线性代数例题

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线性代数第三章向量与线性方程组例题

1.设α1=(1 2−1 0)，α2=(1312)，α3=(24−2)，α4=(1135)，α5=(223)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。

2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(12−2a )，β=(01b −1)问a,b 为何值时，（1） β不能由α1，α2，α3线性表出（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式5. 设A=(λ+312λλ−113λ+3λλ+3)，讨论AX=0的解的情况。

6. 设A=(111a b c a 2b 2c 2)，讨论AX=0的解的情况。

7. 设A=(1 10 1 1 12 20−132a −3−21a )，β=(01b −1)，讨论方程组AX=β的解的情况。

8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1λλ2)，讨论方程组AX=b 的解的情况。

9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(12324636k)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。

10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2−1a +21)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。

(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。

11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −51−1−1)，α2=(−6a +3−12)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。

线性代数复习第1-6章典型例题

按最后一列展开再提取每列的公因子
-8-
Dn = ( −1) n+1 (a1 − a n )(a 2 − a n )⋯(a n−1 − a n ) ×
1 a1
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
1 a n −1
2 a n −1
⋯ a n− 2
2 ⋯ a n− 2
⋮
n a1 − 2
⋮
⋮
⋮
n− 2 a n −1 ( n −1 )
n
x2 ⋯ xn a2 ⋱ an
xk yk ) = a 2 a 3 ⋯ a n (a1 − ∑ k = 2 ak
-6-
n
例9
范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式范德蒙德
1 a1 Dn =
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
2 a n −1
1 an
2 an
− an − an
⋯ a n −1 ⋯ ⋮
n n− 2 a 2 − 2 ⋯ a n− 2
Dn = ( a n − a1 )(a n − a 2 )⋯(a n − a n−1 ) Dn −1
Dn − 1 = (a n − 1 − a1 )(a n − 1 − a 2 ) ⋯ (a n − 1 − a n − 2 ) Dn − 2
⋯⋯
D3 = (a 3 − a1 )(a 3 − a 2 ) D2 D2 = (a 2 − a1 ) D1 = a 2 − a1
-17-
例8
设 n 阶方阵 A 满足 A2 = E ,
证明 r ( E + A) + r ( E − A) = n
证
A 2 = E ⇒ ( A + E )( A − E ) = O

《线性代数》应用例题

SEND MONEY 可以编码为
5，8，10，21，7，2，10，8，3 其中 S 表示为 5，E 表示为 8，等等。但是，这种编码很容易破译，在一段较长的信息中，我们可以根据数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如，若 8 为编码信息中最常出现的数字，则它最有可能表示字母 E，即英文中最常出现的字母。
0.1 0.2 0.15
4000 4500 4500 4000 �� = [2000 2600 2400 2200]
5800 6200 6000 6000
第三个表格通过��来计算。
2
信息编码
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P92
一个通用的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数。例如，信息
由于整数在计算机是准确表示的，而小数在计算机中是近似表示的，所以保证��−1的元素是整数非常重要，否则，如果��−1的元素是小数，则解密后信息会因为误差造成与原始信息不同，这样的加密算法就没有意义了。为了保证��−1的元素是整数，我们要求|��| = ±1。
为构造编码矩阵��，我们可以从单位矩阵��开始，多次采用如下运算：将某一行(列) ��(�� ≠ 0)倍加到另一行(列)
232
需要编码的信息放置在三行矩阵��的各个列上。
乘积
5 21 10 �� = [ 8 7 8 ]
10 2 3
1 2 1 5 21 10 31 37 29 �� = [2 5 3] [ 8 7 8 ] = [80 83 69]
2 3 2 10 2 3 54 67 50

线性代数第六章二次型例题

2
2
2
0 3. 设 A= 1 0 0
1 0 0 0 0 0 已知 A 一个特征值为 3，（1）求 y,（2）求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ， 0 �� 1 0 1 2
��
使（AP） AP=Λ。
2 1 3 �� 4. 设 A= −1 1 0 求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ，使（AP） AP=Λ。 −1 0 − 1
线性代数第六章二次型例题
1. 用配方法将以下二次型化为标准型，并写出所用可逆线性变换（1）（2）（3）（4）（5） f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 2 +2��2 2 +2��1 ��2 -2��1 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 2 +2��2 2 +4��3 2 + 2��1 ��2 +4��2 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=2��1 2 +5��2 2 +4��3 2 + 4��1 ��2 -4��1 ��3 -8��2 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 ��2 -4��2 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 2 +4��2 2 +4��3 2 − 4��1 ��2 + 4��1 ��3 -4��2 ��3

线性代数行列式经典例题22998

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数. 于是 =所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解：方法1 递推法按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4．计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋解方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立．当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6．计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ．方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。

线性代数第六章客观例题

(A)A与B等价； (B)A与B相似； (C)A与B在实数域上合同； (D)以上都不对。【解】因为B的特征值为-1, -1, 1, 1。答案 A
9、已知矩阵
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 1 0 , B= 0 1 1 , C 0 1 0 , D 0 2 0 0 0 3 0 1 3 0 0 0 0 0 3
则实二次型f(x1, x2, x3)=XTAX的规范形为【解】由题设，A与B有相同的秩与正(负)惯性指数， 1 0 0 。
E-B 0

2 ( 1)( 2)( 2)
0 2 可知A的秩及正惯性指数分别为3, 2，所以
二次型的规范形为z12+z22-z32。答案
0 0 0 16、设实对称矩阵A与 B 0 2 1 0 1 2
合同，则实二次型XTAX的规范形为
答案
y12+y22
。
【解】因为B的特征值为1, 3, 0, 所以B的正惯性指数指数为2，秩为2，又因为AB，所以A的正惯性指数和秩均为2。
17、设实二次型f (x1, x2, x3)=XTAX的秩为1，A的行元素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为答案 2y12 【解】由题设，A为实对称矩阵，3, 0, 0为A的特征值，则f在正交变换X=QY下的标准形为3y12。。
1 1 1 a 1 1 a 3 1 0 a 1 0 1 1 1 0 3 a 1 a
则a=
。
答案 1
所以a=1。
19、设二次型f(x1, x2, x3)的标准形为 2y12-y22+4y32 则二次型的秩，正惯性指数。答案 3, 2

大一线性代数知识点例题

大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。

3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。

4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。

a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。

b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。

5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。

a) 计算 T((3, 2))。

b) 判断 T 是否为一一映射。

6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。

7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。

a) 计算 A 和 B 的内积。

b) 判断 A 和 B 是否正交。

c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。

8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。

以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。

希望能够为你的学习提供一些帮助。

线性代数应用题总结分类及经典例题

线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。

以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

线性代数典型例题

线性代数典型例题A = C 1,： 2,： 3),B =(：1： 2：3, j 2 24 3√ 13： 29 3)线性代数第一章行列式典型例题、利用行列式性质计算行列式、按行（列）展开公式求代数余子式四、抽象行列式的计算或证明1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4]，B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四维列向量，且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|.A12. 设A 为三阶方阵，A 为A 的伴随矩阵，且IAI=',试计算行列式2"（3A ） j-2A * 0〕 2 L :O AT3. 设A 是n 阶（n 工2）非零实矩阵，元素a ij与其代数余子式A j 相等，求行列式|A|.2 1 04. 设矩阵A= 1 2 0 ,矩阵B 满足ABA * = 2BA*+E ,则|B|= ________ .'0 0 1 J5. 设＞1√?2, : 3均为3维列向量，记矩阵已知行列式D 4 =1 3 1 123 5 1 34 6 2 4 4 7 2=-6，试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44.三、利用多项式分解因式计算行列式11、tW1 2 —X1 ?计算D =151 9-x 22 ?设 f(x)=X b b b b X C C C C Xddd ,则方程f (X) =O 有根X = d如果I A ∣=1，那么| B |= __ .五、n阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为丄丄,则行列式2 3 4 51IB -E∣= _________ .2. 设A为四阶矩阵，且满足|2E ? A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2，试计算行列式|2A 3E |.第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵，求：（A J■ B」）」.-00021〕000532.设 A =12300,求A JL4580034600一二、讨论抽象矩阵的可逆性1. 设n阶矩阵A满足关系式A3? A2- A- E =0,证明A可逆，并求A^l.2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ? 2E ,证明B可逆，并求出逆矩阵。

工程数学(线性代数与概率统计)第三章典型例题分析

第三章例1 设A 为n 阶方阵, 若存在正整数k 和向量, 使, 且.证明: 向量组线性无关.证明: （利用线性无关定义证明）假设有常数, 使得1120k k A A λαλαλα-++= （1）将（1）两边左乘, 可得122120k k k k A A A λαλαλα--++=由已知条件, 可知上式从第二项全等于零, 所以, 又由条件, 所以. 类似地, 将（1）两边左乘, 可得；类似地可证得，所以向量组线性无关.例2 设向量组线性相关, 向量组线性无关, 问:（1）能否由线性表示？证明你的结论; （2）能否由线性表示？证明你的结论. 解: （1）能由线性表示.证明：由于向量组线性无关, 那么其部分组也线性无关。

