层次分析法的计算步骤

8.3.2 层次分析法的计算步骤
一、建立层次结构模型
运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。

这些层次大体上可分为3类
1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；
2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；
3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。

层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。

这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。

为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。

例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所示的层次结构模型。

图8.1
再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：
图6 .2
图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。

然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。

如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。

有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。

层次之间可以建立子层次。

子层次从属于主层次的某个因素。

它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。

二、构造判断矩阵
任何系统分析都以一定的信息为基础。

AHP的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式就是判断矩阵。

判断矩阵是AHP工作的出发点，构造判断矩阵是AHP的关键一步。

当上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素（目标A或某个准则Z）相联系的下层各元素在上层元素Z之中所占的比重。

假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，…，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如表8.16所示。

Ak B1 B2 …Bn
B1
B2
Bn b11 b21 ┇ bn1 b12 b22 ┇
bn2
…
…
┇ …
b1n b2n ┇ bnn
判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。

填写判断矩阵的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少。

对重要性程度Saaty 等人提出用1-9尺度赋值，见下表8.17
重要性标度 含 义
1 表示两个元素相比，具有同等重要性 3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述判断的中间值
倒数
若元素i 与元素j 的重要性之比为ij b , 则元素j 与元素i 的
重要性之比为ji b =
ij
b 1 设填写后的判断矩阵为()
n
n ij ⨯，则判断矩阵具有如下性质：
(1) ij b >0，(2) ji b =
ij
b 1
，(3) ii b =1 .,.2,1n i = 根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写ii b =1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。

在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：
ik jk ij b b b =⋅ ，
当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则该判断矩阵为一致性矩阵。

采用1~9的比例标度的依据是：（1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在5~9级之间，采用1~9的标度反映了大多数人的判断能力；（2）大量的社会调查表明，1~9的比例标度早已为人们所熟悉和采用；（3）科学考察和实践表明，1~9的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。

因此目前在层次分析法的应用中，大多数都采用尺度。

当然，关于不同尺度的讨论一直存在着。

三、层次单排序
所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。

它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。

层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B ，计算满足
BW =m ax λ W （8. 18）
的特征根与特征向量。

式中，m ax λ为B 的最大特征根；W 为对应于m ax λ的正规化特征向量；W 的分
量
i
w 即是相应因素单排序的权值。

为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI ，CI 的定义为
CI =
1
max --n n λ （8.19）
显然，当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0。

n -max λ越大，CI 越大，判断矩阵的一致性越差。

注意到矩阵B 的n 个特征值之和恰好等于n, 所以CI 相当于除m ax λ外其余 n-1个特征根的平均值。

为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要找出衡量矩阵B 的一致性指标CI 的标准，Saaty 引入了随机一致性指标表8.18。

表8.18 1~9矩阵的平均随机一致性指标
2阶判断矩阵总是完全一致的。

当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI ，与同阶平均随机一致性的指标RI 之比RI
CI
称为判断矩阵的随机一致性比率，记为CR 。

当CR=
RI
CI
<0.01时，判断矩阵具有满意的一致性，否则就需对判断矩阵进行调整。

四、层次总排序
利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素重要性的权值，这就是层次总排序。

层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，设已算出第k-1层上n 个元素相对于总目标的排序为
T
k n k k w w w
),,()1()1(1)1(---= ， 第k 层
k
n 个元素对于第1-k 层上第j 个元素为准则的单排序向量
T
k j n k j k j k j
k u u u u ),,()()(2)(1)
( = .,.2,1n j =k n k ,,2,1 =
其中不受第j 个元素支配的元素权重取零，于是可得到
n
n k ⨯阶矩阵
)(k U =）（)
()(2)(1,,,k n k k u u u =⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛)()(21)
(2)(22)(21)
(1)(12)
(11k n n k n n k n k k k n k k k k k
u u u u u u u u u 其中)
(k U 中的第j 列为第k 层k n 个元素对于第1-k 层上第j 个元素为准则的单排序向量。

记第k 层上各元素对总目标的总排序为：
T
k n k k w w w ),,()()(1)( =
则
=)
(k w
)(k U =-)
1(k w ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21)
(2)(22)(21
)
(1)(12)(11k n n k n n k n k k k n
k k k k k
u u u u u u u u u
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛---)1()1(2)1(1k n k k w w w = ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∑∑∑=-=-=-n j k j k j n n j k j k j n j k j k j w u w
u w u k 1)1()(1)1()(21)1()(1
即有
∑=-=n
j k j k ij k i
w u w
1
)
1()()
(，k n i ,,2,1 =
五、一致性检验
为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计算与单排序类似的检验量。

由高层向下，逐层进行检验。

设第k 层中某些因素对k-1层第j 个元素单排序的一致性指标为)
(k j CI ，
平均随机一致性指标为)(k j RI ，(k 层中与k-1层的第j 个元素无关时，不必考虑)，那么第k 层的总排序的一致性比率为：
∑∑=-=-=
k
k
n j k j k j n j k j k j k RI w
CI w CR 1)
()1(1)
()1()(
同样当)
(k CR ≤ 0.10时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。