用频率估计概率(1)
人教版数学九年级上册 25、3 用频率估计概率 教案
25. 3用频率估计概率教学目标（1）知识与技能目标学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。
（2）过程与方法目标提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，体会概率的基本思想，感受到概率在问题决策中的重要作用，进一步树立数据的观念。
（3）情感态度价值观目标养成学数学、用数学的意识，体验数学的应用价值。
目标解析：1、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部所蕴涵的客观规律——频率的稳定性. 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值.2、结合生活实例，能进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率的方法与列举法求概率的区别，并能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生的概率.3、在经历用试验的方法探究概率的过程中，培养学生的动手能力、处理数据的能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及交流与协作精神.教学重、难点重点：了解用频率估计概率的必要性和合理性.难点：教师要注意提问的准确性，并且举恰当的例子，使学生深入理解用频率估计概率，避免出现不必要的枝节。
三、教学问题诊断分析1、由于学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为姚明一次罚篮的结果进与不进是等可能的）会依然采取列举法，这类现象产生的原因是对用列举法求概率的两个条件把握不够，对事件发生的可能性大小分析不透彻所致.2、频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，但频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小，只有在大量重复试验的条件下，可以近似地作为这个事件的概率. 概率是巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体趋势，是频率在理论上的期望值，它是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关. 频率与概率是从量变到质变，是对立统一的. 对于初学者，对两者关系的理解，还需要一个循序渐进的过程.3、容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件. 这一问题的出现也是对概率思想的内涵把握不够所致. 概率是针对大量重复试验而言的，如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合理的估计概率.教学流程（一）情景引入：问题1：姚明罚篮一次命中概率有多大？播放“NBA”（美国男子篮球职业联赛）火箭队VS老鹰队的比赛片段，在姚明罚篮球出手后，画面停滞，屏幕显示：问题：姚明罚进的概率有多大？学生先思考、讨论、发言后媒体出示甲、乙、丙的说法：甲：100% 姚明是世界明星嘛！乙：50% 因为只有进和不进两种结果，所以概率为50%. 丙：80% 姚明很准的，大概估计有80%的可能性.同学们，你们同意谁的观点？学生充分交流后，老师对不同说法进行适当的评价，并借机复习用列举法求概率的条件，引导学生分析进与不进的可能性不相等，不能用列举法来求概率.师：那它究竟有没有规律，或者说还有没有其它的办法探求概率呢？屏幕上闪烁显示08—09赛季姚明罚篮命中率86. 6%.师：姚明的命中率从何而来？（统计结果）怎么统计的？（罚中个数与罚球总数的比值）这个比值叫什么？（这实际上就是频率，这种方法实际上就是用频率估计概率）在此基础上，导出课题.（二）试验探究问题2：怎样用频率估计概率？1、抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是二分之一，这个概率能否利用刚才计算命中率方法──通过统计很多掷硬币的结果来得到呢？2、试验一（掷硬币试验）（配合亲切童声播放）全班共分10个小组，每小组8人，共抛50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷.表1（个人抛掷情况统计表）表2（小组抛掷情况统计表）表3（硬币抛掷统计表）问题3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？3、分析数据全班填写表3得到硬币正面向上频率的同时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问：①随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的左右摆动？②随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0. 5的左右摆动幅度有何规律？（学生从折线图1中难以发现）师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.引导学生关注数学家的严谨，师：还有一位数学家，做了八万多次的试验.观察频率在0. 5附近摆动幅度有何规律？观察折线图2：③请大家分析，两个折线图反映的规律有何区别？什么原因造成了不同？学生得出：图一，试验次数少一些，“正面向上”的频率在0. 5左右摆动的幅度大一些.④你们认为出现的规律与试验次数有何关系？（试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.）⑤数学家为什么要做那么多试验？⑥当“正面向上”的频率逐渐稳定到0. 5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？师生共同小结：至此，我们就验证了可以用计算罚篮命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率.（三）揭示新知问题4：为什么可以用频率估计概率？师：其实，不仅仅是掷硬币有规律，人们在大量的生产生活中发现：对于一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性.引出瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明频率具有稳定性，介绍其家族前后三代共出13位大数学家和大物理学家，进行数学史的教育.师：由于大量重复试验的频率具有稳定性，由此可根据这个稳定的频率来估计概率.归纳：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=P.教师指出这是从统计的角度给出了概率的定义，也是探求概率的一种新方法，列举法仅限于试验结果有限个和每种结果出现的可能性相等的事件求概率，而用频率估计概率的方法不仅适用于列举法求概率的随机事件，而且对于试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等的随机事件，我们也可以用频率来估计概率.问题5：频率与概率有什么区别与联系？学生思考、讨论后全班交流. 此处重点强调学生理解，若不能概括、归纳，则直接出示答案. （四）巩固练习牛刀小试某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：①计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0. 01）；②这些频率稳定在哪一个常数附近？③根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0. 1）. 伶牙俐齿（1）天气预报说下星期一降水概率为90%，下星期三降水概率为10%，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你认为他说的对吗？（2）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中的概率为5分之4对吗？（3）小明的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个7位的数码，如能与开奖结果一致，则获特等奖；如果有相连的6位数码正确，则获一等奖；……；依次类推，小明的爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！小明爸爸的说法正确吗？”设计方案1、老王投资在鱼塘里放了一些鱼苗，秋天了，他准备出售这些鱼，但要想卖一个好价钱就必须估计鱼塘里有多少条鱼，这可难住了老王。
用频率估计概率--教学设计
“用频率估计概率（第1课时）”教学设计一、内容和内容解析内容：人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“25.3 用频率估计概率”第一课时。
内容解析：不确定现象大量存在于自然界和人类社会中，概率正是对这种现象的一种数学描述，它能帮助我们更好地认识不确定事件，并对生活中的一些不确定情况做出决策。
从《数学课程标准》（2011版）看，《概率初步》这章属于“统计与概率”领域。
对于该领域的内容，一方面概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托。
本章自成体系与初中数学的前后联系不多，但有关概率教学的三个部分：随机事件与概率、用列举法求概率、利用频率估计概率，他们相互依托，关联性强。
“用频率估计概率”是“概率初步”这一章的第三节，是在学生初步了解概率的意义及会用概率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之后对概率的进一步研究。
概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结果，学生易于接受，而概率的统计定义其内涵更为深刻。
相对于概率的古典定义，用频率估计概率的方法不受列举法求概率的两个条件的限制，更具一般性与普遍性，适用范围更广。
大量重复试验的频率趋近于理论概率这一规律，将为以后利用试验估计一些复杂的随机事件的概率起到承上启下的作用。
概率内容比较抽象，试验的不确定性、概率结果的唯一性，常常使学生感到困惑。
