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高三数学考试卷-含答案

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高三数学考试卷及答案

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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. -3D. 无理数2. 函数y=2x-1的图像是：A. 一次函数图像B. 二次函数图像C. 指数函数图像D. 对数函数图像3. 已知等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，则第10项an的值为：A. 19B. 21C. 23D. 254. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°5. 若复数z满足|z-1|=2，则复数z在复平面上的几何意义是：A. z到点(1,0)的距离为2B. z到点(0,1)的距离为2C. z到点(1,1)的距离为2D. z到点(0,0)的距离为26. 下列函数中，是奇函数的是：A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^57. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 78. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标是：A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)9. 若log2(x+1)=3，则x的值为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2xB. 3x < 2xC. 3x ≤ 2xD. 3x ≥ 2x二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，则第n项an=______。

12. 在△ABC中，若∠A=60°，b=8，c=10，则a=______。

13. 函数y=2^x的图像与y=2^(-x)的图像关于______对称。

14. 若复数z=3+4i，则|z|=______。

15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则S10=______。

上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)

上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷(含答案)

上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．直线的倾斜角大小为__________．2．在的展开式中，含项的系数为__________．3．已知集合，集合，则__________．4．若关于x ，y 的方程组有唯一解，则实数a 满足的条件是__________．5．已知x ，，则“”是“”的____________________条件．6．已知，的最小值为__________．7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．8．已知函数，且，则方程的解是__________．9．已知集合，，若，则m 的取值范围是__________．10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点且，则直线OM 斜率的取值范围是__________．12．对于定义在D 上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数10x +=51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 211x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{1,0,1,2,3}B =-A B = 2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩y ∈R ||||||x y x y -=+0xy <1ab =2249a b +()21xf x -=+2log (1),0()(),0x x g x f x x +≥⎧=⎨-<⎩()2g x =5322A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭{13,}B x m x m m =+≤≤∈R ∣A B A = 1222(0)y px p =>4PM MF = ()y f x =x D ∈()()0f x f x -+=1x D ∈2x D ∈21x x ≠-()()1122f x x x f x -=-()y f x =为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．若实数a ，b 满足，则下列不等式中恒成立的是（）A ．B．C ．D ．14．在2022北京冬奥会单板滑雪U 型场地技巧比赛中，6名评委给A 选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差15．如图所示，在正方体中，M 是棱上一点，若平面与棱交于点N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在平面与直线垂直B ．四边形可能是正方形C ．不存在平面与直线平行D ．任意平面与平面垂直16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）A ．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B ．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C ．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D ．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，，，()f x x =1()1x f x x -=+2()f x x =()sin f x x =0a b >>22a b +>22a b +<a b +>a b +<1111ABCD A B C D -1AA 1MBD 1CC 1MBND 1BB 1MBND 1MBND 11A C 1MBND 1ACB {}n a n S 2024k >1k k S S +>1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 3a 5a 21n a -2a 4a 6a 2n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a 1a 2a 3a 2024a 2024a 2025a n a P ABCD -PD ⊥//AB CD 60BAD ∠=︒，．（1）在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）记为数列的前n 项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v （米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒2AD AB ==4CD =P ABCD -n S {}n a 11a =n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13{}n a 121112na a a +++< 0t 1t 2t 3t 0d 1d 2d 3d [0,33.3]v ∈[0.5,0.9]k ∈0t 10.8t =20.2t =3t距离米米（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若，O 为坐标原点，求直线l 的方程；（3）点P 、Q 为椭圆上的两个动点，O 为坐标原点，若直线OP 、OQ 的斜率之积为，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数，直线l 是曲线在点处的切线．（1）当，求单调区间；（2）求证：l 不经过；（3）当时，设点，，，B 为l 与y 轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A 使得成立？若存在，这样的点A 有几个？020d =1d 2d 23120d v k=()d v 0.9k =2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝124TF TF +=Γ(1,0)Γ35OM ON ⋅=- Γ14-22||||OP OQ +()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()y f x =(,())(0)t f t t >1k =-()f x (0,0)1k =(,())(0)A t f t t >(0,())C f t (0,0)O ACO S △ABO S △ACO △ABO △215ACO ABO S S =△△上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三 数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．53．4．5．必要不充分6．127．8．39．10．1112．①③二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．C 14．D 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）不能．因为梯形ABCD 中，，，，所以AD 不平行于BC ，则AD 与BC 必相交于一点，设为M ，面，在侧面PBC 中不能作AD 的平行线．（2）过点B 作于H ，连接PH ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，所以，所以平面PCD ，所以PH 是BE 在平面PCD 内的射影，所以是直线BP 与平面PCD 所成角，因为中，，，所以是等边三角形，所以，，又因为，所以，所以，所以中，，又因为四棱锥的体积是所以，解得，所以中，，，直线BP 与平面PCD 所成角大小是18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）π6{1,0}-6a ≠2543m ≤58//AB CD 2AB =4CD =AD ∴ PBC M =∴BH CD ⊥PD ⊥BH ⊂PD PH ⊥BH ⊥BPH ∠ABD △2AB AD ==60BAD ∠=︒ABD △60ADB ∠=︒2BD =//AB CD 120ADC ∠=︒60BDC ∠=︒Rt BDH △BH =1DH =P ABCD -111(2332V Sh h ==⋅+=2h =Rt BPH △PH ==BH =tan BH BPH PH ∠===arctan解：（1），当时，，作差，累加得，满足，．（2），．19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）由题意得，，当时，，（秒）．（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且．，椭圆的方程．（2）设，，2233n n n n S n n S a a ++=⇒=2n ≥1113n n n S a --+=111n n a n a n -+=-1(1)2n a n n a +=1a n a (1)2n n n a +∴=11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1211112121na a a n ⎛⎫∴+++=-< ⎪+⎝⎭ 0123()d v d d d d =+++21()2020d v v v k ∴=++0.9k =2()2018v d v v =++20()1112 3.118v t v v =++≥+=+=[0.5,0.9]k ∈()80d v <[0.5,0.9]k ∈21208020v v k ++<2160120k v v <-[0.5,0.9]k ∈111,201810k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2160110v v ∴<-2106000v v +-<3020v -<<020v ∴≤<360020721000⨯=∴ 2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>1F 2F T ⎛- ⎝Γ124TF TF +=21a b =⎧⎨=⎩∴2214x y +=()11,M x y ()22,N x y根据题意得，，与联立，整理可得，根据韦达定理可得①②将①代入②，解得，即直线l 的方程为或．（3）证明：设直线，联立方程组，得，，又直线，同理可得，为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）当时，，得的单调增区间是，单调减区间是．（2），，，整理得，假设l 过原点，，设，，(1)y k x =-2214x y +=22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222148440k x k x k +-+-=212221228144414k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()22212121212121231115OM ON x x y y x x k x k x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++=- 1k =±1y x =-1y x =-+:OP y kx =2244y kx x y =⎧⎨+=⎩22414x k =+()()222222241||114k OP x y k x k +∴=+=+=+1:4OQ y x k=-222161||41k OQ k +=+2222222244161205||||5414141k k k OP OQ k k k +++∴+=+==+++1k =-()(1)1x f x x x'=>-+()f x (0,)+∞(1,0)-()ln(1)(0)f x x k x k =++≠()11k f x x∴'=++:[ln(1)]1()1k l y t k t x t t ⎛⎫∴-++=+- ⎪+⎝⎭1ln(1)(0)11k kt y x k t k t t⎛⎫=+-++≠ ⎪++⎝⎭ln(1)0*1t t t -⇒++=+()ln(1)1t F t t t=+-+2211()01(1)(1)t F t t t t '=-=>+++所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l 不经过原点．（3），，由（2）知时，，，，，设，，，极大值，极小值，又，所以在上有两个零点．存在点A 使得且点A 有两个．()F t (0,)+∞()0F t ∴>ln(1)1t t t∴+>+(,ln(1))A t t t ++(0,ln(1))C t t ++1k =0,ln(1)1t B t t ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭215ACO ABO S S = △△112||||15||||22OC AC OB AC ∴⨯⋅=⨯2||15||OC OB ∴=15()213ln(1)1t g t t t t =-+++(0)t >222294(21)(4)()(1)(1)t t t t g t t t -+--'==++13613ln 022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭(4)2013ln 50g =-<40(8)1613ln 903g =-+>()g t (0,)+∞∴215ACO ABO S S =△△。

高三数学考试试卷(含答案)

高三数学考试试卷(含答案)

1高三数学考试试卷数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1. 已知集合{}10<≤=x x P ，{}32≤≤=x x Q .记Q P M Y =，则 A .{}M ⊆2,1,0 B .{}M ⊆3,1,0C .{}M ⊆3,2,0D .{}M ⊆3,2,1 2. 函数xx x f 1)(+=的定义域是 A .{}0>x x B .{}0≥x x C .{}0≠x x D .R 3. 将不等式组⎩⎨⎧≥-+≥+-01,01y x y x 表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是A .)1,3(-B .)3,1(-C .)3,1(D .)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(fA .1B .6log 2C .3D .9log 25. 双曲线1322=-y x 的渐近线方程为 A .x y 31±= B .x y 33±= C .x y 3±= D .x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是A .31B .33C .32D .367. 若锐角α满足53)2πsin(=+α，则=αsinA .52 B .53 C .43 D .548．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则= A .OB OC OA -+2121 B . OC OB OA ++2121 C .OA OC OB -+2121 D . OA OC OB ++21219. 设{}n a ，{}n b )N (*∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是 A .{}n n b a ⋅ B .{}n n b a + C .{}1++n n b a D .{}1+-n n b aABCD 1A1D 1C 1B（第6题图）210.不等式1112<+--x x 的解集是 A . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-313x x B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-331x x C . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<31,3x x x 或 D . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3,31x x x 或11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则A .)2(+x f 为奇函数B . )2(+x f 为偶函数C .)2(-x f 为奇函数D . )2(-x f 为偶函数12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A .01222=++-+y x y x B .012222=+-++y x y x C .01222=-+-+y x y x D .012222=-+-+y x y x13. 设a 为实数，则“21aa >”是“a a 12>”的A .充分不必要条件B . 必要不充分条件C .充分必要条件D . 既不充分也不必要条件14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A .41 B .43 C .1 D .3415. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体积为乙甲，V V ，则A .乙甲乙甲，V V S S >>B . 乙甲乙甲，V V S S <>C .乙甲乙甲，V V S S ><D . 乙甲乙甲，V V S S <<ABCDxyo(第12题图)a a a aa a 15题图①）a aa aaa 侧视图15题图②）316．如图，F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB的面积是△OPF 面积的25倍，则该椭圆的离心率是 A .52或53 B .51或54C .510或515 D .55或552 17．设a 为实数，若函数a x x x f +-=22)(有零点，则函数)]([x f f y =零点的个数是A .1或3B . 2或3C . 2或4D .3或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .若3,1==BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角的平面角的大小为定值的是A . C AB F -- B . D EF B --C . C BF A --D . D AF B --二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数1)3π2sin(2)(++=x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ▲ ，)(x f 的最大值是 ▲ .20. 若平面向量,满足)6,1(2=+，)9,4(2-=+，则=⋅ ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ . 22．若不等式02)(22≥----a x a x x 对于任意R ∈x 恒成立，则实数a 的最小值是▲ .三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23. (本题满分10分)在等差数列{})N (*∈n a n 中，已知21=a ，65=a .(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；（Ⅱ）记)N (2*∈=n b n an ，求数列{}n b 的前n 项和.24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物ABCDEF（第18题图）（第16题图）4线上位于第一象限内的点.(Ⅰ) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；（Ⅱ）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△PAD 的面积.25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，)3,1(B ，直线t x =)20(<<t 将△OAB 分成两部分，记左侧部分的多边形为Ω.设Ω各边长的平方和为)(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g .(Ⅰ) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式；（Ⅱ）是否存在区间),(b a ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求a b - 的最大值；若不存在，说明理由.ABxoyt x =(第25题图)xyO ABPD（第24题图）5数学试题答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19． π，3 20. 2- 21.)1,35[ 22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．解：（Ⅰ）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ； 通项1)1(1+=-+=n d n a a n . （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项n a 代入 122+==n a n nb .由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q .所以数列{}n b 的前n 项和421)1(21-=--=+n n n qq b S 24. 解：（Ⅰ）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B .设点P 的坐标为)1,(2-t t P ，且1>t ，则11121-=+-=t t t k ，11122+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值.（Ⅱ）由直线AD PA ,的位置关系知 t k k AD -=-=11.因为PB AD ⊥，所以 1)1)(1(2-=+-=⋅t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2=t .得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程 ⎩⎨⎧+-=-+=),1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)22,22(-D . 所以△PAD 的面积22121+=-⋅⋅=D P y y AB S .25.解：（Ⅰ）当10≤<t 时，多边形Ω是三角形（如图①），边长依次为 t t t 2,3,； 当21<<t 时，多边形Ω是四边形（如图②），边长依次为62),1(2),2(3,--t t t .所以，⎩⎨⎧<<+-≤<=,21,20208,10,8)(22t t t t t t f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+-+-+≤<+=.21,21)1(21)2(311,10,1)3323()(t t t tt tt g（Ⅱ）由（Ⅰ）中)(t f 的解析式可知，函数)(t f 的单调递减区间是)45,1(，所以 )45,1(),(⊆b a .另一方面，任取)45,1(,21∈t t ，且21t t <，则)()(21t g t g -])2)(2(31)1)(1(211)[(21212112t t t t t t t t -----+-=. 由 45121<<<t t 知，1625121<<t t , 81)1)(1(2021<--<t t ,1639)2)(2(321>--t t .从而<--<)1)(1(2021t t )2)(2(321t t --,即0)2)(2(31)1)(1(212121>-----t t t t 所以 0)()(21>-t g t g ，得)(t g 在区间)45,1(上也单调递减.证得 )45,1(),(=b a .所以，存在区间)45,1(，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减，且a b -的最大值为41.(第25题图②)。

