专题：函数与方程
专题12 函数与方程(解析版)
2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
题型专题九基本初等函数、函数与方程
• 基本初等函数 • 函数与方程 • 函数的应用
目录
Part
01
基本初等函数
一次函数
一次函数是形如$y=kx+b$的 函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。
一次函数的图像是一条直线， 斜率为$k$，截距为$b$。
一次函数的单调性由斜率$k$ 决定，当$k>0$时，函数单调 递增；当$k<0$时，函数单调 递减。
函数的奇偶性和对称性是相互联 系的，它们在解决一些数学问题 时可以相互转化。
详细描述
在解决一些数学问题时，可以根 据奇偶性和对称性的定义进行相 互转化。例如，利用奇函数的性 质可以简化一些计算，或者利用 对称性来理解函数的图像和性质 。
函数的周期性与最值
• 总结词：函数的周期性描述了函数值重复出现的规律，而最值则是函数 在某个区间内的最大值或最小值。
指数函数的图像是单调递增或递 减的曲线。
指数函数的单调性由底数$a$决 定，当$a>1$时，函数单调递增； 当$0<a<1$时，函数单调递减。
对数函数
对数函数是形如$y=log_a x$的函数，其中$a>0$且$a neq 1$。
对数函数的图像是单调递增或递减的曲线。
对数函数的单调性由底数$a$决定，当$a>1$时，函数单调递增；当$0<a<1$时， 函数单调递减。
• 详细描述：周期函数是指函数在某个固定周期内重复变化的函数，例如正弦函数和余弦函数。最值则是函数在某个区间 内的最大值或最小值，可以通过求导数或者比较区间端点函数值的方法来求解。
• 总结词：函数的周期性和最值在解决一些数学问题时具有重要应用。 • 详细描述：在解决一些数学问题时，可以利用函数的周期性和最值进行求解。例如，利用周期性可以将一个复杂的问题
专题三 基本初等函数、函数与方程
专题复习《基本初等函数、函数与方程》例1、二次函数1、若定义在R 上的函数()225f x ax x =++在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__ __；【答案】[)0,+∞； 2、若函数()()231f x mx m x =+-+对于任意x R ∈恒有()()f x f m ≤（其中m 为常数），则函数()f x 的单调递增区间为 ； 【答案】3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；3、已知函数()[]268,1,f x x x x a =-+∈，并且()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是 ；【答案】(]1,3； 4、设二次函数()221f x ax ax =++在区间[]3,2-上有最大值4，则实数a 值为 ；【答案】38或3-； 5、关于x 方程()2310mx m x +-+=的根均大于0，则实数m 的取值范围是_________。
【答案】01m ≤≤； 6、关于x 方程()22120x a x a +-+-=的一个根比1大，另一个根比1小，则有（ ）A 、11a -<<B 、2a <-或1a >C 、21a -<<D 、1a <-或2a > 【答案】C ； 7、（2014江苏）已知函数()21f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】⎛⎫ ⎪⎝⎭；8、已知关于x 的不等式240ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 ；【答案】016a ≤<； 9、若关于x 的不等式2160x kx ++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围为 ；【答案】88k -≤≤；例2、指数与指数函数1、()52-的5次方根是________； ()42-的4次方根是________； 【答案】-2；2±； 2、15a a-+=，则22a a-+的值为 ；1122a a-+的值为 ；【答案】由15a a-+=得()2125a a -+= 22225a a-∴++= 2223a a-∴+=【答案】由题可知110,0a a ->> 11220a a -∴+> 又21112227a a a a --+=++=⎛⎫ ⎪⎝⎭，1122a a -∴+=3、已知函数()24x f x a n -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点(),2P m ，则m n += ； 【答案】3；4、函数y = ）A 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B 、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C 、(),-∞+∞D 、(],1-∞ 【答案】A ；5、函数y = ）A 、[)0,+∞B 、[]0,3C 、[)0,3D 、()0,3 【答案】C ；6、函数2412x xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为 ； 【答案】(]0,16；7、设函数()()()x x f x x e ae x R =+∈是偶函数，则实数a 的值为 ； 【答案】1-；8、若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()1,+∞B 、()1,8C 、()4,8D 、[)4,8 【答案】D ；例3、对数与对数函数1、求值：①13log = ； ②21log 32.51log 6.25lg2100+++= ； 【答案】①13-； ②132； 2、函数()22log 32y x =+-（0,1a a >≠且）的图象恒过定点P ，则P 点坐标为 ；【答案】()1,2； 3、函数()213log 32y x x =--的单调递增区间是（ ）A 、()3,1-B 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,+∞D 、[)1,1- 【答案】D ；4、已知函数()()log ,121,1a x x f x a x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ； 【答案】(]2,3；5、已知函数()log 2a y ax =-在区间[]0,1上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()0,1B 、()1,2C 、()0,2D 、[)2,+∞ 【答案】B ；6、已知函数()()212log 23f x x ax =-+在区间(],1-∞上是增函数，求实数a 的取值范围是 ；【答案】[)1,2；7、函数()22log 43y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_______；【答案】304k ≤<；8、已知函数()()2lg 1f x x mx =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ； 【答案】()(),22,-∞-+∞ ；9、【2014辽宁】已知132a -=，123log b =，1132log c =则（ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、c a b >>D 、c b a >> 【答案】C ；10、函数()lg(f x x =是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 【答案】A ；11、若函数()y f x =的反函数的图象经过点()1,5，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A 、()5,1 B 、()1,5 C 、()1,1 D 、()5,5 【答案】A ；例4、幂函数1、已知点⎝在幂函数()f x 的图象上,则（ ） A 、()3f x x = B 、()3f x x -= C 、()12f x x = D 、()12f x x-= 【答案】B ；2、当()0,x ∈+∞时，幂函数()()121m f x m m x-+=--为减函数，则实数m = ； 【答案】2；3、若函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且是偶函数，则实数m 的值为_______；【答案】1-；4、（2016全国III ）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）A 、b a c <<B 、a b c <<C 、b c a <<D 、c a b << 【答案】A ；例5、函数与方程 1、函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0 【答案】A ；2、已知实数1,01a b ><<，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的一个区间是（ ）A 、()2,1--B 、()1,0-C 、()0,1D 、()1,2 【答案】B ；3、若函数()()()251f x x x =---有两个零点12,x x ，且12x x <，则（ ）A 、122,25x x <<<B 、122,5x x >>C 、122,5x x <>D 、1225,5x x <<> 【答案】C ； 4、若函数()215f x x ax =-+-（a 是常数，且a R ∈）恰有两个不同的零点，则a 的取值范围是 ； 【答案】()2,2-；5、（2012北京）函数()1212xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B ；6、已知函数()221,02,0x x f x x x x ⎧⎪->=⎨⎪⎩--≤，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ；【答案】()0,1；7、已知函数()()21,01,0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(],0-∞B 、[)0,1C 、(),1-∞D 、[)0,+∞ 【答案】C ； 8、若关于x 的方程31x k -=有一解，则实数k 的取值范围为 ； 【答案】[){}1,0+∞ ； 9、（2016山东）已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩（其中0m >），若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是 ； 【答案】()3,+∞；提示：由题2224m m m m -+<；10、若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()2log 0f x x -= 的根的个数是（ ）A 、6B 、4C 、3D 、2 【答案】B ；11、已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当01x <≤时，()12log f x x =，则方程()10f x -=在()0,6内所有根之和为（ ）A 、8B 、10C 、12D 、16 【答案】C ；12、已知函数()[]ln 23f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[][]1.61, 2.13=-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】B ； 13、已知函数()1312,132,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-+<⎩，则方程()21f x =的根的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C ；提示：由题()12f x =；当1x ≥时，11122x--= 2x ∴= 当1x <时，3132x x -+=即3330x x -+= 令()333g x x x =-+ ()233g x x '∴=-令()0g x '=得1x =或1x =-()g x ∴在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数 又()712g -=，()112g =- ()g x ∴在区间(),1-∞上有2个零点 综上方程()21f x =的根的个数为3.14、已知函数()()12,12ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、1,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C ；15、已知定义在(]0,2上的函数()(](]113,0,121,1,2x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，且()()g x f x mx =-在(]0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A 、91,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B 、111,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C 、92,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D 、112,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ 【答案】A ； 16、设函数()2lg ,02,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩，若函数()()2221y f x bf x ⎡⎤=++⎣⎦有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ；【答案】3,2⎛- ⎝；【解析】令()f x t =，则2221y t bt =++ 由()f x 图象知，当()0,1t ∈时，函数()t f x =有4个交点故22210t bt ++=有两个不等实根12,t t 且()12,0,1t t ∈令()2221g x t bt =++ 则()()2480010123020122b g g b b ⎧∆=->⎪⎪=>⎪⎨=+>⎪⎪<-<⎪⎩⨯解得32b -<< 17、已知定义在R 的函数()y f x =满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11x -<≤时，()f x x =；若方程()log a f x x =恰好有6个根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、11,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、[)11,5,775⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、[)11,3,553⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、11,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B ；18、设函数()[](),01,0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.22,1.21,11-=-==，若直线()0y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A 、11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C 、11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A ；19、已知函数()(),11,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，()1g x kx =+，若方程()()0f x g x -=有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ； 【答案】(]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭；。
