动能定理学案

动能定理及其应用

窦乐江

【考点梳理】 一、动能

1．定义：物体由于运动而具有的能，叫动能． 2．表达式：E k ＝1

2m v 2，国际单位为焦耳(符号为J)． 二、动能定理

1．表述：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化． 2．数学表达式：W ＝E k2－E k1.

【名师面对面】 实际应用动能定理更为细致的表述

表述一：如果质点的合外力为恒力，则合外力所做的功等于质点动能的增量； 表达式∑F·lcos α＝12mv 22－12

mv 2

1.

表述二：如果质点的合外力为非恒力，则外力所做功的代数和等于质点动能的增量．

表达式W 1＋W 2＋…＋W n ＝12mv 22－12mv 2

1.

二、方法技巧要用好

1．应用动能定理解题的基本步骤 2．应用动能定理解题时需注意的问题

(1)当物体系统内的相互作用是杆、绳间的作用力，或是静摩擦力，或是刚性物体之间相互挤压而产生的力时，作用力与反作用力的总功等于零。因此列动能定理方程时只考虑物体系统所受的外力做功即可。

(2)当物体系统内的相互作用力是弹簧、橡皮条的作用力，或是滑动摩擦力时，作用力与反作用力的总功不等于零。列动能定理方程时不但要考虑物体系统所受的合外力做功，还要考虑物体间的相互作用力做功。

(3)当物体系统内各个物体的速度不相同时，要注意根据各个物体的速度分别表述不同物体的动能。

(4)应用动能定理时，注意研究对象和研究过程的对应性。 【典题例证】

考向一 牛顿运动定律与动能定理应用技巧

【例1】(新情境)质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续运动，经过半个周期后恰能通过最高点．则在此过程中，小球克服空

气阻力做的功为( )

A.14mgR

B.13mgR

C.1

2

mgR D ．mgR

【教你一招】

【对应训练】(2013·江苏无锡)如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过圆孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉为为F 时，圆周半径为R ，当绳的拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R/2的圆周匀速运动．在上述增大拉力的过程中，求绳的拉力对球做的功．

考向二 多过程问题中动能定理的应用

【例2】某兴趣小组设计了如下图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以va ＝5 m/s 的水平初速度由a 点弹出，从b 点进入轨道，依次经过“8002”后从p 点水平抛出．小物体与地面ab 段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其他机械能损失．已知ab 段长L ＝1.5 m ，数字“0”的半径R ＝0.2 m ，小物体质量m ＝0.01 kg ，g ＝10 m/s 2.求：

(1)小物体从p 点抛出后的水平射程．

(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向．

【对应训练】如图所示，水平路面CD 的右侧有一长L1=2 m 的板M ，一物块放在板M 的最右端，并随板一起向左侧固定的平台运动，板M 的上表面与平台等高。平台的上表面AB 长s=3 m ，光滑半圆轨道AFE 竖直固定在平台上，圆轨道半径R=0.4 m ，最低点与平台AB 相切于A 点。当板M 的左端距离平台L=2 m 时，板与物块向左运动的速度v 0=8 m/s 。当板与平台的竖直墙壁碰撞后，板立即停止运动，物块在板上滑动，并滑上平台。已知板与路面的动摩擦因数μ1=0.05，物块与板的上表面及轨道AB 的动摩擦因数μ2=0.1，物块质量m=1 kg,取g=10 m/s 2。

(1)求物块进入圆轨道时对轨道上的A 点的压力；

(2)判断物块能否到达圆轨道的最高点E 。如果能，求物块离开E 点后在平台上的落点到A 点的距离；如果不能，则说明理由。

考向三用规范数学方法解决动能定理的有关问题

【例3】倾斜雪道的长为25 m，顶端高为15 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如下图所示．一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v

＝8 m/s飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起．除缓冲外运动员可视为质点，过渡轨道光滑，其长度可忽略．设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ＝0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离(取g＝10 m/s2)．

【对应训练】如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m＝0.5 kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ＝0.5，且与台阶边缘O点的距离s＝5 m．在台阶右侧固定了1/4个椭圆弧挡板，今以O点为原点建立平面直角坐标系，挡板

的方程满足x2＋4y2＝32

5

y.现用F＝5 N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去

拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板．

(1)若小物块恰能击中挡板的右端P 点，则其离开O 点时的速度为多大？ (2)为使小物块击中挡板，拉力F 最多作用多长距离？

(3)改变拉力F 作用距离，使小物块击中挡板不同位置．试利用平抛运动规律分析，证明：击中挡板的小物块动能均为8 J.

考向四 对动能定理与图象结合的问题的考查

【例4】如图甲所示，一根轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右端放一个可视为质点的小物块，小物块的质量为m ＝1.0 kg ，当弹簧处于原长时，小物块静止于O 点．现对小物块施加一个外力F ，使它缓慢移动，将弹簧压缩至A 点，压缩量为x ＝0.1 m ，在这一过程中，所用外力F 与压缩量的关系如图乙所示．然后撤去F 释放小物块，让小物块沿桌面运动，已知O 点至桌边B 点的距离为L ＝2x ，水平桌面的高为h ＝5.0 m ，计算时，可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力．(g 取10 m/s 2)求：

(1)在压缩弹簧的过程中，弹簧存贮的最大弹性势能； (2)小物块到达桌边B 点时速度的大小； (3)小物块落地点与桌边B 的水平距离．