缓和曲线计算原理

1.2道路线形的基本介绍

道路运输在整个国民经济生活中起着重要作用。道路的新建和改建，测量工作必须先行，所以公路施工测量所承担的任务也是非常大的，为了更好的进行道路施工工作，下面就道路线形进行一下简单的介绍。

一般所说的路线，是指道路中线的空间位置。中线在水平面上的投影称作路线的平面；沿中线竖直剖切再行展开则是路线的纵断面；中线上任一点法向切面是道路在该点的横断面。

无论是铁路、公路还是地铁隧道和轻轨，由于受到地形、地物、地质及其他因素的限制，经常要改变线路前进的方向。当线路方向改变时，在转向处需用曲线将两直线连接起来。因此，线路工程总是由直线和曲线所组成。曲线按其线形可分为：圆曲线、缓和曲线、复曲线和竖曲线等。

公路中线应满足的几何条件是：线形连续平滑；线形曲率连续（中线上任一点不出现两个曲率值）；线形曲率变化率连续（中线上任一点不出现两个曲率变化值）。考虑上述几何条件，顾及计算与敷设方便，现代公路平面线形要素由直线、圆曲线和缓和曲线构成，称之为平面线形三要素。其中缓和曲线的曲率半径是从∞逐渐变到圆曲线半径R的变量。在与直线连接处半径为∞，与圆曲线连接处半径为R，曲线上任一点的曲率半径与该点至起点的曲线长成反比。

目前公路线形设计已开始使用非对称线形（成为非对称平曲线）设计，特别是在互通立交匝道和山区高速高速公路线形设计中，这种线形设计使用得较多。非对称线形分为完全非对称线形和非对称非完整线形两种，所谓“完全非对称曲线”的含义就是第一缓和曲线和第二缓和曲线起点处（ZH或HZ）的半径为∞，圆半径为R，第一缓和曲线

长1s l ，第二缓和曲线长为2s l ，12s s l l ≠。所谓“非完整”的含义是第一缓和曲线和第二缓和曲线的半径不是∞，而是1

R 、2

R 。而坐标法成为高速公路放样的主要方法，坐标法放样

线路中线的这个操作过程中，最重要的一部就是计算线路放样点的坐标。

2 路线中桩坐标计算原理

在实际工程中，线路的设计由专门的设计方完成，在线路完成设计得到审批后设计方便把所设计线路的线路要素（或者称为曲线要素）提供给施工方。所提供的曲线要素一般包括：线路中各曲线段的起点坐标、起点里程、起点半径、终点坐标、终点里程、终点半径、交点坐标、曲线参数、转角（包括用一定的符号表示左右转）、两条切线长（起点与终点各所对应的两条切线）、曲线长。当然不同的工程项目所提供的曲线要素也不一样，以上所述的要素是大多数设计方会提供的，有的设计方在提供上述要素的前提下，还提供曲线段的外距、中点坐标、弦长或者走向方位角等要素，供施工方在计算施工坐标时予以相互检核。

所以，为了保证原理的通用性，我们需要用最少的、最通用的、最有利于使用、最有利于推算的条件来讲解。通过对多份实际工程中用到的曲线元素的分析，得出了计算最复杂曲线（非完整缓和曲线）的中、边桩坐标及中桩→边桩坐标方位角的最少条件。

中桩，指的是为表示中线位置和线形等，沿路线中线所设置的编有桩号的桩或标志。中桩测设是指沿着直线或曲线详细测设中桩，是工程中放样测量的重要组成部分。中桩的放样方法有多种，但随着测量仪器的日益先进，测量手段也开始发生变化且趋向于简单，测量的结果也日益精确，当然所要求的放样元素也由所变化。现在工程中实际用到的放样仪器主要是全站仪、GPS-RTK ，这就决定我们在计算线路的放样元素时，得出的主要对象是桩位在总体坐标系中的二维坐标（高程放样是在其单独的高程坐标系中单独进行的）。

经过总结，发现进行中桩坐标计算时，无论其是何种曲线段只要给出下述条件即可进行相应的计算。条件：线路中各曲线段的起点坐标1x 1y 、起点里程1s 、起点半径1r 、

终点坐标2x 2y 、终点里程2s 、终点半径2

r 、交点坐标3x 3

y 、曲线参数A 、转向(-1

或1)。

由于在圆曲线、完整缓和曲线段及非完整缓和曲线段中桩、边桩坐标计算过程中，需要先建立局部坐标系然后进行二维坐标之间的转换，所以下面首先对二维坐标系之间的转换进行讲解：

2.1二维直角坐标系的转换

两个直角坐标系（如右图）进行相互转换的旋转角称为欧勒角，对于二维直角坐标系两个坐标系之间的夹角大小等于其欧勒角。对于二维直角坐标系已知P 点在局部坐标系中的坐标,()P P A B ，局

部坐标系原点0

,()x y 以及局部坐标系相对于总体坐标系

的坐标方位角，则P 在总体坐标系中的坐标为：

00cos sin sin cos p P P p x x A y y B θθ

θθ

⎡⎤⎡⎤⎡

⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

- 将矩阵换算为方程式的形式为：

00

cos sin sin cos p

p

p

P

P

p

x x A B y

y A B θθθθ=+

-⎫⎪⎬

=++⎪

⎭

式中0x 0

y 与θ值可由计算人员提供。

同样，若已知P 点在总体坐标系中的坐标,()P P

x y ，可按下式将其换算为在局部坐

标系中的坐标,()P P

A B ：

00

()()()()cos sin sin cos P

P

P P

P

P y y x x A y y x x B θ

θθ

θ⎫=-+-

⎪⎬

=--+-⎪

⎭

在前期的预备知识了解后，下面就工程中可能遇到的十一种路段，如何进行中桩坐

B

标的计算逐一的进行详细的讲解。

2.2直线段中桩坐标计算原理

首先说清的一点是，直线段不具有交点坐标。

在进行中桩坐标计算时，首先根据起点坐标1x 1

y 与终点坐标2x 2y 计算起点至终点

的坐标方位角jdjz ：

212

1

arctan

y y jdjz

x x

-=-

在得到计算起点至终点的坐标方位角jdjz 后，即可计算该直线段上任意里程s 的坐标，计算方式为：

1

1

1

1

()()cos sin jdjz x x s s y y jdjz

s s =+-=+- 这样，直线段的任意要求里程的中桩坐标就求出来了。

2.2圆曲线段中桩坐标计算原理

现在的铁路公路为了顾及到车辆行驶的安全性，防止使驾驶员的产生视觉疲劳，经常布设圆曲线，圆曲线是一种比较简单的线形，但因圆曲线段的线路走向较直线段较为复杂，所以在计算中桩过程中，为了坐标的计算方便以及后续的坐标系转换，须建立单独的坐标系，首先在局部坐标中计算各个桩号的中桩坐标，然后再根据局部坐标系原点在全局坐标系中的坐标以及局部坐标系X 轴方向在全局坐标系中的坐标方位角进行坐标转换。 2.2.1 圆曲线段中桩坐标计算通用原理

由于路线的转向不同，局部坐标系的建立方式也有所不同，这里先讲述圆曲线段中桩坐标计算的通用原理。

如右图所示，以曲线起点ZY 为坐标原点，以顺着线路方向的切线为X 轴，以切线的垂线方向为Y 轴，两个轴构成测量坐标系。