从随机现象中寻找规律，这对学生来说也是一种全新的观念，如果缺乏对随机现象的丰富体验，学生很难建立起这一观念。
因此，教材设计了“抛掷硬币”这样一个实验活动，意在丰富学生逐步对随机现象规律性的体验的同时，通过抛硬币的实验表明：随机事件的发生既有随机性，又存在统计规律性，且其统计规律体现在：随机事件的频率----此事件发生的次数与实验总次数的比值具有稳定性，即总在某个常数附近摆动，这个常数就叫做这个随机事件的概率。
从而对概率的认识和理解从感性认识向理性认识过渡；从而在这个充满探索和自主体验的过程中，学生将逐步学会数学的思想方法和如何用数学解决问题，获得了成功的体验。
25.3 用频率估计概率(1)
课题：25.3用频率估计概率（1）姓名：学习目标：□理解用频率估计概率的条件及方法．□应用频率估计概率的方法解决问题．一、定向导入1、探究活动：随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？频率如何计算？活动二：1．对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的________，总在一个________的附近摆动，显示出一定的________．2、一般地，在大量重复试验中，如果事件Ａ发生的频率m n稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件Ａ的概率，记为P(A)= .3．在抛掷一枚硬币，考察出现正反的试验中，随着试验次数的增加，“出现正面”的频率将趋于稳定在______左右．二、合作探究例1：从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：（1（2）根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为_________．(结果用小数表示，精确到0.1)例2某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下表所示：(1)计算并填写表中击中靶心的频率(结果保留小数点后两位)；(2)试根据该表，估计这名射手射击一次，击中靶心的概率约为多少(结果保留小数点后一位)？并说明理由．【跟踪训练1】 做大量重复试验，抛掷同一枚啤酒瓶盖，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为( )A ．0.22B ．0.44C ．0.5D ．0.56三、点拨拓展1、一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小球的数目相同.为了估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀……多次试验发现摸到红球的频率是16，则估计黄色小球的数目是（ ）A ．2个B ．20个C ．40个D ．48个2、抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现“一次正面，两次反面”的概率为？3、在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是＿＿＿＿．4、小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是_______．四、总结反馈(一)总结归纳1.对照学习目标看一看自己学习的情况,掌握的请在□内画“√”;2.本节课你学到了什么,同桌讲一讲.（二）达标反馈作业案。
人教版数学九年级上册25.3《用频率估计概率(第1课时)》教学设计
3.的意识，提高学生的实践能力。
4.培养学生的团队合作精神，让学生在合作交流中学会尊重他人、倾听他人意见，提高人际交往能力。
5.培养学生勇于探索、不断进取的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极向上的态度，增强克服困难的信心。
3.学生在合作交流中，如何有效地倾听、表达、沟通，提高团队合作效率。
教学设想：
1.创设情境，引入新课：通过生活中的实例，如彩票中奖概率、投篮命中率等，引出频率的概念，激发学生的兴趣。
2.自主探究，理解概念：让学生自主进行实验，收集数据，计算频率，进而引导学生发现频率与概率之间的关系。
3.合作交流，解决问题：分组讨论，让学生在小组内分享实验过程和结果，互相借鉴，提高解决问题的能力。
2.解释频率与概率的关系：通过实际例子，如抛硬币实验，引导学生发现频率在大量实验中趋于稳定，且稳定值接近于概率。
3.操作演示：教师进行实验演示，如抛硬币、掷骰子等，让学生观察并记录实验数据，计算频率。
4.方法讲解：教师详细讲解如何利用频率来估计概率，以及在实际操作中需要注意的问题。
（三）学生小组讨论，500字
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，教师引导学生进行以下思考：
1.回顾频率的定义，总结频率与概率之间的关系。
2.梳理用频率估计概率的方法，强调实验数据的重要性。
3.反思本节课的学习过程，分享学习心得和收获。
4.提醒学生课后继续思考频率与概率的关系，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的用频率估计概率的知识，检验学生对课堂内容的掌握情况，特布置以下作业：
3.实践性：作业要注重实践，引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。
3.2.1用频率估计概率(教案)
3.增强学生的应用意识：将所学的频率估计概率知识应用于解决实际问题，让学生在实际情境中感受数学的魅力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作交流能力：在小组合作探究过程中，鼓励学生相互交流、讨论，共同分析问题，培养团队协作能力和有效沟通技巧。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调频率的定义和频率估计概率的方法这两个重点。对于难点部分，如频率的稳定性，我会通过抛硬币实验的例子和数据分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与用频率估计概率相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如抛硬币、掷骰子等，演示频率估计概率的基本原理。
具体内容包括：
a.通过实验或调查，收集某一事件发生的次数和总次数。
b.计算事件发生的频率。
c.分析频率的稳定性和可信度，进而估计事件的概率。
本节课旨在让学生在实际操作中体会概率与频率的关系，培养学生运用频率估计概率的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的数据观念：通过本节课的学习，使学生能够理解频率的概念，认识到频率与概率之间的关系，学会利用频率估计概率，从而增强对数据的敏感性和分析能力。
其次，在新课讲授环节，我尝试通过理论介绍和案例分析相结合的方式，让学生更好地理解频率估计概率的方法。从课堂反馈来看，这种方法效果还不错。但在讲解难点部分，如频率的稳定性，我觉得自己还可以用更生动形象的方式来进行讲解，以便让学生更容易理解。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现整体较好，但我发现部分学生在操作过程中仍然存在一些误区。为此，我打算在今后的教学中，加强对学生实验操作的指导，让他们在实践中更好地掌握频率估计概率的方法。
用频率估计概率 概率的简单应用(解析版)
第16讲 用频率估计概率 概率的简单应用例1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右 设草鱼的条数为x ，可得：0.51600800xx=++，∴x =2400，经检验：2400x =是原方程的根，且符合题意， ∴捞到鲢鱼的概率为：8001160080024006=++，故选：D ． 【点睛】本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．例2．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（ ） A ．150B ．126C ．125D ．12【答案】B 【解析】根据概率的求法，在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=mn，列式求解即可． ∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球， ∴摸到白球的概率为215226=，∴摸到白球的频率为：126． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键．例3．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况： 移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m369133532036335807312628成活的频率m n0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（ ） A ．0.80 B ．0.85C ．0.90D ．0.95【答案】C 略例4．如图是一副宣传节约用水的海报，海报长1.2m ，宽0.6m ．小明为了测量海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积，在长方形海报上随机撒豆子（假设豆子落在海报内每一点都是等可能的）．经过大量试验，发现豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右．由此可估计海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积约为（ ）A ．20.35mB ．20.7mC ．20.144mD ．20.2m【答案】C 【解析】长方形宣传海报的面积为()21.20.60.72m⨯=．∵豆子落在“节约用水 从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右，∴“节约用水 从我做起”八个字图案占长方形宣传海报的20%．