0)
几个二次根式化成最简二次根式以 后,如果被开方数相同,这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
分母有理化 把分母中的根号化去,使分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化

人教版八年级下册第18章平行四边形复习完整课件

人教版八年级下册第18章平行四边形复习完整课件

O
B
C
∴△AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13
4.在平行四边形ABCD中,∠A=70°,∠D=__1_1_0_°____,
∠BCD=_7_0________.
°
A
∵ABCD为平行四边形,∠A=70°
D
∴AB∥CD,∠A=∠BCD=70°
∴∠A+∠D=180°
B
C
∴∠D=180°-∠A=180°-70°=110°
解析:△ABC和△BCD的底边都 a
A
D
为BC,高位a和b之间的距离,∴
面积相同
b
B
C
4,如图,在 ABCD中,点E为AD的中点,CE交BA的延线 于点F,若BC=2AB,∠FBC=70°,求∠EBC的度数
解:由 ABCD可知AB=CD DC∥AB ∴∠DCF=∠EFA ,∠AEF=∠DCF
D
C
∵E为AD中点 ∴AE=ED
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (∵AB=CD且AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形) (∵AD=BC且AD∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形
⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (∵AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形)
学习检测
A
D
B
1 C
1、如图, ABCD中,∠A=120°,则∠1= 60 。 °
=FB+BC+CD+ED =CF+CE
4、如图,在 ABCD 中,AE、BF分别平分∠DAB和
∠ABC,交CD于点E、F,AE、BF相关于点M
(1)请说明:AE⊥BF

(2)判断线段DF和CE的大小关系,并加以证明

第18章平行四边形复习课课件华东师大版八年级数学下册

第18章平行四边形复习课课件华东师大版八年级数学下册
解:根据题意有AP=tcm,BQ=(15-2t)cm. ∵AD∥BC, ∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形. ∴t=15-2t, 解得t=5. ∴t=5s时四边形APQB是平行四边形.
学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D以 1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点 即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s). (3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
为( A )
A.4cm
B.5cm
C.6cm
D.8cm
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
AC=10cm,BD=6cm
∴OA=OC= 1 AC=5cm,OB=OD= ∵∠ODA=920°,
1 2
BD=3cm,
方法总结:牢记平行四边形的对角线
∴AD= OA2 -OD2 =4cm.
互相平分性质,注意应用勾股定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC, ∴AF∥EC, ∵BE=DF, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形.
学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
6.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是 对角线AC上的两点,给出下列四个条件: ①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF. 其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解:由题意知CQ=2tcm,PD=(12-t)cm, ∵AD∥BC, ∴当PD=QC时,四边形PDCQ是平行四边形. 即12-t=2t, 解得t=4s, ∴当t=4s时,四边形PDCQ是平行四边形.

八年级数学下册 第18章 平行四边形复习课课件

八年级数学下册 第18章 平行四边形复习课课件

12/12/2021
第十页,共十七页。
随堂即练
3.如图,点D、C在BF上,AC∥DE,∠A=∠E, BD=CF.
(1)求证(qiúzhèng):AB=EF.
证明(zhèngmíng):∵AC∥DE, ∴∠ACD=∠EDF, ∵BD=CF,∴BD+DC=CF+DC, 即BC=DF. 又∵∠A=∠E,∴△ABC≌△EFD(AAS), ∴AB=EF.
12/12/2021
第十四页,共十七页。
随堂即练
课堂总结
①对边平行(píngxíng)且相等
性质(xìng②zhì对) 角相等,邻角互补 平
③对角线互相平分 行



①两组对边分别平行的



ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判定 ②两组对边分别相等的


③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的



12/12/2021
第十五页,共十七页。
BD=6cm,则AD的长为( )
A
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
解析(jiě xī):∵四边形ABCD是平行四边形,
AC=10cm,BD=6cm,
∴OA=OC= 1 AC=5cm,OB=OD= BD1 =3cm.
∵∠ODA=90°2 ,
2
∴AD= OA2-OD=24cm.
12/12/2021
随堂即练
2.如图,在▱ABCD中,对角线AC和 BD交于点O,AC=24cm,BD=38cm, AD=28cm,则△BOC的周长(zhōu chánɡ)是B
()
A.45cm
B.59cm
解析C.(jiě6xī2):cm∵在▱ABCDD.中9,0c对m 角线AC和BD交于点O, AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm, ∴CO=12cm,BO=19cm,AD=BC=28cm, ∴△BOC的周长是:BO+CO+BC=12+19+28=59(cm).