广东省佛山市顺德区普通高中2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题一含答案

广东省佛山市顺德区普通高中2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题一含答案

2024学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（答案在最后）2024.11本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足3i1z -=，则z =（）A.2 B.1C.D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得z =，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.【详解】因为i1z-=+，所以i 1i z --==-，所以1z =.故选：B2.已知集合{}Z |13A x x =∈-<，{}03B xx =≤≤∣，则A B = （）A.{}0,1,2,3 B.{}1,0,1,2- C.{}03xx ≤≤∣ D.{24}xx -<<∣【答案】A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由13x -<，即313x -<-<，解得24-<<x ，所以{}{}{}Z |13Z |241,0,1,2,3A x x x x =∈-<=∈-<<=-，又{}03B xx =≤≤∣，所以{}0,1,2,3A B = .故选：A3.“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】由21a >可得0a >，由2log 1b >可得2b >，由24a b +>可得2a b +>，所以由“21a >，2log 1b >”推得出“24a b +>”，故充分性成立；由“24a b +>”推不出“21a >，2log 1b >”，如0a =，3b =，满足24a b +>，但是21a =，故必要性不成立；所以“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的充分不必要条件.故选：A4.已知单位向量a，b 满足1a b += ，则下列说法正确的是（）A.,150a b =B.3a b -= C.向量a b +在向量a上的投影向量为2a D.12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，即可求出,a b ，从而判断A ，再根据a b -=判断B ，根据投影向量的定义判断C ，计算12b a b ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ ，即可判断D.【详解】单位向量a，b 满足1a b += ，则()22221a ba ab b ++⋅==+ ，所以12a b ⋅=-r r ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅，又0,180a b ≤≤ ，所以,120a b = ，故A 错误；a b -====，故B 错误；因为()2211122a b a a b a ⎛⎫+⋅=+⋅=+-= ⎪⎝⎭ ，所以向量a b + 在向量a 上的投影向量为()212a a b a a a+⋅⋅=，故C 错误；因为221111102222b a b b a b ⎛⎫⋅+=⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ，故D 正确.故选：D5.函数()cos2cos f x x x =-是（）A.偶函数，且最小值为－2B.偶函数，且最大值为2C.周期函数，且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.非周期函数，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A ，B ；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C ，D.【详解】()cos2cos f x x x =-定义域为R ，关于原点对称，()()()()cos 2cos cos 2cos f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，又()2cos2cos 2cos cos 1f x x x x x =-=--，令cos x t =，11t -≤≤，()221f t t t =--，当14t =时，即1cos 4x =，()f x 有最小值，最小值为98-，当1t =-时，即cos 1x =-时，()f x 有最大值，最大值为2，故A 错误，故B 正确；因为()()()()2πcos22πcos 2πcos 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=，所以()f x 为周期函数，因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，01t <<，()221f t t t =--，()f t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，10t -<<，()221f t t t =--，()f t 在()1,0-单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先减后增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；故C ，D 错误，故选：B.6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现302555+=，2553025=，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）A.815B.35C.13D.0【答案】C 【解析】【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.【详解】因为()2281981+==，所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件A ，则()1526C 51C 153P A ===.故选：C7.已知函数()()21,1,ax x af x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[]1,1- D.[)1,0-【答案】D 【解析】【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为R ，求实数a 的取值范围.【详解】若0a <，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递增，所以()2,1y a∈-∞-；此时，函数()21y x =-在[],1a 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；因为函数()f x 的值域为R ，所以210a -≥，结合0a <得10a -≤<.若0a =，则()()21,01,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为[)0,+∞；若01a <<，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a ->）；在[],1a 上，函数()21y x =-单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；所以函数()f x 的值域不可能为R ；若1a ≥，则函数在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a -≤）；在[),a +∞上，函数()21y x =-单调递增，())21,y a ⎡∈-+∞⎣，此时函数()f x 的值域不可能为R .综上可知：当10a -≤<时，函数()f x 的值域为R .故选：D8.记正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，已知()12n n n a T a -=，若10011000n a <，则n 的最小值是（）A.999B.1000C.1001D.1002【答案】C 【解析】【分析】由数列的前项积满足()12n n n a T a -=，可求得{}n T 是等差数列，并求得n T 的通项，进而得到{}n a 的通项，再由10011000n a <，即可求得正整数n 的最小值.【详解】∵n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，()12n n n a T a -=，∴当1n =时，()11112T T T -=，113a T ==2n ≥时，1nn n T a T -=，又()12n n n a T a -=，∴11122211n nn nn n n n n n T T T T a T a T T T -----=-==，即12n n T T --=，∴{}n T 是首项为3，公差为2的等差数列，且32(1)21n T n n =+-=+.由()2n n n T a T -=，得21221n n n T n a T n +==--若10011000n a <，则211001211000n n +<-，∴2001,2n >所以，正整数n 的最小值为1001.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：1216,,,x x x ；乙组数据为：121639,39,,39x x x --- ，若甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则下列说法一定正确的是（）A.乙组数据的平均数为39m -B.乙组数据的极差为3aC.乙组数据的第60百分位数为39b -D.乙组数据的标准差为n【答案】ABC 【解析】【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：1216,,,x x x ，则乙组数据从小到大排列为：121639,39,,39x x x --- ，因为甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则161a x x =-，又1660%9.6⨯=，所以10b x =，所以乙组数据的平均数为39m -，故A 正确；乙组数据的极差为()()161161393933a x x x x ----==，故B 正确；乙组数据的第60百分位数为109393b x -=-，故C 正确；乙组数据的标准差为3n ，故D 错误.故选：ABC10.在三棱台111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是等腰梯形且与底面垂直，111A C =，1AA =，3AC BC ==，AB =）A.1A A BC ⊥B.11119A ABC B A B C V V --=C.1112A ABC B A CC V V --= D.三棱台111ABC A B C -的体积为136【答案】ABD 【解析】【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A 的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC 的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D 的真假.【详解】如图：对于A ：在ABC V 中，3AC BC ==,AB =，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥.由平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11ACC A ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以1BC A A ⊥，故A 正确；对于B ：因为111A C =，3AC =，且111A B C △∽ABC V ，所以11119A B C ABC S S =.又三棱锥1A ABC -和111B A B C -的高相同，所以11119A ABC B A B C V V --=，故B 正确；对于C ：因为113AC A C =，所以1113A AC A C C S S = ，所以1113B A AC B A C C V V --=，即1113A ABC B A CC V V --=，故C 错误；对于D ：因为三棱台的高为1，所以三棱台111ABC A B C -的体积为：119133226V ⎛=⋅++= ⎝，故D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若()()22f x f x +-=，()1g x -为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.()()()0123f f f ++= B.()()4g x g x +=C.()()4f x f x += D.1322g g ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】对A ：令1x =，则()()112f f +=⇒()11f =；令0x =，则()()022f f +=.所以()()()0123f f f ++=，故A 正确；对B ：因为()()22f x f x +-=，两边求导，得()()20g x g x --=即()()2g x g x =-；因数()1g x -为偶函数，所以()()11g x g x -+=--⇒()()24g x g x -=-+，所以()()4g x g x =-+，故()()4g x g x +=成立，故B 正确；对C ：因为()()4g x g x +=，所以()()124f x c f x c ++=+⇒()()4f x f x c +=+，c 未必为0，故C 错误；对D ：因为()()2g x g x =-，令12x =，则1322g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：若()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()g x f x '=，则：（1）若()f x 为奇函数，则()g x 为偶函数；若()f x 为偶函数，则()g x 为奇函数.反之也成立.（2）若()f x 为周期函数，则()g x 也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3cos 4sin 5αα+=，则tan α=_____________．【答案】43【解析】【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得sin cos αα，，进而可得解.【详解】联立223cos 4sin 5cos sin 1αααα+=⎧⎨+=⎩，得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此sin 4tan cos 3ααα==．故答案为：4313.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，若1AF B ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】由已知及1AF B ∆是等边三角形即可求得：23AF c =,13AF =，利用椭圆定义列方程可得：21233AF AF a +=+=a =，问题得解．【详解】如图，依据题意作出图形，由题可得：122F F c =，又1AF B ∆为等边三角形，由椭圆的对称性可得：126AF F π∠=，又12AB F F ⊥计算可得：2233AF c =,1433AF c =由椭圆定义可得：2133233AF AF a +=+=整理得：3c a =所以33c e a ==【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题．14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）.【答案】134【解析】【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，对A 、B 、C 取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，若A 、B 、C 都没有取到，则有34A 24=种不同的取法；若A 、B 、C 取到一个，则有112324C A A 72=种不同的取法；若A 、B 、C 取到两个，则有()21113244C A A C 36+=种不同的取法；若A 、B 、C 取到三个，则有12C 2=种不同的取法；综上可得一共有2472362134+++=种不同的取法.故答案为：134四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin B C A ⋅=，2a =.（1）求ABC V 的面积S ；（2）若2212b c +=，求A .【答案】（1）2（2）π4【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到sin 2b C a ⋅==，从而得到2sin C b=，再由面积公式计算可得；（2）由余弦定理得到cos 4bc A =，从而得到2cos bc A a =，再由正弦定理将边化角，即可求出tan A ，从而得解.【小问1详解】因为sin sin sin B C A ⋅=，2a =，由正弦定理可得sin 2b C a ⋅==，所以2sin C b=，所以112sin 2222ABC S ab C b b==⨯⨯= ；【小问2详解】因为2222cos a b c bc A =+-，又2212b c +=，2a =，所以4122cos bc A =-，所以cos 4bc A =，则2cos bc A a =，由正弦定理可得2sin sin co s s in A B C A =，又sin sin sin B C A ⋅=，所以2sin cos sin A A A =，显然sin 0A >，所以cos sin A A =，则tan 1A =，又()0,πA ∈，所以π4A =.16.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，且2AB =，PA PB ⊥.四棱锥P ABCD -的体积为43.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，即可得到1PO =，设P 到平面ABCD 的距离为h ，根据锥体的体积公式求出1h =，即可得到⊥PO 平面ABCD ，从而得证；（2）取CD 的中点，连接OE ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取AB 的中点O ，连接OP ，因为2AB =，PA PB ⊥，所以112PO AB ==，又四棱锥P ABCD -的底面是正方形，所以224ABCD S ==，设P 到平面ABCD 的距离为h ，则1144333AB P ABCD CD V hS h -==⨯⨯=，所以1h =，所以PO h =，即⊥PO 平面ABCD ，又PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD；【小问2详解】取CD 的中点，连接OE ，则//OE BC ，即OE AB ⊥，如图建立空间直角坐标系，则0,0,1，()1,2,0C ，()1,2,0D -，所以()2,0,0DC = ，()1,2,1PC =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2020n DC x n PC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取()0,1,2n = ，又平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =，设平面PAB 与平面PCD 夹角为θ，则cos 5m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为5.17.已知函数()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>.（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，且120x x +>，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0y =（2）答案见解析（3）()1,+∞【解析】【分析】（1）求出()0f ，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由（1）可得()()()12e exxf x a=--'，再分1a =、1a >、01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）由()00f =，可得()f x 必有一个零点为0，再结合（2）讨论可得.【小问1详解】因为()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>，所以()00f =，()()22e21e 2xx f x a a '=-++，则()00f '=，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()()()2e 21e 2210xx f x a ax a a =-++++>的定义域为R ，且()()()()22e21e 22e e 1xx x x f x a a a '=--+=-+，当1a =时，()()22e 10x f x '=-≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；当1a >时，则当ln x a >或0x <时()0f x '>，当0ln x a <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，则当0x >或ln x a <时()0f x '>，当ln 0a x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减；综上可得，当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减.【小问3详解】因为()00f =，()f x 必有一个零点为0，由（1）可得，当1a =时()f x 只有一个零点，不符合题意；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，显然()()ln 00f a f <=，当()ln 21x a >+⎡⎤⎣⎦时()e 21x a >+，则()e 210xa -+>，e 0x>，20ax >，所以()()()2e21e 221e 21e 2210xx x xf x a ax a a ax a ⎡⎤=-++++=-++++>⎣⎦，所以()f x 在()ln ,a +∞上存在一个零点，此时()f x 有两个零点1x ，2x （不妨令12x x <），且10x =，()2ln ,x a ∈+∞，即20x >，满足120x x +>；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，所以()f x 在()0,∞+不存在零点，且一个零点为0，则另一零点不可能大于0，此时不满足120x x +>，故舍去；综上可得实数a 的取值范围为()1,+∞.18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.（1）在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为12；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为13，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为()1,2X X =，求X 的分布列.【答案】（1）542（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可；（2）设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出135P =，从而得到()315P X ==和()225P X ==，得到分布列.【小问1详解】7人中随机选择2人，共有27C 21=种情况，其中含甲的情况有16C 6=种，6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为31121321⨯=，和同级的玩家对抗并获胜的概率为31321242⨯=，故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为135214242+=；【小问2详解】设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，考虑1P ，需考虑甲直接从a 号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，故121122P P =+①，考虑2P ，则甲从b 号门进行密室①，且从密室①走出密室，故2113P P =②，联立①②，可得135P =，所以()1315P X P ===，故()322155P X ==-=，故分布列如下：X12P352519.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a n =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11,12,11k n n k k k n a b b k a n a -+=-⎧=⎨+-<<-⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，求证：()11n k n b a b -≥-⋅；（ii ）求1n S nii b -=∑.【答案】（1）121n n a -=+（2）（i ）证明见解析；（ii ）114399n n ⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据数列的前n 项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式.（2）先利用等差数列的前n 项和公式求12121k k i i b --=+∑，因为1n S ni i b -=∑()11141n nk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑，再利用错位相减法求和.【小问1详解】当1n =时，11213=+-a a ⇒12a =.当2n ≥时，23n n S a n =+-，1124n n S a n --=+-，两式相减得：1221n n n a a a -=-+⇒121n n a a -=-⇒()1121n n a a --=-.所以{}1n a -是以111a -=为首项，以2为公比的等比数列，所以112n n a --=⇒121n n a -=+.当1n =时，上式也成立.所以数列{}n a 的通项公式为：121n n a -=+【小问2详解】由题意：111,22,22k n k kn k n b b k n ---⎧==⎨+<<⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，1n b k =+，112k k a --=，()111221222k k k n b k k k k ---=+--⨯=⨯-.因为()11n k n b a b ---⋅()112212k k k k k --=⨯--+⋅()112k k k -=-⋅-，因为2k ≥，所以()()1122120k k k k k k --⋅-≥--=-≥，所以：()11n k n b a b -≥-⋅.（ii ）因为()111222112nni n n i S n n n -=-=+=+=+--∑，所以21n n S n -=-.()()()()11121121212221222k k k k k i i b k k k -----=+--=-++⨯∑()141k k -=-，所以1n S ni i b -=∑()11141nnk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑设01211424344n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅ ，则()12141424144n nn T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ 两式相减得：01134444n n n T n --=+++-⋅ 11433n n ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，所以114399n n n T ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.即1n S ni i b -=∑114399n n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：（1）当122k k n -<<时，数列{}n b 是首项为2k k +，公差为2k 的等差数列，项数为：1122121k k k ----=-.（2）当数列是“等差⨯等比”形式时，其前n 项和用“错位相减法”求和.。