高中数学教案：函数与方程的关系
高中数学教案：函数与方程的关系函数与方程的关系一、引言在高中数学课程中，函数与方程是重要的概念之一。
函数是由自变量和因变量构成的数学规律，而方程则描述了两个表达式之间的相等关系。
函数与方程有着密切的关系，它们可以相互转化和表示。
本教案将探讨函数与方程的关系，并介绍如何通过图象、实例和计算来理解和应用这一概念。
二、函数与方程的基本概念1. 函数的定义函数是指一个集合内每个元素都对应于另一个集合内唯一确定元素的规律。
通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
2. 方程的定义方程是含有未知数并且等于一个已知值的数学表达式。
例如，2x+3=7就是一个简单的一次方程。
3. 函数与方程之间的区别- 函数是描述两个集合之间对应关系的规律，而方程则描述两个表达式之间相等关系。
- 函数可以用图象或公式表示，而方程只能通过等号连接两个表达式。
- 函数必须满足垂直线测试（每个x值只有一个对应y值），而方程则没有这个限制。
三、函数与方程的转化1. 方程转化为函数给定一个方程，我们可以通过将未知数表示为常量的函数，从而将方程转化为函数。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以将其转化为函数f(x)=2x+3。
2. 函数转化为方程给定一个函数，我们可以通过将因变量表示为未知数的表达式，从而将函数转化为方程。
例如，对于函数f(x)=2x+3，我们可以将其转化为方程2x+3=y。
四、通过图象理解函数与方程的关系1. 图象表示的意义函数和方程都可以通过图象进行可视化表示。
图象能够帮助我们直观地理解和分析函数与方程之间的关系。
2. 图象上的点与解集图象上的每个点都代表了自变量和因变量之间的对应关系。
对于方程来说，图象上所有满足该等式的点构成了解集；而对于函数来说，则是每个自变量在图象上只有一个相应因变量。
五、实例分析：线性函数与一次方程1. 线性函数简介线性函数是最简单且常见的一类函数。
其表达式为f(x)=ax+b（a和b为常数），在图象上呈现为一条直线。
中考数学专题复习：函数与方程、不等式的关系
∴m≤0,
当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，
当m＜0时，
∵关于x的方程mx2+x+1＝0,
∴△＝12﹣4m＞0,
∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
2.【答案】C
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程 中，
△= ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：C．
3.【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
40
55
租金/（元/辆）
500
600
（1）共需租________辆大客车；
（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
2.如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．
【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，
小学数学：方程和函数思想
方程和函数思想1．方程和函数思想的概念。
方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
(1)方程思想。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题：χ=0 和χ=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已知与未知的对立统一。
(2)函数思想。
设集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系?，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝f(χ)。
其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：Ｖ＝πr2h。
半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值；也就是说，体积随着半径和高的变化而变化。
高考总复习：函数与方程(文) 知识梳理
函数与方程【考纲要求】1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。
【知识网络】【考点梳理】1．函数零点的理解（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点． ②若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点．③若函数()f x 在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则()()0f a f b ⋅<是()f x 在区间（a ，b ）内有零点的充分不必要条件．要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。
2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．（2）求曲线()y f x =与()y g x =的交点的横坐标，实际上就是求函数()()y f x g x =-的零点，即求()()0f x g x -=的根．要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。
3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()()0f a f b ⋅<．（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-），函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根． 【典型例题】类型一、判断函数零点的位置例1.函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝52-<0，∴选B. 答案：B点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式】已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈,则n =．.解：用数形结合法 log a x x b =-+ 作出 2log y x =及3log y x =的图象， 作出 3y x =-+及4y x =-+由图象可知，当(2,3)a 在内变动，(3,4)b 在内变动时，显然对数函数图象与直线y x b =-+的公共点皆在区间(2,3)内，即函数()f x 的零点0(2,3)x ∈，故2n =．类型二、确定函数零点的个数例2.二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则函数的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 解法1：20,40ac b ac <∴∆=->∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根 ∴函数2y ax bx c =++有两个零点，选B. 解法2：()00ac a f =⋅<()()000000a a f f ><⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩或， 不论哪种情况，二次函数图象与x 轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B. 点评：可以利用函数图象或方程的判别式.举一反三：【变式】设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2]D ．[2,4]解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x ＋1)＝x 是否有解．如图：显然在[2,4]内曲线y ＝4sin(2x ＋1)，当x ＝54π－12时，y ＝4，而曲线y ＝x ，当x ＝54π－12<4，有交点，故选A.答案：A例3. 求方程21333+-=x x x的解的个数． 解析：作出函数13=y x 和222113153()3324=+-=+-y x x x 的图象，且32=-x 时，2154=-y ，12=-y ，有12>y y （如图）由图象可以知道：函数13=y x 和22133=+-y x x 的图象的交点的个数为3， 即方程3213303x x x +--=的解的个数为3. 举一反三：【变式1】方程230x x -=的实数解的个数为。
方程与函数的关系
方程与函数的关系摘要：1.方程与函数的定义与关系2.方程的解法与函数的性质3.方程在函数图像上的应用4.函数在方程求解中的作用5.总结：方程与函数的紧密联系正文：一、方程与函数的定义与关系方程，是数学中表示两个量相等关系的式子，通常包含一个或多个未知数。
而函数，是数学中描述一种特定关系的方法，通常表示为一个数的集合（自变量）与另一个数的集合（因变量）之间的对应关系。
方程与函数之间的关系密切，函数可以看作是包含一个或多个未知数的方程，而方程则是函数在某一点的取值。
二、方程的解法与函数的性质解方程是数学中的一个重要环节，通常有代入法、消元法、韦达定理等多种方法。
而函数的性质，如单调性、周期性、奇偶性等，则影响着方程的解法。
了解函数的性质，可以帮助我们更快地解出方程，甚至可以简化方程的解法过程。
三、方程在函数图像上的应用函数的图像，是函数在平面直角坐标系上的点的集合，可以直观地反映函数的性质。
而方程，则可以用来确定函数图像上的特定点。
例如，如果一个函数的零点就是方程的解，那么我们可以通过解方程来确定函数图像上的零点。
四、函数在方程求解中的作用函数在方程求解中的作用也非常重要。
例如，我们可以通过函数的导数来找到方程的解，或者通过函数的性质来简化方程的解法。
在一些复杂的数学问题中，函数和方程的相互作用，可以使得问题得到更好的理解和解决。
五、总结：方程与函数的紧密联系从上述内容可以看出，方程与函数的联系非常紧密。
方程可以看作是函数在某一点的取值，而函数的性质则影响着方程的解法。
同时，方程和函数在数学问题的求解中，往往可以相互转化，互相帮助。
函数与方程的思想详解
专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13， 又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案： 点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３ 解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数与方程
函数与方程知识点1.函数零点的概念对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x),x∈D的零点.注意：函数的零点是实数,而不是点;并不是所有的函数都有零点,若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.2.函数的零点与方程根的联系由函数零点的概念可知,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.二次函数的零点对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式来确定,具体情形如下表:Δ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数有两个零点有一个零点无零点函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象a>0a<0函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的交点个数有两个交点有一个交点无交点4.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.注意：在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.【辨析比较】f (a )·f (b )<0与函数f (x )存在零点的关系①.若函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,则函数y =f (x )一定有零点.图1②.由函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0,如图1.所以f (a )·f (b )<0是y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号.注意：若函数f (x )在[a ,b ]上单调,且f (x )的图象是连续不断的一条曲线,则f (a )·f (b )<0⇒函数f (x )在[a ,b ]上只有一个零点. 5.二分法的概念对于在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[a ,b ],验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε. 第二步:求区间(a ,b )的中点x 1. 第三步:计算f (x 1).(1)若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点;(2)若f (a )·f (x 1)<0,则令b =x 1(此时零点x 0∈(a ,x 1)); (3)若f (x 1)·f (b )<0,则令a =x 1(此时零点x 0∈(x 1,b )).第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b ),否则重复第二、三、四步. 7.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)．(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．8.三种函数模型之间增长速度的比较题型一：判断函数零点问题【例1】函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【例2】函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0)【例3】已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程有且仅有6个根②方程有且仅有3个根)(xfy=)(xgy=]2,2[-)]([=xgf0)]([=xfg③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【过关练习】1.设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)2.函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ） A.B.C.D.(1,2)4.函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈题型二：根据零点求取值范围【例1】函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【例2】已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________． 【例3】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．【过关练习】1.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)0)]([=x f f 0)]([=x g g ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．(0,3)D ．(0,2)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．3.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．4.若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .5.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范 围 。
