《第18章平行四边形_复习课》精品课件
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人教版八年级下册第18章平行四边形复习课件共17张
1、如图,在四边形ABCD中,点E、F是对 角线BD上的两点,且BE=DF (1)若四边形ABCD是平行四边形, 求证四边形AECF是平行四边形
(2)若四边形ABCD是菱形,那么四边 形AECF也是菱形吗?为什么?
(3)若四边形ABCD是矩形,试判断四 边形AECF是否为矩形。
探究2.一题多解,培养发散思维 已知:如图,在正方形 ABCD,E是BC边上一点,F是CD 的中点,且AE = DC + CE. A D 求证:AF平分∠DAE.
F
B
E
C
证法一:
(延长法)延长EF,交AD 的延长线于G。 ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=CD,∠C=∠ADC=90° (正方形四边相等,四个角都是直角) ∴∠GDF=90°, ∴∠C =∠GDF 在△EFC和△GFD中
∴△EFC≌△GFD(ASA) ∴CE=DG,EF=GF ∵AE = DC + CE, ∴AE = AD + DG = AG, ∴AF平分∠DAE.
B
思考:如果用“截取法”,即在AE 取点G,使AG=AD,再连结GF、 EF,这样能证明吗?
A D F G B E C
当堂测评:
填空题.
1.有一组邻边相等的 平行四边形 是菱形,菱形的对角线互 相 垂直平分 .
2.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中,是中心对称 图形的有 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ;是轴对称图 形的有 矩形、菱形、正方形 . 3. 平行四边形相邻两边之比为3:5,它的周长32 cm, 则这个平行四边形较长边长为_________ cm. 10
4. 已知四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD 为平行四边形,需要增加的条件是____ AD=BC或AB _____ ∥ CD _(只需要填一个你认为正确的条件即可). 5、平行四边形ABCD中,∠A-∠B=30°,则 ∠A, 105°,75°,105°,75° ∠B,∠C,∠D的度数分别为___________
人教版初二下册数学第十八章《平行四边形》复习课(34张PPT)
三角形的中位线
1、 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 (∵E为AC的中点,F为AB的中点,∴EF为△ABC中位线)
2、三角形的中位线平行三角形的第三边,且等于第三边 的一半. (∵EF为△ABC中位线 ∴EF=½ BC,EF∥BC)
3、一个三角形有三条中位线。
A
E
F
C
B
学习检测 1.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中若BC=5, 则DE的长是 2.5 2.已知:三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm , 10cm _. 连结各边中点所成三角形的周长为___ 3.△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点, 18 __ 若DE=4,AD=3,AE=2,则△ABC的周长为____ 4.已知:△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的 中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长 是 24 cm. A
ABF ≌ DCE
E F
D
C
(2)由(1)的结论知∠B=∠C ∵平行四边形ABCD,∴AB∥CD ∴∠B+∠C=180 ∴B=90 ∴四边形ABCD是矩形
7.(2011中考题)如图,在△ABC中,点O是AC边 上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线 于点F,连接AE、AF。那么当点O运动到何下时,四边 A 形AECF是矩形?并证明你的结论。 当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时, F 四边形AECF是矩形 M 3 E O 证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2, 2 4 1 5 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3, B C ∴∠3=∠2,∴EO=CO. 同理,FO=CO∴EO=FO 又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形 又∵∠1=∠2,∠4=∠5, ∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180° ∴∠2+∠4=90° ∴四边形AECF是矩形
人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 复习课 课件(共24张PPT)
角
对角相等 邻角互补 四个角
对角线
对称性
互相平分
中心对称图形 中心对称图形
平行且相等
平行 且四边相等 平行 且四边相等
都是直角 对角相等
互相平分且相等
互相垂直平分,且每一 条对角线平分一组对角
轴对称图形 中心对称图形
轴对称图形 邻角互补 四个角 互相垂直平分且相等,每 中心对称图形 都是直角 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
A
Q M
已知:△ABC中AB=AC=a,M 为底边BC上任意一点,过点M 分别作AB、AC的平行线交AC 于P,交AB于Q. (1)线段QM、PM、AB之间 有什么关系? P (2)图中的三角形之间有什么 关系?
