高等数学第六版下期知识点超详细整理

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同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章1、向量在轴上的投影：性质：ϕcos )(a a u ϖϖ=（即Prj u ϕcos a a ϖϖ=），其中ϕ为向量a ϖ与u 轴的夹角；u u u b a b a )()()(ϖϖϖϖ+=+（即Prj u =+)(b a ϖϖPrj u a ϖ+ Prj u b ϖ）；u u a a )()(ϖϖλλ=（即Prj u λλ=)(a ϖPrj u a ϖ）.2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ϖϖϖϖ++=，k b j b i b b z y x ϖϖϖϖ++=，则=⨯b a ϖϖx x b a i ϖyy b a j ϖ z z b a kϖ=11)1(+-yy b az z b a i ϖ+21)1(+-x x b a zzb aj ϖ+31)1(+- x x b ayyb a k ϖ=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y ϖϖϖ)()()(-+-+-注：a b b a ϖϖϖϖ⨯-=⨯3、二次曲面（1）椭圆锥面：22222z by a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+2222；（旋转抛物面：z ay x =+222（把把xOz 面上的抛物线z ax =22绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面：122222=++cz a y x （把xOz 面上的椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122222=-+cz a y x （把xOz 面上的双曲线12222=-cz a x 绕z 轴旋转））（5）双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ；（旋转双叶双曲面：122222=+-c z y a x （把xOy 面上的双曲线12222=-cz a x 绕x 轴旋转））（6）双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222；（7）椭圆柱面：12222=+b y a x ；双曲柱面：12222=-by a x ；抛物柱面：ay x =24、平面方程（1）平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =ϖ为平面的一个法向量.（2）平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =ϖ为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =ϖ若D =0，则平面过原点；若⎩⎨⎧≠==轴，则平面平行于轴则平面过x D x D A 0,0,0若⎩⎨⎧≠===面，则平面平行于面，则平面表示，xOy D xOy D B A 000 （3）平面的截距式方程：1=++czb y a x ，其中c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.5、两平面的夹角：222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ特殊：0212121=++⇔C C B B A A 两平面互相垂直 212121C C B B A A ==⇔两平面互相平行或重合 6、点),,000z y x P （到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式：222000CB A DCz By Ax d +++++=7、空间直线方程（1）空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A（2）空间直线的对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-，其中),,(p n m s =ϖ为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点（3）空间直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 0008、两直线的夹角：222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ特殊：0212121=++⇔p p n n m m 两直线互相垂直 212121p pn n m m ==⇔两直线互相平行或重合 9、直线与平面的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ特殊：pC n B m A ==⇔直线与平面垂直直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：设直线L 由方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 都无限接近于A ，因此当),(y x P 以不同方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求x f∂∂时，只要把其他量),,(Λz y 看作常量而对x 求导数；求yf∂∂时，只要把其他量),,(Λz x 看作常量而对y 求导数；注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）xz∂∂为整体，不可拆分；（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数x z ∂∂、yz∂∂必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=5、若函数),(y x f z =的偏导数xz∂∂、y z ∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微分 6、),(y x f 连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(y x f 不一定连续； ),(y x f 连续,不一定可微，但可微,),(y x f 一定连续；可微,偏导数一定存在，偏导数存在, ),(y x f 不一定可微；可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, ),(y x f 一定可微 7、多元复合函数的求导法则：（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且有dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(y x u ϕ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ （3）其他情形：若函数),(y x u ϕ=在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数)(y v ψ=在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),,([y y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且xuu z x z ∂∂∂∂=∂∂；yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 8、隐函数求导公式：（1）函数),(y x F ：yx F F dx dy-= （2）函数),,(z y x F ：z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z t y t x ωψϕ ],[βα∈t ),,(000z y x M 为曲线上一点假定上式的三个函数都在],[βα上可导，且三个导数不同时为零则向量=T ϖ))('),('),('()('0000t t t t f ωψϕ=ϖ为曲线Γ在点M 处的一个切向量，曲线Γ在点M 处的切线方程为：)(')(')('000000t z z t y y t x x ωψϕ-=-=-，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψϕ 如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==),(),(x z x y ψϕ的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：)(')('100000x z z x y y x x ψϕ-=-=-，法平面方程为：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψϕ如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：Myyx x M x x z z Mz z y y G F G F z z G F G F y y G F G F x x 000-=-=-法平面方程为：0)()()(000=-+-+-z z F F G F y y G F G F x x G F G F yy x x Mxx z z Mzz y y10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(=z y x F ，),,(000z y x M 为曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，法线方程为：),,(),,(),,(0000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x o z o y x -=-=-11、方向导数：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且 βαcos ),(cos ),(000o y x y x f y x f lf+=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦 12、梯度：j y x f i y x f y x ϖϖ),(),(0000+称为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记作),(),(000y x f y x gradf o ∇或，即),(),(000y x f y x gradf o ∇==j y x f i y x f y o x ϖϖ),(),(000+13、设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则0),(,0),(0000==y x f y x f y x14、设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又0),(,0),(000==y x f y x f y o x ，令C y x f B y x f A y x f yy xy o xx ===),(,),(,),(00000，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也有可能没有极值 15、具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值求法：第一步：解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ，求得一切实数解，即可求得一切驻点；第二步：对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值B A ,和C ；第三步：定出2B AC -的符号，按14的结论判定),(00y x f 是不是极值，是极大值还是极小值注：上述步骤是求．．．．．．．．具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．极值时，除了考虑函数的驻点．．．．．．．．．．．．．外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．也要考虑．．．．16、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=，其中λ为参数.求其对x 及y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(=y x ϕ联立起来：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ，由这方程组解出y x ,及λ，这样得到的),(y x 就是函数),(y x f 在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点第十章1、二重积分的性质性质1：设βα、为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([.