高三数学一轮复习专题：函数与方程
函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
专题1函数与方程思想
* a n N a n n （3）已知数列 中， n 98 ， ，则数列 an 的
n 97
前30项中最大项和最小项分别是（ A、 a1 , a30 B、a1 , a9
）
a10 , a30 C、a10 , a9 D、
（4）已知 f t log2 t, t [ 2,8], 对于 f t 值域内的所 2 有实数m，不等式 x mx 4 2m 4 x 恒成立，则 x 的取 值范围为 .
专题一：函数与方程的思想
四、巩固与提高
x2 y2 1 1、设点 F1 是椭圆 3 的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点， 2 求△F1 AB 的面积的最大值。
2 2 x y 2、已知双曲线C的方程为 2 1 (a 0, b 0) ， 2 a b 5 ，顶点到渐近线的距离为 2 5 . 离心率e 5 2
专题一：函数与方程的思想
2 6 (2)过点 F1 的直线 l与该椭圆交与M、N两点，且F2 M F2 N ， 3 求直线 l 的方程。
（1）求曲线 y f x 在点M (t , f t ) 处的切线方程；
专题一：函数与方程的思想
六、课堂总结
（1）掌握函数思想的实质：建立函数关系，构造函数
（2）掌握方程思想的实质：建立方程或方程组
B 、1 实根的个数是（ C、2 D、无数 ）
（1）方程 A 、0
（2）设 f x , g x 分别是定义在上的奇函数和偶函数，当 x<0时， f ' x.g x f x.g ' x 0 ，则不等式 f x .g x 0 的解集 为 .
专题一：函数与方程的思想
则该双曲线的离心率等于（ ） A、 3 B、 2 C、 5 D、 6
函数与方程
函数与方程1. 函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2. 零点存有定理假如函数y＝f(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；（图象不间断） (2)f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存有零点，即存有c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．图象4．二分法(1)二分法的定义 对于在区间[a ，b ]上连续持续且________的函数y ＝f (x )，通过持续地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两端点逐步逼近________，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数零点近似解的步骤第一步：确定区间[a ，b ]，验证________，给定精确度ε； 第二步：求区间(a ，b )的中点c ； 第三步：计算f (c )①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二、三、四步． 典型例题分析函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3函数f (x )＝ln(x －2)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5在以下区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个为正实数的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0]∪{1} C ．(－∞，0)∪(0,1] D ．(－∞，1)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A ．(－94，－2]B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D ．(－94，＋∞)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3已知a 是函数f (x )＝2x－x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．不确定已知函数f (x )＝log ax ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.一、选择题1. [2013·广东四校联考]函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)答案：A解析：f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，f (2)＝11>0，f (3)＝32>0，f (4)＝71>0，则f (0)·f (1)＝－2<0且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．2. 若函数f (x )＝bx ＋2有一个零点为13，则g (x )＝x 2＋5x ＋b 的零点是( )A. －13B. 1或－6C. －1或6D. 1或6答案：B解析：∵13是函数f (x )的零点，∴f (13)＝0，即13b ＋2＝0，解得b ＝－6.∴g (x )＝x 2＋5x －6.令g (x )＝0，即x 2＋5x －6＝0，也就是(x －1)(x ＋6)＝0， 解得x ＝1或x ＝－6.∴函数g (x )有两个零点1、－6.3. 如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出以下四个区间，不能用二分法求出函数f (x )零点的区间是( )A. [－2.1，－1]B. [1.9,2.3]C. [4.1,5]D. [5,6.1]答案：B解析：由图象易知，函数f (x )在区间[1.9,2.3]上不能用二分法求出函数的零点． 4. [2013·湖北八校二联]已知函数f (x )＝2x－log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么以下不等式中不可能成立的是( )A. x 0<aB. x 0>aC. x 0<bD. x 0<c答案：D解析：画出函数y ＝2x与y ＝log 12x 的图象可知，满足条件的c 只能在函数f (x )的零点的左边，故不可能出现x 0<c .5. 已知关于x 的方程x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)，以下说法准确的是( ) A. 有两不等根 B. 只有一正根 C. 无实数根 D. 不能确定 答案：B解析：由x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)知x >0，∴ln x ＝a ＋1x ，作出函数y 1＝ln x 与y 2＝a ＋1x的图象，易知选B.6. [2013·深圳调研]已知符号函数sgn (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn (ln x )－ln x 的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：当x >1时，ln x >0，sgn (ln x )＝1； 当x ＝1时，ln x ＝0，sgn (ln x )＝0； 当0<x <1，ln x <0，sgn (ln x )＝－1.∴f (x )＝sgn (ln x )－ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1.由f (x )＝0得，x ＝e 或1或1e ，应选C.二、填空题7. [2012·浙江绍兴二模]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．答案：1＋2，1解析：求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1.8. [2013·南昌模拟]已知[x ] 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于 ________.答案：2解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln2－1<0，f (e)＝lne －2e>0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.9. [2013·金版原创]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0－x 2－2x ，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案：(0,1)解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0－x 2－2x ，x <0的图象，由图象可知，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则0<m <1，所以m 的取值范围是(0,1)．三、解答题10. 若g (x )＝x ＋e2x(x >0)，g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围．解：法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有零点． 法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根且e 2>0， 故根据根与系数的关系得m >0，故⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.11. [2013·苏州模拟]是否存有这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存有，求出范围；若不存有，请说明理由．解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.12．[2013·揭阳联考]已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b 、c ∈R)． (1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b 、c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．解：(1)依题意，x 1＝－1，x 2＝1是方程x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c .即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g－3＝5－7b >0，g －2＝1－5b <0，g 0＝－1－b <0，g1＝b ＋1>0，解得15<b <57，所以实数b 的取值范围为15<b <57.。
函数与方程思想专题
函数与方程思想专题淮南三中 蔡田1 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函 数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
3函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x 轴交点问题，方程f(x)=a 有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
例1．若a 、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
解析：方法一：（看成函数的值域）∵3++=b a ab，∴()31+=-a a b ∵1=a 不满足上式，∴1≠a∴13-+=a ab ，由于0>b ，∴013>-+a a 可得1>a 或3-<a （舍） ∴514)1(14)1(5)1(131322+-+-=-+-+-=-+=-+⋅=a a a a a a a a a a a ab∵1>a ，∴01>-a 由基本不等式得9≥ab当且仅当14)1(-=-a a，即3=a 时，等号成立. ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二(看成不等式的解集) ∵a 、b 为正数, ∴ab b a 2≥+，又因为3-=+ab b a∴ab ab 23≥- 即032)(2≥--ab ab解得3≥ab 或1-≤ab （舍去）∴9≥ab ，即ab 的取值范围是[9,+∞).例2：已知a ，b ，c R ∈，0=++c b a ，01=-+bc a ，求a 的取值范围。
题型专题八基本初等函数函数与方程
3．(2016·郑州质检)已知定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)的图象关 于直线 x＝1 对称，当 0<x≤1 时，f(x)＝log1x，则方程 f(x)－1＝0
2 在(0，6)内的所有根之和为( )
A．8 B．10 C．12 D．16
解析：选 C ∵奇函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即 f(x)＝ －f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函数，其周期 T ＝4.当 0<x≤1 时，f(x)＝log1x，故 f(x)在(0，6)
200－200＝1 000，当且仅当 x＝10x000，即 x＝100 时，L(x)取得最大值 1
000 万元．由于 950<1 000，∴当产量为 100 千件时，该工厂在这一产品
的生产中所获年利润最大，最大年利润为 1 000 万元．故选 B.