∴海报上“节约用水 从我做起”八个字的面积约为()21.20.60.72m⨯=．例5．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】A【解析】设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%得99x+＝30%，解方程即可求解．设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据题意，得：99x+＝30%，解得：x＝21，经检验：x＝21是分式方程的解，∴原来盒子中白色乒乓球的个数为21个，故选A．【点睛】本题考查了频率与频数的关系，熟知频率=频数数据总和是解决问题的关键．例6．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（）A．25 B．20 C．15 D．10【答案】B【解析】由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小．由题意可得4100%20% a⨯=，解得20a=．经检验：a=20是原方程的根且符合题意【点睛】本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键例7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（）种不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2【答案】B【解析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．故选：B．【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．一、单选题1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【答案】A【解析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，此项错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为10.5180.482-=，此项错误；故选：A．【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．2．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=nm，则下列说法正确的是()A．p一定等于12B．p一定不等于12C．多投一次，p更接近12D．投掷次数逐步增加，p稳定在12附近【答案】D【解析】【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在12附近．故选：D．【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87 【答案】C【解析】【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．解：样本中身高不低于170cm的频率5501300.681000+==，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为（）A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.6【答案】A【解析】【分析】根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.3，进而可估计摸到黄球的概率．∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，∴估计摸到黄球的概率为0.3，故选：A．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．5．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（）A ．112 B ．16C ．13D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．设三行三列的方格棋盘的格子坐标为(),a b ，其中开始时骰子所处的位置为()1,1，则图题（2）所示的位置为()3,3，则从()1,1到()3,3且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为2163P ==，故选C ． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．6．如图，小球从A 入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E 出口落出的概率是（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】C 【解析】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B 、C 、D 处都是等可能情况，从而得到在四个出口E 、F 、G 、H 也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E 、F 、G 、H 四个，所以小球从E 出口落出的概率是：14；故选：C ． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．7．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D 5【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可 解：大正方形的面积为：21214(21)52⨯⨯⨯+-=， 阴影部分的小正方形的面积为：2(21)1-=， ∴飞镖落在阴影部分的概率是1155÷=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．8．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3，现在有一只20岁的动物，它活到30岁的概率是( )A ．35B ．38C ．58D ．310【答案】B【解析】【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x，故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为0.30.8xx=38．故选：B．【点睛】本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据：并得出了四个结论，其中正确的是（）A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200D．这个盒子中的白球定有28个【答案】B【解析】【分析】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．解：A. 试验1500次摸到白球的频率不一定比试验800次的更接近0.6，故不正确；B. 观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，故正确；C. 当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m不一定等于1200，故不正确；D. 这个盒子中的白球定估计有40×0.6=24个，故不正确；故选B．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．10．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：投石子的总次数50次150次300次600次石子落在空白区域内的次数14次85次199次400次石子落在空白区域内的频率725173019930023依此估计空白比分的面积是（）A．6B．8.5C．9.95D．10【答案】D【解析】【分析】根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积.由表格可知：当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近23，即空白区域的面积占总面积的23，∴空白部分的面积=215103⨯=，故选D.【点睛】此题主要是利用频率估计概率，当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率，这是利用频率计算概率在实际生活中的运用.二、填空题11．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是___________．【答案】0.32【解析】【分析】由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分析即可．解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．故答案为：0.32．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．12．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．【答案】4【解析】【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，∴摸到红球的频率=301 1505=，∵袋子中共有20个小球，∴这个袋中红球约有12045⨯=个，故答案为4．【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为___________cm2．【答案】3【解析】【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，计算即可．解：正方形二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为4cm2，∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，∴黑色部分的面积约为：4×75%=3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．