性质2：如果闭区域D 被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）性质3：如果在D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则⎰⎰⎰⎰=⋅=DDd d σσσ1性质4：如果在D 上，),,(),(y x y x f ϕ≤则有：⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f .),(),((σϕσ特殊地，由于,),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(.性质5：设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有⎰⎰≤≤DM d y x f m σσσ),(.性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(y x f 在闭区域D 连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(.2、二重积分直角坐标的计算法：（1）若积分区域D 可用不等式)()(21x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤（X 型）来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[b a 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x ba dy y x f dx d y x f )()(21.),(),(ϕϕσ（2）若积分区域D 可用不等式)()(21x x x φφ≤≤，b y a ≤≤（Y 型）来表示，其中)(1x φ、)(2x φ在区间],[d c 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x dc dx y x f dyd y x f )()(21.),(),(φφσ注：确定次序原则：（1）函数原则：内层积分可以积出；（2）区域原则；（3）少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：θρρd d ）若积分区域D 可用不等式)()(21x x ϕρϕ≤≤，βθα≤≤来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[βα上连续.则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕρρθρθρθθρρθρθρσ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(d f d d d f d y x f DD（详见P145,146）4、确定上下限原则：（1）每层下限小于上限；（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数；（3）外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化：（1）若积分区域D 关于0=x 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当，其中}{0,),(),(1≥∈=x D y x y x D（2）若积分区域D 关于0=y 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当，其中}{0,),(),(2≥∈=y D y x y x D 6、直角坐标三重积分的计算：（1）先一后二：若}{xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21，闭区域}{b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=),()(),(21，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(2221),,(),,(y x z y x z y y badz z y x f dy dx dv z y x f （详见P158,159）（2）先二后一（截面法）：S1：将Ω向某轴投影，如z 轴，],[21c c z ∈；S2：对],[21c c z ∈，用平行于xoy 面的平面截Ω，截出部分记为z D ；S3：计算⎰⎰zD dxdy z f )(；S4：计算⎰21),(c c dz y x F若空间区域{}21,),(),,(c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖坐标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω21),,(),,(c c D zdxdy z y x f dz dv z y x f注：适用于被积函数只有一个变量或为常数 7、柱面坐标三重积分的计算：+∞<≤ρ0；πθ20≤≤；+∞<<∞-zρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面；z =常数，即与xoy 面平行的平面⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos 柱面坐标系中的体积元素：dz d d dv θρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z F dxdydz z y x f θρρθρ),,(),,(，其中),sin ,cos (),,(z f z F θρθρθρ=再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(212121),,(),,(θρθρϕϕθθθρρρθz z dz z F d d dxdydz z y x f ，其中),(1θρz ，),(2θρz 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）8、球面坐标三重积分的计算：+∞<≤r 0，πϕ≤≤0，πθ20≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 球面坐标系中的体积元素：θϕϕd drd r dv sin 2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕθϕd drd r r F dxdydz z y x f sin ),,(),,(2，其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕθϕr r r f r F =，再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω212121sin ),,(),,(2),(),(θθϕϕθϕθϕϕθϕϕθdr r r F d d dxdydz z y x f r r ，其中),(1θϕr ，),(2θϕr 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）典例：求由曲面a z y x 2222≤++与22y x z +≥所围成立体体积（利用三种坐标系求解）解：a z y x 2222≤++表示球心在原点，半径为a 2的球体，22y x z +≥表示xoy 上半面圆锥体直角坐标：32222020)12(34)2(11a dz z a dz z dxdy dz dxdy dz dv V aaaaa D a D -=-+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπππ柱面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω==aa dz d d v d V 022022ρρπρρθ球面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω402220sin ππϕϕθaodr r d d v d V十一章1、对弧长的曲线积分的计算法：设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ ，()t αβ≤≤，其中(t ϕ），)t φ（在[,]αβ上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)Lf x y ds ⎰存在，且(,)[(),(Lf x y ds f t t βαϕφ=⎰⎰ ()αβ<同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)[(),(),(f x y z ds f t t t βαϕφωΓ=⎰⎰2、对坐标的曲线积分的计算方法：设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩，当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(t ϕ），)t φ（在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰存在，且(,)(,){[(),()]'()[(),()]'()}LLP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ϕφϕϕφφ+=+⎰⎰（下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点）同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)(,,)(,,){[(),(),()]'()[(),(),()]'()[(),(),()]}LLP x y z dx Q x y z dy R x y z dzP t t t t Q t t t t R t t t dtϕφωϕϕφωφϕφω++=++⎰⎰3、平面曲线L 上两类曲线积分的联系：(cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰，其中(,,),(,,)x y z x y z αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y处的切向量方向角cos α=cos α=同理：空间曲线Γ上两类曲线积分的联系：(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰4、格林公式：设闭区域D 由分段光滑曲线L 围城，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰，其中L 是D 的取正向的边界曲线注：取,P y Q x =-=，则2LDdxdy xdy ydx =-⎰⎰⎰Ñ，左端表示闭区D 的面积A 的两倍，因此，12L A xdy ydx =-⎰Ñ5、设D 为单连通区域，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：（1）沿D 内任一条光滑曲线有(,)(,)0LP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ（2）对D 内任一条分段光滑曲线L 曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关（3）存在(,)u x y D ∈，使得(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+ （4）在D 内没一点都有Q Px y∂∂=∂∂6、对面积的曲面积分的计算法：(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[,(,),xzD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰7、对坐标的区面积分的计算法：(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面上下侧(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面左右侧(,,)[(,),,]xyD P x y z dydz P x x y y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面前后侧8、两类曲面积分之间的联系：cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，其中cos ,cos ,cos αβγ时有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦9、高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围城的，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：()(cos cos cos )P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSx y z αβγΩ∑∑∂∂∂++=++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙10、斯托克斯公式：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有：()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x yΓ∑∂∂∂∂∂∂-+-+-=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰Ñ。

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引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节映射与函数
一、集合二、映射三、函数
第一章
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一、集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左邻域 :
右邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.

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相同,
f (x) = x2 + 1
与 g(t) = t2 + 1 相同.
3.2 分段函数
用几个式子来表示一个函数为分段函数. 如:
8
f (x) = 1, > > > > > > < x, > > > > > > :
x > 0, 的定义域为(−∞, +∞),
x≤0
8
x, > > > > > > < y = |x| = −x, > > > > > > :
设生产 (销售)x 件产品所获得的利润为 L, 则称 L 为利润函数, 记为 L = L(x).
利润函数等于收入函数与成本函数之差, 即
L(x) = R(x) − C(x).
7.2 市场经济函数
市场经济函数主要有两个: 设某产品价格为 p 时社会需求为 Qd, 则称 Qd 为该产品的需求函数, 记为 Qd = Qd(p). 设某产品价格为 p 时社会供给为 Qs, 则称 Qs 为该产品的供给函数, 记为 Qs = Qs(p). 显然, 通常情况下, 需求函数为减函数; 而供给函数为增函数. 根据 Qd(p) = Qs(p) 可以解出 p = p0. 此价格为市场均衡价格.
解: 设 x 为购买量, y 为购买金额, 则当 x < 50
时, y = 15x. 当 x ≥ 50 时, y = 0.9 × 15x. 因此, 所
求的函数关系式为分段函数
8
y = f (x) = 15x, > > > > > > < 13.5x, > > > > > > :

高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9_1基本概念

1 y
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为单位闭球
O
O
x
y
图形为
空间中的超曲面.
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则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心邻域
P D Rn
常用
二元函数 (图形一般为空间曲面)
三元函数
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3. 多元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
ε 0 , δ 0 , 当0 PP0 δ 时，有 f ( P) A ε
4. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续有界定理 ; 最值定理 ;
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
y kx
k 值不同极限不同 !