又由已知条件有线性相关, 故能由线性表示. (2) 4α不能由123,,ααα线性表示.证明:假设4α能由123,,ααα线性表示,即存在不全为零的常数123,,λλλ,使得4112233ααλαλαλ=++由(1)的结论,我们可以设12233k k ααα=+,代入上式,可得421223133()()k k αλλαλλα=+++即4α可由23,αα线性表示,从而234,,ααα线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4α不能由123,,ααα线性表示.例3 设两向量组()()()123(1)1,2,3,3,0,1,9,6,7TTTααα=-==- ()()()123(2)0,1,1,,2,1,,1,0TTTa b βββ===已知两向量组的秩相等,且3β能由123,,ααα线性表示,求a,b. 解:令123123(,,),(,,)A B αααβββ==由于矩阵A 已知, 可以先对A 进行初等变换求秩.12231313913913925206061206123331701020000r r A r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪=--+-- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此()2r A =,且12,αα为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以()2r B =,从而0B =,即0121011a bB a b ==-= 所以a b =.又由条件3β能由123,,ααα线性表示而12,αα为(1)的一个极大无关组.所以3β能由12,αα线性表示,则1230ααβ=,即123132012100310b b ααβ⎛⎫⎪==-= ⎪⎪-⎝⎭,解得 5b =,所以有5a b ==.例4求向量组()11,1,1,3,T α=-()21,3,5,1Tα=-,()32,6,10,Ta α=-,()44,1,6,10Tα=-,()53,2,1,Tc α=-的秩和一个极大无关组.解:对以12345,,,,ααααα为列构成的矩阵A,做初等变换112431124313612024311510610612243110046291124311243024310243100077000110028110203A a c a c Ba c a c ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦当a=2且c=3时, ,B 中第1.2.4列线性无关, 此时向量组的秩为3, 是一个极大无关组；当时, , B 中第1.2.3.4列线性无关, 此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组；当, , B 中第1.2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4, 是一个极大无关组.例5设向量组（1）的秩为3；向量组（2）的秩为4,证明:向量组的秩为4.证明: （要证明的秩为4, 可通过证明线性无关来得到想要的结论）由向量组（2）的秩为4, 可知线性无关, 又由向量组（1）的秩为3, 可知线性相关, 从而可由线性表示, 即存在不全为零的常数, 使得, 不妨设, 将代入, 可得14112422343345()()()0k k l k k l k k l k αααα-+-+-+= 由于线性无关, 所以1412421234343400000k k l k k l k k k k k k l k -=⎧⎪-=⎪⇒====⎨-=⎪⎪=⎩故线性无关, 从而该向量组的秩为4.例6 设向量组的秩为r, , , , , 证明向量组12,,,m βββ的秩为r证明:(由推论等价的向量组有相同的秩, 此题只需证明两个向量组等价即可)由已知可由线性表示, 且有下式成立1212(1)()m m m βββααα+++=-+++从而,于是有, 即也可由, 故向量组与向量组等价, 从而他们的秩相等, 从而向量组的秩为r.。

线性代数例题讲解学习

线性代数例题[ 1]行列式例1：若1, 2, 3, 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式「231 m,, 1 2 2 3|门，四阶行列式3 2 11 2等于多少？例2：设A是n阶方阵，且A 0，则A中()(A) 必有一列元素全为零；(B) 必有两列元素成比例；(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.例3:设A 佝»3 3，A j为a j的代数余子式，且A j a j，并且0，求 A.例4:设四阶方阵A (a j)44，f (x) E A，其中E是n阶单位矩阵，求：(1) 4的系数；(2) 3的系数；(3)常数项.例5:设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，AA T E，A 0，计算A E .例6:设A，B为n阶正交矩阵，若 A B 0，证明A B是降秩矩阵.1 0 0例1:设A 10 1，证明当n 3时，恒有A n A n 2A E .0 1 0111 例2:设(1,2,3,4), (1,—, T, T)，A,计算A .2 3 4例3:设三阶方阵A , B满足关系A 1BA 6A BA，且A求B1例4:设A是三阶方阵，|A -，求(3A) 1 2A*例5：证明：若实对称矩阵A满足条件A20,则A O例6:设A E '，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，证明：(1)A2 A的充要条件是’1 ；(2)当’1时，A是不可逆矩阵.例7:已知n阶方阵A满足2A(A E) A3，求(E A)10000100 1例8:设A*，且ABA 1BA 1 3E，求B.101003081 0 0例9:设f (x)1x2 x100 典x ，A0 0 0，求f(A), f (f (A)) 0 1 0例10:设A,B是n阶方阵，且满足AB A B，证明：AB BA例11:设A 是n 阶方阵，是否存在B E ，使得AB A ，若存在B ，指出例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第列加到第三列得C ，则满足AQ C 的可逆矩阵为0 1 00 1 00 1 0 0 1 1(A )1 0 0（B ） 1 0 1（C ） 1 0 0 （D ） 1 0 01 0 10 0 11 10 0 1例14：设A,B 是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足A 2 AB B 2 0 ,证明A和A B 都是可逆矩阵，并求它们的逆一 1例16：求n 阶行列式例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使A m 0，又B 是n 阶可逆矩阵，证明矩阵方程AX XB 只有零解.an a 12 a 13a 21 a 22 a 例12：设Aa 31 a 32 a33a 41 a 42 a430 0 0 1 0 1 0 0PP 20 0 1 0 1 0 0 0其中A 可逆，则 B 1（）a 14 a 14 a 13 a 12 ana 24a 24 a 23 a 22 a 21，Ba 34 a 34 a 33 a 32 a 31a 44 a 44 a 43 a 42 a 411 1(A)A PR ； (B)R A P 2 ；1 1(G P 1P 2A ； (D)P 2A R .例15：设A,C 分别是m 阶和n 阶非奇异方阵, B 是m n 矩阵，证明: （1） M A B 为可逆矩阵；（2）M0 CA 1BC 1中所有元素的代数余子式的和求B 的办法，若不存在，说明理由10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1例18:( 1)设A,B是n阶方阵，且AB 0，证明：R(A) R(B) n(2)设 A 是n 阶方阵，且A2 A 2E，证明：R(2E A) R(E A) n1 2 3例19:已知Q 2 4 t ，P为三阶非零矩阵，且PQ 0,则()3 6 9(A)t 6时，P的秩必为1；(B)t 6时，P的秩必为2；(C) t 6时，P的秩必为1；(D)t 6时，P的秩必为2.例20：设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m，若AB E，证明B的列向量线性无关.例21：求n(n 2)阶方阵A的秩，其中a b bb a bAb b aA B例22：求设A,B,C,D是和n阶方阵，G ，且C DAC CA, AD CB，又行列式A 0，求证：n R(G) 2n.例23：设A是m n矩阵，B是n s矩阵，并且R(A) n,证明：R(AB) R(B)例24：设n维列向量组1, 2线性无关，向量组t可用s线性表示，表示矩阵为C，证明:(1) R( 1, 2, ，t) R(C)(2)当t s时，有s线性无关C是可逆矩阵.的转置.证明：（1）秩r（A） 2⑵若,线性相关，则秩r（A） 2（2008年数学一）例26：设AB均为2阶方阵，A*, B*分别为AB的伴随矩阵，若A 2,B 3, O A则分块矩阵B O的伴随矩阵为O*3B O*2B(A)"O (B)"O2A3AO*3A O2A（C）心O(D) *O2B3B（答案：B）（2009年数学一、例25:设,为三维列向量，矩阵A T,其中T分别是例1:设向量组例2:设向量组例3:设向量组3线性无关，证明向量组1 1也线性无关.关，则向量可由向量组例4：设向量佝&,m线性无关，讨论向量组1的线性相关性.m线性无关，向量组2, ，m线性表示.m?线性相,a n）'，A为n阶矩阵，如A m 1A m，则，A ,A2, ,A m1线性无关.例5:设A为n阶矩阵，证明R（A n） R（A n1）例6：设向量组m1（m 3）线性相关，向量组2，3? ，m线性无关，问（1）1能否由3? ，m 1线性表示？（2）m能否由1, 2，，m 1线性表示?例7：设向量组I线性无关，向量1可由它线性表示，向量2不能由它线性表示，证明I1个向量1, 2, ，l,k 1 2线性无关.例8：设向量组A {2, ，m}与向量组B { I}的秩相同，且向量组A可由向量组B线性表示，证明A与B等价.例9：设A为n阶矩阵, s是一组n维向量，满足A i i 1 i , i 2,3, ,S，并且 1 0，证明向量组s线性无关.例10：设3是线性无关的5维向量组, 3也是5维向量组,满足(i, j) 0,i, j 1,2,3。