福建省部分达标高中2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案

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高三半期考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{13}A x x =-<≤∣，{}1,2,3,4B =，则A B = （）A ．{}2,3B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}12．函数41tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4B ．22πC ．8D ．24π3．在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知复数()32z =-+，则z 的虚部为（）A ．-B ．C ．10-D ．105．在梯形ABCD 中，5BC AD = ，AC 与BD 交于点E ，则ED =（）A ．1166AD AB-B ．1177AD AB-C ．1166AB AD-D ．1177AB AD-6．将函数()cos y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象．若()y f x =的图象关于点7,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则ϕ的最小值为（）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π7．已知22111x y+=，则221169x y --的最大值为（）A ．35-B ．49-C ．42-D ．48-8．若2sin cos 2tan3sin cos 1tan 3αααααα-=+-，则α的值可以为（）A ．12π-B ．20π-C ．10πD ．5π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若()f x 与()g x 分别为定义在R 上的偶函数、奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在ABC 中，3AB AC ==，2BC =，点D ，G 分别边AC ，BC 上，点E ，F 均在边AB 上，设DG x =，矩形DEFG 的面积为S ，且S 关于x 的函数为()S x ，则（）A ．ABC 的面积为B ．()13S =C ．()S x 先增后减D ．()S x 11．已知向量a ，b ，c 满足6a = ，1b = ，,3a b π= ，()()3c a c b -⋅-= ，则（）A ．a b -=B ．cC ．a c - 的最小值为2D ．a c - 的最大值为62三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．log =________．13．已知14ω>，函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,ωπ上单调递增，则ω的最大值为________．14．已知函数()e x x f x m =-，()2exg x m =-，若()f x 与()g x 的零点构成的集合的元素个数为3，则m 的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos sin sin c A B a B C =．（1）求角B ；（2）若3a =，ABC 的面积为92，求b ．16．（15分）已知函数()3f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程；（2）若()ln f x m >恒成立，求m 的取值范围．17．（15分）已知函数()14sin sin 3f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭．（1）将()f x 化成()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的形式；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（3）将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()h x 的图象，求不等式()0h x ≥的解集．18．（17分）已知函数()f x ，()g x 满足()2e exxf x ax -=-+，()()()2212e 1e 2e 2e x x f x g x a -⎛⎫+=-+-+ ⎪⎝⎭．（1）若()f x 为R 上的增函数，求a 的取值范围．（2）证明：()f x 与()g x 的图象关于一条直线对称．（3）若a ≥-，且关于x 的方程()()()e 22xf x f mg x +-=-在[]1,1-内有解，求m 的取值范围．19．（17分）若存在有限个0x ，使得()()00f x f x -=，且()f x 不是偶函数，则称()f x 为“缺陷偶函数”，0x 称为()f x 的偶点．（1）证明：()5h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．（2）对任意,x y ∈R ，函数()f x ，()g x 都满足()()()()22f x f y g x g y x y++-=+①若()g x y x=是“缺陷偶函数”，证明：函数()()F x xg x =有2个极值点．②若()32g =1x >时，()()21ln 12g x x >-．参考数据：1ln0.4812+≈ 2.236≈．高三半期考数学试卷参考答案1．C因为{13}A x x =-<≤∣，{}1,2,3,4B =，所以{}1,2,3A B = ．2．D 函数41tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期244T πππ==．3．B若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马．故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件．4．A因为()()()321210z =-+=--+=+，所以z的虚部为-．5．A 因为5BC AD = ，所以AD BC ，且15DE AD BE BC ==，所以()11116666ED BD AD AB AD AB ==-=- ．6．A 依题意可得()1cos 2f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭．因为()y f x =的图象关于点7,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()17232k k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，即()53k k πϕπ=+∈Z ，所以ϕ的最小值为5233πππ-=．7．D因为22111x y+=，所以()2222222222119161691692525249y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2222916y x x y=，即274x =，273y =时，等号成立．故221169x y --的最大值为14948-=-．8．B因为sin cos tan 1tan sin cos tan 14αααπαααα--⎛⎫==-⎪++⎝⎭，22tan3tan61tan 3ααα=-，且2sin cos 2tan3sin cos 1tan 3αααααα-=+-，所以()64k k πααπ-=+∈Z ，所以()205k k ππα=--∈Z ，所以α的值可以为20π-．9．AC因为()f x 与()g x 分别为定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()()()h x f x g x h x -=--=-，则()h x 为奇函数，其图象关于原点对称，故选AC ．10．ACD取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥，且AN ==，所以ABC的面积为122⨯⨯=，A 正确．过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，设CH 与DG 交于点M ，由等面积法可得1 2AB CH⋅=3CH=．由CM DGCH AB=，得9CH DGCMAB⋅==，则3MH CH CM=-=9-，所以()()2233992S x DG DE DG MH x x x⎛⎫=⋅=⋅=-=--+<⎪⎝⎭3)x<，则()19S=，则() S x在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()S x，B错误，C，D均正确．11．BC a b-==A错误．建立平面直角坐标系xOy，不妨假设()6,0a OA==，1,22b OB⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，设(),c OC x y==，则()6,c a x y-=-，1,22c b x y⎛-=--⎝⎭，代入()()3c a c b-⋅-=，整理得221343444x y⎛⎛⎫-+-=⎪⎝⎭⎝⎭，所以点C在以13,44M⎛⎫⎪⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆上．因为该圆经过坐标原点，所以cB正确．因为22133143604444⎛⎛⎫-+-=<⎪⎝⎭⎝⎭，所以点A在圆M内，因为a c AC-=，2AM=，所以a c-的最小值为43312，a c-的最大值为43312+，C正确，D错误．12．1525221515log log8log8222===．13．34因为[]0,x ωπ∈，所以,444x πππωπ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，又14ω>，所以04πωπ->，所以42ππωπ-≤，解得34ω≤，则ω的最大值为34．14．222210,,e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()0f x =，得e x x m =，令()0g x =，得2e xm =．设()e x x h x =，()1exxh x -='，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max11e h x h ==．当0x >时，()0h x >，所以结合()h x ，()2exk x =的图象（图略）及()()22122e e h k ==<，得m 的取值范围是222210,,e e e ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．解：（1）因为sin cos sin sin c A B a B C =，所以sin sin cos sin sin sin C A B A B C =，2分因为sin 0A >，sin 0C >，所以cos sin B B =，4分所以tan 1B =．6分又()0,B π∈，所以4B π=．7分（2）因为193sin 242c π⨯=，所以c =，9分所以2222cos 918292b ac ac B =+-=+-⨯=，12分解得3b =．13分16．解：（1）()231f x x=--'2分所以()4481146f =--='．3分因为()4644852f =--=，所以曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程为()52464y x -=-，即46132y x =-．6分（2）()231f x x=--'()0,+∞上单调递增．8分因为()10f '=，9分所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，11分所以()()min ln 14m f x f <==-，13分解得410e m <<，故m 的取值范围为410,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．15分17．解：（1）()2114sin 4sin 12sin cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-⨯-⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1分1cos212cos22sin 226xx x x x π-⎛⎫=-⨯+=+=+ ⎪⎝⎭．4分（2）由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．5分当266x ππ+=时，()f x 取得最小值，最小值为2sin 16π=；6分当262x ππ+=时，()f x 取得最大值，最大值为2sin 22π=．7分故()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2．8分（3）由题意可得()2sin 22sin 22cos26662h x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11分则不等式()0h x ≥即为2cos20x ≥，得()22222k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，13分解得()44k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即不等式()0h x ≥的解集为(),44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．15分18．（1）解：因为()f x 为R 上的增函数，所以()2e e 0x x f x a -=++≥'恒成立，2分因为()f x a a ≥='，3分当且仅当2e e xx-=，即1ln22x =-时，等号成立，4分所以0a ≥，即a ≥-，a 的取值范围为)⎡-+∞⎣．5分（2）证明：因为()2e exxf x ax -=-+，()()()2212e 1e 2e 2e x x f x g x a -⎛⎫+=-+-+ ⎪⎝⎭，所以()222e e 2x x g x a ax --=-+-，7分所以()()()()222ee 22x xg x a x f x ---=-+-=-，9分则()f x 与()g x 的图象关于直线1x =对称．10分（3）解：因为()()()e 22xf x f mg x +-=-，所以由（2）知()()()e 2xf x f m f x +-=，即()()e xf m f x -=．12分由（1）知，当a ≥-时，()f x 为R 上的增函数，所以e xm x -=，即e x m x =-．13分设()()e 11x h x x x =--≤≤，则()()e 111x h x x '=--≤≤，当10x -≤<时，()0h x '<，当01x <≤时，()0h x '>，14分所以()()min 01h x h ==，又()111eh -=+，()()11e 1h h =-+>-，所以()()max 1e 1h x h ==-．16分故m 的取值范围是[]1,e 1-．17分19．证明：（1）由()()h x h x -=，得()55x x x x -+-=+，则()()542210x xx x +=+=，1分解得0x =，所以()h x 只有1个偶点，且偶点为0，所以()5h x x x =+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．3分（2）由题意得()()()()22f x g x x f y g y y +-=-++对,x y ∈R 恒成立，4分所以存在常数a ，使得()()()()22f x g x x f y g y y a +-=-++=．5分令y x =，得()()()()2,2,f x g x x a f x g x x a ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩解得()223x x a g x -+=．6分①()21333g x x a y xx ==+-，由()()g x g x x x -=-，得2033x ax+=，即()220x a x =-≠，则20a ->，即0a <．7分()()3223x x ax F x xg x -+==，()23223x x aF x -+='，因为4240a ∆=->，所以()0F x '=必有两根1x ，2x （设12x x <），8分当1x x <或2x x >时，()0F x '>，当12x x x <<时，()0F x '<，所以函数()()F x xg x =有2个极值点1x ，2x ．9分②若()62323ag +==，则0a =，()23x x g x -=，10分当1x >时，要证()()21ln 12g x x >-，只需证()223ln 12x x x ->-，因为()()223420x x x x ---=-≥，所以234x x x -≥-，所以只需证()2334ln 12x x ->-．12分设函数()()()2334ln 112p x x x x =--->，则()()()()22231631121x x xp x x x x '--=-=>--，当112x <<时，()0p x '<，当12x +>时，()0p x '>，14分所以()min12p x p ⎛+= ⎝⎭，211122⎛++-= ⎝⎭，所以()min 3353153 2.236534ln 0.4810.132522222p x ++⨯-=--≈-⨯=，16分所以()min 0p x >，从而()()2334ln 102p x x x =--->，故当1x >时，()()21ln 12g x x >-．17分。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知角，满足，，则（ ）A.B. C.D.5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭{}220Bx Nx x =∈+-≤∣AB = (]1,1-{}0,1,2{}0,1{}1,0,1-i ()()1122z i i ++=-+z =1i-+1i --1i +1i-a b ()3,4a = ()2,1b =- b a68,2525⎛⎫⎪⎝⎭(6,8)68,55⎛⎫⎪⎝⎭(4,2)αβtan 2α=()sin 2cos sin βαβα=-tan β=2323-4343-()26ln 1f x x x ax =++-(1,2)a 8,⎡--⎣(8,--7,⎡--⎣(8,7)--(2π+(1π+(3π+()f x ()g x R ()1f x +()()114f x g x -++=，则下列结论正确的是（ ）A.为奇函数B.为奇函数C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）A.双曲线的离心率为2B.直线的斜率的取值范围为C.的取值范围为D.11.在正三棱锥中，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）A.三棱锥的体积为3B.二面角C.球的表面积为D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.()()24f x g x +-=()f x ()g x ()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑x y 2x y +=2291x y x y+++22:13y C x -=1F 2F 2F l C A B 12AF F △1I 12BF F △2I AB (),-∞+∞12I I ⎡⎢⎣2112tan3tan22AF F AF F ∠∠=P ABC -AB =PA =P ABC -O P ABC Q PQ M P ABC -M AB P --O 43π1O O 1O (),4A a 24y x =F AF B FB13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列为等比数列，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求.16.（15分）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，y ax=()x ef xx=a1323{}na{}n b()()*21nnnb n N=+-∈()1,0n n na b b Rλλλ+=-∈>{}na{}nc2n nc n a={}n c n n T9TABC△A B C a b csin sin sin sinA B B Cc a b++=-A3,0BC BD AB AD=⋅=2AD=ABC△AD B AD C'--AB'B CD'X X()2222:10x yC a ba b+=>>()2,1P O l C A B OP Q2AB QB=直线与轴，轴分别交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积取最大值时，求的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.l x y M N C APB △MON △R ()f x [],a b (,)a b ()()f a f b =(),c a b ∈()0f c '=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)a b c d R ∈()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈(0,1)m湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12. 13. 14.解答题：15.（13分）解：（1）因为为等比数列，所以，即，化简得.因为，得.因此，易知为等比数列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），，化简得.由余弦定理得，，故；（2）设，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，从而.二面角为直二面角，，平面平面，平面，10324e 2881{}n a 2213a a a =()()()2755177λλλ-=--()()210λλ-+=0λ>2λ=()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦{}n a ()231nn c n=--22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ sin sin sin sin A B B C c a b ++=-a b b c c a b++∴=-222b c a bc +-=-2221cos 22b c a A bc +-==-23A π=BD x =2CD x =ACD △sin sin CD AD DAC C ∠=22sin30sin x C=1sin 2C x=ABD △2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭sin B x ==BD ∴=CD =AB = B AD C '--AB AD '⊥AB D ' ACD AD =AB '⊂AB D '平面建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，，，.设平面的法向量，则有，即令，解得.故直线与平面.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）（2）可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，，AB ∴'⊥ACD()0,0,0A ()D ()C (B '(AB ∴='(B C =' (B D '=B CD '(),,n x y z = 00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1y =()4n =cos ,n AB n AB n AB ⋅∴=''='AB 'B CD '111224⨯=111224⨯=111442+=X 111224⨯=111224⨯=()1111044464P X ==⨯⨯=()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故随机变量的分布列为：01234.18.（17分）解：（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.由，解得.因为椭圆的离心率为，得.所以椭圆的标准方程为：；（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，两式相减，得，整理得.（*）设坐标为，由得为线段的中点，，.由在线段所在直线上，且坐标为，则有，即.由（*）得，故.设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得，整理得.()1111444464P X ==⨯⨯=X X P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=C D D (,0)a -PD ==2a =C c e a ==c =1b =C 2214x y +=A (),A A x y B (),B B x y A B C 22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()222204A B A B x x y y -+-=222214A B A B y y x x -=--Q (),Q Q x y 2AB QB =Q AB 2A B Q x x x +∴=2A BQ y y y +=Q OP P (2,1)12OQ OP k k ==12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-12A B AB A B y y k x x -==--l 1,02y x m m =-+≠l C 221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222210x mx m -+-=由，得且.因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.点到直线的距离为且.记，.由，及得即当时，取最大值.此时直线方程为，与坐标轴交点为，19.（17分）证明：（1）设，，则，在上连续，在上可导.又，由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，.故方程在内至少有一个实根.（2），在区间内有零点，不妨设该零点为，则，.0>△m <<0m ≠l C A B 2A B x x m +=()221A B x x m =-B AB x ∴=-==P l d 122APB S AB d ∴==-=△m <<0m ≠()()()2222f m mm =--()()()2421f m m m m =---'()0f m '=m <<0m ≠m =m =APB S △l 12y x =-()1M -N ⎛ ⎝12MON S OM ON ∴== △()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++[]0,1x ∈()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++()F x ∴[]0,1(0,1)()()010F F ==()00,1x ∈()00F x '=()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)()()2222222xf x emx e m x =----- m R ∈(0,1)1x ()10f x =()10,1x ∈由于，易知在和上连续，且在和上可导.又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.方程在上至少有两个不等实根和.设，，则.，.当，即时，，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当，即时，，故在上单调递减.方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当时，由得，时，有单调递减；时，有单调递增.在上的最小值.注意到，则有.方程在上至少有两个不等实根，，解得.结合，且，，()()224222xf x e mx e m '=----()f x '[]10,x []1,1x ()10,x ()1,1x ()()()1010f f x f ===()210,x x ∈()20f x '=()31,1x x ∈()30f x '=∴()()2242220x f x e mx e m '=----=(0,1)2x 3x ()()()224222xg x f x emx e m ==--'--()0,1x ∈()282x g x e m =-'()0,1x ∈ ()2288,8x e e ∴∈1 28m ≤4m ≤()()0820g x g m >=-'≥'()g x (0,1)()0g x =(0,1)2 228m e ≥24m e ≥()()21820g x g e m <=-'≤'()g x (0,1)()0g x =(0,1)3 244m e <<()0g x '=()1ln 0,124mx =∈10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '>()g x ∴(0,1)()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =(0,1)()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩222622e m e -<<+244m e <<22262 2.564e ->⨯->222222224e e e e +<+=故的取值范围为.m ()2226,22e e -+。