如图是计算机中“扫雷"游戏的画面，在99⨯小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字1表示在A区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率A区域______B区域（填“>”“<”“=”）.【答案】=【解析】【分析】分别求出A 区域踩到地雷的概率和B 区域踩到地雷的概率即可.∵A 区域踩到地雷的概率为18，B 区域踩到地雷的概率为91=728，∴第二步踩到地雷的概率A 区域和B 区域是相等的.故填=.【点睛】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键． 15．一个不透明的布袋中装有4个红色球、m 个白色球、1个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据概率计算公式，用白球的个数除以球的总个数等于摸到白球的概率，列出式子求解即可． 根据题意列式：0.541mm =++，解得5m =，则布袋中白球的个数为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查概率计算公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并应用概率计算公式是解答本题的关键．16．小慧在一次用“频率估计概率”的试验中，把“学生知耻处，方知艺不精”中的每个汉字分别写在十张完全相同的卡片上，然后把卡片的背面朝上，随机抽取一张后统计某一个汉字被抽到的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的汉字是______．【答案】知 【解析】 【分析】利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为15，总共有十个汉字，可得此汉字的个数为2，即可求解．解：利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为15，在“学生知耻处，方知艺不精”中总共有十个汉字， 可得此汉字的个数为2， 从而得到此汉字为知， 故答案为：知 【点睛】此题考查了利用“频率估计概率”，解题的关键是理解题意，正确求得抽的此汉字的概率． 17．一名男生投实心球，已知球行进的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为 y=﹣425（x ﹣2）2+8125，那么该男生此次投实心球的成绩是__．【答案】6分 【解析】解：当y=0时，计算得出：x 1=6.5，x 2=-2.5（舍去），由表可以知道当水平距离x=6.5米时，该男生此次投实心球的成绩是6分.18．定义：若自然数n 使得三个数的加法运算“(1)(2)n n n ++++”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为2349++=不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为45615++=产生进位现象；51是“连加进位数”，因为515253156++=产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是_______． 【答案】2225【解析】 【分析】按照定义将数据依次代入(1)(2)n n n ++++进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率.当n=0时，(1)(2)=012=3++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=1时，(1)(2)=123=6++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=2时，(1)(2)=234=9++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=3时，(1)(2)=345=12++++++n n n ，是连加进位数， 故0到9中，0、1、2不是连加进位数；当n=10时，(1)(2)=101112=33++++++n n n ，不是连加进位数，当n=11时，(1)(2)=111213=36++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=12时，(1)(2)=121314=39++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=13时，(1)(2)=131415=42++++++n n n ，是连加进位数， 故10到19中，10、11、12不是连加进位数；以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个， 故取到“连加进位数”的概率是8822=10025. 【点睛】本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键. 三、解答题19．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．(1)估计该麦种的发芽概率．(2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g ．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg ）？ 【答案】(1)该麦种的发芽概率约为95%； (2)约需麦种790千克 【解析】 【分析】（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可；（2）设约需麦种x 千克，根据x 千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x ×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可 (1)解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%， 故该麦种的发芽概率约为95%； (2)解：设约需麦种x 千克，x ×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3， 化简得15200x=12000000， 解得x =789919， 答：约需麦种790千克 【点睛】本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．20．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验n 次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表．(1)观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为______． (2)请你估计盒子里白球个数．(3)若往盒子中同时放入x 个白球和y 个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】(1)0.2 (2)1个 (3)31y x =- 【解析】 【分析】（1）观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，所以n 很大时摸到白球的概率将会接近0.2；（2）设盒子里白球有m 个，根据题意列出方程m=0.25，解方程即可得出答案； （3）根据等可能事件概率的计算方法，得到等式10.255xx y +=++，化简后即可得答案．(1)观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，∴摸到白球的频率为0.2(2)设盒子里白球有m 个，根据题意得，m =0.25解得m =1．答:盒子里白球有1个． (3)解：由题意得：10.255xx y +=++．化简整理得：31y x =-．∴y 与x 之间的函数关系式为：31y x =-．（x 为正整数） 【点睛】本题考查用频率估计概率，理解概率的意义，能根据事件发生的频率来估计该事件的概率是解题的关键.21．根据你所学的概率知识， 回答下列问题：(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明) (2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：根据上表， 下面有三个推断：①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是0.512， 所以“正面朝上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计“正面朝上”的概率是0.520；③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；其中推断合理的序号是________．【答案】(1)12，14(2)②③ 【解析】【分析】（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬币时，硬币正面朝上的概率；（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．(1)抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是12；若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，则两枚硬币都是正面朝上的概率是14；故答案为：12，14；(2)①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；其中推断合理的序号是②③．故答案为：②③．【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．22．童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答．。
用频率估计概率(1)
m n
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?