人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习课件

人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习课件

4.平行四边形的判定: .
定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1: 一组对边平行且相等的四边形平行四边形 定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理4:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
A
D
3、平行四边形的判定:
O
B
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
;
当B=60°时,AD BC间的距离AE=4 3 , □ABCD的面积4=0 3
Ø 例题解析
【例1】 如图所示,已知 ABCD的周长为30cm, AE⊥BC于E点,AF⊥CD于F点,且AE∶AF=2∶3, ∠C=120°,求S ABCD.
27 3 (cm2).
2.已知:如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC
4.已知:△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的
中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长
是 24 cm.
A
A
A
E
D
C
B
1题
E
D
C
B
3题
E
D
C
B
4题
w已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交
于点G.
w求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
w证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.
平行 四边形
3)一组对边平行且相等。4)两组对角分别相等。
5)两条对角线互相平分
矩形
平行 四边形
+90°角
平行 四边形
+对角线相等
矩形 矩形
四边形 +3个直角
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专题讲练
专题1 分类讨论思想
例1 在一个平行四边形中,若一个角的平分线把一 条边分成长是2cm和3cm的两条线段,求该平行四 边形的周长是多少.
解:如图,∵在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE.
又∵BE平方∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. 当AE=2时,则平行四边形的周长=2×(2+5)=14; 当AE=3时,则平行四边形的周长=2×(3+5)=16.
证明:∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC.
又∵EF⊥AD,
∴EF⊥BC.

考点2 三角形的中位线
例3 如图,在△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、
CA的中点,AH是边BC上的高.求证: (1)四边形ADEF是平行四边形; (2)∠DHF=∠DEF.
证明:(1)∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,
例4 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分 别是边AB、AC的中点,延长BC到点F,使CF= 1 BC.
2
若AB=12,求EF的长.
解:连结CD.
∵点D、E分别是边AB、AC的中点,
∴DE∥BC,DE= 1 BC,DC= 1 AB.
∵CF=
1 2
BC,
2
2
∴DE ∥FC,DE =FC,
第十八章 平行四边形 复习课
知识梳理
一、几种特殊四边形的性质
项目
四边形