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式、解方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故011102120n n n D n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)021n n n n n n ------=----LL L L M O O L M L其中第一步用的就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2011102120n n n D n n --=--L L MOL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ---- 例2、设a , b , c 就是互异的实数, 证明: 的充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数、于就是=所以的充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D n =121100010n n n x xa a a x a ----+K KM M M M K解: 方法1 递推法按第1列展开,有D n = x D 1-n +(－1)1+n a n11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1,2211x D a x a -=+,于就是D n = x D 1-n + a n =x(x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x1-n D 1+ a 2x2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a +K+x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M ML=(－1)1+n (－1)1-n a n +(－1)2+n (－1)2-n a 1-n x +K +(－1)12-n (－1)a 2x 2-n +(－1)n 2( a 1+x) x 1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4. 计算n 阶行列式:11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形就是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来.例5.计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋解方法1 递推法.D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+,2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++,代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ (2、1)由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ,而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于就是得递推公式1nn n D D αβ-=+,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于就是猜想11n n n D αβαβ++-=-,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当n ≤k 时成立. 当n=k+1就是,由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +,等式都成立例6. 计算n 阶行列式:12111111111n na a D a ++=+L L M M M L其中120n a a a ≠L .解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑,于就是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L .方法2 升阶(或加边)法121111*********111n na D a a +=++L L LMM M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法.将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L +1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式,而111D a =+,于就是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。