高考变的是题目，不变的是知识，交汇创新题只不过是载体的改变而已
能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是
() A．1 150 万元
B．1 000 万元
C．950 万元
D．900 万元
解析：选 B ∵每件产品的售价为 0.05 万元，∴x 千件产品的销售
额为 0.05×1 000x＝50x 万元．①当 0<x<80 时，年利润 L(x)＝50x－31x2
A．b<a<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
解析：选 D 1＝log33<a＝log37<log39＝2，b＝21.1>21＝2， c＝0.83.1<0.80＝1，所以 c<a<b.
初中数学专题复习方程与函数(含答案)
专题复习1 方程与函数◆考点链接方程与函数综合题，历年来是中考热点，主要是以函数为主线，将函数图象、性质和方程的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法．◆典例精析【例题1】（吉林）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子，动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A→B→C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止；•点Q 沿A→D 方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P 、Q •两点用一条可伸缩的细像皮筋联结，设x （s ）后橡皮筋扫过的面积为y （cm 2）．（1）当0≤x≤1时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当1≤x≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时，∠POQ 的变化范围；（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．解题思想：不能利用待定系数确定函数解析式时，常常可以通过列方程的思想，•建立两个变量间的关系，而等量关系则是沟通它们之间的桥梁．解：（1）当0≤x≤1时，AP=2x ，AQ=x ，而y=12AP·AQ ．即y=x 2； （2）当S 四边形ABPQ =12S 正方形ABCD 时，橡皮筋刚好触及钉子， 这时BP=2x －2，AQ=x ，12（2x －2+x ）×2=12×22．∴x=43；（3）当1≤x≤43时，AB=2，BP=2x －2，AQ=x ． ∴y=2AQ BP ×AB=3x －2，即y=3x －2． 当43≤x≤2时，BP=2x －2，AQ=x ，过O 点作OE ⊥AB ，E 为垂足， 这时OE=1，y=S 梯形BEOP +S 梯形OEAQ ．∴y=32x ，90°≤∠POQ≤180°； （4）作图略．评析：根据时间确定几何图形面积是建立函数关系式的关键，不规则图形面积用规则图形的面积表示，则是求解问题的突破口．【例题2】（哈尔滨）2006年春，我市为美化市容，开展城市绿化活动，要种植一种新品种树苗，甲、乙两处育苗基地均以每株4元的价格出售这种树苗，•并对一次性购买该种树苗不低于1 000株的用户实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，•其余树苗按原价的九折出售．（1）规定购买该树苗只能在甲、•乙两处中的一处购买，•设一次性购买x （•x •≥1000，则x 为整数）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买，所花费用为y 1元，写出y 1与x 之间的函数关系式；若在乙处育苗基地购买，所花的费用为y 2元，写出y 2与x 之间的函数关系式（均不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）若在甲、乙两处分别一次性购买1 500株该种树苗，•在哪一处购买所花的费用少？为什么？（3）若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2 500株，购买这2 500株树苗所花的费用至少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？解：（1）y 1=0.8×4x=3.2x ，即y 1=3.2x ；y 2=0.9×4（x －150），即y 2=3.6x －540．（2）当x=1 500时，y 1=3.2×1 500=4 800，y2=3.6×1 500－540=4 860，y1<y2．∴在甲处购买所花的费用少．（3）设在乙处购买a株该种树苗，所花费用为w元．则w=3.2（2 500－a）+3.6a－540，即w=0.4a+7 460．∵10002500 100025002500,aa≤≤⎧⎨≤-≤⎩∴1 000≤a≤1 500，且a为整数．∵0.4>0，∴w随a增大而增大．∴当a=1 000时，w最小=7 860．2 500－1 000=1 500（株）．答：至少需花费7 860元，应在甲处购买1 500株，在乙处购买1 000株．评析：有关函数型的实际问题，也是考察数学建模的一种形式．它常常可以根据实际问题的意义通过建立一个二元方程的思想来获取函数解析式：这种函数与方程相结合的思想也是中考中的一个热点．探究实践【问题】（海淀）已知：抛物线y=x2－mx+m－2（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与x轴交于整数点，求m的值．（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．解题思路：（1）证△>0；（2）求方程x2－mx+m－2=0的整数解；（3）要考虑M点在x•轴与y轴上两种情形．解：（1）△=m2－4m+8=（m－2）2+4>0，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2）方程x 2－mx+m －2=0的根为 由m 为整数，当（m －2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x 轴才可能交于整数点． 设（m －2）2+4=n 2（其中n 为整数）．所以[n+（m －2）][n －（m －2）]=4．因为n+（m －2）与n －（m －2）的奇偶性相同，所以2222222 2.n m n m n m n m +-=+-=-⎧⎧⎨⎨-+=-+=-⎩⎩或解得m=2． 经检验，m=2合题意．（3）当m=2时，抛物线y=x 2－2x ，顶点A （1，－1），与x 轴交点为O （0，0），B （2，0），•易知△AOB 为等腰直角三角形．∴M 1（1，0）为所求的点．若满足条件的点M 2在y 轴上时，设M 2（0，y ），作AN ⊥y 轴于N ．由M 2A=M 2B ，得（y+1）2+12=y 2+22，得y=1，∴M 2（0，1）也为所求的点．综上所述满足条件的M 点坐标为（1，0）或（0，1）．评析：一元二次方程有整数根，必须判别式△为完全平方数．用因式分解法、整数性质，求一元二次方程整数根是常用技巧．◆中考演练一、填空题1．已知：反比例函数y=k x与一次函数y=2x+k 的图象的一个交点的横坐标是－4，•则k 的值是________．2．函数y=x 2+2（a+2）x+a 2的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是________．二、选择题1．点P （a ，b ）是直线y=－x+5与双曲线y=6x的一个交点，则以a 、b •为两实数根的一元二次方程是（ ）． A ．x 2－5x+6=0 B ．x 2+5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2+5x －6=02．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、解答题1．（济南）已知：抛物线y=－12x 2+（6x+m －3与x 轴有A 、B 两个交点，且A 、B •两点关于y 轴对称．（1）求m 的值；（2）写出抛物线解析式及顶点坐标；（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．2．已知c<0，抛物线y=ax2+bx+c经过正比例函数y=－4x与反比例函数y=－4x的图象的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线顶点在直线y=mx+n上，此直线与x轴、y轴分别交于点A、•B，•且OA：OB=1：2，求作一个以m和n为根的二次项系数为1的一元二次方程．◆实战模拟一、填空题1．点P（a，b）在第二象限内，a，b是方程4x2－2x－15=0的两个实数根，则直线y=ax+•b不经过第______象限．2．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标（－1，－3.2）•及部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3•和x2=_______．3．已知：二次函数y=2x2－4mx+m2的图象与x轴的两交点为A、B，顶点为C，若S△ABC•则m=________．二、选择题1．抛物线y=x 2－（2m －1）x －2m 与x 轴交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），且12x x =1，则m •的值为（ ）． A ．－12 B ．0 C ．±12 D ．12 2．抛物线y=x 2+bx+c 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（ ）．A ．b －c －1=0B ．b+c+1=0C ．b －c+1=0D ．b+c －1=03．（武汉）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2，•且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）．A ．（2，－3）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（3，2）三、解答题1．（海南）如图9－1－4，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，•使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，•请说明理由．2．（四川）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），•与y轴的正半轴交于点C，如果x1、x2是方程x2－x－6=0的两个根（x1<x2），且△ABC的面积为152．（1）求此抛物线解析式；（2）求直线AC和BC的方程；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）过点P作直线y=m（m 为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，•求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．答案:中考演练一、1．－8 2．a>－1且a≠0二、1．A 2．A三、1．（1）m=6 （2）y=－12x 2+3，顶点（0，3）（3）方程－12x 2+（6x+m －3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等） 2．（1）=2x 2－4x －2 （2）易得m+n=－4，A （n m，0），B （0，n ），m=±2，所求一元二次方程为x 2+4x －12=0或x 2+4x+4=0实战模拟一、1．三 2．－3．3 3．±2二、1．D 2．B 3．C三、1．（1）点A （3，4）在直线y=x+m 上，∴4=3+m ，m=1．设二次函数为y=a （x －1）2，4=a （3－1）2，a=1∴y=（x －1）2，即y=x 2－2x+1（2）设P 、E 两点的纵坐标分别为y P ，y E ，PE=h=y P －y E =（x+1）－（x 2－2x+1）=－x 2+3x即h=－x 2+3x （0<x<3）（3）∵PE=DC ，点D 在y=x+1上，∴点D 坐标为（1，2）∴－x 2+3x=2，解得x 1=2，x 2=1（舍去）∴当P 点坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形2．（1）y=－12x 2+12x+3 （2）直线AC 方程为y=32x+3，直线BC 方程为y=－x+3 （3）存在，设直线y=m 与y 轴交于点E （0，m ），易知0<m<3．①当PQ 为等腰Rt △PQR 的一腰时，作PR 1⊥x 轴于R 1（如图1），由△CPQ ∽△CAB ，315315915,,,(,),(,)5384888PQ EC m m m P Q AB OC -===-有易求得， ∴R 1（－34，0），作QR 2⊥x 轴于R 2，则R 2（98，0），• 经检验知R 1、R 2是满足条件的点．②当PQ 为等腰Rt △PQR 的底边时，取PQ 的中点S ，•过点S 作SR 3⊥PQ 于R 3（如图2），由△CPQ ∽△CAB ，有32315121518153,,,(,),(,),(53111111111111PQ EC m m m P Q R AB OC -===-即易得可得，0），经检验可知R 3合题意．。
