简单线性回归模型分析
简单线性回归分析
简单线性回归分析
简单线性回归分析是一种统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
其中，一个变量被称为因变量或响应变量，另一个变量被称为自变量或解释变量。
简单线性回归通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并可以用这条直线来进行预测和推断。
分析简单线性回归模型首先需要进行模型的拟合。
通过拟合可以得到最优的回归系数。
一般使用最小二乘法来拟合模型，最小二乘法的目标是最小化观测值与模型预测值之间的差异的平方和。
拟合模型后，可以进行模型的评估。
评估模型的好坏可以使用各种统计指标，例如残差和决定系数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，用于评估模型对实际数据的拟合效果。
决定系数是评估模型解释观测变异能力的指标，其取值范围为[0,1]，值越接近1，说明模型解释变异能力越好。
在模型评估的基础上，可以进行模型的推断。
模型推断包括对回归系数的置信区间估计和假设检验。
通过置信区间估计可以给出回归系数的估计范围，以及回归系数是否显著不等于0。
假设检验可以用于检验回归系数是否显著不等于0，即自变量是否对因变量有显著影响。
简单线性回归分析可以在实际情况中有很多应用。
例如，在市场营销中，可以使用简单线性回归模型来研究广告投入与销售额之间的关系，从而确定广告投入对销售额的影响。
在经济学中，可以使用简单线性回归模型来研究收入与消费之间的关系，从而了解收入对消费的影响。
总结起来，简单线性回归分析是一种重要的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
通过拟合模型、评估模型和进行推断，可以得到有关两个变量之间关系的重要信息，为实际问题的解决提供有力支持。
第二章简单线性回归模型
4000
2037 2210 2325 2419 2522 2665 2799 2887 2913 3038 3167 3310 3510
2754
4500
2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
3039
5000 5500
2469 2924 2889 3338 3090 3650 3156 3802 3300 4087 3321 4298 3654 4312 3842 4413 4074 4165
Yi 与 E(Yi Xi )不应有偏差。若偏
差u i 存在，说明还有其他影响因素。
Xi
X
u i实际代表了排除在模型以外的所有因素对 Y 的影
响。 u i
◆性质 是其期望为 0 有一定分布的随机变量
重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济分析结19
果的性质和计量经济方法的选择
引入随机扰动项 u i 的原因
特点：
●总体相关系数只反映总体两个变量 X 和 Y 的线性相关程度 ●对于特定的总体来说，X 和 Y 的数值是既定的，总体相关系
数 是客观存在的特定数值。
●总体的两个变量 X 和 Y的全部数值通常不可能直接观测，所
以总体相关系数一般是未知的。
7
X和Y的样本线性相关系数：
如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性
计量经济学
第二章 一元线性回归模型
1
未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的 远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人 次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿 美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 相当于国内生产总值的8%至11%。
各种线性回归模型原理
各种线性回归模型原理线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的方法，用于建立自变量和因变量之间线性关系的模型。
在这里，我将介绍一些常见的线性回归模型及其原理。
1. 简单线性回归模型（Simple Linear Regression）简单线性回归模型是最简单的线性回归模型，用来描述一个自变量和一个因变量之间的线性关系。
模型方程为：Y=α+βX+ε其中，Y是因变量，X是自变量，α是截距，β是斜率，ε是误差。
模型的目标是找到最优的α和β，使得模型的残差平方和最小。
这可以通过最小二乘法来实现，即求解最小化残差平方和的估计值。
2. 多元线性回归模型（Multiple Linear Regression）多元线性回归模型是简单线性回归模型的扩展，用来描述多个自变量和一个因变量之间的线性关系。
模型方程为：Y=α+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，α是截距，β1,β2,...,βn是自变量的系数，ε是误差。