8．某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目， 小亮向纸箱中放入 25 个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为 25％， 摸到黄球的频率为 40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目．
பைடு நூலகம்
9．一口袋中有 6 个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下 颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共 300 次，其中 120 次摸到红球，则口袋 中大约有______个白球． 10．某班级有学生 40 人，其中共青团员 15 人，全班分成 4 个小组，第一小组有学生 10 人，其中共青团员 4 人．如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在 第一小组内的概率为______；现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个 代表恰好在第一小组内的概率是______． 11．在 5 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期，从 5 瓶饮料中任取 2 瓶，则取到的 2 瓶都过了 保质期的可能性是多少?请你用替代物进行模拟实验，估计问题的答案．
频率
30
60
90
120
150
试验次数 180……
问题 : 当试验次数较大时 , 比较数字 色的频率与其相应的概率 , 你能得到什么结 论？_________________________________________________. 4、得出试验结论。
【当堂训练】 1．当实验次数很大时，同一事件发生的频率稳定在相应的______附近，所以我们可以通 过多次实验，用同一个事件发生的______来估计这事件发生的概率．(填“频率”或 “概率”) 2．50 张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、 梅花、方片的频率依次是 16％、24％、8％、52％，估计四种花色分别有______张． 3．在一个 8 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中有 250 人有订报纸的习惯，则该镇 有订报纸习惯的人大约为______万人． 4．为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉 10 只，全部做上记号后放飞．过了一段时间 后，重新捕捉 40 只，其中带有标记的天鹅有 2 只．据此可估算出该地区大约有天鹅 ______只． 5．如果手头没有硬币，用来模拟实验的替代物可用( )． A．汽水瓶盖 B．骰子 C．锥体 D．两个红球 6．在“抛硬币”的游戏中，如果抛了 10000 次，则出现正面的概率是 50％，这是( )． A．确定的 B．可能的 C．不可能的 D．不太可能的 7．对某厂生产的直径为 4cm 的乒乓球进行产品质量检查，结果如下： (1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中； 抽取球数 n 优等品数 m 优等品频率 50 45 100 92 500 455 1000 890 5000 4500
《用频率估计概率》PPT教学课件1人教版
“正面向上”
次数m
1061 2048 4979 6019 12012
“正面向上”
频率(
m n
)
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
根据表中数据，画出“正面向上”的频率的变化趋势图
“正面向上”
大量重复试验中，如果频事件率A(发m 生)的频率稳定在常数p附近,
0.5 10000×（1-10%）x-1.
教练记录一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
选做：第5,6,7题（3 4号） 抛掷硬币“正面向上”的概率是0. 答：柑橘的售价应定为3元. 想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
10000×（1-10%）x-1. “正面向上”的频率m/n
0 2048 4040 1000012000
学习目标
掌握用频率估计概率的方法，并能解 决实际问题
导入新课：养鱼专业户为估计鱼塘里有多少条鱼,先捕捞100条 做上标记，然后放回塘里，当带标记的鱼完全和塘里的鱼混合 后，再捕捞100条，发现其中带标记的鱼有10条，他估计塘里大 约有1000条鱼.他是怎样估算出来的呢？
预习展示
探究频率与概率的关系
概率,
互动探究一
某水果公司以元/kg的成本价购进了10000千克柑橘，如果想获 得9000元的利润，那么售价应定为多少元？（会有10%损坏）
解：设柑橘的售价应定为x元， 10000×（1-10%）x-1.8x10000=9000 解得 x=3.
答：柑橘的售价应定为3元.
互动探究二
一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾， 养殖户通过多次捕获试验后发现：鲤鱼、 鲫鱼出现的频率是25%和35%，则这个水 塘里有鲤鱼 250 尾,鲢鱼 400 尾.
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 用频率估计概率
则捞到鲤鱼的概率约为
1
2
3
.
4
5
5. 有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干
个白球（每个球除颜色外其他相同）的不透明口袋
中，随机摸一个球，记下颜色，放回摇匀，摸到一
个红球就得到一个玩具.已知参加这种游戏活动的有
40000人次，公园游戏场发放的玩具为10000个.