线性代数例题和习题

第二章矩阵及其运算∙ 要点和公式 ∙ - PART I -1. 矩阵的基本运算矩阵的加法设n m ij a ⨯=)(A ，n m ij b ⨯=)(B ，则n m ij ij b a ⨯±=±)(B A . 性质： ① A B B A +=+② )()(C B A C B A ++=++③ A O A =+④ O A A =-+)(矩阵的数量乘法设k 为数，n m ij a ⨯=)(A ，则n m ij ka k k ⨯==)(A A . 性质： ① A A =1② )()(A A l k kl = ③ A A A l k l k +=+)( ④ B A B A k k k +=+)(其它性质：① 0A =O ；② k O =O ；③若k A =O ，则有k =0或A =O 矩阵的乘法设n m ij a ⨯=)(A ,s n ij b ⨯=)(B , 则s m ij c ⨯=)(AB , 其中∑==nk kj ik ij b a c 1.性质：① )()(BC A C AB =② )()()(B A B A AB k k k ==③ AC AB C B A +=+)(④BC AC C B A +=+)(☑ 一般而言，矩阵的乘法不满足交换律和消去律，即 ①AB ≠BA ； ②AB =AC → B =C ； ③AB =O → A =O 或B =O (“≠”表示“不一定等于”；“→”表示“不一定能推出”) 定义：若AB =BA ，则称A 和B 可交换.(根据矩阵乘法，若A ,B 可交换，则A ,B 是同阶方阵)2 线性方程组及其矩阵表达式含m 个方程、n 个未知量的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 矩阵表达式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b 21，简记为Ax =b3 线性变换及其矩阵表达式从变量x 1, x 2, …, x n 到变量y 1, y 2, …, y m 的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmn m m m nn nn x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 矩阵表达式：=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m y y y 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21，简记为y =Ax4 方阵、和方阵有关的运算重要的方阵⑴ n 阶上三角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 22211211 (即，当i >j 时，a ij =0)n 阶下三角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111 (即，当i <j 时，a ij =0) ⑵ n 阶对角矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==n n diag λλλλλλ2121),,,(Λ ⑶ n 阶数量矩阵 nn n k k k k ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= E (k ≠0)⑷ n 阶单位矩阵 nn n ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 E⑸ 奇异矩阵、非奇异矩阵 (不可逆矩阵、可逆矩阵) ⑹ 对称矩阵、反对称矩阵 ⑺ 伴随矩阵方阵A 的k 次幂个k k A AA A =. 性质：① m k m k +=A A A ；② km m k A A =)( ☑ 一般而言，k k k B B A A ≠)( (除非A ,B 是可交换的) 方阵A 的k 次多项式设0111)(a x a x a x a x f k k k k +++=-- ，A 为n 阶方阵，则E A A A A 0111)(a a a a f k k k k +++=-- (E 为n 阶单位矩阵) ☑ ① f (A )g (A ) = g (A )f (A )② 一般而言，f (A )g (B ) ≠ g (B )f (A ). (除非A ,B 是可交换的) ☑⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n λλλ21Λ的多项式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()(21n f f f f λλλΛ方阵的行列式定理：若A , B 都是n 阶方阵，则B A AB ⋅= ☑ ①A A n k k =；② 一般而言，B A B A +≠+ ③ 一般而言，B A = → A =B☑ 定义：设A 为n 阶方阵，若0=A ，则称A 为奇异矩阵；若0≠A ，则称A 为非奇异矩阵.5 转置矩阵设n m ij a ⨯=)(A ，则A 的转置矩阵m n T ji T a ⨯=)(A ，其中Tji ij a a =转置矩阵的性质：① A A =T T )( ② T T T B A B A +=+)(③ T T k k A A =)( ④ T T T A B AB =)(⑤ 若A 为方阵，则A A =T6 对称矩阵、反对称矩阵定义：若A =A T(即a ij = a ji )，则称A 是对称矩阵；若A =－A T (即a ij = -a ji )，则称A 是反对称矩阵；(由定义知，对称矩阵和反对称矩阵必然是方阵)7 代数余子式矩阵、伴随矩阵定义：设A =(a ij )为n 阶方阵(n ≥2)，将A 中的所有元素a ij 替换为相应的代数余子式A ij 所得的矩阵，称为A 的代数余子式矩阵，记作cof A.定义：设A 为n 阶方阵(n ≥2)，则伴随矩阵T cof )(*A A = 伴随矩阵的性质：E A A A AA ==** (该性质表明，方阵A 与．伴随矩阵．．．．A *总是可交换的．．．．．．)8 可逆矩阵定义：若AB =BA=E ，则A ,B 皆可逆，且互为逆矩阵.(由定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵)定理：若A 可逆，则1-A 是唯一的.定理：A 可逆的充分必要条件是0≠A (即A 是非奇异矩阵). 定理：若A 可逆，则*11A AA =-. 定理：若A , B 均为n 阶方阵且AB =E ，则必有BA =E (即A ,B 皆可逆，且互为逆矩阵) 可逆矩阵的性质：设A , B 均为n 阶可逆阵，数k ≠0，则A -1, A T, kA , AB , 皆可逆，且① A A =--11)( ② 11)()(--=T T A A③ 111)(---=A A k k ④ 111)(---=A B AB ⑤ 11--=A A求逆矩阵的重要公式 ⑴ 二阶可逆矩阵：若ad -bc ≠0，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a c b d bc ad d c b a 11(2-1) (“两调一除”：调换主对角元位置，调换副对角元符号，再除以矩阵的行列式的值ad -bc ) ⑵ 可逆的对角阵、副对角阵：若a 1 a 2 …a n ≠ 0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11211121n n a a a a a a(2-2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121a a a a a a nn(2-3)9 伴随矩阵的其它性质 (补充内容)① 1*-=n AA② 若A 可逆，则A * 也可逆，且*11*)()(--=A A③**)()(T T A A = ④*1*)(A A -=n k k⑤⎪⎩⎪⎨⎧=>=-)2()2()(2**n n n A A A A⑥ ***)(A B AB =注以上性质的证明参见Part III-附录.10 分块矩阵分块矩阵的运算性质和一般矩阵相似，但需注意以下几点： ① 分块矩阵的加法：在A ,B 是同型矩阵的前提下，要求A 和B分块方式相同；② 分块矩阵的乘法：在AB 可乘的前提下，要求A 的列的分块方式和B 的行的分块方式相同；③ 分块矩阵转置：先将行块、列块转置(“大转”)，再将每个子块转置(“小转”). 分块法求逆矩阵的公式⑴ 可逆的分块对角阵、分块副对角阵：若A 1, A 2, …, A m 都是可逆阵，即021≠⋅⋅m A A A ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11211121m m A A A A A A(2-4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11121121A A A A A Am m(2-5)⑵ 可逆的2⨯2分块矩阵：若A , B 都是可逆阵，即0≠⋅B A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B O CB A A B OC A (2-6)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A (2-7)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111CB A A B O O B A C (2-8)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----O A B CA B C B A O 11111(2-9)- PART II 一些特殊矩阵的乘积 -⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m a a a21()n b b b , , ,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m m m n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111[矩阵乘积中任意两行(列)元素成比例]()n a a a , , ,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21n n b a b a b a +++= 2211 若A ,B 均为上(下)三角矩阵，则AB 也是上(下)三角矩阵.(并且，AB 的主对角元 = A 和B 的主对角元乘积])⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m λλλ 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m m m m n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ212222221211121111[相当于用λ1, λ2, …, λm 分别乘(a ij )m ⨯n 的各行]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n m m n n n n a a a a a a a a a λλλλλλλλλ 221122222111122111[相当于用λ1, λ2, …, λm 分别乘(a ij )m ⨯n 的各列]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b 21 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n b a b a b a2211 (上式表明，两个同阶的对角阵总是可交换的)n m n m m kA A kE ⨯⨯=)(； n m n n m kA kE A ⨯⨯=)( n n n n n kA kE A A kE ==)()((上式表明，数量矩阵与任．．一．同阶方阵总是可交换的．．．．．．．．．．) n m n m m A A E ⨯⨯=； n m n n m A E A ⨯⨯=()n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x x x 21∑∑===n i j i nj ij x x a 11(x 1,x 2,…x n 的二次齐次多项式)如果上式中方阵 (a ij )n ⨯n 是一个对称矩阵，则结果也可写作：∑∑∑=>=+n i j i nij ij i n i ii x x a x a 1212设A =(a ij )m ⨯n ，则AA T=C =(c ij )m ⨯m 是一个m 阶方阵，其中主对角元c ii 是A 的第i 行元素的平方和，非主对角元c ij (i ≠j )是A 的第i 行和第j 行对应元素的乘积之和，即∑∑====nk jkik nk Tkj ik ij a a a a c 11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==∑∑==n k jk ik n k ik j i a a j i a 112)( )( 111 2122221112111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mn m m n n n mn m m n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a [乘积为列向量，其中元素是(a ij )m ⨯n 的各行元素之和]() , , , 1 , ,1 ,1112112122221112111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===⨯m i in m i i mi i mn m m n n m a a a a a a a a a a a a[乘积为行向量，其中元素是(a ij )m ⨯n 的各列元素之和]111112112222121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯n n mn m m mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 上下翻转]111 122122211121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯m m mn nnn n mn m m n n a a a a a a a a a a a aa a aa a a[相当于将(a ij )m ⨯n 左右翻转]000010102122221212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mn m m n mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各行向上递推一次]00001010 1,11,2211,111212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⨯n m m n n n n mn m m n n a a a a a a a a aa a aa a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各列向右递推一次)00001010,12,11,111211212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⨯n m m m n mn m m n n m m a a a a a a a a a a a a a a a[相当于将(a ij )m ⨯n 的各行向下递推一次]00001010 2222112212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯mnm n nn n mn m m n n a a a a a a a a aa a aa a a [相当于将(a ij )m ⨯n 的各列向左递推一次]- PART III 附录：伴随矩阵性质的证明 -[证] (i) 若A 不可逆 (即0=A )，要证的结论变为0*=A .(i-1) 若0=A 且A =O ，则O A =*→0 *=A(i -2) 若0=A 但A ≠O ，仍有0*=A ，用反证法证明如下：假设0 *≠A ，即A *可逆.