多元线性回归模型的参数估计同样可以通过最小二乘法来实现，找到使残差平方和最小的系数估计值。
3. 岭回归（Ridge Regression）岭回归是一种用于处理多重共线性问题的线性回归方法。
在多元线性回归中，如果自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计不稳定性。
岭回归加入一个正则化项，通过调节正则化参数λ来调整模型的复杂度，从而降低模型的过拟合风险。
模型方程为：Y=α+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε+λ∑βi^2其中，λ是正则化参数，∑βi^2是所有参数的平方和。
岭回归通过最小化残差平方和和正则化项之和来估计参数。
当λ=0时，岭回归变为多元线性回归，当λ→∞时，参数估计值将趋近于0。
4. Lasso回归（Lasso Regression）Lasso回归是另一种用于处理多重共线性问题的线性回归方法，与岭回归不同的是，Lasso回归使用L1正则化，可以使得一些参数估计为0，从而实现特征选择。
简单线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何利用模型进行
简单线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何利用模型进行数据预测一、简单线性回归模型的公式及含义在统计学中，线性回归模型是一种用来分析两个变量之间关系的方法。
简单线性回归模型特指只有一个自变量和一个因变量的情况。
下面我们将介绍简单线性回归模型的公式以及各个参数的含义。
假设我们有一个自变量X和一个因变量Y，简单线性回归模型可以表示为：Y = α + βX + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，α表示截距项（即当X等于0时，Y的值），β表示斜率（即X每增加1单位时，Y的增加量），ε表示误差项，它表示模型无法解释的随机项。
通过对观测数据进行拟合，我们可以估计出α和β的值，从而建立起自变量和因变量之间的关系。
二、参数的估计方法为了求得模型中的参数α和β，我们需要采用适当的估计方法。
最常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法的核心思想是将观测数据与模型的预测值之间的误差最小化。
具体来说，对于给定的一组观测数据（Xi，Yi），我们可以计算出模型的预测值Yi_hat：Yi_hat = α + βXi然后，我们计算每个观测值的预测误差ei：ei = Yi - Yi_hat最小二乘法就是要找到一组参数α和β，使得所有观测值的预测误差平方和最小：min Σei^2 = min Σ(Yi - α - βXi)^2通过对误差平方和进行求导，并令偏导数为0，可以得到参数α和β的估计值。
三、利用模型进行数据预测一旦我们估计出了简单线性回归模型中的参数α和β，就可以利用这个模型对未来的数据进行预测。
假设我们有一个新的自变量的取值X_new，那么根据模型，我们可以用以下公式计算对应的因变量的预测值Y_new_hat：Y_new_hat = α + βX_new这样，我们就可以利用模型来进行数据的预测了。
四、总结简单线性回归模型是一种分析两个变量关系的有效方法。
在模型中，参数α表示截距项，β表示斜率，通过最小二乘法估计这些参数的值。
简单线性回归模型
Yt = β1+ β2Xt+et et ~N(0,1) 兩個分析模型的理由： 解釋應變數 (yt) 會如何隨著自變數 (xt ) 的改變而
改變。
在 x0 已知下預測 y0。
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰 1
y, y, yˆ
yt y yˆt y eˆt
最小平方估計式的變異數與共變數
(1) σ2 Var(b2) 越不精確
(2)T
Var(b2) 越精確
(3)Var(X2 )
Var(b2) 越精確
(4)Cov(X2 , X3 ) Var(b2) 越不精確
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰15
誤差為常態分配之最小平方估計式的性質
R2↑
Notice : 殘差模式也有許多其他的不足之處，例 如有被忽略的變數，異質變異性 （heteroskedasticity），自我相關 （autocorrelation） 錯誤建立迴歸模型。
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰10
殘差為常態分配嗎？
1.平均值→0 2.傑古貝拉檢定（Jarque-Bera test for normality），用來檢定常態性。 Ho: 常態，H1:非常態 若 P＞α 無法拒絕虛無假設
選擇函數形式：實證議題
技術的改變
1.散佈（plot）
2.模型 Yt=β1+β2 Xt+et 3.估計
4.預測
時間
5.殘差分佈 → 檢查是否為常態分配?