广东省莞佛深部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学含答案

广东省莞佛深部分学校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学含答案

高三数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.样本数据1，1，5，7，8，8，9，10，10，11的平均数和第40百分位数分别为（）A.7，7B.7，7.5C.7.5，7D.7.5，7.52.已知集合{}205A x x =<<，{}Z 12B x x =∈-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2- B.{}0,1,2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2,3-3.若12i z z-=-，则z =（）A.1i2+ B.1i 2+-C.1i 2- D.1i2-+4.已知向量()1,1a = ，(),b x y =，若()4a b a ⊥- ，()//b b a + ，则2x y +为（）A.12B.8C.9D.4-5.已知α、3π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos αβαβ-=+，则sin 2α=（）A.12-B.1C.0D.1-6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的圆柱的侧面积为（）A.B.C.D.7.已知函数为3211,1()3e ln(2),1x x ax x x f x x x +⎧++<-⎪=⎨⎪++≥-⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.7[1,]3B.7(,]3-∞ C.[]71,3- D.(,1]-∞8.函数π()|cos |)6f x x x =-在13π[0,]6上的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知变量X 服从正态分布()20,X N ~σ，当σ变大时，则（）A.11(22P X -<<变小 B.11()22P X -<<变大C.正态分布曲线的最高点下移 D.正态分布曲线的最高点上移10.已知命题p ：对于正数a ，b ，[)00,x ∞∀∈+使()00e 1x bx a ++⋅>．若p 为假命题，则（）A.e 1b a ⋅> B.1eab ≤C.1a b +≤D.224e ab ≤11.函数()f x 的定义域为R ，若(1)()()f x y f x f y m ++=+-，且(0)f n =，,Z m n ∈，n m >则（）A.(1)f m -=- B.()f x 无最小值C.401()860820i f i n m==-∑ D.()f x 的图象关于点(2,2)m n --中心对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线:l y kx =是曲线()1ex f x +=和()ln g x x a =+的公切线，则实数a =______．13.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且2cos a B c a =-．当3c ab+取最小值时，则A =______．14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．奖品一个健身背包一盒蛋白粉概率3414则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______．三、解答题：本题共5小题，共77分．15.如图，在直角三角形POA 中，PO AO ⊥，24PO AO ==，将POA 绕边PO 旋转到POB 的位置，使2π3AOB ∠=，得到圆锥的一部分，点C 为 AB上的点，且 14AC AB =．（1）在A 上是否存在一点D ，使得直线OA 与平面PCD 平行？若存在，指明位置并证明，若不存在，请说明理由；（2）设直线OC 与平面PAB 所成的角为θ，求sin θ的值．16.已知数列{}n a 满足()121221333334n nn n a a a +-⋅++++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，求证：4121nn nT n n <<++．17.已知O 为坐标原点，点2在椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>上，过左焦点1F 和上顶点A 的直线1l 与椭圆相交于点A ，B ．记A ，B 的中点为M ，有12OM k =-．过上顶点A 的直线2l 与椭圆相交于点C （C 点异于B 点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）求ABC V 面积的最大值，18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为13，乙答对题目的概率为p ，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概率为16．记比赛结束．．．．时甲乙两人的答题总次数为()2n n ≥．（1）求p ；（2）求在4n =的情况下，甲晋级的概率；（3）由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率．19.函数()ln f x x =，2()2g x x x m =--+．（1）若e m =，求函数()()()F x f x g x =-在1[,2]2的最小值；（2）若2()()(2)e x f x g x x x +≤--在(0,](1)x t t ∈>上恒成立时，实数m 的取值范围中的最小值为ln 2，求实数t 的值．高三数学注意事项：1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码．2．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．3．本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．4．考试结束后，请将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】3【13题答案】【答案】π4【14题答案】【答案】37384三、解答题：本题共5小题，共77分．【15题答案】【答案】（1）存在，3AD AB =；（2）17.【16题答案】【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）2212x y +=；（2）2323+.【18题答案】【答案】（1）12（2）1 5（3）17 216【19题答案】【答案】（1）e4ln2-+；（2）2.。

2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷附答案解析

2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷附答案解析

2025届西安市高三数学上学期第一次质量检测考试卷本卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ，则A B ⋂=()A.{}10x x - B.{}10x x -< C.{}10x x -< D.{}10x x -<<2.“01a <<”是“函数()log (2)a f x a x =-在(,1)-∞上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()()2sin x xf x x e e x-=-+-在区间[]2.8,2.8-的大致图像为()A. B. C. D.4.已知5log 2a =，2log b a =，1()2bc =，则()A.c b a >> B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>5.已知定义在R 上的函数()f x 满足3(2)()f x f x +=，且(2)1f =-，则(100)f =()A.3B.1C.1-D.3-6．已知函数1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x⎧-⎪==-⎨<⎪⎩ ，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是()A.{}e B.[,)e +∞ C.1(,0){}8e -⋃ D.1(,){}8e -∞-⋃7.已知函数3()1f x x x =-+，则()A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.直线2y x =是曲线()y f x =的切线D.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心8.已知函数24,0(),0x x f x x log x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于()A.28-B.28C.14- D.14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211(x x'=- B.()x xe e '--= C.21(tan )x cos x'=D.1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则()A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11.已知0c b a <<<，则()A.ac b bc a+<+ B.333b c a +< C.a c ab c b+<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为__________.13.若曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14.5(1)(2)y x y x-+的展开式中，23x y 的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性.16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线bx a y e +=的附近，请根据下表中的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数a 和b 的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.98 3.87 3.46 3.29附：经验回归方程：ˆˆˆybx a =+中，1221ˆniii nii x ynx y b xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17.已知函数()log (1)a f x x =+，()2log (2)(a g x x t t =+∈R )，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围．18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布2(,)N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈，(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；(ⅱ)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19.已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.6513.ln 214.40三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）解：(1)1a =时，3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--，所以1x <或2x >时，()0f x '>；12x <<时，()0f x '<则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞上递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =...............................5分陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测数学参考答案题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD3212(2)()232a f x x x ax +=-+，则()()(2)f x x a x '=--，当2a =时，()0f x ' ，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，()0f x '>；2x a <<时，()0f x '<,所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，()0f x '>；2a x <<时，()0f x '<所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减................................8分（2）令-+<=≈，所以，解得，由于，所以，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下................................5分17.（本小题满分15分）解：(1)1=- t 时，()()2log 1log 21a a x x +- ，又01a <<，21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩，2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩，∴解集为：15{|}24x x <；...............................6分(2)解法一：()222F x tx x t =+-+，由()0F x =得：22(2x t xx +=-≠-且12)x -< ，22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++，设2U x =+(14U < 且2U ≠，则212424U t U U U U=-=--+-+，令2()U U Uϕ=+， 当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴且() 4.U ϕ≠12402U U∴---< 或2044U U<--- ，t 的取值范围为：2t - 或224t +解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得：24t =，又1212x x t ==-(]1,2,∈-24t +∴=；②()F x 在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有()()120F F -<，解得：2t <-或1t >，又经检验：2t =-或1t =时，()F x 在(1,2]-上都有零点；2t ∴- 或 1.t ③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩或0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，解得：214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t - 或224t +...............................15分18.（本小题满分17分）(1)(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即69x μ≈=11s σ≈≈，所以X ∽2(69,11)N ，因为质量指标值X 近似服从正态分布2(69,11)N ，所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+== 10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16................................5分(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：3010103202(0)19C C P C η===，21101032015(1)38C C P C η===，12101032015(2)38C C P C η===，0310103202(3)19C C P C η===，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分()ii 设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由(1)知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以Y ∽(100,0.16)B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-,令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4x ∈，()0f x '>，()f x 递增79;(,24)4x ∈，()0f x '<，()f x 递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大................................17分19.（本小题满分17分）(1)解：当0=a 时，()ln =-f x x x ，且知11()1-'=-=xf x x x，在(0,1)上，()0'>f x >，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0'<f x ，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞..............................4分(2)证明：因为1a =，所以1()ln 2x f x e x x -=+-，且知11()2x f x e x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x ' 在(0,)+∞上恒成立，设11()2x g x ex -=+-，0x >，则121()x g x e x-'=-，注意1x y e -=，21y x=-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g = ，即()0f x ' ，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;...............................10分(3)由11()1x f x ae a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()1x h x ae a x -=+--，有121()x h x ae x-'=-，①当0a 时，11()0x xh x aex -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1x y ae -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞..........................17分。

湖北省武汉市武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月考试 数学(含答案)

湖北省武汉市武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月考试 数学(含答案)