由于0=A ，故O ==E A AA *上式两端右乘(A *)-1，得O A O A ==-1*)(结论与条件 A ≠O 矛盾，故假设不成立，因此0*=A(ii) 若A 可逆 (即0≠A )，对E A AA =*两端取行列式，得*nA A A =⋅由于0≠A ，故1* -=n AA ⏹[证] 由于A 可逆(即0≠A )，对E A AA =两端同除A ，得1*E A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 上式表明：A *可逆，且1*)(-A A A1=又，用A -1替换 *E A AA =中的A ，有)(1*11E A A A ---=上式两端左乘A ，得 A AA A A 1)( 1*1==-- ⏹ 性质③ **)()(T TA A =[证] 设A =(a ij )n ⨯n ， A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A 212221212111*A → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n TA A A A A A A A A 212222111211*)(A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n T a a a a a aa a a A212221212111 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n T A A A A A AA A A A 212222111211*)(∴ **)()(T T A A = ⏹性质④ *1*)(A A -=n k k[证] 设A =(a ij )n ⨯n ， A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式，则行列式A k 中(i , j )元的代数余子式为nnnj n in ij i nj j i ka ka ka ka ka ka ka ka ka111111)1(+-ij n A k 1-=*1121112122112111211111* )( A A ----------=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n nn n n n n n n n n n n n n n k A k A k Ak A k A k A k A k A k A k k ⏹为证明性质⑥和⑦，下面先给出两个引理(但不证明)：引理1 对任意方阵A ，必存在实数λ0，当λ >λ0时，0212222111211≠---=-λλλλnn n n nn a a a a a a a a a E A引理2 设n 阶矩阵 A=(a ij (λ)) , B=(b ij (λ)) ，其中a ij (λ) , b ij (λ)是λ 的多项式 (i ,j =1,2,…,n ).如果存在实数λ0，使得当λ >λ0时A =B ，则对于任意实数λ都有A =B .[证] 用A *替换 *E A AA =中的A ，并利用性质①，有)(****E A A A =E A1-=n .两端左乘A ，得A AA AA 1***)(-=n A AA A 1**)( -=→n以A -λE (λ为任意实数) 代替上式中的A ，得)())((1**E A EA E A E A λλλλ--=---n根据引理1，存在实数λ0，当λ >λ0时，0≠-E A λ. 故，当λ >λ0时，有⎪⎩⎪⎨⎧=->--=--)2()2( )())((2**n n n ，，E A E A E A E A λλλλ根据引理2，上式对任意实数λ均成立. 特别是λ=0时，得⎪⎩⎪⎨⎧=>=-)2( )2( )(2**n n n ，，A A A A ⏹性质⑥ ***)(A B AB =[证] 用AB 替换 *E A AA =中的A ，有)(*E AB AB AB =两端左乘A *B *，得)(*****A B B A AB AB A B =对上式左端，有******)()())((AB B A A B AB AB A B =**)()(AB B E A B =**))((AB B B A = *))((AB E B A =*)(AB B A =因此，***)(A B B A AB B A =以A -λE , B -λE (λ为任意实数)分别代替上式中的A ,B ，得()*))((E B E A E B E A λλλλ----**)()(E A E B E B E A λλλλ----=根据引理1，存在实数λ1, λ2，当λ >λ1时，0≠-E A λ，当λ >λ2时，0≠-E B λ. 若取λ0=max(λ1, λ2)，则当λ >λ0时，有0≠-E A λ且0≠-E B λ，于是()***)()())((E A E B E B E A λλλλ--=--根据引理2，上式对任意实数λ均成立. 特别是λ=0时，得***)(A B AB =∙ 典型题型 ∙1 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加、减、数乘、乘法、转置等，熟记“要点和公式Part II ”中特殊矩阵的乘积，有助于正确、简捷的解题. 矩阵的运算与数的运算有很多区别，例如，矩阵的乘法一般不满足交换律和消去律，因此一些关于数的恒等式或命题对矩阵不一定成立. 在学习过程中应留意这些区别.[练习1] 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x 21B ，则A 和B 可交换的充分必要条件是__________. [答案] x -y = -1.[练习2] 设A 是n 阶下三角矩阵，B 是一个主对角元都为零的n 阶下三角矩阵，证明AB 是主对角元都为零的下三角矩阵. [提示] 记AB =C =(c ij )，需证明：当i ≤j 时，000111=+=+==∑∑∑+===nj k kj ik jk kj ik nk kj ik ij b a b a b a c[练习3] 设A 是n 阶对称矩阵(即A =A T)，B 是n 阶反对称矩阵(即B = -B T)，且A 2=B 2，证明：A =B =O .[提示] 由题设条件可得，AA T+BB T=O ，从而AA T+BB T的主对角元0)(122=+∑=nk ik ikb a (i = 1,2,…,n )[练习4] 若矩阵A 的各行(或列)元素之和相等，则称A 为行(或列)等和矩阵. 证明：(1) 矩阵A =(a ij )m ⨯n 是行等和矩阵的充分必要条件是AI n ⨯1= k I m ⨯1，其中11111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n I ,11111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m I , k 是常数； (2) 矩阵A =(a ij )m ⨯n 是列等和矩阵的充分必要条件是I 1⨯m A = k I 1⨯n ，其中()m m ⨯⨯=111 ,,1 ,1 I ,()n n ⨯⨯=111 ,,1 ,1 I .[练习5] 设A , B 均为n 阶方阵，且A 2=E , B 2=E ，证明：(AB )2=E 成立的充分必要条件是AB =BA[提示] 必要性：(AB )2=E 即ABAB =E ，两端左乘A 、右乘B ，再利用题设条件A 2=E , B 2=E 化简；充分性：由AB =BA ，可得(AB )2= (AB )(AB ) = (AB )(BA ) = A (BB )A .2 与方阵有关的计算 ⑴ 方阵的多项式⑵ 方阵的幂[练习6] 设A 为方阵，且A 2=A ，证明：(A +E )n=E +(2n-1)A . [提示] 用归纳法.[练习7] 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001001λλA ，求A n.[答案] ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001011221λλλn n n n C C C A[练习8] 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1111111111111111A ，求A 5. [答案] ()1 ,1 ,1 ,11111--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ⇒ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=1111111111111111)4(45A⑶ 方阵、方阵的行列式用方阵中的元素构成的行列式(元素的位置不变)，称为方阵的行列式. 方阵和行列式是不同的概念，要注意两者运算性质之间的区别.[练习9] 设α=(1,0,-1)T，矩阵A =ααT，n 为正整数，求∣k E -A n∣. [答案] k 2(k -2n)⑷ 利用定理“∣AB ∣=∣A ∣∣B ∣”计算行列式(其中A ,B 是同阶方阵)练习10设a 1, a 2, …, a n 是n 个互异的非零实数，S i=a 1i +a 2i +…+a n i,(i = 0,1, 2, …, 2n -2), 证明:022121110>---n nn nn S S S S S S S S S[提示] 利用11121211112元)(-------++++==j n i n j i j i j i a a a a a a S i,j()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------1121111211 ,,,j n j j i n i i a a a a a a可得，行列式的值为0)(12>-∏≤<≤ni j j i a a练习11 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +2E ，求∣B ∣.[提示] BA =B +2E ⇒ B (A -E )=2E ⇒ 22=-⋅E A B [答案] 2.3 线性变换的矩阵表示练习12 设A=E-2ααT，其中α=(a1, a2,…, a n)T，且αTα=1，证明：①A是对称矩阵；②AA T=E.[提示]①证明A T = A即可；②利用①的结论，有AA T=A2=E-4ααT+4ααTααT (其中αTα=1)5 伴随矩阵和可逆矩阵⑴伴随矩阵及其性质⑵ 求可逆矩阵的逆矩阵对于一个“数字”形式的可逆方阵A ，求逆的基本方法有：方法一：待定元素法 (例27). 方法二：利用伴随矩阵求逆，*11A AA=- (例28). 方法三：分块矩阵法 [6-(2)中的例49和例50]. 方法四：初等变换法 (常规方法．．．．，将于第三章中介绍). 求逆的运算容易出错，最后应验算A -1A =E 或AA -1=E成立.⑶ 判断方阵的可逆性判断方阵A 是否可逆的基本方法：方法一：根据|A |的值判断，“A 可逆⇔⎪A ⎪≠0”； “A 不可逆⇔⎪A ⎪=0”方法二：若A ,B 为同阶方阵，且AB =E (或BA =E )，则A ,B 互为逆矩阵.方法三：若A 可表示为若干个可逆矩阵的乘积，则A 可逆. (可逆矩阵的性质：可逆阵的乘积仍是可逆阵) 方法四：反证法.练习13 设A 是n 阶方阵，且AA T=E ，∣A ∣=-1，证明A +E 不可逆. [提示] 由∣A +E ∣=∣A +AA T∣=∣A (E +A T)∣=∣A ∣∣(E +A )T∣=-∣E +A ∣，得∣A +E ∣=0练习14 设A 是n 阶方阵且满足关系式A 2+A -6E =O ，证明A , A +E , A +4E 均可逆，并求逆矩阵. [提示] 以证明A +4E 可逆为例，A 2+A -6E =O ⇒ A 2+A -12E =-6E ⇒ E E A E A =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)4()3(61∴ A +4E 可逆，且)3(61)4(1E A E A --=+-[答案] )(611E A A +=-，A E A 61)(1=+-，)3(61)4(1E A E A --=+-练习15 设A ,B 和A -1+B -1均为可逆矩阵，证明：①A +B 可逆，② (A +B )-1=A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1.[提示] 本题可综合利用例32和例33的方法，主要步骤如下： ① A +B = AB -1B +AA -1B = A (B -1+A -1)B (三个可逆阵的乘积) ② 证明[A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1] (A +B )= [A -1-A -1(A -1+B -1)-1A -1] A (B -1+A -1)B = E 即可练习16 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11334221t A ，B 为3阶非零矩阵，且AB =O ，求t .[提示] 由B ≠O ，用反证法可得A 不可逆，即∣A ∣=0 [答案] t =-3.⑷ 利用逆矩阵解矩阵方程本章涉及的矩阵方程的基本类型如下：当A ,B 是可逆阵时，① 1B X B AX -=⇒=A ②1 -=⇒=A B X B XA③11 --=⇒=CB X C AXB A注意，如果计算中要使用了一个矩阵的逆，应先证明该矩阵可逆.练习17 设4阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000230022303123B ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000410044106241C ，且矩阵A 满足关系式 (2E -C -1B )A T= C -1，其中E 为4阶单位阵，将关系式化简，并求A .[提示] 对(2E -C -1B )A T= C -1两端左乘C ，再转置，得A (2C - B ) T= E .[答案] E B C A 51])2[(1=-=-T练习18 设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112*A ，且ABA -1=BA -1+3E ，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B .[提示] 化简ABA -1=BA -1+3E ，可得1*1113)(3----⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A E A E B其中的A 利用1*-=n AA 计算.[答案] ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3330B⑸ (涉及可逆阵的) 方阵的幂的计算练习19 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100001010A ，B =P -1AP ，其中P 为3阶可逆矩阵，求B2004-2A 2.[提示] ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000100012A ；E A =4；E P E P P A PB ===--5011200412004[答案] ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1336 分块矩阵矩阵的分块是重要的计算技巧，通过恰当的分块，将大矩阵的运算变成小矩阵的运算，可达到简化计算的目的. ⑴ 分块矩阵的运算练习20 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200042000051200125A ，求A 2k(k 为正整数) [提示]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200042000051200125A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A ⇒ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k 22212A O O A A其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k kk 222221130013130013A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+k k k k k A 2222222022[答案] ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+k k k k k kk 222222220002200013000013A练习21 设任意矩阵A 的分块矩阵A =(B , C )，证明：如果C TB =O ，则∣A T A ∣=∣B T B ∣∣C TC ∣.[提示] ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C C B C C B B B C B C B A A T T T T T T T, 其中C T B =O ，B T C =(C T B )T =O T练习22 设αT, βT, γ1T, γ2T均为1⨯3行向量，记分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TT2153γγαA ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T 21γγβB ，若∣A ∣=15，则∣B ∣=4，则∣A -B ∣=______.[答案] -24 ⑵ 分块法求逆矩阵分块法计算逆矩阵的公式参见“要点和公式”中的 (2-4)~(2-9).练习23 设A 是m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，且∣A ∣=a ≠0，∣B ∣=b ≠0，则O B A O 2=_______，12-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O =_______.[答案] ab m n m 2)1(⨯-； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O 11127 矩阵的运算性质除了矩阵的基本运算(加、减、数乘、乘法、转置)外，本章还介绍了对称矩阵、反对称矩阵、伴随矩阵、可逆矩阵、分块矩阵，要牢固掌握并能熟练运用相关的运算性质.练习24 设A是3阶可逆矩阵，且∣A∣=3，则∣2A-1∣=_____；∣A*∣=_____；∣(A*)*∣=_____；∣(A*)-1∣=_____；∣5A-1-2A*∣=_____；∣ (2A)*∣=_____；∣4A-(A*)*∣=_____.[答案]8/3, 9, 81, 1/9, -1/3, 576, 3(本题主要考察逆矩阵以及伴随矩阵的运算性质)。