专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数(解析版)
专题03 函数与方程和零点问题与嵌套函数一、重点题型目录【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间 【题型】二、方程法判断函数零点个数 【题型】三、数形结合法判断函数零点个数 【题型】四、转化法判断函数零点个数 【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数 【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数 【题型】七、一元二次不等式恒成立问题 【题型】八、一元二次不等式能成立问题 二、题型讲解总结【题型】一、零点存在定理法判断函数零点所在区间例1．（2023·全国·高三专题练习）函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【分析】利用零点存在性定理求解即可 【详解】函数()2ln 1f x x x =--在()1,+∞ 上单调递增，且在()1,+∞上连续. 因为()22ln 2ln 22021f =-=-<-，()23ln 3ln 31031f =-=->-， 所以()()230f f <，所以函数的零点所在的区间是()2,3. 故选：B例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=，因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e xg x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由已知条件构造函数()e ln ah a a =-，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证001e 0a a -=的根的范围即可. 【详解】令()()f s g t a ==，即e ln 0t s a ==>， ∴ln t a =，e a s =， ∴e ln (0)a s t a a -=->，令()e ln ah a a =-，则()1e a h a a'=-，令()1e am a a =-，则()21e a m a a '=+， ∴()m a 在()0,∞+上单调递增，且()1e 10m =->，1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴存在唯一0a a =使得()0h a '=，当00a a <<时，1e a a <， ()0h a '<，当0a a >时，1e aa>， ()0h a '>，∴()0()min h h a a =，即s t -取得最小值时，0()f s a a ==，由零点的存在定理验证01e 0aa -=的根的范围，当012a =时，001e 0a a -<，当0ln2a =时，001e 0aa ->，故01(,ln 2)2a ∈， 故选：D ．例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2e 0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．101x <<B ．2101xx e << C ．()101f x << D ．()1ln 2,a ∈-+∞【答案】ACD 【分析】函数()()2e0-=->x af x x a 有两个极值点1x 和2x ，令()0f x '=，则e2e =xa x判断函数()e x g x x =的单调性，由题知()e xg x x=与2e =a y 有两个交点，借助图像求出a 的取值范围，判断D ；再根据零点存在性定理判断A ；又根据11e 2-=x ax ，求出()1f x 的取值范围，判断C ；由()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，得2112e e x xx x =，由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而判断B.【详解】已知()2e -=-x a f x x ，则()e 2-'=-x af x x ，令()0f x '=，则e2e =xa x考虑函数()e xg x x =，则()()2e 1x x g x x-'=， 当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，即()g x 在(),0∞-上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增； 故()g x 的图象大致如图：依题意，若()f x 有两个极值点，则2e e >a ，即1ln 2a >-，因此选项D 正确； 由图易知，101x <<，21x >，故选项A 正确； 又11e 2-=x ax ，故()()122211111e 211-=-=-=--x a f x x x x x ，因为101x <<，所以()101f x <<，故选项C 正确； 因为()()1200f x f x ⎧'=='⎪⎨⎪⎩，即1212e 2e 2x a x a x x --⎧=⎨=⎩，故1212e e =x x x x ，即2112e e x xx x =. 由于101x <<，21x >，所以12e 1>x x ，从而21e 1>xx ，故选项B 错误.故答案为：ACD.【题型】二、方程法判断函数零点个数例5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()ln ||ln |2|f x x x =+-有下述四个结论： ∴()f x 的图象关于直线1x =对称 ∴()f x 在区间(2,)+∞单调递减 ∴()f x 的极大值为0 ∴()f x 有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．∴∴ B ．∴∴ C ．∴∴∴ D ．∴∴∴【答案】D【分析】根据给定函数，计算(2)-f x 判断∴；探讨()f x 在(2,)+∞上单调性判断∴；探讨()f x 在(0,1)和(1,2)上单调性判断∴；求出()f x 的零点判断∴作答.【详解】函数()ln ||ln |2|f x x x =+-的定义域为(,0)(0,2)(2,)-∞⋃⋃+∞， 对于∴，(,0)(0,2)(2,)x ∈-∞⋃⋃+∞，则2(,0)(0,2)(2,)x -∈-∞⋃⋃+∞， (2)ln |2|ln ||()f x x x f x -=-+=，()f x 的图象关于直线1x =对称，∴正确；对于∴，当2x >时，()ln ln(2)f x x x =+-，()f x 在(2,)+∞单调递增，∴不正确； 对于∴，当0x <时，()ln()ln(2)f x x x =-+-，()f x 在(,0)-∞单调递减，当02x <<时，2()ln ln(2)ln[(1)1]f x x x x =+-=--+，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，又()f x 在(2,)+∞单调递增，因此()f x 在1x =处取极大值(1)0f =，∴正确；对于∴，由()0f x =得：2|2|1x x -=，即2210x x --=或2210x x -+=，解得1x =1x =，于是得()f x 有3个零点，∴正确， 所以所有正确结论的编号为∴∴∴. 故选：D【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.例6．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．()e 2x y f x -=-- B ．()e 2x y f x =+ C ．()e 2x y f x =- D ．()e 2x y f x =-+【答案】B【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，因为0x 是()2e =-xy f x 的一个零点，代入得()002e xf x =，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断可得答案.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-且0x 是()2e =-xy f x 的一个零点， 所以()002e xf x =，把0x -分别代入下面四个选项，对于A ，()()0020e e 222-=-x x f x ，不一定为0，故A 错误；对于B ，()()0000e 2e x xf x f x ---+=-0012e e 20x x -+=-⋅⋅+=，所以0x -是函数()e 2x y f x =+的零点，故B 正确；对于C ，()000224e 2e ---=--=-x f x ，故C 不正确；对于D ，()0000e 22e e +24--+==x x x f x ，故D 不正确；故选：B.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3 故选：C例8．（2023·全国·高三专题练习）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x =在区间[]6,6-内解的个数的最小值是_______. 【答案】13【分析】根据函数周期性和奇偶性的性质，进行递推即可． 【详解】()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，()()3f x f x ∴+=，且()()f x f x -=-，则()00f =，则()()()()()()36600330f f f f f f ==-==-=-=，，()20f =，()()()()514050f f f f ∴=-=-=-=，， ()10f =，()40f =，()20f -=，方程的解至少有0，3，6，6-，3-，2，5，5-，2-，1-，1，4，4-，共13个． 