B
C
中点四边形考点
1、如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是
边AB、BC、CD、DA的中点,请判断四边形EFGH A 的形状,并说明理由。 H
A O B 1题 D C A O 2题 D C
你准行
B
抢 答 3:
要使
要使
我说我所想
ABCD成为矩形,需增加的条件是______
ABCD成为菱形,需增加的条件是______
要使矩形ABCD成为正方形,需增加的条件是____ 要使菱形ABCD成为正方形,需增加的条件是____ 要使四边形ABCD成为正方形,需增加的条件是 ______
它们的周长和面积怎样?你能说说吗?
三、几种特殊四边形的常用判定方法:
四边形
条件
1、定义:两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 5、两组对角分别相等 2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
平行 四边形
矩形
1、定义:有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义:一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
第十八章+平行四边形+单元复习课件人教版八年级数学下册
=
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
,பைடு நூலகம்
=
∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解:∵△ABG≌△AFG,∴BG=FG,
设BG=FG=x,则GC=6-x,
∵E为CD的中点,∴CE=EF=DE=3,
∴EG=3+x,∴在Rt△CEG中,32+(6-x)2=(3+x)2,
解得x=2,∴BG=2.
知识点五:中点问题
(1)直角三角形斜边上的中线性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)三角形的中位线
①定义
三角形两条边中点的连线就是三角形的中位线.
②中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一
半.
5.如图,在△ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中
点.若AB=10,AC=6,则四边形AEDF的周长为 16 .
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(3)判定平行四边形的基本思路
①若已知一组对边平行,可以证这一组对边相等或另一组对
边平行;②若已知一组对边相等,可以证这一组对边平行或
另一组对边相等;③若已知一组对角相等,可以证另一组对
角相等;④若已知条件与对角线有关,可以证对角线互相平
分.
1.(1)(2022广东)如图,在▱ABCD中,一定正确的是( C )
④对角线平分一组对角得到45°角;
⑤边长与对角线的长度比为1∶ .
(2)正方形的判定
①对角线相等的菱形是正方形;
②有一个角为直角的菱形是正方形;
③对角线互相垂直的矩形是正方形;
④有一组邻边相等的矩形是正方形.
(3)判定正方形的核心思路:如果一个四边形既是菱形又是
八年级数学下册第18章平行四边形总复习课件人教版24张ppt
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习,自己研究,用自己的头脑来想,用自己的眼睛看,用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
方法1:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2:
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3:
对角线相等的平行四边形是矩形 。
1.菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质:
对边平行
对角线互相平分、
四边相等
对角相等
互相垂直且平分每
一组对角
•9、要学生做的事,教职员躬亲共做;要学生学的知识,教职员躬亲共学;要学生守的规则,教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 8:01:24 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住,你不仅是教课的教师,也是学生的教育者,生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习,自己研究,用自己的头脑来想,用自己的眼睛看,用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
方法1:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2:
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法3:
对角线相等的平行四边形是矩形 。
1.菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质:
对边平行
对角线互相平分、
四边相等
对角相等
互相垂直且平分每
一组对角
•9、要学生做的事,教职员躬亲共做;要学生学的知识,教职员躬亲共学;要学生守的规则,教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 8:01:24 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住,你不仅是教课的教师,也是学生的教育者,生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
人教版八年级数学下册第18章平行四边形复习课 (1)ppt课件
(3)如果AC=BD 且AC⊥BD,
则四边形EFGH为
正方形 .
菱形 矩形
. A
.
E
H D
O
G
B
F
C
.
谢谢观看!
课堂小结
1. 熟记一般平行四边形和特殊平行四边形的性质和判定方法. 2.能熟练运用一般平行四边形和特殊平行四边形的性质和判定
方法解决相关计算或证明题. 3.解决折叠问题的基本原理是全等.