武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷命题教师： 审题教师：考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．3，且，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A ．3B ．C ．D ．6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A ．114B. 120C ．126D ．1327．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）A ．数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B ．已知随机变量，若，，则C ．若一组样本数据（，2，…，n ）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为D ．若事件M ，N 的概率满足，且，则M 与N 相互独立10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．有三条边相等的四边形D ．有一组对角相等的四边形11. 设函数，则（ ）A ．当时，直线是曲线的切线B ．若有三个不同的零点，则C ．存在a ，b ，使得为曲线的对称轴D ．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知是等差数列的前n 项和，若，，则 ．13. 已知函数，写出函数的单调递减区间．14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；（2）恰好得n 分的概率为．（用与n 有关的式子作答）{}2|230A x x x =+-≥{}|22B x x =-≤<A B = []2,1--[)1,2-[]1,1-[)1,2ii 212+-3i5-3i 5i -ib a -=c a c ⊥a b 6π3π23π56π(0,),(0,)22ππαβ∈∈()sin sin sin αβαβ+<+()sin cos cos αβαβ+<+()cos sin sin αβαβ+<+()cos cos cos αβαβ+<+33333a R ∈222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩x ()0f x …R a[]0,1[]0,e []0,2[]1,e ()()f x f x x R =-∈，()15.5=f ()()()1g x x f x =-⋅()1+x g ()0.5-g 32.521.51-(),X B n p :()40E X =()30D X =160n =(),i i x y 1i =132y x =-+12-()()0,1P M ∈()()0,1P N ∈()()1P N M P N +=32()231f x x ax =-+0a =1y =()y f x =()f x 123,,x x x 12312x x x ⋅⋅=-x b =()y f x =02ax ≠()f x 0x x =()y f x =n S {}n a 320S =990S =6S =()()π2,0,cos 2sin ∈+=x xxx f ()x f四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分13分）已知的面积为，且满足,设和的夹角为，（1）求的取值范围；（2）求函数16.（本题满分15分）如图，已知四棱锥，，侧面为正三角形，底面是边长为4的菱形，侧面与底面所成的二面角为120°．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的正弦值．17.（本题满分15分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．18.（本题满分17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点A （1）求椭圆E 的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19.（本题满分17分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质．（1）设函数，其中为实数① 求证：函数具有性质；② 讨论函数的单调性；（2）已知函数具有性质，给定，，且，若，求的取值范围．ABC ∆3360≤⋅≤AC AB AB ACθθ()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭ABCD P -AD PB ⊥PAD ABCD PAD ABCD ABCD P -A PB C --()2()e ln0x af x a a x-=+>a e =()y f x =()()1,1f ()2f x ≥a 2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F 2352,3⎛⎫ ⎪⎝⎭21AF F ∠l l )(x f ),1(+∞)('x f a )(x h )(x h ),1(+∞∈x )(x h )1)(()('2+-=ax x x h x f )(x f )(a P )(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+b )(x f )(b P )(x f )(x g )2(P 为正实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α21)1(mx x m +-=β1,1>>βα12()()()()g g g x g x αβ-<-m2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.13. 14. （1）；（2）三、解答题15、解：（1）由题，可得，又，所以，得到或因为，所以6分（2），化简得进一步计算得，因为，故故可得13分16、解：（1）过点作垂直于平面，垂足为，连接交于，连接，则有，又，所以，因为，所以，又，所以为得中点依题侧面与底面所成的二面角为120°，即有，所以，因为侧面为正三角形，502433ππ⎛⎫⎪⎝⎭，132713425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭3sin 21==∆θbc S ABC θsin 6=bc 36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB 36sin cos 60≤≤θθ33tan≥θ2πθ=()πθ,0∈,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭()21sin 24f θθθ=()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，P PO ABCD O BO AD E PE AD PB AD PO ⊥⊥,P PB PO =⋂POB AD 平面⊥POB PE 平面⊂PE AD ⊥PD PA =E AD PAD ABCD 32π=∠PEB 3π=∠PEO PAD所以，则，所以7分（2）如图，在平面内过点作得垂线，依题可得两两垂直，以为建立空间直角坐标系可得，，，取得中点为，则因为，所以，由（1)，，知所以，可得所成角即为二面角的平面角，求得，，则则15分17、解：（1）当时，，，所求切线方程为：，即5分（2）转化为，可得构造函数，易得在单调递增所以有，由在单调递增,故可得，即有在恒成立令，，得到，可得时，；时，，所以在时取最大值所以，得到15分323sin4=⋅=πPE 323323sin=⋅=⋅=πPE PO 38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P ABCD O OB Ox Ox OB OP ,,Ox OB OP ,,轴轴，轴，x y z ()0,3,2A ()0,0,0P ()0,33,0B PB N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N AB AP =PB AN ⊥POB AD 平面⊥AD BC //POB BC 平面⊥PB BC ⊥NA BC ,A PB C --⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,23,2AN ()0,0,2=BC 72724-=-BC NA sin A PB C --=a e =1()e lnx e f x x -=+0(1)e ln 2f e =+=11()e ,(1)0x f x f x-''=-=)1(02-=-x y 2y =()2≥x f ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，()e x g x x =+()g x R ()(ln 2)ln g a x g x +-≥()g x R ln 2ln a x x +-≥ln ln 2a x x ≥-+()∞+，0()2ln +-=x x x h ()011=-='xx h 1=x ()10，∈x ()0>'x h ()∞+∈，1x ()0<'x h ()x h 1=x ()ln 11a h ≥=ea ≥18、解：（1）∵椭圆E 经过点A ，∴，解得E ：；4分（2）由（1）可知，，思路一：由题意，，设角平分线上任意一点为，则得或∵斜率为正，∴的角平分线所在直线为思路二：椭圆在点A 处的切线方程为，根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为，∴，的角平分线所在直线即10分（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点，设，∴∴线段中点为在的角平分线上，即得∴与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点，52,3⎛⎫⎪⎝⎭23e =222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22195x y +=1(2,0)F -2(2,0)F 1:512100AF l x y -+=2:2AF l x =(),P x y 51210213x y x -+=-9680x y --=2390x y +-=21AF F ∠9680x y --=52,3⎛⎫⎪⎝⎭2319x y +=23k =-切21AF F ∠l 32l k =21AF F ∠34:23l y x =-9680x y --=l ()()1122,,,B x y C x y 2:3BC l y x m =-+2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩BC 25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭21AF F ∠106803m m --=3m =52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭l ()()1122,,,B x y C x y BC ()00,M x y由点差法，，∴，∴，与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）① ，∵，恒成立，∴函数具有性质；3分② 设，(i) 当即时，，，故此时在区间上递增；(ii) 当时当即时，，，故此时在区间上递增；当即时，，∴时，，，此时在上递减；时，，，此时在上递增.综上所述，当时，在上递增；当时，在上递减，在上递增.9分()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++1x >()()2101h x x x =>+()f x ()P b ()0f x '>()f x ()1,+∞()0f x '>()f x ()1,+∞x ⎛∈ ⎝()0f x '<()fx ⎛ ⎝()fx ∞⎫+⎪⎪⎭2b ≤()f x ()1,+∞2b >()fx ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+0065OM y k x ==:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩()()211u x x bx x =-+>0b -≥0b ≤()0u x >0b >240b ∆=-≤02b <≤()0u x >240b ∆=->2b>1211x x ==<=>，()0u x<x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0u x >()0f x '<（2）由题意， ，又对任意的都有，所以对任意的都有，在上递增.10分∵，，∴①先考虑的情况即，得，此时，∴∴满足题意13分②当时，，，∴∴，∴，不满足题意，舍去16分综上所述，17分()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'()h x ()1,x ∈+∞()0h x >()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞12(1)mx m x α=+-12(1)m x mx β=-+()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--12x x αβ-<-()()121221m x x x x --<-01m <<1122(1)x mx m x x α<=+-<1122(1)x m x mx x β<=-+<1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<12()()()()g g g x g x αβ-<-1m ≥11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+12x x αβ≤<≤12()()()()g g x g x g αβ≤<≤12()()()()g g g x g x αβ-≥-01m <<。