1
2
3
4
5
（1）求参加一次这种游戏活动得到玩具的频率；
第二十五章
25.3
概率初步
用频率估计概率
要点归纳
知识要点
用频率估计概率
内容
1.对 一般的 随机事 件 ，在 做大量 重复试 验
时，随着试验次数的增加，一个事件出现的
频率，总在一个 固定数 的附近摆动，显
用频率
示出一定的稳定性，我们就可以用频率去估
估计
计此事件的概率；
概率
2.一般地，在大量重复试验中，如果事件 A
左右.
3. 在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的
小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率
约为40％，估计袋中白球有
1
2
3
4
4
5
个.
4. 某鱼塘养了1000条鲤鱼、500条鲫鱼和若干条草鱼，
该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频
率稳定在0.5左右.若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，
经检验， x ＝18是方程的解.
∴估计袋中白球接近18个.
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching!
发生的频率稳定于某个常数 p ，那么事件 A
25.3用频率估计概率(1)教学设计
初中九年级数学《26.3用频率估计概率》第一课时教学设计蚌埠市怀远界沟学校何建超一、教学内容解析《用频率估计概率》是沪科版教材九年级下册第二十六章第三节，前两节已经学习了概率的定义，并利用列举法求一些有限等可能事件的概率，本节将从统计试验结果的角度去研究概率，即通过频率研究概率。
教材在讨论完设置的掷硬币试验后，归纳得出用频率估计概率的方法，用频率估计概率将不受试验结果个数有限和等可能条件的限制，因此适用范围比用概率的古典定义更广。
教材设置了一个投币实验，一方面让学生亲自动手试验获得数据，另一方面给出历史上投币实验的数据，为学生发现规律提供帮助，通过亲手试验和历史数据，学生能够用自己在统计中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小，大量试验得出的稳定性数据0.5和我们用列举法求出的概率是同一个数值，从另外一个方面佐证了只要试验重复次数足够多，可以用频率去估计概率。
于是教材给出了概率的统计定义，这将有利于学生从整体上更好的把握概率的内涵，与前节学习的概率的古典定义达到统一。
二、教学目标解析根据学生已有的认知结构和生活经验，制定以下教学目标：1、从频率稳定性的角度了解概率的意义；【设计目的】让学生感知在试验过程中频数的发生是一个随机事件，用质地均匀的硬币投掷又是等可能事件，计算出的频率只能作为概率发生的估计值。
2、经历试验、统计整理、分析、归纳、确认等数学活动进而了解并感受概率意义的过程，引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界，进一步发展学生合作交流的意识和能力；【设计目的】让学生经历、感受数学是过程这一重大意义，把学生置于整个活动过程中，亲身体验频率的统计过程，深刻理解用频率估计概率的内涵，并在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
3、通过对问题的分析，理解用频率估计概率的方法，理解概率的思想，会用试验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
25.3用频率估计概率第1课时
3．任务2
第一组1 000 次试验
第二组1 000 次试验
3．任务2
第三组1 000 次试验
第四组1 000 次试验
3．任务2
第五组1 000 次试验
第六组1 000 次试验
3．任务2
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试 验，其中一些试验结果见下表：
试验者
棣莫弗 布丰 费勒
皮尔逊 皮尔逊
抛掷次数 n
2 048 4 040 10 000 12 000 24 000
“正面向上” 的次数 m
1 061 2 048 4 979 6 019 12 012
“正面向上” 的频率 m n
0.518 0.506 9 0.497 9 0.501 6 0.500 5
4．归纳方法
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试 验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定 数的附近摆动，显示出一定的稳定性.
课件说明
• 本课是在学生已经学习了用列举法求概率的基础上， 进一步研究用频率估计概率．
课件说明
• 学习目标： 用频率估计概率．
• 学习重点： 用频率估计概率．
1．问题引入
抛掷一枚硬币，“正面向上”的概率为 0.5．
这是否意味着： “抛掷 2 次，1 次正面向上”？ “抛掷 50 次，25 次正面向上”？
6．任务3
思考： 能否用列举法求上述事件的概率？为什么？
7．小结反思
（1）目前我们学习了哪几种求随机事件概率的方 法？
（2）结合你的生活经验，说说你对频率与概率之 间关系的认识．
我们不妨用试验进行检验．
2．任务1
任务1：考察频率与概率是否相同？ 活动： 抛掷一枚硬币 50 次，统计“正面向上”出现的频 数，计算频率，填写表格，思考． 组员分工： 1 号同学 抛掷硬币，约达 1 臂高度，接住落下的 硬币，报告试验结果； 2 号同学 用画记法记录试验结果； 3 号同学 监督，尽可能保证每次试验条件相同， 确保试验的随机性，填写表格． 全班同学分成若干小组，同时进行试验．
“用频率估计概率”(第一课时)教学设计
（ ）由于学生在此之前所 接触 的求 概率 的随机事件都是等可 １
问题 ２ ：怎样用频率估计概率？
试验 １ ：掷 硬 币 试 验 ．
能事 件 ，对于一些 结果不是 等可能 的随机事 件会依然 采取列举 法 ，这种 情况产生 的原 因是 学生对用 列举法求 概率 的两个 条件
把握不够 ，对事件发生的可能性大小分析不透彻 ．
１ ．抛掷一枚硬 币，正面 向上 的概率是 ，这个概 率能否利 １
（） ２ 频率在一定 程度上可 以反 映出随机事件发生可能性的大 用刚才计算 投篮命 中率 的方法 ，即统计很 多次掷硬币 的结 果来 小 ，但频 率本身是 随机 的 ，在试验前 不能确定 ，无法从 根本上 得 到 呢 ？ 刻 画事件发 生可 能性 的大 小 ，只有 在大量 重复 试验 的条件 下 ， 【 设计意 图】 已知概 率的情况下 引入该试验 ，主要基于 以 在
其 内涵 更 为 深 刻 ．
（） １ 能够通过试验获得事件发生的频率 ，并通过大量重复试 性．知道 大量重复试 验时 ，频率 可作为事件 发生概率 的估 计值． （） ２ 结合生活 实例 ，进一 步明晰频率 与概率 的区别 与联系 ，
事件的概率有确定 的结果 ，学生易 于接受 ，而概率 的统计 定义 验 ，让学生体 会到 随机事件 中蕴含 的客观规 律——频率 的稳定
（） ３ 在经历用试验 的方法探究概率 的过程 中，培养学生 的动
所 谓频率 ，是在相 同条件下进 行重 复试验 时 ，事件发 生 的
次数与试验总 次数的 比值 ，其本 身是 随机的 ，在试 验前 不能够 手 能力 、处理 数据 的能力 ，进 一步增 强统计意 识 、发 展概率 观 确定 ，且 随着试验次数的不同而发生改变．而一个 随机事 件发生 念 ，同时培养学 生实事求 是 的态度 、勇于探索 的精神及 交流与
25.3用频率估计概率(1)
25.3 用频率估计概率
万家中学数学组
课型 教师
新授课 李莹
课时
1
负责 张景嵩 领导 知识与技能：知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值；在 具体情境中了解概率的意义