故答案为：13【题型】三、数形结合法判断函数零点个数例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ）A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个【答案】D【分析】设()t f x =，求导分析()33f x x x =-的最值与极值，画出图形，再分析()f t c =与()t f x =的根的范围与个数即可【详解】设()t f x =，则由()()0h x f f x c =-=⎡⎤⎣⎦， 得()f f x c =⎡⎤⎣⎦，即()f t c =，()t f x = 又()()()233311f x x x x '=-=-+， 由0fx得1x <-或1x >，此时函数单调递增，由()0f x '<得11x -<<，此时函数单调递减，即函数在=1x -处取得极大值()()()311312f -=--⨯-=，函数在1x =处取得极小值()311312f =-⨯=-，又由()()()322322f -=--⨯-=-，()322322f =-⨯=可得图象：若()f t c =，()2,2c ∈-，则方程有三个解， 满足121t -<<-，211t -<<，312t <<， 则当121t -<<-时，方程()t f x =，有3个根， 当211t -<<时，方程()t f x =，有3个根， 当312t <<时，方程()t f x =，有3个根，此时共有9个根，若()f t c =，2c =，则方程有两个解， 满足11t =-，22t =，则当11t =-时，方程()t f x =，有3个根， 当22t =，有2个根， 此时共有5个根，同理()f t c =，2c =-，也共有5个根 故选：D ．例10．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∴[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e 2,1ln 1,1xx f x x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】令()t f x =，()0g x =，则()21f t t =-，分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，得到10t =，212t <<，再分别作出函数()y f x =和直线y t =的图象，得到方程()0f x =和方程()2t f x =的根的个数，进而得到函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【详解】令()t f x =，()0g x =，则()210f t t -+=，即()21f t t =-， 分别作出函数()y f t =和直线21y t =-的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为1t ，2t ， 则10t =，212t <<，对于()t f x =，分别作出函数()y f x =和直线2y t =的图象，如图所示，由图象可得，当()10f x t ==时，即方程()0f x =有两个不相等的根， 当()2t f x =时，函数()y f x =和直线2y t =有三个交点， 即方程()2t f x =有三个不相等的根，综上可得()0g x =的实根个数为5，即函数()()()21g x f f x f x =-+⎡⎤⎣⎦的零点个数是5. 故选：B.例12．（2023·上海·高三专题练习）对于给定的正整数n （n ≥2），定义在区间[0，n ]上的函数y ＝f （x ）满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的x ∴[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为____． 【答案】2n ﹣1##12-+n【分析】数形结合，画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，根据y ＝knx 与y ＝f （x ）的图象交点分析即可．【详解】由题意，画出y ＝f （x ）在区间[0，1]上的图象， 又对任意的[1，n ]，都成立f （x ）＝f （x ﹣1）+1．可理解为区间[n ﹣1，n ]的图象由区间[n ﹣2，n ﹣1]的图象向右平移一个单位所得， 即可画出y ＝f （x ）在区间[0，n ]上的图象，如图所示，故若与n 有关的实数kn 使得方程f （x ）＝knx 在区间[n ﹣1，n ]上有且仅有一个实数解， 则y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[n ﹣1，n ]上的图象相切，且易得y ＝f （x ）的图象在y ＝x 与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上的公切线之间， 故y ＝knx 与y ＝f （x ）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，∴[n ﹣1，n ]上均有2个交点， 故关于x 的方程f （x ）＝knx 的实数解的个数为2（n ﹣1）+1＝2n ﹣1个． 故答案为：2n ﹣1．【题型】四、转化法判断函数零点个数例13．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)1,0,121,1,xe xf x f x x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若()()g x f x π=-，则()g x 在[]0,10内的零点个数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】B【分析】求出函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈值域及单调性，由此可得出结论.【详解】当[)0,1x ∈时，()[)10,1xf x e e =-∈-，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()()[)210,22f x f x e =-∈-，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，则()()()[)21420,44f x f x f x e =-=-∈-，以此类推，当[)(),109,x n n n n N ∈+≤≤∈时，()()())20,21n nf x f x n e ⎡=-=-⎣，且函数()f x 在区间[)(),109,n n n n N +≤≤∈上为增函数，122e e π-<<-，所以，函数()g x 在区间[)(),119,n n n n N +≤≤∈上有且只有一个零点，且()()()101010200g f f ππ=-=-<，因此，()g x 在[]0,10内的零点个数为9. 故选：B.【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<- 【答案】C【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可. 【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误， C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713x x⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11327xxg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为0,，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log =-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.例15．（2022·全国·高三专题练习）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 是R 上的单调递增函数B ．函数2()()3g x f x x =-有2个零点 C ．()f x 是R 上的奇函数D ．对于任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +≤+ 【答案】BD【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用取整函数和零点的定义判断即可，对于D ，定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，然后结合高斯函数的定义判断即可 【详解】对于A ，(1.1)1f =，(1.2)1f =，(1.1)(1.2)f f =，()f x ∴在R 上不是单调增函数，所以A 错.对于B ，由()[]f x x =，可得1()x f x x -<≤，所以1()33x xg x -<≤，若函数()g x 要有零点，则1033x x -<≤，得[0,3)x ∈，因为()g x 要想为0，必须23x 也为整数，在这个范围内，只有30,2x x ==两个点，所以B 正确， 对于C ，(1.1)1f =，( 1.1)2(1.1)f f -=-≠-，()f x ∴不是奇函数，所以C 错， 对于D ，如果我们定义{}[]a a a -=这样一个函数，就会有{}10a >≥，同时有{}{}{}{}()([][])[[][]]f a b f a b a b a b a b +=+++=+++，当{}{}1a b +≥时，会有()[][]()()f a b a b f a f b +=+=+，当{}{}01a b <+<时，()[][]()()f a b a b f a f b +>+=+，所以D 正确，故选：BD.【题型】五、利用函数的零点或方程有根求参数例16．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．－14B ．0C ．14D ．0或－14【答案】D【分析】通过a 是否为0，然后求解函数的零点即可．【详解】解：当0a =时，函数()1f x x =--仅有一个零点，满足题意；当0a ≠时，函数2()1f x ax x =--仅有一个零点，可得140a ∆=+=，解得14a =-．故选：D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，若方程22()(23)()30-++=f x a f x a 有5个不同的实数解，则a 的范围是（ ）A ．33(1,)(,2)22⋃B ．(1,2)(2,3)C ．(1,)+∞D ．(1,3)【答案】A【分析】解方程22()(23)()30-++=f x a f x a 得()f x a =或3()2f x =，根据a 的取值分类讨论即可.【详解】方程22()(23)()30-++=f x a f x a ，解得()f x a =或3()2f x =， 若32a =，13,132()12()1,12x x f x x -⎧=⎪⎪==⎨⎪+≠⎪⎩， 解得1x =或0或2，不符合题意，所以32a ≠， 由3()2f x =，可得原方程有3个不等实根1x =或0或2； 所以只要|1|1()12x a -+=有2个不等实根即可．由|1|0x ->可得|1|10()12x -<<，即有12a <<，综上可得33(1,)(,2)22a ⋃∈．故选：A ．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩，若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】画出()f x 的图像，结合函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为2x =-，()()24831,03f f -=-+-==-.