线性代数————第3章：线性方程组

线性代数————第3章：线性方程组一、例题解析：1．单项选择题（1）向量组[][][][]αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（）。

A. αα12,B. αα24,C. ααα134,,D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。

正确答案：D（2）设线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000103006211041231，则此线性方程组的一般解中自由元的个数为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。

正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（）。

A. n A r =)(B. n A r >)(C. n A r <)(D. )(A r 与n 无关解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C（4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（）一定是B AX =的解。

A. 21X X +B. 21X X -C. 212X X -D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212，所以122X X -是线性方程组B AX =的解。

正确答案：D2．填空题（1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性。

解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则0k 0 +m m k k α++α 11= 0由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。

线性代数总结汇总+经典例题

线性代数总结汇总+经典例题（⼀）⾏列式概念和性质线性代数知识点总结1 ⾏列式1、逆序数：所有的逆序的总数2、⾏列式定义：不同⾏不同列元素乘积代数和3、⾏列式性质：（⽤于化简⾏列式）（1））⾏列互换（转置），⾏列式的值不变（2））两⾏（列）互换，⾏列式变号（3））提公因式：⾏列式的某⼀⾏（列）的所有元素都乘以同⼀数k，等于⽤数k 乘此⾏列式（4））拆列分配：⾏列式中如果某⼀⾏（列）的元素都是两组数之和，那么这个⾏列式就等于两个⾏列式之和。

（5））⼀⾏（列）乘k加到另⼀⾏（列），⾏列式的值不变。

（6））两⾏成⽐例，⾏列式的值为0。

（⼆）重要⾏列式4、上（下）三⾓（主对⾓线）⾏列式的值等于主对⾓线元素的乘积5、副对⾓线⾏列式的值等于副对⾓线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则7、n 阶（n≥2）范德蒙德⾏列式数学归纳法证明★8、对⾓线的元素为a，其余元素为 b 的⾏列式的值：（三）按⾏（列）展开9、按⾏展开定理：（1））任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式乘积之和等于⾏列式的值（2））⾏列式中某⼀⾏（列）各个元素与另⼀⾏（列）对应元素的代数余⼦式乘积之和等于0（四）⾏列式公式10、⾏列式七⼤公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A| ·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A -1|=|A| -1（5）|A*|=|A| n-1（6））若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ，则（7））若 A 与B 相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1 ）⾮齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0 ，那么⽅程为唯⼀解（2））如果⾮齐次线性⽅程组⽆解或有两个不同解，则它的系数⾏列式必为0 （3））若齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0，则齐次线性⽅程组只有0 解；如果⽅程组有⾮零解，那么必有D=0。

2 矩阵（⼀）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1））矩阵乘法要求前列后⾏⼀致；（2））矩阵乘法不满⾜交换律；（因式分解的公式对矩阵不适⽤，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以⽤交换律）（3））AB=O不能推出A=O 或B=O。

大学线性代数典型例题解析

0 -10 £)=-6-1973Li-10；十1严-II—6-19 5-13 20 120 D=I-19 5-13 20 I=(-1 严20 -19I -13大学线性代数典型例题解析一•行列式计算的典型例题分析:1•利用降阶法。

计算3 5 1()2 14 5D =17 4 2-3511解邂第三列乘权-3和-5分别加到第一列、第二列■然厂按第一行展开.得再将第三列乘以6加到第一列:按第三片展开’探「I以上演算过程可知,对于任意n阶行列式D,皆町用行列贰性质变为等置的n-1阶行列式, 2•利用化三角形法计算。

a -b —c la计算D 二2b b-c-a2c 2cIff：将第二廿与弟三打都加到第一打上，帯提出公阖子(a+b+cj,得a + h + 匸口 + A + u o + /)+ cD - 2b b -c — a 2A2c 2c c-a-bI 1 I—(a h + c) 2b b^c —a 2b2c 2c c —a — Z?再将第一疔乘以(-2b)和(-2e)分别加到第二行与第三行，得1 IID = (a + fr + c)0 ^[a +b +c)= (a ^-b + c)3 =0 0 —(a + Z? + c)3.利用升阶法。