(整理)高等数学第六版下册复习纲要

第八章：空间解析几何与向量代数一、向量 ),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a ===1.向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b = 的数量积：b a b b b a z z y x x x b a b a ++==⋅ϕcos；2. 向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积：bb b a a a z y x z y x kj i b a=⨯.ϕsin b a b a=⨯的几何意义为以b a ,为邻边的平行四边形的面积.3. 向量),,(z y x r=的方向余弦：222222222cos ,cos ,cos zy x y zy x y zy x x ++=++=++=γβα，1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =垂直的判定：00=++⇔=⋅⇔⊥b a b b b a z z y x x x b a b a.5. 向量),,(a a a z y x a =与),,(b b b z y x b =平行的判定：k z z y x x x k b k a b a b a ba b b b a ===⇔≠=⇔=⨯⇔0,0//.6. 三向量共面的判定： ⇒=++0c n b m a k c b a ,,共面.7. 向量),,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影：222Pr aa a ba b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=⋅= .二、平面1. 过点),,(000z y x P ，以),,(C B A n=为法向量的平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .2. 以向量),,(C B A n=为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax .3. 点),,(111z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离222111CB A D cz By Ax d +++++=.4. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏平行的判定：212121212121////D D C C B B A A n n ≠==⇔⇔∏∏.5. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏垂直的判定：021********=++⇔⊥⇔⊥C C B B A A n n∏∏.6. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏的夹角：222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ三、直线1. 过点),,(000z y x P ，以),,(p n m s=为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：pz z n y y m x x 000-=-=-.2. 过点),,(000z y x P ，以),,(p n m s = 为方向向量的直线的参数式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-tpz z tn y y tm x x 000.3. 直线的一般式方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .方向向量为21n n s⨯=.4.直线方程之间的转化： i) 点向式↔参数式 ii) 一般式→点向式第一步：找点第二步：找方向向量21n n s⨯=5. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-平行的判定：2121212121////p pn n m m s s L L ==⇔⇔ .6. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-垂直的判定：021********=++⇔⊥⇔⊥p p n n m m s s L L.7. 直线1111111:p z z n y y m x x L -=-=-与2222222:p z z n y y m x x L -=-=-的夹角：222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ.8. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏垂直的判定： CnB m A l N S L ==⇔⇔⊥ //∏.9. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏平行的判定： 0//=++⇔⊥⇔Cn Bm Al N S L∏.10. 直线nz z m y y l x x L 000:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ.11.点),,(000z y x P 到直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的距离：s s PM d⨯=，其中M是直线上任意一点，21n n s⨯=.四、曲线、曲面 1.yoz 平面上的曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面为S ：0),(22=+±z y x f .2.空间曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 关于xoy 平面上的投影柱面方程为：0),(=y x H ；在xoy 平面上的投影曲线为C ：⎩⎨⎧==00),(z y x H .第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1.内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3.开集和闭集内的所有点都是聚点. 二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数),(y x f 在),(00y x 点的二重极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00.2.二元函数),(y x f 在),(00y x 点的连续性：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→.3.二元初等函数在其定义区域内连续. 二、二元函数的偏导数的相关知识点 1.函数),(y x f z= 对自变量y x ,的偏导数：x z ∂∂及yz ∂∂. 2. 函数),(y x f z = 对自变量y x ,的二阶偏导数：22x z∂∂、22y z ∂∂、y x z ∂∂∂2、xy z ∂∂∂2 注：若二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2与xy z∂∂∂2连续，则二者相等.三、二元函数的全微分：dy yz dx x z dz∂∂+∂∂=四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系 1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系. 2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在) 偏导数连续，全微分存在，反之未必. 3. 连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在) 函数连续，全微分未必存在. 五、二元复合函数的偏(全)导数1.中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：))(),((),(),(),,(t t f z t v t u v u f z ψϕψϕ====，dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 2.中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：)),(),,((),,(),,(),,(y x y x f z y x v y x u v u f z ψϕψϕ====，xv v z x u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂, 六、隐函数微分法1.由一个方程确定的隐函数微分法：0),,(=z y x F 确定隐函数),(y x f z=，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即0=∂∂∂∂+∂∂+∂∂xzz F dx dy y F dx dx x F ，即001=∂∂∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂x z z F y F x F ，解得''zx F F x z-=∂∂2.由方程组确定的隐函数组微分法：⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂00xv v G x u u G dx dy y G dx dx x G x vv F x u u F dx dy y F dx dx x F ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂00xv v G x u u G x G xvv F x u u F x F ，可以解出x v x u ∂∂∂∂,. 七、偏导数的几何应用 1.曲线的切线方程和法平面方程1). 以参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧===)(),(),(t z t y t x χψϕ表示的曲线在0t t =对应的点),,(000z y x M 的切线方程：)()()(0'00'00'0t z z t y y t x x χψϕ-=-=- 法平面方程：0))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t y y t x x t χψϕ2). 以一般式方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 表示的曲线在点),,(000z y x M 的切线和法平面方程：先用方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数组⎩⎨⎧==)()(x g z x f y 微分法求出dx dzdx dy ,，然后得到切线的方向向量⎪⎭⎫ ⎝⎛===00,,1x x x x dxdz dxdy n切线方程：)()(10'00'00x g zz x f y y x x -=-=- 法平面方程：0))(())((00'00'0=-+-+-z z x g y y x f x x2.曲面的切平面方程和法线方程1).以一般式方程0),,(=z y x F 表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程：切平面线方程：0))(())(())((0'0'0'=-+-+-z z M F y y M F x x M F z y x法方程：)()()('0'0'0M F z z M F y y M F x x z x x -=-=-2).以特殊式方程),(y x f z =表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程：令0),(),,(=-=z y x f z y x F ，有曲面在点),,(000z y x M 的切平面的法向量)1),,(),,(())(),(),((00'00''''-==y x f y x f M F M F M F N y x z y x切平面线方程：0)())(,())(,(0000'000'=---+-z z y y y x f x x y x f y x法方程：1),(),(000'000'0--=-=-z z y x f y y y x f x x x x .3.