由243=0x x ---解得=1x -或3x =-. 由此画出()f x 的图像如下图所示，依题意，函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点， 令()t f x =，则21y t mt =++，根据图像可知，函数21y t mt =++在区间[)3,1-上有两个不相等的实数根，则()222Δ403310110312m m m m ⎧=->⎪--+≥⎪⎪⎨++>⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1023m <≤，所以m 的取值范围是102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.∴当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ∴当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<； 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数.故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】A 根据()f x 的周期性判断区间单调性；B 利用周期性求得()() 202230f f =-=即可判断；C 转化为y b =与()y f x =的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和；D 根据函数图象求得1y kx =+与()y f x =交点个数为2或3时的临界值，即可得范围. 【详解】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令Δ0=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1． 因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．例21．（2023·全国·高三专题练习）若函数()()2e 2xf x x x a =-++在区间(),1a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围为_______【答案】2⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据开区间上连续函数的最值点必为导函数的零点，然后求导，数形结合，根据零点存在性定理建立不等式即可求解【详解】因为()()()22e 222e 2x xf x x x a x x a '=-++-+=-++，且函数()f x 在区间(),1a a +上存在最大值， 故只需()22h x x a =-++满足()()>0+1<0h a h a ⎧⎪⎨⎪⎩，所以()22++2>0+1++2<0a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩，2a <<．故答案为：2⎫⎪⎪⎝⎭【题型】六、利用函数的交点或交点个数求参数例22．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.5,4 B ．(]3.5,4 C ．(]3,4 D ．[)3,4【答案】A【分析】由已知得出函数()f x 是周期函数，周期为2，函数()F x 的零点个数转化为函数()f x 的图象与sin()y x π=的图象的交点个数，作出函数的图象（其中()f x 的图象由奇偶性与周期性结合作出），然后分析交点个数得出参数范围． 【详解】由(2)()0f x f x -+=得(2)()f x f x +=--，又()f x 是奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=--=，即()f x 是周期函数，周期为2，sin()y x π=也是周期函数，且最小正周期是22ππ=，由奇偶性和周期性作出函数()f x 的图象，再作出sin()y x π=的图象，如图，函数()()sin()F x f x x π=-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数sin()y x π=的图象交点个数，()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而20()f k =，Z k ∈，易知它们在[1,1)-上有4个交点，从而在[1,3)上也有4个交点，而4x =时，点(4,0)是一个交点，所以4m <，在(0,1)上，2()log f x x =-，11()1sin 22f π==，即1(,1)2是(0,1)上交点，从而在(1,0)-上交点上交点为1(,1)2--，由周期性在(3,4)上两函数图象交点为7(,1)2-，所以72m ≥． 综上，724m ≤<．故选：A ．例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点， 所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2， 故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出ϕ，再由零点信息列出不等式，求解作答.【详解】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin f ωϕ'=-=，即sin ϕ=，而π02ϕ<<，解得π3ϕ=， 因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤， 所以ω的最大值为2. 故选：C例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()xf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)mg x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log e B ．(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的奇偶性求出函数在[2,0]-上的解析式，将问题转化为函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，结合图形即可得出结果.【详解】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x →+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()x f x -=，因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点， 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，当[0,2]x ∈时，()xf x =，()121e 2x f x '=，()102f '=，设()(1)mp x x =+，则()1(1)m p x m x -'=+，()0p m '=，当12m ≤，()()00p f '≤'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+只有一个零点，此时，若要使图象()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点， 则()()11010mf +≤，11log e m ≤，所以110log e m <≤； 当12m >时，()()00p f '>'， 所以在[0,2]x ∈时，函数()()(1)m g x f x x =-+有两个零点， 所以()()166mf +<且()()11010mf +>，即7e 11e m m ⎧<⎨>⎩，解得71log e 2m <<，故m 的取值范围为(]11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭.故选：B.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．0,1C ．()1,+∞D ．()(),00,1-∞⋃【答案】C【分析】根据已知条件画出函数()f x 的图象，将函数()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为函数()f x 与直线()1y k x =-图象恰有两个交点即可求解.【详解】由题意知，画出函数()31,21()1,2x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩的简图，如图所示由()()g x f x kx k =-+恰好有两个零点转化为()f x 与直线()1y k x =-有两个不同的交点， 由图知，当直线经过点()()1,0,0,1-两点的斜率为10101k --==-，则1k >. 所以实数k 的取值范围为()1,+∞. 故选：C.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（ ）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据零点的定义判断A ，利用导数分析函数的单调性，作出函数()f x 的图象，根据图象判断其余选项.【详解】由()0f x =得：0x =，即0x =，故函数()f x 有唯一零点0x = 由题可知：(),0e e ,0e xx xxx x f x x x ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩ 设()e ex x xg x x -==⋅，x ∈R ，则()()1x g x x e -'=-⋅， 由()()1e 0x g x x -⋅'=-≥得：1x ≤；由()()1e 0xg x x -⋅'=-≤得；1x ≥；故()g x 在(],1-∞上单调递增﹐在[)1,+∞上单调递减，作出()y g x =图象，并将0x <的部分图象关于x 轴对称可得()y f x =的图象如下：观察图象可得函数()y f x =的单调递减区间为(),0∞-，()1,+∞，B 错， 函数()y f x =在1x =时有极大值1e，C 对，方程()f x a =有三个不同的根，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，D 对，故选：ACD.【题型】七、一元二次不等式恒成立问题例28．（2023·全国·高三专题练习）已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案. 【详解】22()4f x x x m '=-+，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤- 又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -== 故选：C ．例29．（2023·全国·高三专题练习）当13x ≤≤时，关于x 的不等式210ax x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14C ．