于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )
D
A.4cm
B.6cm
A E
B 第1题图
C.8cm
D
C
D.10cm
AE
O
B
C
第2题图
25°
D
复习巩固题
3.如图,矩形ABCD的对角线AC 和BD 相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F,AB=2,
BC=4,则图中阴影部分的面积为
.
4
试一试
1. 要使 ABCD成为矩形,需增加的条件是 2. 要使 ABCD成为菱形,需增加的条件是 3. 要使矩形ABCD成为正方形,需增加的条件是 4. 要使菱形ABCD成为正方形,需增加的条件是
有一个角是90°或对角线相等 一组邻边相等或对角线互相垂直
一组邻边相等或对角线互相垂直 有一个角是90°或对角线相等
学习目标
1、进一步理解矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系. 2、掌握特殊平行四边形的有关性质及判定方法,并能应用
所学知识解决相关问题. 3、进一步熟悉几何图形的推理与证明.
知识结构(定义)图
四边形
两组对边平行
平行四边形
矩形
一角为直角 且一组邻边相等
第十八章《平行四边形》复习课件
10.若一直角三角形两边长分别为8和6,则 第三边长为 10或 2 7 11.如图,平行四边形ABCD的对角线相交 于点O,且AB≠AD,过O作OE⊥BD交BC 于点E.若△CDE的周长为10,则平行四 边形ABCD的周长为 20 .
12.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=1, AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的 长为半径作弧交数轴于点M, 则点M表示的数为 10 1
c a 2b 解: ∵ 1 ca b 2
1 c a c a 2b b 2 即:c 2 a 2 b 2 亦即:a 2 b 2 c 2
∴×得:
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°
16.如图,点E、F在▱ABCD的对角线BD所在直线上, 且点E、F分别在BD的两侧,且DE=BF 求证:四边形AECF是平行四边形.
对角线 平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行边形 ∴OA=OC,OB=OD
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平 行 四 边 形 的 边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
a
ab
b
a
ab (a≥0,b≥0)
b (a≥0,b≥0)
二次根式的除法法则:
a b
a b
a b
(a≥0,b>0)
a b
(a≥0,b>0)
几个二次根式化成最简二次根式以 后,如果被开方数相同,这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
分母有理化 把分母中的根号化去,使分母变成 有理数,这个过程叫做分母有理化
人教版八年级下册第18章平行四边形复习完整课件
O
B
C
∴△AOB的周长=AO+BO+AB=7+6=13
4.在平行四边形ABCD中,∠A=70°,∠D=__1_1_0_°____,
∠BCD=_7_0________.
°
A
∵ABCD为平行四边形,∠A=70°
D
∴AB∥CD,∠A=∠BCD=70°
∴∠A+∠D=180°
B
C
∴∠D=180°-∠A=180°-70°=110°
解析:△ABC和△BCD的底边都 a
A
D
为BC,高位a和b之间的距离,∴
面积相同
b
B
C
4,如图,在 ABCD中,点E为AD的中点,CE交BA的延线 于点F,若BC=2AB,∠FBC=70°,求∠EBC的度数
解:由 ABCD可知AB=CD DC∥AB ∴∠DCF=∠EFA ,∠AEF=∠DCF
D
C
∵E为AD中点 ∴AE=ED
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (∵AB=CD且AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形) (∵AD=BC且AD∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形
⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (∵AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形)
学习检测
A
D
B
1 C
1、如图, ABCD中,∠A=120°,则∠1= 60 。 °
=FB+BC+CD+ED =CF+CE
4、如图,在 ABCD 中,AE、BF分别平分∠DAB和
∠ABC,交CD于点E、F,AE、BF相关于点M
(1)请说明:AE⊥BF
(2)判断线段DF和CE的大小关系,并加以证明
第18章平行四边形复习课课件华东师大版八年级数学下册
解:根据题意有AP=tcm,BQ=(15-2t)cm. ∵AD∥BC, ∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形. ∴t=15-2t, 解得t=5. ∴t=5s时四边形APQB是平行四边形.
