复变函数与积分变换教学大纲

《复变函数与积分变换》教学大纲

课程名称：复变函数与积分变换

Functions of Complex Variables & Integral Transformations?

课程性质：专业基础课

学分：3

总学时：48学时，其中，理论学时：48学时，实验(上机)学时：0学时，

适用专业: 通信工程、电子信息工程等专业

先修课程：高等数学

一、教学目的与要求：

复变函数与积分变换是工科院校中数学要求较高专业的一门基础理论课程。复变函数以及与它密切相关的积分变换，它的理论和方法不仅在数学的其他的许多分支中，而且在其他自然科学和工程技术如电力工程、自动控制、信号分析和图像处理、材料成型等领域内获得广泛的应用，已成为不可缺少的运算工具。

通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，傅立叶变换和拉普拉斯变换的思想与运算技巧，并在此基础上培养学生应用这些知识解决实际问题的能力，为后继专业课程的学习提供必要的数学工具。

第一章复数与复变函数（8学时）

第一节复数的概念与运算

一、复数的概念、表示法和运算

二、区域

第二节复变函数

一、复变函数的概念

二、复变函数的极限和连续

本章重点：复数的表示法、方根运算公式

本章难点：复变函数的极限与连续性

本章教学要求：掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变数学的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。

第二章解析函数（5学时）

第一节解析函数的概念

一、复变函数的导数和解析的概念

二、复变函数解析的充要条件

三、解析函数的基本性质

第二节初等函数的解析性

一、指数函数、三角函数、对数函数

本章重点：复变函数解析的充要条件

本章难点：复变函数解析的充要条件

本章教学要求：理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。

第三章复变函数的积分（6学时）

第一节复变函数的积分

一、复变函数的积分的定义与性质

第二节柯西定理与柯西公式

一、柯西积分定理、柯西积分公式

二、解析函数的高阶导数公式

本章重点：会求复变函数的积分，理解柯西积分定理

本章难点：掌握柯西积分公式、解析函数的高阶导数公式

本章教学要求：了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。

第四章级数（5学时）

第一节复级数的基本概念

一、复级数的一般概念

二、幂级数在收敛圆内的性质

第二节泰勒级数和罗伦级数

一、罗伦级数与罗伦展开定理

本章重点：掌握将函数在解析区域内展开为幂级数，

本章难点：掌握用间接法将函数在圆环域内展开成罗伦级数

本章教学要求：了解复级数的一般概念；理解幂级数在收敛圆内的性质；掌握

将函数在解析区域内展开为幂级数的方法，记住

1

,,sin,cos

1

z

e z z

z

的幂级数展开法；掌

握用间接展开法将函数在圆环域内展开为罗伦级数；理解函数的罗伦级数和罗伦展开定理。

第五章留数（6学时）

第一节孤立奇点及其分类

一、孤立奇点的概念和类型

第二节留数

一、留数的概念

二、不同奇点处留数的计算

三、留数定理

本章重点：掌握用留数定理，利用留数定理计算闭路积分

本章难点：掌握m阶奇点处留数的计算

本章教学要求：理解孤立奇点的概念，会判断孤立奇点的类型；理解留数的概念；掌握不同奇点处留数的计算；掌握用留数定理，利用留数定理计算闭路积分。

第七章傅立叶变换（8学时）

第一节傅立叶积分公式

一、傅氏积分定理、傅氏积分公式

第二节傅立叶变换

一、傅立叶变换和傅立叶逆变换

二、δ函数的概念、性质及其傅立叶变换

第三节傅立叶变换的性质

本章重点：掌握傅氏变换的性质

本章难点：傅立叶积分公式、傅立叶积分定理

本章教学要求：掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式；理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念；了解δ函数的概念、性质及其傅氏变换，了解傅氏变换的物理意义；掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。

第八章拉普拉斯变换（10学时）

第一节拉普拉斯变换的概念

一、拉普拉斯变换的概念、拉普拉斯存在定理

第二节拉普拉斯变换的性质

第三节拉普拉斯逆变换

第四节卷积

第五节拉普拉斯变换的应用

本章重点：理解拉普拉斯变换的性质

本章难点：卷积定理、求拉普拉斯逆变换

本章教学要求：理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念；了解拉普拉斯变换存在定理；掌握拉普拉斯变换的性质；掌握用留数求拉氏逆变换的方法；了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。

四、成绩考核方式：

综合平时的作业及测试成绩（30%）、和期末考试的成绩（70%）作为本课程的综合评定成绩。

五、教材与参考资料：

教材：

《复变函数与积分变换》（第二版），杨巧林等编着，机械工业出版社，

参考书：

《复变函数与积分变换》，华中理工大学数学系编着。

《工程数学—复变函数(第四版)》，西安交通大学高等数学教研室编，高教出版社

《工程数学—积分变换(第三版)》，南京工学院数学教研组编，高等教育出版社。