江西省九江市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学含答案

江西省九江市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学含答案

数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.213.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5 B.5C.5.5D.64.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2-D.3-5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.3166.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,47.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.3748.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.14.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中23sin cos sin a B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 36，求ABC V 的外接圆面积.16.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，45,,ASD ADS M N ∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M 四点共面.（1）证明：SA MN ⊥；（2）若SM BM =，且二面角S AD C --为直二面角，求平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.96i2i i -+的虚部为（）A.7- B.6- C.7i- D.6i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算化简得67i --，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i--+=+=--+=--，则所求虚部为7-.故选：A ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2612a a +=，则7S =（）A.48B.42C.24D.21【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列项的性质求出17a a +的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因{}n a 为等差数列，故172612a a a a +==+，则1772)7(712422a a S +==⨯=.故选：B.3.已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（）A.4.5B.5C.5.5D.6【答案】C 【解析】【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，357965x ++++=，解得6x =，将数据从小到大排列可得：3,5,6,7,9，又50.42⨯=，则40%分位数为565.52+=.故选：C.4.定义运算：a b ad bc c d=-．已知()sin cos180sin 270cos tan60ααα=+，则tan α=（）A.2B.3C.2- D.3-【答案】D 【解析】cos cos ααα+=-，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．cos cos ααα+=-2cos αα=-，故sin tan cos 3ααα==-.故选：D ．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计()95110P X ≤≤=（）A.532B.516C.1132 D.316【答案】B 【解析】【分析】解法一，求出3(80)16P X <=，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.【详解】解法一：依题意，得15003(80)800016P X <==，故()()135951108095(95)(80)21616P X P X P X P X ≤≤=≤≤=<-<=-；解法二：数学成绩在80分至95分的有400015002500-=人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故()2500595110800016P X ≤≤==.故选：B.6.已知函数()2122,1e ,1x x ax a x f x x x -⎧-+->=⎨--≤⎩在上单调递减，则a 的取值范围为（）A.[]2,4- B.[)4,+∞ C.(],4∞- D.0,4【答案】D 【解析】【分析】由函数在R 上单调递减，列出相应的不等式组14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，即可求解.【详解】当(],1x ∞∈-时，()1ex f x x -=--，因为1e x y -=-和y x =-都是减函数，所以()f x 在−∞,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()222f x x ax ax =-+-，要使其在()1,+∞上单调递减，则14a≤，所以14222a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤-⎩，解得04a ≤≤，故D 正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,25π，侧面积为35π，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A.278B.274C.378D.374【答案】C 【解析】【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为12,r r ，则2212π4π,π25πr r ==，则122,5r r ==，设圆台的母线长为l ，则()12π35πr r l +=，解得5l =，则圆台的高4h ==，记外接球球心到上底面的距离为x ，则()2222245x x +=-+，解得378=x .故选：C.8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为1，过点F 的直线1l 与C 交于,M N 两点，过点M 作C 的切线2l 与,x y 轴分别交于,P Q 两点，则PQ ON ⋅=（）A.12B.12-C.14D.14-【答案】C 【解析】【分析】通过联立方程组的方法求得,P Q 的坐标，然后根据向量数量积运算求得PQ ON ⋅.【详解】依题意，抛物线2:2C x y =，即212y x =，则1,0,2y x F ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，设221212,,,22x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线11:2l y kx =+，联立22,1,2x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210x kx --=，则121x x =-.而直线()21211:2x l y x x x -=-，即2112x y x x =-，令0y =，则12x x =，即1,02x P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0x =，则212x y =-，故210,2x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则211,22x x PQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，故2212121244x x x x PQ ON ⋅=--=.故选：C【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 与()g x 有相同的最小值C.直线πx =为()f x 图象的一条对称轴D.将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到()g x 的图像【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B ：根据解析式可得()f x 与()g x 的最小值；对于C ：代入求()πf ，结合最值与对称性分析判断；对于D ：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.【详解】因为()()π3sin ,3cos 232x x f x g x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，对于选项A ：()f x 的最小正周期2π4π12T ==，故A 正确；对于选项B ：()f x 与()g x 的最小值均为3-，故B 正确；对于选项C ：因为()5π3π3sin362f ==≠±，可知直线πx =不为()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于选项D ：将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后，得到()ππ3sin 3cos 3222x x f x g x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()3223f x x x =-，则（）A.1是()f x 的极小值点B.()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()()1g x f x =+有3个零点D.当01x <<时，()()211f x f x ->-【答案】AB 【解析】【分析】利用导数求函数极值点判断选项A ；通过证明()()11f x f x +-=-得函数图象的对称点判断选项B ；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C ；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.【详解】对于A ，函数()3223f x x x =-，()()26661f x x x x x =='--，令()0f x '=，解得0x =或1x =，故当(),0x ∞∈-时′>0，当∈0,1时，′<0，当∈1,+∞时′>0，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故1是()f x 的极小值点，故A 正确：对于B，因为()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-，所以()f x 的图象关于点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，()()321231g x f x x x =+=-+，易知()(),g x f x 的单调性一致，而()10g =，故()()1g x f x =+有2个零点，故C 错误；对于D ，当01x <<时，21110x x -<-<-<，而()f x 在()1,0-上单调递增，故()()211f x f x -<-，故D 错误.故选：AB.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，线段1,CC BC 的中点分别为,E F ，动点G 在下底面1111D C B A 内（含边界），动点H 在直线1AD 上，且1GE AA =，则（）A.三棱锥H DEF -的体积为定值B.动点G 的轨迹长度为5π2C.不存在点G ，使得EG ⊥平面DEFD.四面体DEFG 体积的最大值为1526【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由题意可证1AD ∥平面DEF ，因此点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，据此判断A ；对于B ，根据题意求出正方体边长及1C G 的长，由此可知点G 的运动轨迹；对于C ，建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的法向量，假设点G 的坐标，求出EG 的方向向量，假设EG ⊥平面DEF ，则平面DEF 的法向量和EG 的方向向量共线，进而求出点G 的坐标，再判断点G 是否满足B 中的轨迹即可；对于D ，利用空间直角坐标系求出点G 到平面DEF 的距离，求出距离的最大值即可.【详解】对于A ，如图，连接1BC 、1AD ，依题意，EF ∥1BC ∥1AD ，而1AD ⊄平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故1AD ∥平面DEF ，所以点H 到平面DEF 的距离等于点A 到平面DEF 的距离，其为定值，所以点H 到平面DEF 的距离为定值，故三棱维H DEF -的体积为定值，故A 正确；对于B ，因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，故12AA =，则2GE =，而11EC =，故22113C G GE EC =-=故动点G 的轨迹为以1C 31111D C B A 内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为13π2π342⨯=，故B 错误；以1C 为坐标原点，11111,,C D C B C C 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,2,0,0,1,0,1,2D E F ，故()()2,0,1,0,1,1DE EF =--=，设 =s s 为平面DEF 的法向量，则0,0,n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故0,20,y z x z +=⎧⎨--=⎩令2z =，故()1,2,2n =--为平面DEF 的一个法向量，设()()0000,,00,0G x y x y ≥≥，故()00,,1EG x y =-，若EG ⊥平面DEF ，则//n EG uuu rr，则001122x y -==--，解得001,12x y ==，但22003x y +≠，所以不存在点点G ，使得EG ⊥平面DEF ，故C 正确；对于D ，因为DEF 为等腰三角形，故2211323222222DEFEF S EF DE ⎛⎫=⋅-== ⎪⎝⎭，而点G 到平面DEF 的距离0000222233EG n x y x y d n ⋅++++===，令03cos x θ=，则0π3sin ,0,2y θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()222333d θϕθθ+++++==≤，其中1tan 2ϕ=，则四面体DEFG 体积的最大值为13223236++⨯⨯=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()()3,2,2,a b x =-=，若()2b a a -⊥ ，则x =______.【答案】10-【解析】【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.【详解】依题意，()24,4b a x -=-+，故()212280b a a x -⋅=---= ，解得10x =-.故答案为：10-13.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集1A ，()*2,,k A A k ∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称子集族{}12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分.已知集合{}2650I x x x =∈-+<N∣，则集合I 的所有划分的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】解二次不等式得到集合I ，由子集族的定义对集合I 进行划分.【详解】依题意，{}{}{}2650152,3,4I x x x x x =∈-+<=∈<<=N N∣，I 的2划分为{}{}{}{2,3},{4},{2,4},{3},{3,4},{2}，共3个，I 的3划分为{}{}{}{}2,3,4，共1个，故集合I 的所有划分的个数为4.故答案为：414.已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN = ，则C 的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】由题意可得21F M NF ⊥，由此求出1F M ，1230MF F ∠=o，即可求出N 点坐标，代入b y x a=，即可得出答案.【详解】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故32b a =，则2c e a ===.故答案为：72.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2sin cos sin B A b A =.（1）求A 的值；（2）若ABC V 6，求ABC V 的外接圆面积.【答案】（1）π3A =（2）4π3【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得A .（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.【小问1详解】2sin cos sin sinA B A B A=，因为sin,sin0A B≠sinA A=，则tan A=，因为()0,πA∈，故π3A=.【小问2详解】由题意13sin24ABCS bc A===，故4bc=.由余弦定理得222222cos()3(6)12a b c bc A b c bc a=+-=+-=--，解得2a=.故ABCV的外接圆半径2sinaRA==，故所求外接圆面积24ππ3S R==.16.如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，45,,ASD ADS M N∠∠== 分别在棱,SB SC 上，且,,,A D N M四点共面.（1）证明：SA MN⊥；（2）若SM BM=，且二面角S AD C--为直二面角，求平面SCD与平面ADNM夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先证明线面平行再应用线面平行性质定理得出MN//AD，再结合SA AD⊥，即可证明；（2）应用面面垂直建系，应用空间向量法求出面面角的余弦值.【小问1详解】因为45ASD ADS ∠∠== ，故90SAD ∠= ，则SA AD ⊥，因为AD //,BC AD ⊄平面,SBC BC ⊂平面SBC ，故AD //平面SBC ，而平面ADNM 平面,SBC MN AD =⊂平面ADNM ，故MN //AD ，则SA MN ⊥.【小问2详解】因为二面角S AD C --为直二面角，故平面SAD ⊥平面ABCD .而平面SAD ⋂平面,ABCD AD SA =⊂平面,SAD SA AD ⊥，故SA ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，所以,,SA AB SA AD AB AD ⊥⊥⊥，以点A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0,1,0,1A S C D M ，故()()()()2,2,2,0,2,2,0,2,0,1,0,1SC SD AD AM =-=-==，设平面ADNM 的法向量为()111,,n x y z =，则1110,20,n AM x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11x =，可得()1,0,1n =- .设平面SCD 的法向量为()222,,m x y z =，则22222220,2220,m SD y z m SC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令21y =，可得()0,1,1m = ，故平面SCD 与平面ADNM 夹角的余弦值1cos 2m n m n θ⋅== .17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，右焦点为F ，点23(,22-在C 上.（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点A 在直线():0l y kx m k =+≠上，若直线l 与C 相切，且FA l ⊥，求OA 的值.【答案】（1）2212x y +=（2）OA =【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及,,a b c 的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由Δ0=推得2221m k =+，又由FA l ⊥，写出直线FA 的方程，与直线l 联立，求得点A 坐标，计算2||OA ，将前式代入化简即得.【小问1详解】设s 0，依题意，222222131,24c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222,1,a b ==故C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】如图，依题意1,0，联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()222214220k x kmx m +++-=，依题意，需使()()2222Δ16421220k m k m =-+-=，整理得2221m k =+（*）.因为FA l ⊥，则直线FA 的斜率为1k-，则其方程为()11y x k =--，联立1(1),y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩解得221,1,1km x kk m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩即221,11km k m A k k -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭故()()()()()2222222222222222211(1)()11||1111k m km k m k m k m mOA k k k k ++-++++++====++++，将（*）代入得，22221222,11m k k k++==++故OA =18.已知函数()1ee xf x x x +=-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）记（1）中切线方程为()y F x =，比较()(),f x F x 的大小关系，并说明理由；（3）若0x >时，()()ln 2e 1f x x a x -≥---，求a 的取值范围.【答案】（1）e 1y x =--（2）()()f x F x ≥，理由见解析（3）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，求出其导数，进而求得函数最值，即可得结论；（3）将原问题变为1e ln 2x x x x ax +---≥，即()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，同构函数，利用导数判断函数单调性，结合讨论a 的范围，即可求得答案.【小问1详解】依题意，()1e 1f -=-，而()()11e e x f x x +=+-'，故()1e,f '-=-故所求切线方程为()e 1e 1y x -+=-+，即e 1y x =--.【小问2详解】由（1）知()e 1F x x =--，结论；()()f x F x ≥，下面给出证明：令()()()1e1x m x f x F x x +=-=+，则()()11e x m x x +=+'，当1x <-时，()()0,m x m x '<在(),1∞--上单调递减，当1x >-时，()()0,m x m x '>在()1,-+∞上单调递增，故()()10m x m ≥-=，即()()f x F x ≥.【小问3详解】依题意得1e ln 2x x x x ax +---≥，则()ln 1eln 11x x x x ax ++-++-≥在()0,∞+上恒成立，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，令()0g x '=，得0x =，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∞∈+时，()0g x '>，故()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=，当0a ≤时，10,e ln 20,0x x x x x ax +∀>---≥≤，此时10,e ln 2x x x x x ax +∀>---≥；当0a >时，令()ln 1h x x x =++，显然()h x 在区间()0,∞+上单调递增，又()221110,120e eh h ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故存在021,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，则01000e ln 20x x x x +---=，而00ax >，不合题意，舍去.综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.19.已知首项为1的数列{}n a 满足221144n n n n a a a a ++=++.（1）若20a >，在所有{}()14n a n ≤≤中随机抽取2个数列，记满足40a <的数列{}n a 的个数为X ，求X的分布列及数学期望EX ；（2）若数列{}n a 满足：若存在5m a ≤-，则存在{}(1,2,,12k m m ∈-≥ 且)*m ∈N ，使得4km aa -=.（i ）若20a >，证明：数列{}n a 是等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S ；（ii ）在所有满足条件的数列{}n a 中，求使得20250s a +=成立的s 的最小值.【答案】（1）分布列见解析，1（2）（i ）证明见解析，22n S n n =-（ii ）1520【解析】【分析】（1）根据递推关系化简可得14n n a a +=+，或1,n n a a +=-写出数列的前四项，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i ）假设数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，根据所给条件可推出存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，矛盾，即可证明；（ii ）由题意可确定1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项，构成新数列{}n b ，确定其通项公式及5072025b =-，探求s a 与n b 的关系得解.【小问1详解】依题意，221144n n n n a a a a ++=++，故22114444a n n n a a a a ++-+=++，即()()22122n n a a +-=+，故14n n a a +=+，或1,n n a a +=-因为121,0a a =>，故25a =；则:1,5,9,13;:1,5,9,9;:1,5,5,5;:1,5,5,1n n n n a a a a ----，故X 的可能取值为0,1,2，故()()()21122222222444C C C C 1210,12C 6C 3C 6P X P X P X =========，故X 的分布列为X012P162316故1210121636EX =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）证明：由（1）可知，当2n ≥时，1n n a a -=-或124,5n n a a a -=+=；假设此时数列{}n a 中存在最小的整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，则121,,,i a a a - 单调递增，即均为正数，且125i a a -≥=，所以15i i a a -=-≤-；则存在{}1,2,,1k i ∈- ，使得41k i a a =+≤-，此时与121,,,i a a a - 均为正数矛盾，所以不存在整数()3i i ≥，使得1i i a a -=-，故14n n a a -=+.所以数列{}n a 是首项为1､公差为4的等差数列，则()21422n n n S n n n -=+⋅=-.（ii ）解：由20250s a +=，可得2025s a =-，由题设条件可得1,5,9,,2017,2021,2025------ 必为数列{}n a 中的项；记该数列为{}n b ，有()431507n b n n =-+≤≤；不妨令n j b a =，则143j j a a n +=-=-或1447j j a a n +=+=-+，均不为141;n b n +=--此时243j a n +=-+或41n +或47n -或411n -+，均不为141s b n +=--.上述情况中，当1243,41j j a n a n ++=-=+时，32141j j n a a n b +++=-=--=，结合11a =，则有31n n a b -=.由5072025b =-可知，使得20250s a +=成立的s 的最小值为350711520⨯-=.【点睛】关键点点睛：第一问数列与概率结合，关键在于得出数列前四项的所有可能，即可按照概率问题求解，第二问的关键在于对于新定义数列，理解并会利用一般的抽象方法推理，反证，探求数列中项的变换规律，能力要求非常高，属于困难题目.。

四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（ ）ABCD8．设，则（ ）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（ ）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题： ；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。