学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D以 1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点 即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s). (3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
为( A )
A.4cm
B.5cm
C.6cm
D.8cm
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
AC=10cm,BD=6cm
∴OA=OC= 1 AC=5cm,OB=OD= ∵∠ODA=920°,
1 2
BD=3cm,
方法总结:牢记平行四边形的对角线
∴AD= OA2 -OD2 =4cm.
互相平分性质,注意应用勾股定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC, ∴AF∥EC, ∵BE=DF, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形.
学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
6.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是 对角线AC上的两点,给出下列四个条件: ①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF. 其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解:由题意知CQ=2tcm,PD=(12-t)cm, ∵AD∥BC, ∴当PD=QC时,四边形PDCQ是平行四边形. 即12-t=2t, 解得t=4s, ∴当t=4s时,四边形PDCQ是平行四边形.
学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D以 1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点 即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s). (3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
为( A )
A.4cm
B.5cm
C.6cm
D.8cm
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
AC=10cm,BD=6cm
∴OA=OC= 1 AC=5cm,OB=OD= ∵∠ODA=920°,
1 2
BD=3cm,
方法总结:牢记平行四边形的对角线
∴AD= OA2 -OD2 =4cm.
互相平分性质,注意应用勾股定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC, ∴AF∥EC, ∵BE=DF, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形.
学习目标
知识梳理
考点探究
当堂检测
课堂总结
6.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F是 对角线AC上的两点,给出下列四个条件: ①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF. 其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解:由题意知CQ=2tcm,PD=(12-t)cm, ∵AD∥BC, ∴当PD=QC时,四边形PDCQ是平行四边形. 即12-t=2t, 解得t=4s, ∴当t=4s时,四边形PDCQ是平行四边形.
八年级数学下册 第18章 平行四边形复习课课件
12/12/2021
第十页,共十七页。
随堂即练
3.如图,点D、C在BF上,AC∥DE,∠A=∠E, BD=CF.
(1)求证(qiúzhèng):AB=EF.
证明(zhèngmíng):∵AC∥DE, ∴∠ACD=∠EDF, ∵BD=CF,∴BD+DC=CF+DC, 即BC=DF. 又∵∠A=∠E,∴△ABC≌△EFD(AAS), ∴AB=EF.
12/12/2021
第十四页,共十七页。
随堂即练
课堂总结
①对边平行(píngxíng)且相等
性质(xìng②zhì对) 角相等,邻角互补 平
③对角线互相平分 行
四
平
边
①两组对边分别平行的
四
行
形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判定 ②两组对边分别相等的
边
四
③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的
形
边
形
12/12/2021
第十五页,共十七页。
BD=6cm,则AD的长为( )
A
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
解析(jiě xī):∵四边形ABCD是平行四边形,
AC=10cm,BD=6cm,
∴OA=OC= 1 AC=5cm,OB=OD= BD1 =3cm.
∵∠ODA=90°2 ,
2
∴AD= OA2-OD=24cm.
12/12/2021
随堂即练
2.如图,在▱ABCD中,对角线AC和 BD交于点O,AC=24cm,BD=38cm, AD=28cm,则△BOC的周长(zhōu chánɡ)是B
()
A.45cm
B.59cm
解析C.(jiě6xī2):cm∵在▱ABCDD.中9,0c对m 角线AC和BD交于点O, AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm, ∴CO=12cm,BO=19cm,AD=BC=28cm, ∴△BOC的周长是:BO+CO+BC=12+19+28=59(cm).
人教版八年级下册 第十八章平行四边形 复习课件
4.平行四边形的判定: .
定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1: 一组对边平行且相等的四边形平行四边形 定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理4:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
A
D
3、平行四边形的判定:
O
B
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
;
当B=60°时,AD BC间的距离AE=4 3 , □ABCD的面积4=0 3
Ø 例题解析
【例1】 如图所示,已知 ABCD的周长为30cm, AE⊥BC于E点,AF⊥CD于F点,且AE∶AF=2∶3, ∠C=120°,求S ABCD.