方向导数与梯度：1). 方向导数：ρ∆∆ρ).(),(lim 0y x f y y x x f l f -++=∂∂→ 2). 方向导数存在条件：可微分函数),(y x f z =在一点沿任意方向l 的方向导数都存在，并且βαcos cos yzx z l f ∂∂+∂∂=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦.3). 梯度：函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处的梯度k z y x f j z y x f i z y x f z y x f grad z y x ),,(),,(),,(),,(000000000000++=( ).4). 方向导数与梯度的关系： ①.函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处增加最快的方向是其梯度),,(000z y x f grad 的方向，减小最快的方向是),,(000z y x f grad -的方向.②. 函数),,(z y x f 在点),,(000z y x M 沿任意方向的方向导数的最大值为),,(000z y x f grad .八、极值、条件极值 1. 函数),(y x f z=的极值点和驻点的关系：函数),(y x f z =的极值在其驻点或不可偏导点取得.2.求函数极值的步骤：(1).对函数),(y x f z =求偏导数，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),(0),(''y x f y x f y x ，得所有驻点),(i i y x .(2).对每一个驻点),(i i y x ，求出二阶偏导数的值),(),,(),,(''''''i i yy i i xy i i xx y x f C y x f B y x f A ===.(3).计算AC B -2，根据AC B -2以及A 的符号判定),(i i y x f 是否是极值：若0,02><-A AC B ，则),(i i y x f 是极小值；若0,02<<-A AC B ，则),(i i y x f 是极大值；若,02>-AC B ，则),(i i y x f 不是极小值；若,02=-AC B，则),(i i y x f 是否是极值不能判定，需其他方法验证.3.求函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的条件极值的方法：做拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=，对自变量y x ,求偏导，建立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=0),(),(),(0),(),(),(''''''y x y x f y x F y x y x f y x F y y yx x x λϕλϕ 与附加条件联立的方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(''''''y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ，解出的y x ,就是函数),(y x f z =的可能极值点.第十章：重积分一、二重积分的相关性质 1.有界闭区域上的连续函数),(y x f 在该区域D 上二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在；2.若函数),(y x f 在有界闭区域D 上二重积分存在⎰⎰Dd y x f σ),(，则),(y x f 在该区域上有界；3.中值性：若函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，区域D 的面积为σ，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使得σσ⋅=⎰⎰),(),(y x f d y x f D.4.σσ=⎰⎰Dd 1，区域D 的面积为σ.二、二重积分的计算1.利用平面直角坐标计算二重积分 1).先对y 后对x 积分，由于积分区域:D b x a <<；)()(21x y x ϕϕ<<，有⎰⎰⎰⎰=bax x Ddy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ.2).先对x 后对y 积分，由于积分区域:D d y c <<；)()(21y x y ψψ<<，有⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ.3).积分换序：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==dcy y Dbax x dx y x f dy d y x f dy y x f dx )()()()(2121),(),(),(ψψϕϕσ.2.利用极坐标计算二重积分令⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，由于积分区域:D βθα<<；)()(21θρθρ<<x ，有⎰⎰⎰⎰=βαθρθρρρθρθρθσ)()(21)sin ,cos (),(d f d d y x f D.三、三重积分的相关性质：V dV =⎰⎰⎰Ω1，区域Ω的体积为V . 四、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分积分区域V ：b x a<<；)()(21x y y x y <<；),(),(21y x z z y x z <<，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(),,(y x z y x z bax y x y dz z y x f dy dx dV x y x f Ω第十一章：曲线积分曲面积分一、曲线积分的计算 1.第一型曲线积分的计算：若曲线C 的参数方程是：10),(),(t t t t y t x ≤≤⎩⎨⎧==ψϕ，则第一型曲线积分⎰⎰+=Ct t dt t t t t f ds y x f 10)()()](),([),(2'2'ψϕψϕ2.第二型曲线积分的计算：若曲线C 的参数方程是：10),(),(t t t t y t x ≤≤⎩⎨⎧==ψϕ，B A t t t t ==10,分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分⎰⎰+=+1)())(),(()())(),((),(),(''t t Cdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P ψψϕϕψϕ3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)设有界闭区域D 由分段光滑曲线C 所围成，C 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有格林公式⎰=+CQdy Pdx dxdy y P x Q D ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D 由取正向的光滑曲线C 所围成，则区域D 的面积为⎰⎰⎰+-==CDxdy ydx dxdy 21σ. 2. 函数),(),,(y x Q y x P 在区域D 上连续. 二、曲面积分的计算 1.第一型曲面积分的计算：若曲面S 的方程是：),(y x z z =具有连续偏导数，且在xoy 平面上的投影区域为xy D ，函数),,(z y x f 在S 上连续，则第一型曲面积分dxdy z z y z z y z f dS z y x f xyD y x S⎰⎰++=2'2'1)],(,,[),,(2.第二型曲面积分的计算：若正向曲面S 的方程是：),(y x z z =，且在xoy 平面上的投影区域为xy D ，函数),,(z y x R 在S 上连续，则第二型曲面积分dxdy y x z y x R dxdy z y x R xyD S⎰⎰=)],(,,[),,(，同理可得dydz z y z y x R dydz z y x P yzD S⎰⎰=)],),,([),,(；dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q zxD S⎰⎰=)]),,(,[),,(3.高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数),,(),,,(z y x Q z y x P 在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S 上具有连续偏导数，则有高斯公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++S dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz Ω.注：设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S 所围成，则区域Ω的体积为⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz V 31. 4.斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分) 若函数),,(),,,(z y x Q z y x P 在光滑曲面S 及其光滑的边界曲线C 上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++L D dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx . 三、曲线积分与路径无关的条件 (1). 曲线积分⎰+),(),(),(B A C dy y x Q dx y x P 与路径无关；(2).0),(),(=+⎰Cdy y x Q dx y x P ；(3). 存在函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P du ),(),(+=；(4).yPx Q ∂∂=∂∂ 第十二章：无穷级数一、级数敛散性的相关性质1.∑∞=1n n a 敛散⇔⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=n k k n a S 1}{敛散 2.∑∞=1n na收敛⇒0lim =∞→n n a3. 0lim ≠∞→nn a ⇒∑∞=1n na 发散4. 正项级数∑=n i n a 1的部分和数列}{n S 有界⇒级数∑=ni n a 1收敛5. ∑=ni na 1收敛⇒∑=ni na 1收敛.二、级数敛散性判别 1.正项级数敛散性判别 (1).比较判别法； (2).比值判别法； (3).根值判别法.2.交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法精品文档精品文档3.任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法4.两种常用级数收敛和发散的条件(1). 等比级数∑∞=-11n n aq收敛条件是1<q ；发散条件是1≥q .(2). p 级数∑=ni p n11收敛条件是1>p ；发散条件是1≤p .二、幂级数的相关概念 1.收敛域的求法 (1).对标准幂级数∑∞=0n nn xa ，先求其收敛半径nn n a a R 1lim11+∞→==ρ，再判断级数∑∞=0n nn Ra 以及∑∞=-0)(n nnR a的敛散性，最后确定收敛域是),(R R -、R],(R -、)R ,[R -以及]R ,[R -中的哪一个.(2). 对非标准幂级数∑∞=0)(n nx a，先求极限)()()(lim1x x a x a n n n ϕ=+∞→，当1)(<x ϕ时，∑∞=0)(n n x a 绝对收敛，解出),(b a x ∈，再判断级数∑∞=0n nn aa 以及∑∞=0n nn ba 的敛散性，最后确定收敛域是),(b a 、],(b a 、),[b a 以及],[b a 中的哪一个.2.和函数的求法：利用和函数的性质(1).连续性；(2).逐项可微分；(1).逐项可积分.3.函数的幂级数展开式.。

