线性代数例题
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例题
例1、设⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ，⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=143022011B ， 试计算：1）BA AB -；2）22B A -；3）))((A B B A --；4）B A T
2。
解：1）;4189332141
,6158228114,.2317116
055⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BA AB BA AB 2）22B A -;7263450149171402201181911472158⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3）))((A B B A --;100510182122100143022100143022⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
4）B A T
2⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=412168223462220。
例2、求D=3
012402531
2613442-----
解：D 1
81234135
8161
81203
41301
2615
8160-----=------= 144181202023
03244-=----=
求D=1111111111111111--- 解：D 82
000020000201111-=---=
例3、设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-12A 4，=*
A 4。
例4、设三阶方程B A ,满足关系式，BA A BA A +=-61
，且
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/1000
3/1A ，则=B ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛123。 例5、设A 为3阶方阵，且2=A ，求*1
23A A --的值。
解：因为,211*--==A A A A 所以2
1)1(432313111*1
-=-=-=-=------A A A A A A
。
例6、设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。 解：A B E A B A AB =-∴+=)2(,2 。
E A E A 2,011
210113
222-∴≠-=--=- 可逆，
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴--321011324461351341321011324121011322)2(1
1
A E A B
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=9122692683。 例7、设n 阶矩阵A 和B 满足AB B A =+，（1）证明E A -为可逆矩阵；（2）证明BA
AB =（3）已知⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A 。
证明（1）E A E E B E A AB B A -∴=--∴=+,))((, 可逆。 （2）由（1）))()(())((E E A E B E B E A =--=--。化简即得。 （3）B E B A B A AB =-∴+=)(, 。由（1）知E B -可逆，
所以，1
1
100002030200012031)
(--⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=E B B A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
=20
00131
0211。
例、已知n 阶矩阵A 满足3)(2A E A A =-，并求1)(--A E 。 证明： 3)(2A E A A =-，E A A A E =--+∴3
2
22。变形可得：
E A A E A E =+--))((2。因此)(A E -可逆，且21)(A A E A E +-=--。
例、已知⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/5102/32/10001A ，则=-1*)(A ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-----1040620
00
4。 例、A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡323513123求1
-∴A
解：⎪⎪⎪⎭
⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101211001200010123101011001200410123100010001323513123
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
----
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
---- ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫----
⎝
⎛→210
21
211
2332671000100
012102
1211
29227100010003210
2
1211423100010103 ，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=∴-210
21211
2332671
A 。
例、问b a ,取何值时，下列方程组有非零解，并求其解。 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
20 0
321
321321x bx x x bx x x x ax
解：)1(1
2111
1
1a b b b a
A -==，当0=b 或1=a 时，0=A ，方程组有非零解。
当0=b 时，R t t a x x x a a a A ∈⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,111,00011010
11011110110110111321。
当1=a 时，R t t x x x b b b b A ∈⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,101,000010101012001011112111111321。
例、设有非齐次线性方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++++=+-+=+++3
)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλ
λ 问λ为何值 时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？
解
：
)
1(003221103322133)1(33322133)1(3112132-=+=++=++++=++-+=λλλ
λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA 。
当1,0≠λ时，方程组有唯一解； 当0=λ时，
,2)(3)~
(,300001100213311001100213330301100213~=≠=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A R A R A 无
解。
当1=λ时，