D-II=fl “y)(i+£亠n 这里设a^A(f=I 52,3,4) i±i t±］人・吗这个结论可以推广到n 阶疔列式的情兀即a,4.利用范德蒙公式。

10 0 0 011 1 1 1■4a Q \-^iZ — d ■0 0 0 -a za 2Za 2 5=0 0 -码Ja%-码0 0 A - a 3 0码zA - a 4^列代帥到第—列上條第3列急倍9.5已知1 11I0 1 1 1 0 0 1 I 0 0 0 I锂将行列式转置住知它是一个4阶范苞讓行列式-HI ：1 r i X1 11 1]4 Sx 2 -3 5 ] -3 9-27x z 49 25 1■25 125F 8-2712= (2-_r)(-3 -工)(5 -工)(-3 - 2)(5 - 2)(5 + 3) = 0(方程的解为x = 2,x = -3,x = 5)H.矩阵i vp| = i^a 用伴随矩阵法I I 1 岛】=0 I 1 = 1, Z 】2 = A 、、= A }i = 00 0 1ft m 悭方程X1 525 =00 I 0 00 =0 =0A=且|出| =#03可逆，由三儒块求逆法.宀-0鞘口2 切卑丫变耳広1 1 1 1 1 0 0 0_10 0 0 1 -1 0 厂0 1 1 1 0 1 0 0 町一牛0 1 0 0 0 1 -1 0 00 1 10 0 1 0 巾•口0 0 1 0 0 0 1 -1 _0 0 0 10 0 0 1_0 0 0 11超法(4)分块法'I I 0 Id J = - - ■-*b0 0 0 00 0 -1 0 I -I其忙0 |1 00 0_故f50 1 勺0 ©17 ;求X使XA=B F这里川二 1 -3 -2・B — 5 3 05 21\|126 0>分析；根辦矩阵乘法规则,X应为3阶方阵.若A可連，则XA-B两恻同乘T T［即可得X = BA'\箏注_:先求(5 0 I =10 0^I -3-2,10[-5 2 1 : 0 0 1>fl-3-2 ；0 1 (?| f ] -3_勺J i 0i d\0 9 2 i 1010 15i 7 5 8lo -13-9 ； 051〔0 22i 10 1/11II00 :fl -：1-2 =0 丨0、R4895110 1 5 : 7 5g010 :04lo 0-8 : -13 -100u I J西4515\848丿(I 2 3、.'.A~x- 9 10 11< —13—10—15>103(123、fl—3则x = BA~{=-530910 11—456A<26o「10-15;<7 £9Kt鯉因削執右佻因此匕別二血环是沪乩姊上狛于俯等式馳同时右乘八降二：= f可以看成-些初等矩阵Z札它储乘B,用当于对B进行碱换.Ift这輕初等斛桶A.删L即和細斷同軸列初等变礼IE A变切时出把B变为启旳=⑷(H卩1因此iii_^si4…=…/丿册"丿N10i 0円S001S24 -12317 48 4562d 71S9V 2孙 /. X = 4 5 6<7 8 9丿(51 0-3 「-2r i 9 0 - 3 0、-11{ 1 0 0 亠3 0 12-5 2 1-92ID *-3 21-80 0-8 0 8 -8 0 8-3 0_5 -35-14-3 171-2 -6 0 J1-2 -62 J1-20-6 26；( 10 0A (\0 0、胖法一；AX=2X+B. !^ij (A-21) X=B若 A-21 可迎，则X = (A~2/)-1 B. fl 0 0) f s先求(A-2I)-l .^j A _2f= 0 “ -I 为准載筲矩阵，呦只需戒匚.T ；'的逆.I 】2丿f \0 0'二（月- ■2/)-1 =0 -2 7<0 1L&：8:设卫二0 1一|10 1 4>% 「B= 1】'求X 便AX=2X-B i& 70 £ -89 （说朝：斌二阶方阵用件随陈求逆也很方熾）I I5 0(p卩'3:.X =0 -2-I1]=-411<0 11丿12 -匀13無法二：X = （A-2irB,^（A-2iy'^当于一些初等阵之积，它们右乘氐相当于对已进疗行初等变唤=丙此（A -21,8} F"苇孚臭・片人X）.f\ 0 0 3 6^<10 0 3 6、r l 0 0 30 10-410 -I -1 1 I—>0 1 1 -1 -1—>1<0122 -3；<0013 -2y<0 0 1 3:3 6> 二x = -4 1例1D设占为ri阶可逆方阵点证：①（・』尸=卜1严八②卜』厂=・犷③（屮）—卩厂鼻证：①设A = （a.t）^中®的代叢余子式为坷则卜牛卜附卜卜1）%|且・切的代数余子式为卜叮1尙于是（卜旷如~卜旷4）=卜1严屮②证法1：由定几卜川・卜沪）=（-1）小（」）才上卜1"才T 故卜川“ =-<\证法2:由公式③当A可逆时,才=|车J故（/（*）*=（|J|Z）*=|彳州•悴于=14 -p-j—tr1）-1\A\说明;这里几个等试证明中用到了以下结论：⑴片呵=昇・网(2) (k -B)-1⑶町卜『③也可有如下解法:AA^ = \A\-1设f =艮则B*B=\B\1 由AA* = \A\I t^\A\ \A•|=p|-/| = |^ v A可逆，屮|* 0. |叶|犷,即网="I j H 0而#T = A AA^ = \A\* l t：. -^A^A* = 1)HI 同冷十「冷八|旷/•向量和线性方程组附已脳产(即)角=(”1入妒®』)嘲*为Mtta［岛角職暂弱血滩牝泌泌拋联糊谓加佝脚t跆*：墟IB于翡附箭$ “+铤+竝广0抽&&只有黠脑泌曲魁无关;抑詁有丰需轨鸟卫擲I 3 2D=2 -I3◎二*于是孔] -i 日十] 1124?+8I1 -1 20盘+】011110 1-120 1 a 2占+】0 2 ・2 “5 27 j + = 0弓+ 3血=03^( + 2k2 + ak3=0 果数吁列式3 2—1 3 = -7(i? - 5)0 a-5⑴ 当D=-7(fl-5) HO时.方程#汀!有寧劣闵此当a W时.a：,他4』线性无关. ⑵ 当0=-7(<2-5>0时’方程组有非零解，因此当d =5时.4“如线性相关.设or, =k\a{+k\ a2则(3. 2, 5) = (#'3+3k\ f2k\ -k'2,3k\ ^-2k\)比+3心3B|l! ^2k\-fc'2= 2探'严2码二5a t = (1023)匚勺=(143.5)7,«3 =(l,-l,a +2>l)r t a<= (1^4,0 +8)r, 0 = (】」』+3上卩问a,b为何值时，0不能表示f&a]f a2 f a3f a4的线性组合;日，b为何虫时.0 口丁以由a n a iy a ir a4线性表示，且表示法>€—・輕：如俛6分析，上述问邇等价于0二禺％ +虬s +咫乙是否有崩即)11 1 ■\_■ 1 ■0 1-12工：1=2 3 o + 2 4d+33 5 1 a+^£5是否育第氐为供10设j1 A =11■—1 2 5 2 3 7 3 4 9 45 1110 )316=1#0,而所有包含D 的三阶子式为D* = 囲此秩A=2方法2I 12 I 23=0. I 34I I 5 2 =1 II I 7D 6 =I 2 10 1 4 16=0.兀中kr : + r 表不矩阵第i 吁乘収k 加到第j 行，因此,当b=0时丫方程组有无穷梦解，戸可以表示J&s 卫 2*的线性组合. 当廿二7上勿吋，方程魁育无穷爹隨此讨阿匕表示成色,/的线性坦今, 但表示注不唯一.天■的就分析,一腹戒矩阵阿秩可以通过两个方法来戒’h 直接用行列式求矩埠的轶.即找出炬阵中屋高不为零子式的阶数. 2+利用初等变换來求矩阵的秩.方汇】与方注2-般根拯雄阵阶数夹定.对于做高建璋刖用初等变殃较为方怙112 5 71125 7 1 2 3 7 10 (-1) x f] +<0 11231 3 4 913i =2.3,4 0 2 246,」4 5 II 160 3 36 9I I 2I I 5I 1 7I 23=0, D 、=I 2 7 =0*Dy = 1 2 1C1 4 51 3 91 3 13聲方法一：貞有一介二阶子式D ：D = 节＜7H-1时,0可以唯一；卫农示2b « + 6+ 10 0_1125 7(-2小5 十口 0 I 1(_3)卩 + 心0 0 0 0 0 0Alft] r(B)=2,因此 r (A) =2例5.判断务=(h 2 3), a2 =(3t2 J),勺=(kN I)是否线性相关.分析：研究向量弐％,並「…，宜般的线性相关的问題卜由定丈时知.就是考寰是否存在血个不全为零的数虬和，…，斤十便线性组劭兔&+$&+…+S出=0口/】+◎九姑因此.向量组S •’ 是否线性用关，等价于齐次线性方程组(引是否有非孚矮. 若方程红⑶有菲寧鹘.则务，线性期关.若方程经⑶只有零倒L则码j线性无关.那苗究向去间是否线性祁关同建•实质上就是硏究齐次线柱方程组⑶着没有零解问亂解法一设存在一组数昭出，灯使禺住1 +紿勺+ k i a i= 0 ■ 即^(1,2,3) +^13,23) + ^(133)= (0,0, Oh 亦即(A p. + 3& + &,2& + 2k2+ 3心,3A | + k2+ RJ = (0,0,0)・k}+3A F:+A J = 02A: +2A:+3k z= 03k -k2 +Aj =0_1 3 r系软矩忑2 2 3 =A.可以通过初等行变换求得r(A)=3. K'J此齐状线性方程鉉3 I 1■ ■只有零轉故碍住"住3统性无关.覚'r 1 h(4)如皿汕％馳表示等价刊济熾住方程姐⑷是唯-的昶表示•若方灘（4）有无球性表示*但表乐法不唯一•若方程矩（4）无罠则 :…珂飙表示例6巳观产（MUM 厂仲厂卜加讦仏7卜1也小47卯小対1）试務像示加i 角角和住■的唆齣含.分析:硏究某-向量雄否用向量釦角严几濾性表示糠歸有皿个救匕岛「化使為0=&卫|祜角+"#屁虑立,N 占皿也杆叫A = Aa t J. + 偽屁 4Tor J. =h.u l孟■占"n* 皿 4眦向童滩否用向量脸崗否有麒着方脏沖）謎一亀M能妝q 穷多幣忖能用#能用©心解^P-k a也听+叭+也加即（1,2昇）詁伸山1）也（1」厂lHHMThTM—1」）£ + h + k3+£ = Iti +i, - L - k k= 2即0二一叭—a3 __g四.特征值与特征向量UJ例］.求矩阵的特征值和特征向量-1 r\ -3 4_ 4 = 2 0 1：.B =4 -7 81 -1 26 -7<-1 1(X「1 1 0\◎_2 4 -1 <2 = 0即:0 0 1X, = 0I -11 0>E 丿<< 0 0 oj <x 3©⑴fP解1 t :* A, 1 比q W)是屈F2的特证覚:ft ：4U/f-2 】-I Yx,竝于久严1；方程组好一旳X = Q 即为-2 1 -I<—1 1 —UL X 3>1刀■理=乂-31-1-】Z -*1-x-2 14-2 ZZ — = (z-2)|z- 1)1 1 01 Z 1-2 1 120 1Z — 10 1 1婆ir i -rJi 0 ©(0 -1 1 x 2 = 0 =>0 T I= 0<0 o o>\ J ><0<00 oj卫二丄的特征世为乙二久厂2,2严】*对于z ;: = 2P 方f^£(2l -AH=0, UI^J二解为1「出的持征置为2. 2. I . A的属于2的特征向量为仪I # 0),〔0丿◎I (帕RM二艺于2=1的持征向量T& 2向*切是属于-啲特征向量 I 】丿 4.1 (k 2 #0)是属于朝勺特征向董 WA 的属于1的特征向盘为& 1 (*2 *0) JJ= + "l =(A-3)(A + l)2 A 丹的特征值为右二心二一1,妇二3r■■f-23 -4\对于A, = =-l,^方程组C-I-A)X=0,^!(-Z-J)= 2 -I 0 J 7- jfo 2Ja -I <P0 -P (C0 —>10 1 lo o_2 —>0 I -2 *•!向童為=(2llj10 4一爲o y0 Ojf 2 3 -4X<2 3 -4^ 就于久严N 方程组(討「/1)X= a 3/-A =23 -40 16 -16厂6 7k 0 0 0 ；「2 o -r ((yT O 1 -1 解向量5 b 1・・/的特征值为T,-I3LO 0 0Jlb注I:求特社懐时戌难在于计算疔列式•应尽盘便中疔列式性质•理昊行(列)化成有冥国一阴子(2的一次式人然后再计算•这样易于暹多项式区式分髀"由此化还可看出.半特花值是重根时，不一宦有2个线性无关的特征向量.昂外，还可从解(AJ - A)X = 0中可验证所求的特征值是否正确.(当(A1-A)X = O^有军解时，可以说明诸几不是特征值)注2：特tz 尙量是非零向量这要牢记.五.二次型L:将二次型 f = （x, J = + 2x} + 4x 占 + 2x }心 +4x 內 + 2毛屯+2兀心+2®兀表示成矩陈形式，井我该二次型的秩•勢：将二次型表示成矩阵形式X\4X H\其中A 是对帐矩阵’•且2化即为二巧阿系数（2丿）血叫即为疋的柬熱出此即得:几其秩为氛f 而该二诜A ->。

线性代数3

习题讲解例题：一、设1α、2α为2维列向量，又，，A )2(2121αααα-+=),(21αα=B 若行列式6=A ，则=B。

解：211212132ααααααα-=-+=，，AB ，，333 21211-=-=-=ααααα ∴2-=B 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11121112)(21B ，A ，A αα ∴ 231)3(1112-=-=∴-⋅=-=A B B B A 二、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2112A ，矩阵B 满足：BA=B+2E ，E 为二阶单位阵，则B= 。