高数复习大纲同济六版下册

高等数学下册复习提纲 (向量代数—>无穷级数)第一次课1、向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1．向量的加法 2. 向量的减法3．向量与数的乘法设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r点A 与点B 间的距离为 →212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==向量的方向：向量a 与b 的夹角当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b .同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ⇔ a ·b =0. 两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即 c = a ⨯b . 坐标表示:zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα向量的投影向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. (2)椭球面由方程1222222=++cz b y a x 所表示的曲面称为椭球面.(3)单叶双曲面由方程1222222=-+cz b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面由方程1222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.(5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.由方程z b y a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 椭圆柱面12222=+b y a x ,双曲柱面122=-by a x , 抛物柱面ay x =2, .直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组 ⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A .空间直线的对称式方程与参数方程方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么(x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有pz z n y y m x x 000-=-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 直线L 1和L 2的夹角ϕ可由 |) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=直线与平面的夹角设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹角为ϕ , 那么|) , (2|^n s -=πϕ, 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ平面方程：点法式(法向量)、一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:D =0, 平面过原点.n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.截距式；平面夹角和距离两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ.来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于212121C C B B A A == 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F空间曲线的参数方程（33）空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线：切线与法平面；设空间曲线Г的参数方程为),(),(),(t z t y t x ωφϕ=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为)(00t x x ϕ'-=.)()(0000t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφϕ=就是曲线Г在点M 处的一个切向量法平面的方程为0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ切平面与法线隐式给出曲面方程((,,)0F x y z =)法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x = 切平面的方程是))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-法线方程是.),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-),(y x z =在点),(00y x如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为 ,1cos 22yxx ff f ++-=α ,1c o s 22yxy ff f ++-=β.11cos 22yxff ++=γ2、多元函数微分学多元函数极限：简单复习讲解偏微分全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ∂∂dx +y u ∂∂dy ＋zu ∂∂dz 第二次课3、重积分二重积分：利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题。

高数(同济第六版)下册多元函数的积分学及其应用知识点

第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。

�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。

�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。

2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。

�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。

高数下册总结(同济第六版)

高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。

高数下(同济六)知识点汇总

高等数学下册习题常见类型
题型1求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积
题型2由已知条件求平面与直线方程
题型3计算一阶偏导数及高阶偏导数
题型4求多元复合函数的偏导数
题型5求方程所确定的隐函数的偏导数
题型6求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面
题型7求极值、利用拉格郎日乘数法求最值
题型8利用直角坐标计算二重积分
题型9利用极坐标计算二重积分
题型10计算带绝对值的二重积分
题型11利用二重积分证明恒等式
题型12利用对称性质计算二重积分
题型13 只有一种积分次序可计算的积分
题型14利用投影法计算三重积分
题型15 利用柱坐标计算三重积分
题型16利用球坐标计算三重积分
题型17利用切片法计算三重积分
题型18利用三重积分计算立体的体积
题型19计算对弧长的曲线积分
题型20计算对面积的曲面积分
题型21计算对坐标的曲线积分
题型22利用格林公式计算对坐标的曲线积分
题型23曲线积分与路径无关及全微分求积
解：（将二次积分交换顺序）
题型24计算对坐标的曲面积分
题型25利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
题型26可分离变量的微分方程、齐次方程题型27—阶线性微分方程题型29可降阶方程
题型30二阶常系数非齐次线性方程
第八章向量与解析几何
所有类型的积分：
①定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限；
②性质：对积分的围具有可加性，具有线性性；
③对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十章级数。

高数下册复习资料(同济第六版)

第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹角z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行//0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔==交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0=+++D Cz By Ax一般式⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A法向量000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或00(((x y n f x f x =第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

