向量共线定理名师课件

OC 1 OA 1 OB A 22
C
变1：若点C为AB边上靠 近B点的三等分点呢？ A
O
OC 1 OA 2 OB
33
变2：若点C为AB边上靠 O 近B点的四等分点呢？ A
B
C B
OC 1 OA 3 OB
44
O
C B
变3：
如图，ΔABC中，C为直线AB上一点。且
AC CB 1，则OC OA OB
③与a
反向的单位向量是

|
a a
|
④与 a 平行的单位向量是 a |a|
复习：
二、向量共线定理
对于两个向量 a(a 0)，b，如果有一个实
数λ，使得 b a(a 0)，那么 b 与 a
是共线向量；反之，如果 b 与a(a 0)是 共线向量，那么有且只有一个实数λ，使
练习：
1、设e1，e2是两个共线的向量，已知AB 2e1 ke2， CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2。若A、B、D三点共线， 求实数k的值。 2、设二个非零向量e1，e2不共线，如果AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2，求证A、B、D三点共线。 3、在OAB中，两条中线AD、BE交于点G， 若OA a，OB b，用a，b表示OG。
复习：
一、向量的数乘
定 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和 义 方向规定如下：
（1） a a
（2）当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，
a的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a0 时， a0
运算律：
a a 结合律





a aa 第一分配律

第二分配律


a
b

a

b




练习：
a
已知非零向量 a ，求向量 的模
结论：① a 是单位向量 | a |
|a|
a
②与 a 同向的单位向量是 | a |
(2)三点A、C、D是否共线？为什么？
(3)向量 AC与BD共线吗？ 4）设e1，e2是不共线的两个向量，AB 3e1 2e2，
BC 2e1 4e2，CD ke1 4e2，且A、C、D三点
共线，则实数k =
（
思考1：
一般地，设e1，e2是不共线的两个向量，， R， 若e1 e2 0,则 0 ， 0 。
A 书P65 例4
C
OC OA OB 1 OA OB 1 1 1
O
B
思考2：如果λ>0 ，点C在什么位置？ λ<0呢？ λ=0呢？ λ>0 时，点C在AB之间 λ<0 时，点C在AB或BA的延长线上 λ=0时，C点与A点重合
源自文库 例3
已知OA和OB是不共线向量，AC t AB t R,
试用OA和OB表示OC。
思考：
设O、A、B、C为平面上任意四点，且存在实数 s，t，
使 OC sOA tOB
若A、B、C三点共线，则
；
反之，若s+t=1，则
。
结论：设O为平面上任一点，则A、B、C三点共线
OC 1 t OA tOB t R
或 A、B、C三点共线 OC sOA tOB ，其中s+t=1
得b a。
说明：
①要证向量 a，b共线，只须证明存在实数λ ，使
得 b a 即可。
②推广：a // b 存在实数1，2，使得1a 2b
利用向量共线定理可以解决点共线或线共点的问题。
问题1：
设e1，e2是不共线的两个向量，AB 3e1 2e2， BC 2e1 4e2，CD 2e1 4e2. (1)向量 AC与CD是否共线？为什么？
反之，若e1 ，e2是不共线的两个向量，
且 0， 0，则 e1 e2 0
例1
设AB 2 a 5b ，BC 2a 8b，CD 3 a b 。 2 求证：A、B、D三点共线。
例2 如图，ΔABC中，C为AB中点。试问：
能否用OA，OB来表示向量OC ?