27 3 (cm2).
2.已知:如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC
4.已知:△ABC中,点D、E、F分别是△ABC三边的
中点,如果△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长
是 24 cm.
A
A
A
E
D
C
B
1题
E
D
C
B
3题
E
D
C
B
4题
w已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交
于点G.
w求证:GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2.
w证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接FE,EN,NM,MF.
平行 四边形
3)一组对边平行且相等。4)两组对角分别相等。
5)两条对角线互相平分
矩形
平行 四边形
+90°角
平行 四边形
+对角线相等
矩形 矩形
四边形 +3个直角
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专题讲练
专题1 分类讨论思想
例1 在一个平行四边形中,若一个角的平分线把一 条边分成长是2cm和3cm的两条线段,求该平行四 边形的周长是多少.
解:如图,∵在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE.
又∵BE平方∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. 当AE=2时,则平行四边形的周长=2×(2+5)=14; 当AE=3时,则平行四边形的周长=2×(3+5)=16.
证明:∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
图
∴AD∥BC.
又∵EF⊥AD,
∴EF⊥BC.
图
考点2 三角形的中位线
例3 如图,在△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、
CA的中点,AH是边BC上的高.求证: (1)四边形ADEF是平行四边形; (2)∠DHF=∠DEF.
证明:(1)∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,
例4 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分 别是边AB、AC的中点,延长BC到点F,使CF= 1 BC.
2
若AB=12,求EF的长.
解:连结CD.
∵点D、E分别是边AB、AC的中点,
∴DE∥BC,DE= 1 BC,DC= 1 AB.
∵CF=
1 2
BC,
2
2
∴DE ∥FC,DE =FC,
第十八章 平行四边形 复习课
知识梳理
一、几种特殊四边形的性质
项目
四边形
边
角
对角线
对称性
对边平行 且相等
对角相等
互相平分
对边平行 且相等
对边平行 且四边相等
四个角 都是直角
互相平分且相等 轴对称图形
互相垂直且平分,每一条
对角相等
轴对称图形
对角线平分一组对角
对边平行 四个角 互相垂直平分且相等,每 轴对称图形 且四边相等 都是直角 一条对角线平分一组对角
专题3 转化思想
例3 如图,平行四边形ABCD中,AC、BD为对角线,
其交点为O,若BC=6,BC边上的高为4,试求阴影
部分的面积.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
EP
∴OA=OC,OB=OD.
Q
∵AB∥CD,∴∠EAO=∠HCO.
G
又∵ ∠AOE=∠COH, ∴△AEO≌△CHO(ASA),
FH
解:(1)四边形BECF是菱形. 理由如下:∵EF垂直平分BC, ∴BF=FC,BE=EC, ∴∠3=∠1. ∵∠ACB=90°, ∴∠3+∠4=90°,∠1+∠2=90°,∴∠2=∠4.
∴EC=AE,∴BE=AE. ∵CF=AE, ∴BE=EC=CF=BF, ∴四边形BECF是菱形. (2)当∠A=45°时,菱形BECF是正方形. 证明如下:∵∠A=45°,∠ACB=90°, ∴∠CBA=45°,∴∠EBF=2∠CBA=90°, ∴菱形BECF是正方形.
1 2
AC,
∴OA=OC=OD,
∴四边形AODE是菱形.
【变式题】如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作
BE∥AC,CE∥BD,BE、CE交于点E,四边形CEBO
是矩形吗?说出你的理由.
解:四边形CEBO是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形.
A
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
D
∵BE∥AC,CE∥BD,
解题技巧:平行四边形的性质与判定中要是出现角平 分线,常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查, 当边指向不明时需要分类讨论,常见的的模型如下:
专题2 方程思想
例2 如图,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的 点F处,BC=10cm,AB=8cm,求: (1)FC的长; (2)EF的长.