教 学 目 标 过程与方法:让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机 现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频 率与概率的关系 情感态度与价值观：在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体 验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育 教学 在具体情境中了解概率意义. 重点 教学 难点 对频率与概率关系的初步理解 核心 问题 通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 教学 方法 合作探究法 教学 环节
交 流 完善 10′
3.各组汇报实验结果. 先自主探索， 与 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的 “正面朝上”的频率与先前的猜想有出入 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？ 引导学生分析讨论产生差异的原因。 在学生充分讨论 的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因。 使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性， 同 时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导他们小组 合作，进一步探究。解决的办法是：增加试验的次数，鉴 于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作。 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板 上，全班同学对数据进行累计，按照书上 P142 要求填好 25-3。并根据所整理的数据，在 25.3-1 图上标注出对应 的点,完成统计图。 同伴交流， 回答 产生上述问题 的原因， 并加以 补充、完善。 养成善于思考、善 于发现问题、善于 交流、总结的学习 习惯。
人教版九年级数学上册《用频率估计概率(第1课时)》示范教学设计
用频率估计概率（第1课时）教学目标1．掌握用频率估计概率的具体步骤和适用范围，理解用频率估计概率的合理性和必要性．2．了解频率与概率的区别和联系．教学重点掌握用频率估计概率的具体步骤和适用范围．教学难点1．理解用频率估计概率的合理性和必要性．2．了解频率与概率的区别和联系．教学过程知识回顾1．画树状图法当一次试验要经过3个（或3个以上）步骤或涉及3个（或3个以上）因素时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法．此外，当一次试验涉及两个因素时，也可用画树状图法．2．概率的定义一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．新知探究一、探究学习【问题】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币时，会出现哪些可能的结果呢？（2）它们的概率是多少呢？【师生活动】学生独立思考，然后教师抽取学生代表发言．【答案】（1）出现“正面向上”和“反面向上”两种情况．（2）都是12．【追问】这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会有50次“正面向上”和50次“反面向上”呢？【师生活动】教师与学生通过实验共同完成新知的探究．【设计意图】让学生带着问题进入本节课的新知学习．【试验】1．把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成表格．第1组的数据填在第1列，第1，2组的数据之和填在第2列……10个组的数据之和填在第10列．【新知】如果在抛掷硬币n次时，出现m次“正面向上”，则称比值mn为“正面向上”的频率．【师生活动】学生分组按要求试验、思考，完成表格的填写．【答案】【试验】2．根据表格中的数据，在下图中标注出对应的点．【师生活动】教师组织学生整理试验数据，在折线统计图中标出对应的点并连线．【答案】【设计意图】让学生亲身经历抛掷硬币的随机试验，收集和描述数据，培养随机观念，为揭示频率的随机性和稳定性做准备．【问题】（1）图中的横轴、纵轴分别表示什么？（2）过纵轴上刻度为0.5的点有一条水平直线，它的含义是什么？（3）标出的点的含义是什么？【答案】（1）抛掷次数、“正面向上”的频率．（2）“正面向上”的概率为0.5．（3）对应小组试验数据求和后获得的“正面向上”的频率．【设计意图】帮助学生复习与理解图表中各种数据的含义．【材料】历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果见表格．【思考】结合本班获取的试验数据与材料中的试验数据，试着分析出随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？【师生活动】学生独立思考，然后师生共同完成归纳．【答案】可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动．一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小．这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5．它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值．【归纳】试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率．对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．【设计意图】引导学生发现，尽管频率具有随机性，但在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率表现出一定的稳定性．二、典例精讲【例1】判断题（1）连续掷一枚质地均匀的硬币10次，结果10次全部是正面，则正面向上的概率是1．（）（2）小明掷硬币10 000次，则正面向上的频率在0.5附近．（）（3）设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中抽取1 000只灯泡，一定有10只次品．（）【师生活动】学生思考、回答，教师点评．【答案】×√×【新知】概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生．【设计意图】通过例1，加深学生对概率定义的理解．【例2】下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（）．A．频率就是概率B．频率是随机的，与试验次数无关C．概率是稳定的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．【答案】C【解析】频率是随机的，随试验而变化，但概率是唯一确定的一个值，在大量重复试验中，随试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率附近．故选C．【归纳】频率与概率的区别和联系【设计意图】通过例2，归纳出频率与概率的区别和联系．【例3】在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的试验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是试验的部分数据：（1）完成表格的填写．（精确到0.001）（2）估计摸出一个球恰好是白球的概率．（精确到0.01）【师生活动】学生独立完成后，全班交流．【答案】解：（1）填表如下．（2）由题表可估计，摸出一个球恰好是白球的概率是0.25．【归纳】用频率估计概率的具体步骤（1）判断：先判断某个试验所有可能的结果是不是有无限个或各种可能的结果是不是等可能的．（2）试验：大量重复试验直至某种事件发生的频率在某一个固定数的附近摆动．（3）估计：用上述固定的数估计概率．【设计意图】通过例3，归纳出用频率估计概率的具体步骤．三、拓展提升【思考】（1）能否用列举法求出抛掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子的概率？（2）能否用频率估计它们的概率呢？【师生活动】小组讨论，然后教师讲解．【答案】（1）不能．用列举法求概率仅适用于“各种结果出现的可能性相等”的随机事件．（2）能．用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大．【设计意图】让学生意识到用频率估计概率是一种获得随机事件的概率的新方法，它的使用范围比用列举法求概率更广．课堂小结板书设计一、频率与概率的区别和联系二、用频率估计概率的具体步骤三、用频率估计概率的适用范围课后任务完成教材第144页练习题．。