北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案

北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案

海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。

湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试 数学含答案

湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试 数学含答案

湖北省2025届高三（9月）起点考试数学试卷（答案在最后）命题单位：2024.9本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知集合{}{}|3217,0,1,2,3,4,5xA xB =<<=，则A B ⋂=（）A.{}0,1B.{}0,1,5C.{}2,3,4D.{}52.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“1l ∥2l ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知复数z 满足()()i 1i 3i z --=+，则z 的共轭复数z 在复平面中的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（）A.15B.25C.35D.455.已知7sin cos 5θθ-=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.17或7 B.17或17- C.7或-7D.-7或17-6.已知点P 在ABC 所在的平面内，且20PA PB PC ++=.过点P 的直线与直线,AB AC 分别交于,M N ，设,,(0,0)AM AB AN AC αβαβ==>>，则4αβ+的最小值为（）A.74B.3224+ C.94D.327.一个三角形纸板的三个顶点为,,,3,A B C AB BC AC ===AB 边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转180 ，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（）A.5π6B.πC.5π3D.2π8.若不等式ln kx b x + 恒成立，则bk的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.[)1,∞-+ C.[)2,∞-+ D.[)e,∞-+二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin ,cos f x x g x x ==，则下列结论正确的有（）A.函数()()y f x g x =的最小正周期为2πB.函数()()y f x g x =-C.函数()()y f x g x =-的所有零点构成的集合为ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.函数()()y f x g x =+在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数10.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=--，当(]1,2x ∈时()22xf x =-，则下列结论正确的有（）A.()10f -=B.()f x 的图象关于点()3,0成中心对称C.()()20242025f f >D.2112x f f x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭11.在平面直角坐标系中，已知点P 是曲线2Γ:y x =上任意一点，过点P 向圆22:(2)1C x y -+=引两条切线，这两条切线与Γ的另一个交点分别为,A B ，则下列结论正确的有（）A.0CA CB ⋅>B.直线AB 与圆C 相切C.PAB 的周长的最小值为D.PAB 的面积的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知某种商品的广告费x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间的对应数据如下表：x 13457y1418304246根据表中数据得到y 关于x 的经验回归方程为ˆ6ˆyx a =+，则当广告费为10万元时，销售额预测值为__________万元.13.过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.14.已知数列{}n a 有30项，12a =，且对任意{}2,3,,30n ∈ ，都存在{}1,2,,1i n ∈- ，使得3n i a a =+.（1）5a =__________；（写出所有可能的取值）（2）数列{}n a 中，若k a 满足：存在{}1,2,,1j k ∈- 使得k j a a =，则称k a 具有性质P .若{}n a 中恰有4项具有性质P ，且这4项的和为20，则301nn a==∑__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,2n n a a S +==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 11n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,BB DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1A C ⊥平面AEF ；（2）当11,2AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面1A BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且2FA FB =，求l 的方程.18.（本小题满分17分）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有,,A B C 三个腔室，粒子只能从A 室出发经B 室到达C 室.粒子在A 室不旋转，在B 室､C 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从A 室经过1号门进入B 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从B 室经过2号门进入C 室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为(01)p p <<.现有两个粒子从A 室出发，先后经过1号门，2号门进入C 室，记C 室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为X .（1）已知两个粒子通过1号门后，佮有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然佮有1个上旋状态1个下旋状态的概率为58，求p ；（2）求X 的分布列和数学期望；（3）设13p =，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.19.（本小题满分17分）已知函数()()11,2ln ln ax f x g x bx x x x-==++.（1）当1b =-时，求()g x 的单调区间；（2）若()1f x x <+在()1,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）帕德近似（Pade approximation ）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在1x =附近，可以用223341x x x -++近似表示ln x .（i ）当0x >且1x ≠时，试比较ln x 与223341x x x -++的大小；（ii ）当22b a ==时，求证：()12421x xf xg x +⎛⎫<+⎪+⎝⎭.参考答案及评分标准2024.9一､单项选择题：1-4：CADD 5-8：BCAB二､多项选择题：9.BC10.ABD11.BD三､填空题：12.6613.214.（1）5,8,11,14（2分，不完整不得分）；（2）1047（3分）四､解答题：15.解：（1）由12n n a S +=+，则当2n ≥时12n n a S -=+两式相减得1n n n a a a +-=，所以()122n n a a n +=≥.将12a =代入12n n a S +=+得，2142a a ==，所以对于*1,2n n n a a +∈=N ，故{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =.（2）22log 11211n n b a n =-=-.()2121010n n B b b b n n n n=+++=-=- 因为当5n ≤时0n b <，当6n ≥时0n b >所以当5n ≤时，21210n n n T b b b B n n=----=-=- 当6n ≥时，212567521050n n n T b b b b b b B B n n =----++++=-=-+ .故2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.16.解：（1）因为BC ⊥平面11,ABB A AE ⊂平面11ABB A ，所以AE BC ⊥，又1AE A B ⊥且1A B BC B ⋂=，所以AE ⊥平面1A BC ，故1AE AC ⊥，同理，1AF AC ⊥，,AE AF ⊂平面,AEF AE AF A ⋂=，所以1A C ⊥平面AEF .（2）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,2,1,0,0,1,1,0,0,1,0A B C D ，在平面1A BD 中，()()11,1,0,1,0,2BD A B =-=-设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，可取()2,2,1n =由（1）知，平面AEF 的一个法向量为()11,1,2AC =-设平面AEF 与平面1A BD 的夹角为θ，则1cos cos ,9n AC θ===故所求的夹角的余弦值为6917.解：（1）联立2222222191414a b c a b a a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩得224,3a b ==，故所求方程为22:143x y C +=（2）①当l 斜率为0时，3FA FB =或3FB FA =，不符合题意②当当l 斜率不为0时设:1l x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()2234690m y my ++-=.()212122269,,Δ144103434m y y y y m m m --+===+>++.由2FA FB =得122y y =-，代入以上两式消去12,y y得5m =±故:15l x y =±+，化为一般方程为20y ±=18.解：（1）设A =“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.事件A 发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，故()225(1)8P A p p =+-=解得14p =或34（2）由题知0,1,2X =，2X =时分3类情形，①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态：②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态：③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，所以()()22111121(1)4244P X p p p p ==+-+-=，同理()()()12212211111C 1(1)C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦，()()()101124P X P X P X ==-=-==，所以所求的分布列为X12P141214所以所求数学期望()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=（3）设i A =“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为i 个”，0,1,2,i B ==“两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”，则()()()22102121111,C 2422P A P A P A ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()012124,,999P B A P B A P B A ===∣∣∣，则()()21112141()4929494i ii P B P A P B A ===⨯+⨯+=∑∣.（或由（2）得）.故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣.19.解：（1）当1b =-时，()12ln (0)g x x x x x=-+>，则()22(1)0x g x x-=-≤'.所以()g x 的减区间为()0,∞+，无增区间.（2）()()11ln 1f x x x x ax <+⇔+>-，记()()1ln 1h x x x ax =+-+，则()1ln 1h x x a x =++-'，进而有()221110(1)x h x x x x x'-=-=>>' .所以()h x '在()1,∞+递增.根据()11h a =-及()l 2h a '=-可以确定讨论的边界.①当1a ≤时，对任意的()()()1,120.x h x h a h x >>>'='-在()1,∞+上单调递增，()()110h x h a >=-≥，故有()1ln 1x x ax +>-，满足题意.②当12a <≤时，对任意的1x >，有()()120h x h a '=-'>≥.所以()h x 在()1,∞+上单调递增，()()()110,10,e 10a h a h h a =-<<=+>.所以存在唯一的()01,eax ∈使()00h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <，不满足题意.③当2a >时，()h x '在()1,∞+上单调递增，()()110,e 10eaa h h '+'<=>.所以存在唯一的()11,eax ∈使()10h x '=，当()11,x x ∈时，()0h x '<.所以()h x 在()11,x 上单调递减，()()10h x h <<，不满足题意.综上，1a ≤.（3）（i ）记()2233ln 41x F x x x x -=-++，则()()422(1)041x F x x x x -=>++'，所以()F x 在()0,∞+上单调递增，而()10F =，于是，当1x >时，()22330,ln 41x F x x x x ->>++当01x <<时，()22330,ln 41x F x x x x -<<++.（ii ）当22b a ==时，原不等式即()()412111132lnln 1ln 2ln 22x x x x x x xx --+++<++⇔<++.由于当1x >时，2233ln ,1041x x x x x ->->++，所以()2141ln 31x x x x x -++<+，当01x <<时，()22233141ln ,10,41ln 31x x x x x x x x x x --++<-<<+++也成立.所以()2141ln 31x x x x x -++<+对任意的0,1x x >≠恒成立.在()2141ln 31x x x x x -++<+中取x =<，也即11ln 6t t t -++<，所以()211ln 3x x x-+<（a ）记函数()1141ln1223x x x G x +++=++-，()441116x G x x -'++==+134114x+-=由于)23740,1024xx ⎫-=+>+>⎪⎭1-的符号，易知()G x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()()10G x G >=.所以111ln 1322x x x++++<++（b ）由（a ）（b ）得()21111ln 1ln 322x x x x x-+++<<++，故()12421x x f x g x +⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭.。

黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试 数学 含答案

黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试 数学 含答案

黄冈市2024年高三年级9月调研考试数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷，草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一 、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的.1. 若集合A={x|x²-2x-8<0,x ∈Z},B={yly=√x,x ∈R}, 则A∩B=( )A.{0,1,2,3}B.{1,2,3} c.{0,1} D.{0}2.复数则 z 的虚部为( )B. C.3.则sin 2α=( )B. 士C.D.4.若向量a=(2,0),b=(3,1),则向量a 在向量b 上的投影向量为( )D.(5,1)5 . 若m>0,n>0, 且 3m+2n-1=0, 则的最小值为( )A.20B.12C.16D.25A A口6. 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, ,b=3, 下面可使得△ABC 有两组解的a 的值为( )A. B.3 C.4 D.e7.设h(x),g(x) 是定义在R上的两个函数，若Vx,x₂∈R,x≠x₂, 有n(x;)-h(x₂)≥|s(x₁)-g(x₂) 恒成立，下列四个命题正确的是( )A.若h(x)是奇函数，则g(x) 也一定是奇函数B.若g(x)是偶函数，则h(x)也一定是偶函数C. 若h(x)是周期函数，则g(x) 也一定是周期函数D. 若h(x)是R上的增函数，则H(x)=h(x)-g(x) 在R上一定是减函数8. 已知向量al=|5|=4,a.b=-8,,且|i-d=1, 则n与c夹角的最大值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知c<0<b<a, 则( )A.ac+b<bc+aB.b³+c³<a³10. 已知函数的图象过点A(0,1)和B(x,-2)(x₀>0), 且满足|AB= √13,则下列结论正确的是( )A.C. 当时，函数f(x)值域为[0,1]日D. 函数y=x-f(x) 有三个零点11.已知f(x)=2x³-3x²+(1-a)x+b,则下列结论正确的是( )A.当a=1时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围是(0,1)B.当a=1且x∈(0,π)时，f(sinx)<f(sin²x)C. 若f(x) 满足f(1-x)=2-f(x), 则a-2b=2D. 若f(x) 存在极值点x, 且f(x,)=f(x), 其中x₀≠x, 则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A={x|log₂x<m},, 若“x∈A” 是“x∈B” 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是13.已知f(x) 是定义在R上的奇函数，f(x+2) 为偶函数.当0<x<2 时，f(x)=log₂(x+1), 则f(101)=14.已知函数f(x)=sinx-x+1,若关于x的不等式f(axe')+f(-ae*-x+2)>2的解集中有且仅有2个正整数，则实数a 的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 . (本小题13分)设S,为数列{a,}的前n项和，满足S,=1-a,(neN").(1)求证：(2)记T=S²+S²+…+S²,求T,.16.(本小题15分)函数f(x)=sin ox coscox+cos²ax,w>0,函数f(x) 的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间以及对称中心；(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位，再向下平程个单位，得到函数g(x)的图象，在函数g(x)图象上从左到右依次取点A,A₂,..,A₂024, 该点列的横坐标依次为x,x₂,..,X2024, 其中求g(x)+g(x₂)+.+g(x2024)17. (本小题15分)已知函(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=-x+b, 求a和b的值：(2)讨论f(x) 的单调性.18. (本小题17分)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c(1)证明：( 2 ) 若a,b,c 成等比数列.(i) 设求g 的取值范围；(ii) 求的取值范围.19. (本小题17分)已知定义在(0,+0c)的两个函数，(1)证明：|sinx|<x(x>0):(2)若h(x)=sinx-x⁴. 证明：当a>1 时，存在x∈(0,1), 使得h(x)>0;(3)若f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围.A2024年9月高三起点联考数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选结的得0分.9.ABD 10.AD 11.ABD11.解析：A.a=1时，f(x)=6x²-6x=6x(x-1),f(x)在(-o.0)递增，(0,1)递减，(1,+0o)递增。

2025届江苏南京六校联合体高三10月联考数学试题+答案

2025届江苏南京六校联合体高三10月联考数学试题+答案

2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x| x 2－2x －8＜0}，B ＝{x| x ≤4 }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若复数z 满足－z ＝2－i3＋i，则|z |＝ A ．510 B ．102 C ．22D ．123．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A ．6B ．12C ． 18D ． 24 4．已知等比数列{a n }满足a 4a 5a 6＝64，则a 2a 4＋a 6a 8的最小值为A ．48B ．32C ．24D ．85．已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2－a －4(x ≥0)ax －sin x (x ＜0)在R 上单调，则实数a 的取值范围为 A ．()－∞，－1 B ．(]－∞，－1 C ．[)－4，－1 D ．[]－4，－16．已知圆(x －2)2＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该双曲线的离心率为A ．2B ．13C ．21313D ．413137．已知函数f (x )＝(x －4)3 cos ωx (ω＞0)，存在常数a ∈R ，使f (x ＋a )为偶函数，则ω的最小值为A ．π12B ．π8C ．π4D ． π28．已知2024m ＝2025，2023m ＝x ＋2024 ，2025m ＝y ＋2026，则A ．0＜x ＜yB ．x ＜y ＜0C ．y ＜x ＜0D ．x ＜0＜y9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－x ＝4，－y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则 A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6B ．直线EF 与OM 所成的角的正切值为2C ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为22D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋32x 0＝0D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－22三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ， 若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，AB ⊥AD ，P A ＝PD ， AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c －3a (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA →＝4CD →，BD ＝37，求△ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望；(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分） 已知f (x )＝ln(x ＋1)(1) 设h (x )＝x f (x －1)，求h (x )的极值．(2) 若f (x )≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(3) 若存在常数M ，使得对任意x ∈I ，f (x )≤M 恒成立，则称f (x )在I 上有上界M ，函数f (x )称为有上界函数．如y ＝e x 是在R 上没有上界的函数， y ＝ln x 是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y ＝－e x ，y ＝－x 2都是在R 上有上界的函数．若g (n )＝1＋12＋13＋···＋1n (n ∈N *)，则g (n )是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，C 的上顶点为B ，左右顶点分别为A 1、A 2，左焦点为F 1，离心率为12．过F 1作垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，且| DE |＝3．(1)求C 的方程；(2)若M ，N 是C 上任意两点①若点M (1，32)，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G ，设△MA 1G 和△NA 2G 的面积分别为S 1，S 2，若2S 1－2S 2＝3，求线段MN 的长度；②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P ，Q 两点，已知P ，Q ，M ，N 四点共圆， 求证：线段MN 的长度不大于14．高三2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研数学参考答案 2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC 10．ACD 11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．0 13．8 14．y =32x ＋32四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，………………...........................2分 ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ， ∴PD ⊥平面PAB ；…………................................……..4分又PD ⊂平面PAD ，所以平面⊥PCD 平面PAB ………………..6分 （2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ⊥ 则4==PO AO因为5==CD AC ，所以AD CO ⊥，则322=−=AO AC CO以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O − 则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A −,)4,4,0(),4,0,3(−−=−=PD PC ，)4,4,2(−=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00 =⋅=⋅PD n PC n 得=+=−0043z y z x ，令,3=z 则3,4−==y x ， 所以)3,3,4(−=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b Ac =−，所以2sin cos 2sin B A C A =−2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A =+=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分 在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分 （2）由1sin cos −=C A ，得1sin -65cos −=C C ）（π， 1sin sin 65sincos 65cos−=+C C C ππ，1)3sin(=+πC ………..7分 因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以c b A ==，32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以b AD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅−+==)21(43216922−⋅⋅−+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝570＝114P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝570＝114，………………………………8分故X 的分布列为：则E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ， 所以由全概率公式得P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分 解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分所以在(0，1e)上h ′(x ) ＜0，h (x )递减；在(1e，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增； 所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分 (2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0m ′(x )＝1x +1－a当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分 当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, ∃x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分 综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分 (3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n ＋1)≤1n ，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n，…………………………15分将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．＋1n＝g (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 解：（1）由离心率为12，得b 2 a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3， 解得a ＝2，b ＝ 3所以故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △MA 1A 2－S △MNA 2=32，S △MA 1O =32，所以S △NGA 2=S △MOG ，得S △NMA 2=S △MOA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x ,……………………………………6分由 y ＝－32x ，x 24＋y23＝1．得N (1,－32)，N (－1,32)（舍去）. 所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立 y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0，所以，x 1＋x 2＝－8mk4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分 y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0． 所以中点H 的坐标为(－4mk 4k 2+3，3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k, 故直线OH ：y ＝－34k x. ………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分 由|HM |·|HN |=14|MN |2=14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2; 联立y ＝－34k x ，x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝16k 24k 2+3，所以x 23＝16k 24k 2+3， 所以|HP |·|HQ |=(1+916k 2)|x 20－x 23|=(9+16k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2所以12(1+k 2)=9+16k 2得，k =±32……………………………………………………16分 所有m 2<3+4k 2=6，得m ∈(－ 6 ,6)，|MN |2=48(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2=42－7m 23 ≤14 即|MN |≤14…………………………………………………………………………17分。

