第10章 简单线性回归分析思考与练习参考答案

第10章 简单线性回归分析

思考与练习参考答案

一、最佳选择题

1．如果两样本的相关系数21r r =，样本量21n n =，那么（ D ）。

A. 回归系数21b b = B ．回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D ．t 统计量11r b t t = E. 以上均错

2．如果相关系数r =1，则一定有（ C ）。

A ．总SS =残差SS

B ．残差SS =回归

SS

C ．总SS =回归SS

D ．总SS ＞回归SS E.

回归MS =残差MS

3．记ρ为总体相关系数，r 为样本相关系数，b 为样本回归系数，下列（ D ）正确。

A ．ρ=0时，r =0

B ．|r |＞0时，b ＞0

C ．r ＞0时，b ＜0

D ．r ＜0时，b ＜0 E. |r |=1时，b =1

4．如果相关系数r =0，则一定有（ D ）。

A ．简单线性回归的截距等于0

B ．简单线性回归的截距等于Y 或X

C ．简单线性回归的残差SS 等于0

D ．简单线性回归的残差SS 等于SS 总

E ．简单线性回归的总SS 等于0

5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是（ B ）。

A ．各观测点距直线的纵向距离相等

B ．各观测点距直线的纵向距离平方和最小

C ．各观测点距直线的垂直距离相等

D ．各观测点距直线的垂直距离平方和最小

E ．各观测点距直线的纵向距离等于零

二、思考题

1．简述简单线性回归分析的基本步骤。

答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。

答：区别：

（1）资料要求上，进行直线回归分析的两变量，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。

（2）应用上，说明两变量线性依存的数量关系用回归（定量分析），说明两变量的相关关系用相关（定性分析）。

（3）两个系数的意义不同。r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度，b 表示X 每变化一个单位所导致Y 的平均变化量。

（4）两个系数的取值范围不同：-1≤r ≤1，∞<<∞-b 。 （5）两个系数的单位不同：r 没有单位，b 有单位。 联系：

（1）对同一双变量资料，回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。b ＞0时，r ＞0，均表示两变量X 、Y 同向变化；b ＜0时，r ＜0，均表示两变量X 、Y 反向变化。

（2）回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价，即对同一双变量资料，r b t t =。由于相关系数r 的假设检验较回归系数b 的假设检验简单，故在实际应用中常以r 的假设检验代替b 的假设检验。

（3）用回归解释相关：由于决定系数2

R =SS 回 /SS 总 ，当总平方和固定时，回归平方和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和，则2

R 越接近1，说明引入相关的效果越好。例如当r =0.20，n =100时，可按检验水准0.05拒绝H 0，接受H 1，认为两变量有相关关系。但2

R =(0.20)2=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明两变量间的相关关系实际意义不大。

3. 决定系数与相关系数的意义相同吗？如果不一样，两者关系如何？

答：现将相关系数、决定系数与Y 的总变异的关系阐释如下：假如在一回归分析中，回归系数的变异数回归SS ＝9，而Y 的总变异数总SS ＝13，则

决定系数2

R =回归SS / 总SS =9/14=0.642 9/1，相关系数R =0.801 8

即将决定系数表示为一比值关系，当总SS = l 时，则回归SS = 0.642 9，我们可以采用直角三角形的“勾股定理”图示决定系数与相关系数的关系，如练习图10-1所示。

练习图10-1 相关系数、决定系数与总变异的关系

三、计算题

1. 以例10-1中空气一氧化氮（NO）为因变量，风速（X4）为自变量，采用统计软件完成如下分析：

（1）试用简单线性回归方程来描述空气中NO浓度与风速之间的关系。

（2）对回归方程和回归系数分别进行假设检验。

（3）绘制回归直线图。

（4）根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95%置信区间。

（5）风速为1.50 m/s时，分别计算个体Y值的95%容许区间和Y的总体均数的95％置信区间，并说明两者的意义。

解：运用SPSS进行处理，主要分析结果如下：

（1）简单线性回归方程、假设检验结果及总体回归系数的95%置信区间如下：

（2）方差分析结果：

（3）回归直线如练习图10-2。

练习图10-2 回归直线图

2. 教材表10-8为本章例10-1回归分析的部分结果，依次为X 、Y 、Y 的估计值（Y ˆ）与残差（e ），请以相关分析考察四者之间的关系，以回归分析考察Y ˆ与X 、Y 与Y ˆ、Y 与Y

Y ˆ-、Y Y ˆ-与X 之间的关系，并予以解释。 教材表10-8 案例分析中回归分析的部分结果

解：主要分析结果：

(1)四者之间的相关系数

** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

（2）四个变量间的回归系数 因变量

自变量

截距 回归系数 t

P

Y ˆ X

-0.136 0.159 456.016 0.000 Y

Y

ˆ 1.005 0.001 6.457 0.000 Y

Y

Y ˆ- 0.088

0.999

3.394 0.003 Y

Y ˆ- X

0.000 014 7 0.000 010 5

0.000

1.000

Y

ˆ与X 呈完全正相关关系，回归系数t 检验结果P =0.000，表明Y ˆ的变异可由X 完全解释。

Y 与Y

ˆ的相关系数与Y 与X 的相关系数相同，表明正是由于X 的影响引起Y 的变异，Y 与Y

ˆ关系即体现了Y 与X 的变化关系。 Y 与Y

Y ˆ-体现了扣除X 的影响后，Y 与残差仍呈正相关关系。 Y

Y ˆ-与X 呈零相关关系，表明扣除了X 的影响，回归方程的残差与X 不再有相关或回归关系。

（张岩波 郝元涛）