,1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分离参变量得211a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，只用2min11a x x ⎡⎤⎛⎫<-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】当13x ≤≤时，由210ax x -<+恒成立可得，211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立， 令2211111()()24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1113,,13x x ⎡⎤≤≤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴当111,123x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即当2x =时， ()f x 取得最小值为()()min124f x f ==-， 因为211a x x⎛⎫<- ⎪⎝⎭恒成立，所以()min a f x <，即14a <-.故选:B ．例30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（ ）A ．6e B．(2e +C．(2e +D ．2e【答案】AB【分析】本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t 是常数， 因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可. 【详解】因为()()3253153222x x f x x x x +-+===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 所以对[0,)x ∀∈+∞，()()102f x f ≥=； ()()42e x g x x =-，所以()()()'2e 42e 21e x x x g x x x =-+-=- ，当1x >时，()'0g x < ；当01x <<时，()'0g x > ，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()max ()12e g x g ==；因为0t >，任意[)12,0,x x ∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，即()()221e 2e e 2t t +⋅≤+，整理得224e 3e 0t t --≥，解得(2e t ≤或(2e t ≥，所以正数t的取值范围为()2e,⎡+∞⎣； 6e与(2e均在区间()2e,⎡+∞⎣内，(2e +与2e均不在区间()2e,⎡+∞⎣内； 故选：AB ．【题型】八、一元二次不等式能成立问题31．（2023·全国·高三专题练习）已知命题:R p x ∀∈，20x x a -+>，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,)4-∞（ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由题意得到20x x a -+≤有解，进而由根的判别式列出不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】若p ⌝是真命题，由题意知不等式20x x a -+≤有解，140a ∴∆=-≥，解得:14a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A例32．（2023·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论. 【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可，设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增，所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞。
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1.若函数f (x )内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值 ( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定
2.设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是 ( ) A.[0,1] B.[1,2]
[,2
23221
x
x -=-的值
C.[－2，－1]
D.[－1,0]
3.(2010·苏北三市联考)若方程ln x ＋2x －10＝0的解为x 0，则不小于x 0的小整数是 .
0.25，则f (x )可以是 ( ) A.f (x )＝4x －1 B.f (x )＝(x －1)2 C.f (x )＝e x －1 D.f (x )＝ln(x －1
2
)
5.f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2
6.设函数f (x )＝[)2221,,2x x x x x ⎧-∈+∞⎪⎨-∈∞⎪⎩(-,
1)则函数F (x )＝f (x )－14的零点是 .
7.若二次函数y ＝( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.不确定
8.已知函数f (x )＝x |x －4|－5，则当方程f (x )＝a 有三个根时，实数a 的取值范围是 . A.－5＜a ＜－1 B.－5≤a ≤－1 C.a ＜－5 D.a ＞－1
9.(2009·山东高考)若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
10.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；
(2)若12＜t ＜34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，1
2
)内各有一个实数根.
11.已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围.
12求函数
3()1f x x x =--在区间[1,1.5]内的一个零点（精确到0.1）．
13：已知函数2
8
()f x x x
=+
，证明方程()()f x f a =（a >3）有三个实数 答案
1解析：若函数f (x )在(－2,2)内有一个零
点，则该零点是变号零点，则f (－2)f (2)<0.若不是变号零点，则f (－2)f (2)>0. 答案：D
2解析：∵f (－1)＝3－1－(－1)2
＝13
－1＝
－2
3
<0， f (0)＝30－0＝1>0，
∴函数f (x )＝3x －x 2在区间[－1,0]内存在零点.
答案：D
3解析：令f (x )＝lnx ＋2x －10，
则f (5)＝ln5＞0，f (4)＝ln4－2＜0 ∴4＜x 0＜5
∴不小于x 0的最小整数是5. 答案：5
4解析：∵4个选项中的零点是确定的.
A ：x ＝14；
B ：x ＝1；
C ：x ＝0；
D ：x ＝3
2.
又∵g (0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，
g (12)＝124＋2×1
2
－2＝1＞0， ∴g (x )＝4x
＋2x －2的零点介于(0，12)之间.
从而选A.
答案：A
5解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，
且周期是3，f (2)＝0，∴f (2)＝f (5)＝f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0. 答案：B
6解析：当x ≥1时，f (x )－14＝2x －2－1
4
＝
2x －9
4
＝0，
∴x ＝98
.
当x ＜1时，x 2－2x －1
4＝0，
∵Δ＝4＋1＞0，
∴x ＝2±4＋12＝2±52，又∵x ＜1，∴x
＝2－5
2
.
∴函数F (x )＝f (x )－14有两个零点9
8和
2－5
2
. 答案：98，2－52
7解析：∵c ＝f (0)，∴ac ＝a ·f (0)<0.
∴
a 与f (0)异号，即
><>,<a a f f ⎧⎧⎨
⎨⎩⎩
00,
或(0)0(0)0. ∴函数必有两个零点. 答案：B
8解析：f (x )＝x |x －4|－5＝
22
45,4
<,45,4
x x x x x x ⎧--⎪⎨-+-⎪⎩≥在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直
线y ＝a 与该函数的图象有三个交点时，a 的取值范围是－5<a <－1. 答案：A
9解析：函数f (x )的零点的个数就是函数
y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数
的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.
答案：(1，＋∞)
10解：(1)证明：由f (1)＝1知f (x )＝1
必有实数根.
(2)当12＜t ＜34时，因为f (－1)＝3－4t ＝4(
34
－t )＞0，
f (0)＝1－2t ＝2(1
2
－t )＜0，
f (12)＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34
－t ＞0，
所以方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，1
2
)
内各有一个实数根.
11解：若a ＝0，则f (x )＝2x －3显然在
[－1,1]上没有零点，所以a ≠0.
令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2
＋24a ＋4＝0，解
得a ＝－3±72
.
①当a ＝－3－7
2
时，y ＝f (x )恰有一个零
点在[－1,1]上；而a ＝－3＋7
时，经检验不
符合要求.
②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)≤0时，得1≤a ≤5，因当a ＝5时，方程f (x )＝0在[－1,1] 上有两个相异实根，故1≤a ＜5时，
y ＝f (x )在[－1,1]上恰有一个零点；
③当y ＝f (x )在[－1,1]上有两个零点时，则
228244824411111><><<<1,221111<<a a a a a a a a f f f f ⎧⎧⎪⎪∆=++∆=++⎪⎪⎪⎪⎪⎪
----⎨⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩0000或()≥0()≤0(-)≥0(-)≤0
解得a ≥5或a ＜－3－72
.
综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ≥1
或a ≤－3－72
}.
12解：因为(1)11110f =--=-<，
(1.5) 3.375 1.510.8750f =--=> ，
所以()f x 在区间[1，1.5]上存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 端（中）点坐标 中点函数值符号 零点所在区间
[1,1.5] 1.25 f (1.25)<0
[1.25,1.5] 1.375
f (1.375)>0
[1.25,1.375] 1.3125 f (1.3125)<0
[1.3125,1.375]
因为|1.375 1.3125|0.06250.1-=<，函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内，故函数零点的近似值为1.3125.
13证明：由2288()(),f x f a x a x a
=+
=+得，
即8
()()0x a x a ax
-+-
=， 有一根a x =，另外22
80,3
ax a x a +-=>当时，
324>+=∆a a ，即方程
2280ax a x +-=有两个根，验证a 不是方程2280ax a x +-=的根，
故原方程有三个实数根.。