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰 9
简单线性回归模型
简单线性回归模型线性回归是统计学中一个常见的分析方法，用于建立自变量与因变量之间的关系模型。
简单线性回归模型假设自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过最小二乘法对该关系进行拟合。
本文将介绍简单线性回归模型及其应用。
一、模型基本形式简单线性回归模型的基本形式为：y = β0 + β1x + ε其中，y为因变量，x为自变量，β0和β1为常数项、斜率，ε为误差项。
二、模型假设在使用简单线性回归模型之前，我们需要满足以下假设：1. 线性关系假设：自变量x与因变量y之间存在线性关系。
2. 独立性假设：误差项ε与自变量x之间相互独立。
3. 同方差性假设：误差项ε具有恒定的方差。
4. 正态性假设：误差项ε符合正态分布。
三、模型参数估计为了估计模型中的参数β0和β1，我们使用最小二乘法进行求解。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值与模型预测值之间的平方差。
四、模型拟合度评估在使用简单线性回归模型进行拟合后，我们需要评估模型的拟合度。
常用的评估指标包括：1. R方值：衡量自变量对因变量变异的解释程度，取值范围在0到1之间。
R方值越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好。
2. 残差分析：通过观察残差分布图、残差的均值和方差等指标，来判断模型是否满足假设条件。
五、模型应用简单线性回归模型广泛应用于各个领域中，例如经济学、金融学、社会科学等。
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，可以预测和解释因变量的变化。
六、模型局限性简单线性回归模型也存在一些局限性，例如：1. 假设限制：模型对数据的假设比较严格，需要满足线性关系、独立性、同方差性和正态性等假设条件。
2. 数据限制：模型对数据的需求比较高，需要保证数据质量和样本的代表性。
3. 线性拟合局限：模型只能拟合线性关系，无法处理非线性关系的数据。
简单线性回归模型是一种简单且常用的统计方法，可以用于探索变量之间的关系，并进行预测和解释。
然而，在使用模型时需要注意其假设条件，并进行适当的拟合度评估。
庞浩计量经济学第二章简单线性回归模型
最小二乘法的应用
在统计学和计量经济学中，最 小二乘法广泛应用于估计线性 回归模型，以探索解释变量与 被解释变量之间的关系。
通过最小二乘法，可以估计出 解释变量的系数，从而了解各 解释变量对被解释变量的影响 程度。
最小二乘法还可以用于时间序 列分析、预测和数据拟合等场 景。
最小二乘法的局限性
最小二乘法假设误差项是独立同分布 的，且服从正态分布，这在实际应用 中可能不成立。
最小二乘法无法处理多重共线性问题， 当解释变量之间存在高度相关关系时， 最小二乘法的估计结果可能不准确。
最小二乘法对异常值比较敏感，异常 值的存在可能导致参数估计的不稳定。
04
模型的评估与选择
R-squared
总结词
衡量模型拟合优度的指标
详细描述
R-squared，也称为确定系数，用于衡量模型对数据的拟合程度。它的值在0到1之间，越接近1表示模型拟合越 好。R-squared的计算公式为(SSreg/SStot)=(y-ybar)2 / (y-ybar)2 + (y-ybar)2，其中SSreg是回归平方和， SStot是总平方和，y是因变量，ybar是因变量的均值。
数据来源
本案例的数据来源于某大型电商 平台的销售数据，包括商品的销 售量、价格、评价等。
数据处理
对原始数据进行清洗和预处理， 包括处理缺失值、异常值和重复 值，对分类变量进行编码，对连 续变量进行必要的缩放和转换。
模型建立与评估
模型建立
基于处理后的数据，使用简单线性回 归模型进行建模，以商品销售量作为 因变量，价格和评价作为自变量。
线性回归模型是一种数学模型， 用于描述因变量与一个或多个 自变量之间的线性关系。它通 常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε
简单线性回归模型的估计与解释