人教版九年级数学下册精品教案 用频率估计概率1
25．3 用频率估计概率教案11．理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律．2．结合具体情境掌握如何用频率估计概率．3．通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．一、情境导入养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？二、合作探究探究点一：频率【类型一】频率的意义某批次的零件质量检查结果表：(1)计算并填写表中优等品的频率；(2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率．解析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优等品的概率．解：(1)填表如下：(2)0.8【类型二】频率的稳定性在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________________________．解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来愈接近于一个常数，这个常数即为它的概率．故答案是：接近16.探究点二：用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( ) A ．可能有5次正面朝上 B ．必有5次正面朝上C ．掷2次必有1次正面朝上D ．不可能10次正面朝上解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是错误!，因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上．选项B 、C 、D 不一定正确，选项A 正确，故选A .方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．【类型二】推算影响频率变化的因素“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以球的总数为1000×0.2＝200，故答案为：200.方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．【类型三】 频率估计概率的实际应用 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．解析：设鱼塘中估计有x 条鱼，则5∶200＝30∶x ，解得：x ＝1200，故答案为：1200. 方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．三、板书设计教学过程中，强调频率与概率的联系与区别．会用频率估计概率解决实际问题.25．3 用频率估计概率教案2【教材分析】《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。
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用频率估计概率
1．理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律．
2．结合具体情境掌握如何用频率估计概率．
3．通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．
一、情境导入
养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？
二、合作探究
探究点一：频率
【类型一】频率的意义
某批次的零件质量检查结果表：
抽检
个数801002003004006008001000
优等品
个数6083154246312486634804
优等品
频率
(1)计算并填写表中优等品的频率；
(2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率．
解析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优等品的概率．
解：(1)填表如下：
抽检
个数801002003004006008001000
优等品
个数 60 83 154 246 312 486 634 804 优等品 频率
0.75
0.83
0.77
0.82
0.78
0.81
0.7925
0.804
(2)0.8
【类型二】频率的稳定性
在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、
“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________________________．
解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来愈接近于一个常数，这个常数即为它的概率．故答案是：接近1
6
.
探究点二：用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率
掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( ) A ．可能有5次正面朝上 B ．必有5次正面朝上
C ．掷2次必有1次正面朝上
D ．不可能10次正面朝上
解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是错误!，因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上．选项B 、C 、D 不一定正确，选项A 正确，故选A .
方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．
【类型二】推算影响频率变化的因素
“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑
料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个．
解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以球的总数为1000×0.2＝200，故答案为：200.
方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率．
【类型三】 频率估计概率的实际应用 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼．
解析：设鱼塘中估计有x 条鱼，则5∶200＝30∶x ，解得：x ＝1200，故答案为：1200. 方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
三、板书设计
教学过程中，强调频率与概率的联系与区别．会用频率估计概率解决实际问题.。