高等数学(第六版)学习资料

一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

即A A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。

记作A ∪B。

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章1、向量在轴上的投影：性质：ϕcos )(a a u =（即Prj u ϕcos a a =），其中ϕ为向量a与u 轴的夹角；u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a+ Prj u b ）；u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a）.2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x++=，k b j b i b b z y x ++=，则=⨯b ax x b a iyy b a j z z b a k=11)1(+-yy b az z b a i +21)1(+-x x b a zzb aj +31)1(+- x x b ayyb a k=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y)()()(-+-+-注：a b b a⨯-=⨯3、二次曲面（1）椭圆锥面：22222z by a x =+；（2）椭圆抛物面：z by a x =+2222；（旋转抛物面：z a y x =+222（把把xOz 面上的抛物线z ax =22绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面：122222=++cz a y x （把xOz 面上的椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122222=-+cz a y x （把xOz 面上的双曲线12222=-cz a x 绕z 轴旋转））（5）双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ；（旋转双叶双曲面：122222=+-c z y a x （把xOy 面上的双曲线12222=-cz a x 绕x 轴旋转））（6）双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222；（7）椭圆柱面：12222=+b y a x ；双曲柱面：12222=-by a x ；抛物柱面：ay x =24、平面方程（1）平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =为平面的一个法向量.（2）平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =若D =0，则平面过原点；若⎩⎨⎧≠==轴，则平面平行于轴则平面过x D x D A 0,0,0若⎩⎨⎧≠===面，则平面平行于面，则平面表示，xOy D xOy D B A 000 （3）平面的截距式方程：1=++czb y a x ，其中c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.5、两平面的夹角：222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ特殊：0212121=++⇔C C B B A A 两平面互相垂直 212121C C B B A A ==⇔两平面互相平行或重合 6、点),,000z y x P （到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式：222000CB A DCz By Ax d +++++=7、空间直线方程（1）空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A（2）空间直线的对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-，其中),,(p n m s =为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点（3）空间直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 0008、两直线的夹角：222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ特殊：0212121=++⇔p p n n m m 两直线互相垂直 212121p pn n m m ==⇔两直线互相平行或重合 9、直线与平面的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ特殊：pC n B m A ==⇔直线与平面垂直直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：设直线L 由方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 都无限接近于A ，因此当),(y x P 以不同方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求x f∂∂时，只要把其他量),,( z y 看作常量而对x 求导数；求yf∂∂时，只要把其他量),,( z x 看作常量而对y 求导数；注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）xz∂∂为整体，不可拆分；（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数x z ∂∂、yz∂∂必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=5、若函数),(y x f z =的偏导数x z∂∂、yz ∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微分 6、),(y x f 连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(y x f 不一定连续； ),(y x f 连续,不一定可微，但可微,),(y x f 一定连续；可微,偏导数一定存在，偏导数存在, ),(y x f 不一定可微；可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, ),(y x f 一定可微 7、多元复合函数的求导法则：（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且有dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(y x u ϕ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ （3）其他情形：若函数),(y x u ϕ=在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数)(y v ψ=在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),,([y y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且xuu z x z ∂∂∂∂=∂∂；yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 8、隐函数求导公式：（1）函数),(y x F ：yx F F dx dy-= （2）函数),,(z y x F ：z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z t y t x ωψϕ ],[βα∈t ),,(000z y x M 为曲线上一点假定上式的三个函数都在],[βα上可导，且三个导数不同时为零则向量=T ))('),('),('()('0000t t t t f ωψϕ=为曲线Γ在点M 处的一个切向量，曲线Γ在点M 处的切线方程为：)(')(')('000000t z z t y y t x x ωψϕ-=-=-，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψϕ 如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==),(),(x z x y ψϕ的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：)(')('100000x z z x y y x x ψϕ-=-=-，法平面方程为：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψϕ如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：Myyx x M x x z z Mz z y y G F G F z z G F G F y y G F G F x x 000-=-=-法平面方程为：0)()()(000=-+-+-z z F F G F y y G F G F x x G F G F yy x x Mxx z z Mzz y y10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(=z y x F ，),,(000z y x M 为曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，法线方程为：),,(),,(),,(0000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x o z o y x -=-=-11、方向导数：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且 βαcos ),(cos ),(000o y x y x f y x f lf+=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦 12、梯度：j y x f i y x f y x),(),(0000+称为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记作),(),(000y x f y x gradf o ∇或，即),(),(000y x f y x gradf o ∇==j y x f i y x f y o x),(),(000+13、设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则0),(,0),(0000==y x f y x f y x14、设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又0),(,0),(000==y x f y x f y o x ，令C y x f B y x f A y x f yy xy o xx ===),(,),(,),(00000，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也有可能没有极值 15、具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值求法：第一步：解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ，求得一切实数解，即可求得一切驻点；第二步：对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值B A ,和C ；第三步：定出2B AC -的符号，按14的结论判定),(00y x f 是不是极值，是极大值还是极小值注：上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．么在考虑函数．．．．．．极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．也要考虑．．．．16、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=，其中λ为参数.求其对x 及y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(=y x ϕ联立起来：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ，由这方程组解出y x ,及λ，这样得到的),(y x 就是函数),(y x f 在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点第十章1、二重积分的性质性质1：设βα、为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([.性质2：如果闭区域D 被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）性质3：如果在D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则⎰⎰⎰⎰=⋅=DDd d σσσ1性质4：如果在D 上，),,(),(y x y x f ϕ≤则有：⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f .),(),((σϕσ特殊地，由于,),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(.性质5：设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有⎰⎰≤≤DM d y x f m σσσ),(.性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(y x f 在闭区域D 连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(.2、二重积分直角坐标的计算法：（1）若积分区域D 可用不等式)()(21x y x ϕϕ≤≤，b x a ≤≤（X 型）来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[b a 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x ba dy y x f dx d y x f )()(21.),(),(ϕϕσ（2）若积分区域D 可用不等式)()(21x x x φφ≤≤，b y a ≤≤（Y 型）来表示，其中)(1x φ、)(2x φ在区间],[d c 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x dc dx y x f dyd y x f )()(21.),(),(φφσ注：确定次序原则：（1）函数原则：内层积分可以积出；（2）区域原则；（3）少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：θρρd d ）若积分区域D 可用不等式)()(21x x ϕρϕ≤≤，βθα≤≤来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[βα上连续.则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕρρθρθρθθρρθρθρσ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(d f d d d f d y x f DD（详见P145,146）4、确定上下限原则：（1）每层下限小于上限；（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数；（3）外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化：（1）若积分区域D 关于0=x 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当，其中}{0,),(),(1≥∈=x D y x y x D（2）若积分区域D 关于0=y 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当，其中}{0,),(),(2≥∈=y D y x y x D 6、直角坐标三重积分的计算：（1）先一后二：若}{xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21，闭区域}{b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=),()(),(21，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(2221),,(),,(y x z y x z y y badz z y x f dy dx dv z y x f （详见P158,159）（2）先二后一（截面法）：S1：将Ω向某轴投影，如z 轴，],[21c c z ∈；S2：对],[21c c z ∈，用平行于xoy 面的平面截Ω，截出部分记为z D ；S3：计算⎰⎰zD dxdy z f )(；S4：计算⎰21),(c c dz y x F若空间区域{}21,),(),,(c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖坐标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω21),,(),,(c c D zdxdy z y x f dz dv z y x f注：适用于被积函数只有一个变量或为常数 7、柱面坐标三重积分的计算：+∞<≤ρ0；πθ20≤≤；+∞<<∞-zρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面；z =常数，即与xoy 面平行的平面⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos 柱面坐标系中的体积元素：dz d d dv θρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z F dxdydz z y x f θρρθρ),,(),,(，其中),sin ,cos (),,(z f z F θρθρθρ=再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(212121),,(),,(θρθρϕϕθθθρρρθz z dz z F d d dxdydz z y x f ，其中),(1θρz ，),(2θρz 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）8、球面坐标三重积分的计算：+∞<≤r 0，πϕ≤≤0，πθ20≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 球面坐标系中的体积元素：θϕϕd drd r dv sin 2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕθϕd drd r r F dxdydz z y x f sin ),,(),,(2，其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕθϕr r r f r F =，再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω212121sin ),,(),,(2),(),(θθϕϕθϕθϕϕθϕϕθdr r r F d d dxdydz z y x f r r ，其中),(1θϕr ，),(2θϕr 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）典例：求由曲面a z y x 2222≤++与22y x z +≥所围成立体体积（利用三种坐标系求解）解：a z y x 2222≤++表示球心在原点，半径为a 2的球体，22y x z +≥表示xoy 上半面圆锥体直角坐标：32222020)12(34)2(11a dz z a dz z dxdy dz dxdy dz dv V aaaaa D a D -=-+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπππ柱面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω==aa dz d d v d V 022022ρρπρρθ球面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω402220sin ππϕϕθaodr r d d v d V十一章1、对弧长的曲线积分的计算法：设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ ，()t αβ≤≤，其中(t ϕ），)t φ（在[,]αβ上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)Lf x y ds ⎰存在，且(,)[(),(Lf x y ds f t t βαϕφ=⎰⎰ ()αβ<同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)[(),(),(f x y z ds f t t t βαϕφωΓ=⎰⎰2、对坐标的曲线积分的计算方法：设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩，当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(t ϕ），)t φ（在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰存在，且(,)(,){[(),()]'()[(),()]'()}LLP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ϕφϕϕφφ+=+⎰⎰（下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点）同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)(,,)(,,){[(),(),()]'()[(),(),()]'()[(),(),()]}LLP x y z dx Q x y z dy R x y z dzP t t t t Q t t t t R t t t dtϕφωϕϕφωφϕφω++=++⎰⎰3、平面曲线L 上两类曲线积分的联系：(cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰，其中(,,),(,,)x y z x y z αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y处的切向量方向角cos α=cos α=同理：空间曲线Γ上两类曲线积分的联系：(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓΓ++=++⎰⎰4、格林公式：设闭区域D 由分段光滑曲线L 围城，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰，其中L 是D 的取正向的边界曲线注：取,P y Q x =-=，则2LDdxdy xdy ydx =-⎰⎰⎰，左端表示闭区D 的面积A 的两倍，因此，12LA xdy ydx =-⎰5、设D 为单连通区域，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：（1）沿D 内任一条光滑曲线有(,)(,)0LP x y dx Q x y dy +=⎰（2）对D 内任一条分段光滑曲线L 曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关（3）存在(,)u x y D ∈，使得(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+ （4）在D 内没一点都有Q Px y∂∂=∂∂6、对面积的曲面积分的计算法：(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[,(,),xzD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)[(,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰7、对坐标的区面积分的计算法：(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面上下侧(,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面左右侧(,,)[(,),,]xyD P x y z dydz P x x y y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面前后侧8、两类曲面积分之间的联系：cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，其中cos ,cos ,cos αβγ时有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦9、高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围城的，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：()(cos cos cos )P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSx y zαβγΩ∑∑∂∂∂++=++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10、斯托克斯公式：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有：()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz y z z x x yΓ∑∂∂∂∂∂∂-+-+-=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰。