简单线性回归模型的估计与解释简介简单线性回归模型是统计学中常用的一种回归模型，用于分析两个变量之间的关系。
本文将介绍简单线性回归模型的估计与解释方法。
一、模型的建立简单线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项。
二、模型参数的估计为了估计模型参数，常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是使残差平方和最小化。
通过最小二乘法，我们可以得到β0和β1的估计值。
三、模型的解释1. 截距（β0）的解释截距表示当自变量X等于0时，因变量Y的平均值。
截距的估计值可以用来解释在X为0时的预测值。
2. 斜率（β1）的解释斜率表示因变量Y对自变量X的变化率。
当自变量X增加1个单位时，因变量Y的平均变化量为斜率的估计值。
斜率的正负决定了变量之间的正向或负向关系。
3. 模型的拟合优度拟合优度是用来评估模型对数据的拟合程度。
常用的指标是R方（R-Squared），它表示因变量的变异中能够被自变量解释的比例，取值范围为0到1。
R方越接近1，说明模型对数据的拟合越好。
四、模型的显著性检验为了检验自变量和因变量之间的关系是否显著，我们可以进行假设检验。
通常使用t检验对截距和斜率进行检验。
若p值小于显著性水平（通常为0.05），则认为存在显著关系。
五、模型的诊断与改进在应用简单线性回归模型时，需要进行模型诊断和改进。
常见的诊断方法包括残差分析、离群值检测和多重共线性检验等。
根据诊断结果，可以尝试改进模型，如加入非线性项或引入其他解释变量。
六、模型的应用简单线性回归模型广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会学等。
通过建立和解释简单线性回归模型，可以分析变量之间的相关性，预测未来趋势，为决策提供科学依据。
结论通过对简单线性回归模型的估计与解释，我们可以得到模型参数的估计值，解释截距和斜率的含义，评估拟合优度以及进行显著性检验。
同时，还需进行模型诊断和改进，以提高模型的准确性和可解释性。
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3
描述学生人数和销售收入之间的关系
协方差(315.56)和相关系数(0.95)，散点图；
250
季度销售收入/千美圆
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
4
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
xi yi ( xi2 (
xi xi
)
2
yi ) /n
/
n
,
b0 y b1 x
估计的回归直线 yˆ b0 b1x
11
阿姆德连锁店的回归直线
估计参数
b1=5
250
季度销售收入/千美圆
b0=60
200 150
回归直线
100
50
yˆ 60 5x
0
0
5
10
15
20
25
30
你对系数的含义怎么
变量x的确对y有解释作用吗？(H0: =0) 检验统计量
F=MSR/MSE 其中MSR=SSR/自变量的个数 拒绝域
F>F(1, n-2)
17
回归方程的方差分析表
方差来源 回归 误差 总计
平方和 SSR SSE SST
自由度 1 n-2 n-1
均方 F值 MSR MSR/MSE MSE
18
阿姆德连锁店的情形
xi2 ( xi )2
/ n
E( yp )的1置信区间是
yˆ p t / 2 (n 2) syˆ p ( 98.58, 121.42)
21
使用你建立的模型（三）
对于问题二，如何给出一个预测区间， 使得这家连锁店的季度销售收入落在该 区间里面的概率是1-？
y p的概率为1 的预测区间是
连锁店
1
学生人数/千人 2
销售额/千元 58
2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 8 8 12 16 20 20 22 26 105 88 118 117 137 157 169 149 202
根据以上数据，你能否判断学生人数(x)如何影 响到销售收入(y)？根据一家连锁店附近大学的人数， 你能够预测该家连锁店的季度销售收入吗？
这些假定意味着什么？
9
f
y 服从在回归直线附近的正态分布
对每个 x 值， y分布的方差相同.