解:(1)由题意,得AF=AD=10cm. 在Rt△ABF中,∵AB=8cm, ∴BF=6cm, ∴FC=BC-BF=10-6=4(cm). (2)由题意可得, EF=DE,可设DE的长为x cm. 在Rt△EFC中,(8-x)2+42=x2, 解得x=5, 即EF的长为5cm.
∴△ABE≌△DAF.
(2) 解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠1+∠4=90°. ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90°, ∴∠AFD=90°.
在正方形ABCD中, AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30°. 在Rt△ADF中,∠AFD=90°,AD=2, ∴AF= 3 ,DF=1. 由(1),得△ABE≌△DAF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE= 3-1.
考点3 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于
点O,过点A作AE∥BD,过点D作ED∥AC,两线相
交于点E.
求证:四边形AODE是菱形.
证明:∵AE∥BD,ED∥AC,
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,O1A=OC= OB=OD= 2 BD,
(1)证明:∵CE平分∠BCO, CF平分∠GCO, ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF, ∴∠ECF= 1 ×180°=90°.
2
(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. 理由如下:
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF. 又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO, ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF, ∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, ∴EO=CO,FO=CO, ∴OE=OF. 又∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECF=90°, ∴四边形AECF是矩形.
(3)若AC=6,DE=4,求DF的值.
解:(2)图②中,AC+DE=DF. 图③中AC+DF=DE. (3)当如图①的情况,DF=AC-DE=6-4=2;
当如图②的情况,DF=AC+DE=6+4=10.
练一练
1.如图,在□ABCD中,∠ODA=90°,AC=10cm,
BD=6cm,则AD的长为
(A)
B AO
C
面积为___3_0__.
D
3.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是 BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上, 连结BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4. (1)证明:△ABE≌△DAF; (2)若∠AGB=30°,求EF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD. 在△ABE和△DAF中,
∴DE、EF都是△ABC的中位线,
∴EF∥AB,DE∥AC,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形, ∴∠DEF=∠BAC.
∵D、F分别是AB、CA的中点,
AH是边BC上的高, ∴DH=AD,FH=AF, ∴∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA. ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC,∠DHA+∠FHA=∠DHF, ∴∠DHF=∠BAC, ∴∠DHF=∠DEF.
练一练
1.如图,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和
DEF沿直线FC滑动,下列说法错误的是 A.四边形AFDC是平行四边形 B.当点E为BC中点时,四边形AFDC
是矩形
( B)
C.当点B与点E重合时,四边形AFDC是菱形
D.四边形AFDC不可能是正方形
2.如图,在菱形ABCD中,对角线 AC=10,BD=6,则菱形ABCD的
正方形
1.定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
5种判 定方法
一个角是直角且 一组邻边相等
四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离: 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条
直线的距离叫做两条平行线之间的距离.
同理可得,△OAQ≌△OCG,△OPD≌△OFB,
则DE等于
(A)
A.1m B.2m
C.3m D.4m
3.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,DE、DF是 △ABC的中位线,连结EF、AD,求证:EF=AD.
证明:∵DE、DF是△ABC的中位线, ∴DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵∠BAC=90°, ∴平行四边形AEDF是矩形, ∴EF=AD.
(3)在(2)的条件下,△ABC应该满足什么条件时, 四边形AECF为正方形.
解:当点O运动到AC的中点时,且满足∠ACB为 直角时,四边形AECF是正方形.
由(2)可知,当点O运动到AC的中点时,四边形 AECF 是矩形.
已知MN∥BC,
当∠ACB=90°, 则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°, 即AC⊥EF, ∴四边形AECF是正方形.
二、几种特殊四边形的常用判定方法:
条件
平行 四边形
1.定义:两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等
4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
矩形 菱形
1.定义:有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形
1.定义:一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相垂 直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
B
O
E
C
例6 如图,已知在四边形ABFC中,∠ACB=90°, BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF
=AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形?并说明理由;
(2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是