概率论与数理统计习题7参考答案

概率论与数理统计习题7参考答案
习题7参考答案
7.1解：因为:
是抽自二项分布B （m ，p ）的样本，所以总体的期望为
mp X E =)(，用样本均值X 代替总体均值()E X ，得p 的矩估计为m X
p
=ˆ。

似然函数为
1
1
11
()
()(1)
(1)
()(1)m
m
i
i m m
i i x m x x m x x m x p p p m m
m
m
L p C p p C p p C p
p ==---∑
∑=--=-L ，
对它们两边求对数可得1
1
ln(())ln()ln ()ln(1),m m
p m
i
i
i i L p m C x p m x p ===+
+--∑∑对p 求导
并令其为0得
11
ln(())/()/(1)0m
m
i i i i L p x p m x p p ==∂=---=∂∑∑，得p 的极大似然估计为1
ˆn
i
i x
X
m p
m m ===∑
7.2解：0
1
()x
E X xdx e
λλλ
+∞
-=
•=
⎰
，令()X E X =，则λ的矩估计为
λ
ˆ11
()E x X
== 由概率密度函数可知似然函数为：
e e e x x x L n λ
λ
λ
λλλλ---••••=21)(e
n
i i x n
∑==-1
λ
λ
对它们两边求对数可得
∑
-=∑==-=n
i i
n
x e
n x L n
i i 1
ln )ln())(ln(1
λλλλ
λ
对λ求导并令其为0得
0))(ln(1=∑-=∂∂=n
i i x n L λλλ 即可得λ的似然估计值为x n n i i x 111ˆ1
=∑==λ
7.3解:记随机变量x 服从总体为[0,]上的均匀分布，则
2
20)(θθ=+=
X E ， 令()X E X =，故的矩估计为X 2ˆ=θ。

X 的密度函数为θ
1
)(=
x p 故它的似然函数为
I
I
X X L n i
n
n
i n
}
{
1
}
0{)(1
1
)(θθθ
θ
θ≤=≤<
==
∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值
应该为1，其次是θ
n
1
尽可能大。

由于θ
n
1
是的单调减函数，所以的取值应该尽可
能小，但示性函数为1决定了不能小于
,因此给出的最大似然估计=θ
ˆ
（示性函数I=
，=min{
} ,
=max{
}）
7.4解:记随机变量x 服从总体为[,]上的均匀分布，则
232
2)(θθ
θ=
+=
X E , 令()X E X =,所以的矩估计为X 3
2ˆ=θ
X 的密度函数为θ
1
)(=
x p 故它的是似然函数为
()(1)
()
(1){2}
{2}
{
}
2
1
1
1
1
()x x
x x n i
n n
n
n
n
i L X I I I
θ
θθθθθθ
θ
θ
≤
≤≤
<≤≤≤
==
==∏
要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θ
n
1尽可能大。

由
于θ
n
1是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小
于
,因此给出的最大似然估计=θ
ˆ.
7.5 解:似然函数为:e
e
n
i i i n ∑-=-==-
-
-
=∏
1
2
2
2
2
)X (2
)
X (21
)L(
21
2
2
n
1
i 2
)2(μσσ
μσ
πσ
πσ
取对数得:∑---==-n i i n n L 1222
2
)X (21)ln(2)2ln(2)(
ln μσ
σσ
π
对
σ
2
求偏导并令它等于零有
0212)(ln 1
2
4
2
2
2
)X (=∑+-
=∂∂=-n i i n L μσ
σ
σ
σ
解得
σ
2
的似然估计值为
∑==-n
i i n 1
22
)X (ˆ1μσ
7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知
θθθ
=⋅
==-
+∞∞
+∞
⎰⎰dx x dx x xf e
x
-0
1
)()E(x
θ2
)(=X Var
(1) θθ
==)()(
X ˆ1
1
E E θθθ=•=+=
+=22
1
))E()(E(21)2
()(X X X X ˆ2121
2
E E θθθ
=•=+=+=33
1))2E()(E(3
1)3(
)(X X 2X X ˆ2
12
13
E E θθθ=•=++=++==33
1
))E()E()(E(31)3
()E()(X X X X X X ˆ3213
21
4
E X E
故这四个估计都是的无偏估计.. （2）θθ
2
1
1
)()(
V X ˆ==Var ar
2241))(V )(V (41)2(
)(V 2
2
212
12
X X X X ˆθθθ=⋅=+=+=ar ar Var ar
9
591))(V 4)(V (91)3
(
)(V 5X X 2X X ˆ2
2
212
13
θθθ=⋅=+=+=ar ar Var ar
3
391))(V )(V )(V (91)3(
)(V 2
2
3213
214
X X X X X X ˆθθθ=⋅=++=++=ar ar ar Var ar
故有 )(V )(V )(V )(
V ˆˆˆˆ1
3
2
4
θθθθ
ar ar ar ar <<<
7.7证明（1）因为X 服从[]上的均匀分布，故
2
1
21
)(+=++=
θθθX E
θθ≠+
==2
1
)()(X E X E 故样本均值不是的无偏估计 （2）由（1）可知的矩估计为 2
1ˆ-=X θ 又 θθθ
=-+=-=2
1
21)2
1
()ˆ(X E E 故它是无偏估计.
7.8解;因为2
2
2
2
1
2
ˆ()((1))12ˆˆ(1)Var Var c c c c θ
σσθ
θ=+-=+-
要使)ˆ(θ
Var 最小则对)ˆ(θVar 关于c 求一阶导并令其等于零可得 02)1(212)ˆ(22=--=∂∂σσθ
c c c
Var 解得 σσσ2
122
2
2
+=
c
因为对)ˆ(θVar 关于c 求二阶导可得 02212)ˆ(2
22
2
≥+=∂∂σσθc
Var
故当σσσ2
122
2
2
+=
c 时)ˆ(θ
Var 达到最小。

7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得
0.05=α,16=n ,96.1025.02
==Z Z α,01.02
2=σ,125.2=X
0049.096.116
01.02
2
=⨯=Z n
ασ
所以μ的置信区间为
]1299.2,1201.2[]0049.0125.2,0049.0125.2[],[2
2
=+-=+
-
Z Z n
X n
X αα
σ
σ
(2) 0.05=α 16=n 125.2=X
1315.2)025.0(15
=t
()300029.015115
1
2
2
&==∑-=i X X S
i 即0171.0=S
所以μ的置信区间为
]1406.2,116.2[]1315.216
0171
.0125.2,1315.2160171.0125.2[)]2(),2([1515=⨯+⨯-=+-
ααt t n S X n S X。