Y
X2
X1 X
回归直线
10
估计的回归方程
如何估计参数和？
最小二乘准则
n
求解 min ( yi 0 1 xi )2 0 ,1 i1
得出达到最小值点(b0 , b1)为0和1的点估计
b1
Relationship NOT Linear
Negative Linear Relationship
No Relationship
5
模型的引入
对于给定的学生人数，销售收入是唯一确定的 一个数，还是一个随机变量？
学生人数的变化如何影响到销售收入？ 使用的模型
6
简单线性回归模型
Y 的截距
Y 0 1X
学生人数/千人
理解？
12
回归方程的判定系数
y的总变差的分解
SST ( yi y)2 ( yi yˆi yˆi y)2
( yi yˆi )2 ( yˆi y)2 SSE SSR
定义判定系数R2=SSR/SST. 判定系数的含义是什么？ 阿姆德比萨饼连锁店的例子：R2=0.9027. 判定系数和相关系数的关系。
简单线性回归模型分析
1
建立两个变量X和Y间的关系模型，推断变量Y 如何依赖于变量X, 从而可以用X预测Y.
例：
广告费用和销售量
公司的市值与CEO的年薪
原始股的销售数量和期望价格
证券市场收益率与某只股票的收益率
商品价格和销售量
装配线的速度和次品数量
年收入与信用卡消费金额
年龄与手机话费
13
Coefficients of Determination (r2) and Correlation (r)
Y r2 = 1,r = +1
Y r2 = 1, r = -1
X
Yr2 = .8, r = +0.9
X
Y r2 = 0, r = 0
X
X
14
的估计
理解误差平方和 SSE ( yi yˆi )2 ( yi b0 b1xi )2
的一个无偏估计 s2=MSE=SSE/(n-2)
15
关于回归系数的假设检验
H0 : 1 0 H1 : 1 0
检验统计量
t b1
sb1
其中sb1
s
xi2
1 n
Hale Waihona Puke (xi )2 是b1的标准误差
给定显著水平时，选择拒绝域
t t /2 (n 2)或者t t /2 (n 2)
16
关于回归方程整体的检验
yˆ p t / 2 (n 2) sind
其中
s2 ind
s2 1
1 n
(xp x)2
xi2 ( xi )2 / n
( 76.13, 143.87)
连锁店附近的人流与店的利润
气温与滑雪场门票销量
………
2
阿姆德比萨饼连锁店的问题
阿姆得(Armand)比萨饼连锁店坐落在美国的5 个州内，它们通常的位置是在大学旁边，而且管理人 员相信附近大学的人数与这些连锁店的季度销售额是 有关系的。下面是10家连锁店附近大学的学生人数和 季度销售收入的数据：
点估计：110
20
使用你建立的模型（二）
对于问题一，如何得到这种连锁店平均 销售收入的一个95%的置信区间？
对于给定的xp , yˆ p b0 b1xp是E( y p )的无偏估计。
yˆ p的分布是N (E( yp ),
2 yˆ p
), 其中
2 的估计是
yˆ p
s2 yˆ p
s
2
1 n
(xp x)2
使用EXCEL对阿姆德连锁店的数据 建立模型，并进行分析，基于EXCEL的输 出结果，你对该模型有些什么认识？
19
使用你建立的模型（一）
问题一：对于那些附近学校人数是1万的 连锁店，他们的季度销售收入一定是一 样吗？这种连锁店平均的季度销售收入 是多少？你能够给出一个估计吗？
问题二：某家连锁店附近学生总数约1万 人，你能够给出它的季度销售收入的一 个估计值吗？
随机误 差
因变量（响 应变量，被 预测变量）
斜率
自变量（解释 变量，预测变 量）
7
Y
观测值
Yi 0 1Xi i 观测值
i
=
随机误差
Y 0 1X
X
8
模型的假定
1) E()=0; (E(y)=x) 2) 对于所有的x，Var()=. 3) 是服从正态分布N(0, ) 的. 4) 对于不同的x, 是相互独立的.