解：BA-B=2E ，B （A-E ）=2E 021111)(≠=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A E A∴ )(E A -可逆，求（A-E ）的逆。

用伴随矩阵法（或初等行变换法）记11)1(,11111111=⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+C E A C11)1(,1)1()1(12212112-=⋅-==--=++C C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴=⋅-+1111,11)1(*2222C C ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--111121)(11E A C ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-1111)(21E A B 三、若1α，2α…，S α均为n 维列向量，A 是m ·n 矩阵，则（A ）若1α，2α…，S α相关，则S A A A ααα,,,21 必相关。

（B ）若1α，2α…，S α相关，则S A A A ααα,,,21 必无关。

（C ）若1α，2α…，S α无关，则S A A A ααα,,,21 必相关。

（D ）若1α，2α…，S α无关，则S A A A ααα,,,21 必无关。

解：选（A ）由题意：),,,(),,,(2121S S A A A A αααααα =记),,,(),,,,(2121S S B A A A C αααααα ==，则有 AB C =， ∴ )()()(B r AB r C r ≤=若1α，2α…，S α相关⇔S B r r S <=)(),,,(21ααα∴ S B r A A A r C r S <≤=)(),,,()(21ααα∴ S A A A ααα,,,21 线性相关。

线性代数总复习及典型例题

二线性相关与线性无关条件是线性相关的充分必要向量组的秩小于矩阵条件是它所构成的向量个数必要向量组线性无关的充分于是判断某向量组的线性相关性可归结为齐次线性方程组是否有非零解从而取决于方程组系数矩阵的秩所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决
线性代数总复习
第一章
行列式
第一节 n阶行列式的定义
当m = n 时，n元非齐次线性方程组 Ann x b 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式
A0
齐次线性方程组 Ax 0 一定有解： (1) R(A) = n (2) R(A) < n
Ax 0 只有零解
Ax 0 有非零解
并且通解中有n-r个自由未知量.
齐次线性方程组 Ax 0 的具体解法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较 R A与n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。
第三章线性方程组
其中 B A b
非齐次线性方程组 Ax b
(1) R A R B (2) R(A) = R(B ) R(A ) < n R(A ) = n
无解有解:
Ax b有唯一解 ;
Ax = b 有无穷多解.
并且通解中有n-r个自由未知量.
非齐次线性方程组 Ax b 的具体解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较 R A 、 R B 以及n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。
Er O O O m n

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例题例1、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143022011B ，试计算：1）BA AB -；2）22B A -；3）))((A B B A --；4）B A T2。

解：1）;4189332141,6158228114,.2317116055⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BA AB BA AB 2）22B A -;7263450149171402201181911472158⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3）))((A B B A --;100510182122100143022100143022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4）B A T2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=412168223462220。

例2、求D=30124025312613442-----解：D 1812341358161812034130126158160-----=------= 14418120202303244-=----=求D=1111111111111111--- 解：D 82000020000201111-=---=例3、设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-12A 4，=*A 4。

例4、设三阶方程B A ,满足关系式，BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/10003/1A ，则=B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123。

例5、设A 为3阶方阵，且2=A ，求*123A A --的值。

解：因为,211*--==A A A A 所以21)1(432313111*1-=-=-=-=------A A A A A A。

例6、设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。

解：A B E A B A AB =-∴+=)2(,2 。

E A E A 2,011210113222-∴≠-=--=- 可逆，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴--321011324461351341321011324121011322)2(11A E A B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=9122692683。

例7、设n 阶矩阵A 和B 满足AB B A =+，（1）证明E A -为可逆矩阵；（2）证明BAAB =（3）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A 。

证明（1）E A E E B E A AB B A -∴=--∴=+,))((, 可逆。

（2）由（1）))()(())((E E A E B E B E A =--=--。

化简即得。

（3）B E B A B A AB =-∴+=)(, 。

由（1）知E B -可逆，所以，11100002030200012031)(--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=E B B A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001310211。

例、已知n 阶矩阵A 满足3)(2A E A A =-，并求1)(--A E 。

证明： 3)(2A E A A =-，E A A A E =--+∴3222。

变形可得：E A A E A E =+--))((2。

因此)(A E -可逆，且21)(A A E A E +-=--。

例、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/5102/32/10001A ，则=-1*)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1040620004。

例、A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323513123求1-∴A解：⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101211001200010123101011001200410123100010001323513123⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫---- ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→21021211233267100010001210212112922710001000321021211423100010103 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-210212112332671A 。

例、问b a ,取何值时，下列方程组有非零解，并求其解。

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020 0321321321x bx x x bx x x x ax解：)1(1211111a b b b aA -==，当0=b 或1=a 时，0=A ，方程组有非零解。

当0=b 时，R t t a x x x a a a A ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,111,0001101011011110110110111321。

当1=a 时，R t t x x x b b b b A ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,101,000010101012001011112111111321。

例、设有非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ 问λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？解：)1(003221103322133)1(33322133)1(3112132-=+=++=++++=++-+=λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA 。

当1,0≠λ时，方程组有唯一解；当0=λ时，,2)(3)~(,300001100213311001100213330301100213~=≠=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A R A R A 无解。

当1=λ时，,32)()~(,000032101101321032101101341611011214~<==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A R A R A方程组有无穷多解。

R t t x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,121031321。

例、把向量β表示成向量4321,,,αααα的线性组合：)1,0,0,0(=β，)1,0,1,1(1=α，)1,3,1,2(2=α，)0,0,1,1(3=α，)1,1,1,0(4--=α。

解：设,44332211ααααβk k k k +++=则314321421424321321,0101,103002ααβ-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-=+++=++k k k k k k k k k k k k k k k k 。

例、研究下列向量组是线性相关还是线性无关：)2,0,1(),5,2,0(),3,2,1(321-=-=-=ααα；解：321,,021520321ααα∴=--- 线性相关。

例、问t 取何值时，下列向量组线性相关：),1,1(),1,,1(),1,1,(321t t t --=--=--=ααα。

解：因为向量组线性相关，所以2,1,0)2()1(2311111123-=∴=-+=--=------t t t t t tt t。

例、用Schmidt 正交化方法将下列向量组正交化： 1）)1,1,1(1=α，)1,1,0(2=α，)1,0,1(3=α； 2）)1,1,1(1-=α，)1,1,1(2-=α，)1,1,1(3-=α。

解：1）)1,1,1(11==αβ，=-=1111222),(),(ββββααβ32)1,1,0(-)1,1,1(=)1,1,2(31-，=--=222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ)1,1,2(3121)1,1,1(32)1,0,1(-⨯+-=（)21,21,0-2）)1,1,1(11-==αβ，=-=1111222),(),(ββββααβ31)1,1,1(+-)1,1,1(-=)4,2,2(31-，=--=222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ)4,2,2(3121)1,1,1(31)1,1,1(-⨯+-+-=（)0,1,1例、n 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关；若n λλλ,,,21 是n 阶方阵A 的n 个特征值，则=∑=n i i 1λ∑=ni iia1，=∏=ni i1λA 。

例、已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为3,2,1，则=A 6 ，=-1*)21(A 2/9 。

例、求下列矩阵的特征值和特征向量：1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122113221解：0)3)(3(2=+-=-λλλA E ，因此，3,3321-===λλλ。

当31=λ时，解方程组0)3(=-X A E ，,0001101014221432243⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-A E故属于31=λ的特征向量为())0(,1,1,1≠k k T。

当332-==λλ时，解方程组0)3(=--X A E ，,0002101012221232223⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=--A E故属于332-==λλ的特征向量为())0(,1,2,1≠-k k T。

2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛324202423解：,0)8()1(2=-+=-λλλA E因此,1,8321-===λλλ当81=λ时，解方程组,0)8(=-X A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0002/1101015242824258A E故属于81=λ的特征向量为()Tk 2,1,2。

当132-==λλ时，解方程组,0)(=--X A E,000000212424212424⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=--A E 故属于132-==λλ的特征向量为T T k k )1,2,0()0,2,1(21-+-，其中21,k k 不全为零。

例、设21,λλ是n 阶阵A 的特征值，21λλ≠，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明：21ξξ+不是A 的特征向量。

证明：用反证法。

若21ξξ+是A 的属于某特征值λ的特征向量，则 )()(2121ξξλξξ+=+A ，（1）由于21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，所以 222111,ξλξξλξ==A A ，（2）由（1）、（2）可得： 221121)(ξλξλξξλ+=+，所以θξλλξλλ=-+-2211)()(，因为21λλ≠，所以21,ξξ线性无关，因此λλλ==21。