高数下册复习资料同济第六版

z z0 Fz ( x0 , y 0 , z0 )
切平“面”方程：
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y 0 )( y y 0 ) ( z z0 ) 0
-1- / 9
或
r n ( f x ( x0 , y0 ) ,
f y (x0 , y0 ) , 1)
法“线“方程：
0
2
0
2
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当 D 关于 y 轴对称时，（关于 x 轴对称时，有类似结论）
0
f ( x, y )对于 x是奇函数，
即 f ( x, y) f ( x, y)
I 2 f ( x, y) dxdy f ( x, y)对于 x是偶函数，
D1
即 f ( x, y) f ( x, y)
D1是 D的右半部分
计算步骤及注意事项
1．画出积分区域
2．选择坐标系
标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙
4．确定积分限
方法：图示法先积一条线，后扫积分域
5．计算要简便
注意：充分利用对称性，奇偶性
-4- / 9
P141—例 2 应用该性质更方便
曲形构件的质量质量 = 线密度弧长
参数法（转化为定积分）
（1） L : y ( x)
角
叉乘（向量积）
c ab
c a b sin
为向量 a 与 b 的夹角
向量 c 与 a ， b 都垂直
定理与公式
垂直
a b ab 0
平行
a // b a b 0

同济大学第六版高数下册小总结

注：数字都是书的页数！基础公式和方法，不用说，肯定得记得差不多，才有信心考好，千万别以60分为目标。

1.向量积公式19（对物理计算也有好处）模长公式9 方向余弦10 单位向量112.全微分表达式733.隐函数求导也有公式854.计算曲线的切线和法平面方程需要求什么【切线的方向向量（即要求法平面的法向量）+一点】94例题计算曲面的切平面和法线方程需要求什么【切平面的法向量（即要求法线的方向向量）+一点】99例题当然你写完了方程要知道哪个是直线哪个是平面所以要熟悉直线和平面方程形式！5.极值公式（做题流程）110 111例题当然重要的是偏导公式高数上册中的一些常见求导公式牢记！上册书956.多元复合函数求导（画出关系图）+隐函数高阶求导易错！注意计算细心多检查多动笔计算！7.二重积分几何意义就是以D是底，f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积（直角坐标法138 极坐标法144）更换积分次序8.三重积分需要投影（直角坐标法158 柱面坐标法161 球面坐标法162）注意：能画出图的尽量画图直观清晰！再可以把D xoy或者Ω各个量的取值范围写出来极坐标系中的面积元素代换柱面坐标系和球面坐标系中的体积元素代换9.对弧长的曲线积分计算法187 公式！！！记好三种形式188 其实就一种因为方法都一样（定积分的下限一定要小于上限）10.对坐标的曲线积分计算法194 （L是有向曲线，定积分的下限不一定小于上限，根据终点与起点）11.两类曲线积分的联系转化公式！19912.格林公式202 曲线积分与二重积分的转化联系！（公式到底是P,Q对x求导还是对y，记清楚！）使用条件：1.具有一阶连续偏导（一般都有）2. D是闭区域，L必须封闭（所以有一类题，补充曲线变成封闭，才能使用格林公式，然后再减去补充的曲线的积分205例题）L是D的取正向的边界曲线，正向是逆时针方向13.曲线与路径无关14.全微分求积210 211例题或者复习试卷上5，6题（验证...是某一函数的全微分，并求出函数这种题！）15.对面积的曲面积分计算法217 公式！！！记好16.对坐标的曲面积分计算法224 （Σ是有向曲面，曲面的法向量与相应坐标轴的夹角，cosα>0取正号 ,cosα<0取负号）考试或许它只考第一卦限，或者cosα>0的情况，但是还是多多了解一点！17.两类曲面积分的联系转化联系！22718.高斯公式229 曲面积分和三重积分的转化联系！（注意P,Q,R是对x,y,z进行求导！一一对应）使用条件：1.具有连续一阶偏导（一般都有）2.Ω是闭区域，Σ是闭曲面（当然也有一类题，补充曲面变成封闭，才能使用高斯公式，然后再减去补充的曲面的积分231例题2 复习题中没有这类型题目，或许考试不会考这个吧，但万一它考了呢？！了解一下~）19.对于面积曲面积分：Σ是围成闭区域Ω的闭曲面对于坐标曲面积分：Σ是Ω的整个边界曲面外侧（第一类不分内外侧）曲线积分和曲面积分最终都会转化成二重积分计算，可见二重积分的重要性！然后又可能会运用到各种积分公式，高数上册203代换205 公式可以复习复习！21.等比数列的求和公式22.各种级数的审敛法常用几种：p级数257 p>1 收敛p≤1 发散比较审敛法极限形式258（去记常用的等价无穷小公式！）比值审敛法（达朗贝尔判别法）259ρ<1 收敛ρ>1 发散ρ=1 可能收敛也可能发散莱布尼茨定理（交错级数）262满足两个条件，交错级数才收敛23.绝对级数和条件级数263定理8 如果一个级数绝对收敛，则它必定收敛。

高等数学(下)总复习PPT(同济六版)

b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限. 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
2016/8/10 3
6、两个重要极限
(1)
(2)
sin x lim 1 x0 x 1 x lim(1 ) e x x
某过程
3、求导法则
2016/8/10 19
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层 (4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘
4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
无论x是自变量还是中间变量,函数y f ( x ) 的微分形式总是 dy f ( x )dx
2016/8/10 21
1 例12 设 f (a)存在，则 lim n[ f (a) f (a )]. n n
解
1 f (a ) f (a) n 原式= lim n 1 n
(
0 ) 0
sec 2 x 1 lim x 0 3x2
tan x 1 lim 2 x 0 3 x 3
2016/8/10
(
0 ) 0
2
12
1 例8 求极限 lim [ x x ln( 1 )]. ( ) x x
2
1 解： lim[ x x ln(1 )] x x
所以x k , k 0是第二类间断点
(3) x k

2
, k 0， 1， 2
x lim 0 x k tan x

《高等数学》下册期末总复习第六版

3、面面、线线、线面关系：
3）一般式方程： ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
G G | n1 ⋅ n2 | G G n 1)面面： cos θ =| cos(n1 , n2 ) |= G G = | n1 || n2 |
G G | s1 ⋅ s2 | | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | G G n ； 2)线线： cos θ =| cos( s1 , s2 ) |= G G = 2 | s1 || s2 | m1 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2 m n p G G G G （或重合） ⇔ s1 & s2 ⇔ 1 = 1 = 1 L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⋅ s2 = 0 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ； L1 & L 2 m2 n2 p2 G G | s ⋅n | G G m 3)线面： sin ϕ =| cos( s , n ) |= G G = | s || n | A B C G G L⊥Π⇔ s &n⇔ = = ； m n p
2、隐函数： 1）一个方程的情形：
Fx dy ⎧ ⎪公式法：dx = − F y ⎪ ⎪ y= y( x) 二元方程可确定一个一元隐函数： F ( x, y ) = 0 ⎯⎯⎯ → ⎨隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y = ⎪微分法：方程两边取微分，F dx + F dy = 0 x y ⎪ ⎪ ⎩
2）方程组的情形：（隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz ⇒ , 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx

高等数学第六版上下册同济大学出版社

y ex ex
y ch x
O
x
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又如, y f (x) ex ex
y 奇函数 ex ex
2
y sh x
记
sh x 双曲正弦
Ox
再如,
y
sh x ch x
e e
x x
e e
x x
奇函数
y
记
th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x (l, l)
1 y th x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,) v x , x (, )
2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.