对角线
对称性
对边平行 且相等
对角相等
互相平分
对边平行 且相等
对边平行 且四边相等
四个角 都是直角
互相平分且相等 轴对称图形
互相垂直且平分,每一条
对角相等
轴对称图形
对角线平分一组对角
对边平行 四个角 互相垂直平分且相等,每 轴对称图形 且四边相等 都是直角 一条对角线平分一组对角
专题3 转化思想
例3 如图,平行四边形ABCD中,AC、BD为对角线,
其交点为O,若BC=6,BC边上的高为4,试求阴影
部分的面积.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
EP
∴OA=OC,OB=OD.
Q
∵AB∥CD,∴∠EAO=∠HCO.
G
又∵ ∠AOE=∠COH, ∴△AEO≌△CHO(ASA),
FH
解:(1)四边形BECF是菱形. 理由如下:∵EF垂直平分BC, ∴BF=FC,BE=EC, ∴∠3=∠1. ∵∠ACB=90°, ∴∠3+∠4=90°,∠1+∠2=90°,∴∠2=∠4.
∴EC=AE,∴BE=AE. ∵CF=AE, ∴BE=EC=CF=BF, ∴四边形BECF是菱形. (2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方形. 证明如下:∵∠A=45°,∠ACB=90°, ∴∠CBA=45°,∴∠EBF=2∠CBA=90°, ∴菱形BECF是正方形.
1 2
AC,
∴OA=OC=OD,
∴四边形AODE是菱形.
【变式题】如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作
BE∥AC,CE∥BD,BE、CE交于点E,四边形CEBO
是矩形吗?说出你的理由.
解:四边形CEBO是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形.
A
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
D
∵BE∥AC,CE∥BD,
解题技巧:平行四边形的性质与判定中要是出现角平 分线,常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查, 当边指向不明时需要分类讨论,常见的的模型如下:
专题2 方程思想
例2 如图,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的 点F处,BC=10cm,AB=8cm,求: (1)FC的长; (2)EF的长.
解:(1)由题意,得AF=AD=10cm. 在Rt△ABF中,∵AB=8cm, ∴BF=6cm, ∴FC=BC-BF=10-6=4(cm). (2)由题意可得, EF=DE,可设DE的长为x cm. 在Rt△EFC中,(8-x)2+42=x2, 解得x=5, 即EF的长为5cm.
∴△ABE≌△DAF.
(2) 解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠1+∠4=90°. ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90°, ∴∠AFD=90°.
在正方形ABCD中, AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30°. 在Rt△ADF中,∠AFD=90°,AD=2, ∴AF= 3 ,DF=1. 由(1),得△ABE≌△DAF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE= 3-1.
考点3 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于
点O,过点A作AE∥BD,过点D作ED∥AC,两线相
交于点E.
求证:四边形AODE是菱形.
证明:∵AE∥BD,ED∥AC,
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,O1A=OC= OB=OD= 2 BD,
(1)证明:∵CE平分∠BCO, CF平分∠GCO, ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF, ∴∠ECF= 1 ×180°=90°.
2
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. 理由如下:
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF. 又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO, ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF, ∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, ∴EO=CO,FO=CO, ∴OE=OF. 又∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECF=90°, ∴四边形AECF是矩形.
(3)若AC=6,DE=4,求DF的值.
解:(2)图②中,AC+DE=DF. 图③中AC+DF=DE. (3)当如图①的情况,DF=AC-DE=6-4=2;
当如图②的情况,DF=AC+DE=6+4=10.
练一练
1.如图,在□ABCD中,∠ODA=90°,AC=10cm,
BD=6cm,则AD的长为
(A)
B AO
C
面积为___3_0__.
D
3.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是 BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上, 连结BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4. (1)证明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD. 在△ABE和△DAF中,
∴DE、EF都是△ABC的中位线,
∴EF∥AB,DE∥AC,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形, ∴∠DEF=∠BAC.
∵D、F分别是AB、CA的中点,
AH是边BC上的高, ∴DH=AD,FH=AF, ∴∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA. ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC,∠DHA+∠FHA=∠DHF, ∴∠DHF=∠BAC, ∴∠DHF=∠DEF.
练一练
1.如图,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和
DEF沿直线FC滑动,下列说法错误的是 A.四边形AFDC是平行四边形 B.当点E为BC中点时,四边形AFDC
是矩形
( B)
C.当点B与点E重合时,四边形AFDC是菱形
D.四边形AFDC不可能是正方形
2.如图,在菱形ABCD中,对角线 AC=10,BD=6,则菱形ABCD的
正方形
1.定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且 一组邻边相等
四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离: 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条
直线的距离叫做两条平行线之间的距离.
同理可得,△OAQ≌△OCG,△OPD≌△OFB,
则DE等于
(A)
A.1m B.2m
C.3m D.4m
3.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,DE、DF是 △ABC的中位线,连结EF、AD,求证:EF=AD.
证明:∵DE、DF是△ABC的中位线, ∴DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵∠BAC=90°, ∴平行四边形AEDF是矩形, ∴EF=AD.
(3)在(2)的条件下,△ABC应该满足什么条件时, 四边形AECF为正方形.
解:当点O运动到AC的中点时,且满足∠ACB为 直角时,四边形AECF是正方形.
由(2)可知,当点O运动到AC的中点时,四边形 AECF 是矩形.
已知MN∥BC,
当∠ACB=90°, 则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°, 即AC⊥EF, ∴四边形AECF是正方形.
二、几种特殊四边形的常用判定方法:
条件
平行 四边形
1.定义:两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
矩形 菱形
1.定义:有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
1.定义:一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相垂 直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
B
O
E
C
例6 如图,已知在四边形ABFC中,∠ACB=90°, BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF
=AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形?并说明理由;
(2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是
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