山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案

山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案

菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （）A.{}0,1 B.{}1 C.{}1,1- D.∅2.已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（）A.[]1,2B.[]4,6 C.[]5,9 D.[]3,73.已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（）A.12-B.12C.0D.14.“函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件5.过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（）A.1B.3log 22C.ln33D.2log 366.函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（）A.1B.0C.3D.27.自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）A.①和④B.③和④C.③和②D.①和②8.已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（）A.有最大值为1e-，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为1e-C.有最大值为0，无最小值D.无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0c b a <<<，则（）A.ac bc <B.333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10.已知函数()21,2,5,2x x f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（）A.1a ≤- B.[]1,4c ∈ C.()20,5ad ∈ D.222a b +=11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（）A.π663f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线π3x =对称C.S 呈周期变化D.6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14.已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为．（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16.已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17.记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18.已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19.已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】222log e e 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a -（2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。

红岭中学2023—2024学年度第一学期高三第二次统一考试数学试卷含答案解析

红岭中学2023—2024学年度第一学期高三第二次统一考试数学试卷含答案解析

红岭中学2023—2024学年度第一学期高三第二次统一考试数学试卷一、单选题(共 24 分)1已知复数z 满足z̅⋅(1−i )=2i 其中z̅为z 的共轭复数则z=（ ） A 1+i B −1+i C 1−i D −1−i【答案】D 【分析】设z=a+bi 根据共轭复数的定义得到z̅；根据已知得到a 、b 的方程解方程求出a 、b 进而求出z ． 【详解】解设z=a+bi 则z̅=a-bi 由z̅⋅(1−i )=2i 得(a-bi)⋅(1-i)=2i化简得a-b-(a+b)i=2i ∴{a−b=0a+b=−2解得{a=−1b=−1∴z=−1−i ． 故选D ． 2集合M ={x |x =kπ2+π4,k ∈Z }N ={x |x =kπ4+π2,k ∈Z },则（ ）A M =N ；B M ⊂N ；C M ⊃N ；D M ∩N =∅．【答案】B 【分析】化简两个集合再判断集合间的关系 【详解】 M ={x |(2k+1)π4,k ∈Z },N ={x |(k+2)π4,k ∈Z },2k+1,k∈Z表示奇数k+2,k∈Z表示整数所以M⊂N故选B3已知等差数列{a n}满足a2+a4+a6=π则cos(a1+a7)=（）A−12B12C√22D√32【答案】A【分析】利用等差中项求解即可【详解】因为数列{a n}是等差数列所以a2+a4+a6=3a4=π即a4=π3所以cos(a1+a7)=cos2a4=cos2π3=−12故选A4已知AB是△ABC的内角“△ABC为锐角三角形"是“sinA>cosB”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立再举出反例得到必要性不成立【详解】因为△ABC为锐角三角形所以A,B∈(0,π2)且A+B>π2所以A>π2−B其中π2−B∈(0,π2)因为y=sinx在x∈(0,π2)上单独递增所以sinA>sin(π2−B)=cosB充分性成立若sinA>cosB不妨设A=π2,B=π3满足sinA>cosB但△ABC为直角三角形故必要性不成立故选A5已知函数f(x)={2x,x≤1−lnx,x>1则函数y=f(−x)在(2,+∞)上的单调性为（）A单调递增B单调递减C先增后减D先减后增【答案】B 【分析】先根据f (x )={2x ,x ≤1−lnx,x >1求出y =f (−x )在(2,+∞)上的解析式进而可根据指数函数的单调性进行判断 【详解】当x ∈(2,+∞)时−x ∈(−∞,−2) 此时y =f (−x )=2−x =(12)x由指数函数的性质知x ∈(2,+∞)函数y =f (−x )在(2,+∞)上单调递减 故选B6古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作现据《重差》测量一个球体建筑物的高度如图已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点）地面上BC 两点与点A 在同一条直线上且在点A 的同侧．若在BC 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°且BC =100m 则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）（ ）A5860m B5674m C5076m D4925m【答案】C 【分析】设球的半径为R 再根据球相切的性质结合三角函数关系求解即可 【详解】如图设球的半径为R 球心为OD 为BE 与球O 的切线则AB =√3R∵BC =Rtan10°−√3R =100∴R =1001tan10°−√3=100sin10°cos10°−√3sin10°=100sin10°2sin (30°−10°)=50sin10°sin20°=50sin10°2sin10°cos10°=25cos10°=250.985∴2R=500.985≈50.76故选C7{a n}是各项均为正数的等差数列其公差d≠0{b n}是等比数列若a1=b1a1012=b1012S n和T n分别是{a n}和{b n}的前n项和则（）A S2023>T2023B S2023<T2023C S2023=T2023D S2023和T2023的大小关系不确定【答案】B【分析】分析可知等比数列{b n}为正项单调数列利用等差数列的求和公式以及基本不等式可得出S2023与T2023的大小【详解】因为{a n}是各项均为正数的等差数列其公差d≠0则S2023=2023(a1+a2023)2=2023a1012且a1012=a1+1011d≠a1则b1012≠b1设等比数列{b n}的公比为q则q1011=b1012b1>0且q1011≠1即q>0且q≠1又因为b1>0所以等比数列{b n}为正项单调数列由基本不等式可得b1+b2023>2√b1b2023=2b1012b2+b2022>2√b2b2022=2b1012⋯b1011+b1013>2√b1011b1013=2b1012所以T2023=b1+b2+⋯+b2023>2023b1012=2023a1012=S2023故选B8已知函数f(x)=x3+3x2+x+1设数列{a n}的通项公式为a n=−2n+9则f(a1)+f(a2)+⋯+f(a9)=（）A36B24C20D18【答案】D【分析】先根据解析式求出对称中心再结合等差数列项的性质计算求解即可【详解】f (x )=x 3+3x 2+x +1=(x +1)3−2(x +1)+2所以曲线f (x )的对称中心为(−1,2)即f (x )+f (−2−x )=4因为a n =−2n +9易知数列{a n }为等差数列a 5=−1a 1+a 9=a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5=−2 所以f (a 1)+f (a 9)=f (a 2)+f (a 8) =f (a 3)+f (a 7)=f (a 4)+f (a 6)=4所以f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 9)=4×4+2=18 故选:D二、多选题(共 12 分)9已知实数abc 满足2<a <b <c 则下列说法正确的是（ ） A a +1b >b +1a B √a +b >√a +√b C b a >b+ca+cD log (a−1)a >log a (a +1)【答案】CD 【分析】利用不等式的性质和对数式的运算规则比较大小 【详解】实数abc 满足2<a <b <c函数y =x −1x 在(2,+∞)上单调递增则a −1a <b −1b 即a +1b <b +1a A 选项错误； 由a +b <a +2√ab +b 得(√a +b)2<(√a +√b)2即√a +b <√a +√b B 选项错误； 由ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )>0得b a >b+ca+c C 选项正确；由a >2有lg(a +1)>lga >lg (a −1)>0log (a−1)a −log a (a +1)=lga lg (a −1)−lg (a +1)lga =lg 2a −lg (a −1)lg (a +1)lgalg (a −1)而lg(a −1)lg (a +1)<[lg (a−1)+lg (a+1)2]2=[lg(a 2−1)2]2<(lga 22)2=lg 2a即lg 2a −lg (a −1)lg (a +1)>0又lg(a −1)lga >0则lg 2a−lg (a−1)lg (a+1)lgalg (a−1)>0所以log (a−1)a −log a (a +1)>0即log (a−1)a >log a (a +1)D 选项正确 故选CD10下列命题为真命题的是（ ） A 若sin2α=23则cos 2(α+π4)=16 B f (x )=tanx 1−tan 2x 的最小正周期为π2C 函数f (x )=2sin (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=2sin (2x +π6)的图象 D 函数ℎ(x )=−2sin (2x +π6)的单调递减区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z ) 【答案】ABD 【分析】对于A 选项利用降幂公式求解即可；对于B 选项利用正切的二倍角公式即可；对于C 选项利用函数的平移变换即可；对于D 选项利用正弦型三角函数的单调性求解即可 【详解】 对于A sin2α=23 ∴cos 2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1−sin2α2=16故A 正确；对于B f (x )=tanx 1−tan 2x =12×2tanx1−tan 2x =12tan2x 最小正周期T=π2故B 正确；对于C 函数f (x )=2sin (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数 g (x )=f (x −π6)=2sin [2(x −π6)+π3]=2sin2x 故C 错误； 对于D 函数ℎ(x )=−2sin (2x +π6) 令2kπ−π2≤2x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z ) 解得kπ−π3≤x ≤π6+kπ(k ∈Z )故ℎ(x )的单调递减区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z )D 正确 故选ABD11已知函数f (x )=2x2x +1则（ ）A 函数f (x )是增函数B 曲线y =f (x )关于(0,12)对称C 函数f (x )的值域为(0,12)D 曲线y =f (x )有且仅有两条斜率为15的切线 【答案】AB 【分析】由f (x )=2x2x +1=1−12x +1可得f (x )是增函数且对于任意x ∈R 满足f (−x )+f (x )=1所以y =f (x )关于(0,12)对称可得AB 正确；利用指数函数值域易得函数f (x )的值域为(0,1)即C 错误；令f ′(x )=15整理可得(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0易知25<e 4可得Δ=(5ln2−2)2−4<0即方程(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0无解因此曲线y =f (x )不存在斜率为15的切线即D 错误 【详解】根据题意可得f (x )=2x2x +1=1−12x +1易知y =12x +1是减函数 所以f (x )=1−12x +1是增函数即A 正确；由题意可得f (−x )=2−x2−x +1=12x +1所以f (−x )+f (x )=2x2x +1+12x +1=1即对于任意x ∈R 满足f (−x )+f (x )=1所以y =f (x )关于(0,12)对称即B 正确； 由指数函数值域可得2x +1∈(1,+∞)所以12x +1∈(0,1)即f (x )=1−12x +1∈(0,1) 所以函数f (x )的值域为(0,1)所以C 错误； 易知f ′(x )=2x ln2(2x +1)2令f ′(x )=15整理可得(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0令2x =t ∈(0,+∞)即t 2−(5ln2−2)t +1=0易知Δ=(5ln2−2)2−4又因为25=32<36<6.252=2.54<e 4即25<e 4 所以5ln2<4即0<5ln2−2<2因此Δ=(5ln2−2)2−4<0； 即关于t 的一元二次方程t 2−(5ln2−2)t +1=0无实数根；所以(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0无解即曲线y =f (x )不存在斜率为15的切线即D 错误； 故选AB12历史上著名的伯努利错排问题指的是一个人有n (n ≥2)封不同的信投入n 个对应的不同的信箱他把每封信都投错了信箱投错的方法数为a n 例如两封信都投错有a 2=1种方法三封信都投错有a3=2种方法通过推理可得a n+1=n(a n+a n−1)高等数学给出了泰勒公式e x=1+x+x22!+x33!+⋯+x nn!+⋯则下列说法正确的是（）A a4=9B{a n+1−(n+1)a n}为等比数列C a n n!=(−1)22!+(−1)33!+⋯+(−1)nn!D信封均被投错的概率大于1e【答案】ABC【分析】选项A用列举法即可得；选项B构造新数列{a n+1−(n+1)a n}利用定义法可证明是等比数列；选项C由递推关系a n−na n−1=(−1)n−2变形可得裂项形式裂项后利用累加法求通项即可证；选项D利用泰勒公式可得1e −a nn!=(−1)n+1(n+1)!+(−1)n+2(n+2)!+⋯,再对n分奇偶讨论即可判断【详解】选项A令4封信分别为b1,b2,b3,b4当b1在第2个信箱时共3种错排方式第1种第2种第3种同理可得b1在第3和4个信箱时也分别有3种错排方式所以共a4=3×3=9种方法故A选项正确；选项B a n+1=n (a n +a n−1)∴a n+1−(n +1)a n = −a n +na n−1=−(a n −na n−1) 又a 3−3a 2=−1≠0则a n+1−(n+1)a n a n −na n−1=−1(n ≥2)故B 选项正确；选项C a 3−3a 2=−1,a n −na n−1=−1×(−1)n−3=(−1)n−2 两边同除以n!得 ∴a nn!−a n−1(n−1)!=(−1)n−2n!=(−1)n n!a n n!=a n n!−a n−1(n−1)!+a n−1(n−1)!−an−2(n−2)!+⋯+a 33!−a 22!+a 22!=12!+(−1)33!+⋯+(−1)n n!=(−1)22!+(−1)33!+⋯+(−1)n n!故C 选项正确； 选项D 装错信封的概率为a nA nn =a n n!∵e x=1+x +x 22!+x 33!+⋯则e−1=1+(−1)+(−1)22!+(−1)33!+⋯+(−1)n n!+(−1)n+1(n+1)!+⋯即1e −a n n!=(−1)n+1(n+1)!+(−1)n+2(n+2)!+⋯,当n 为奇数时1e −a n n!=[1(n+1)!+−1(n+2)!]+[1(n+3)!+−1(n+4)!]+⋯=n+1(n+2)!+n+3(n+4)!+⋯>0； 当n 为偶数时1e −a n n!=[−1(n+1)!+1(n+2)!]+[−1(n+3)!+1(n+4)!]+⋯=−(n+1)(n+2)!+−(n+3)(n+4)!+⋯<0；综上当n为奇数时an n!<1e ；当n 为偶数时ann!>1e 故D 项错误故选ABC 【点睛】关键点睛本题B 选项的关键是通过构造变形得a n+1−(n+1)a n a n −na n−1=−1(n ≥2)D 选项的关键是利用所给的泰勒公式再分奇偶讨论 三、填空题(共 6 分)13函数f (x )=cosx −sin2xx ∈[0,2π]的零点个数为______． 【答案】4 【分析】由f (x )=0可知cosx =0或sinx =12在x ∈[0,2π]上分别解出符合题意得x 的取值即可 【详解】令f (x )=cosx −sin2x =0由二倍角公式可得cosx −2sinxcosx =0 即cosx (1−2sinx )=0解得cosx =0或sinx =12 当x ∈[0,2π]时若cosx =0时解得x =π2或x =3π2；若sinx =12解得x =π6或x =5π6；综上所述函数f(x)=cosx−sin2x在[0,2π]上的零点个数为4个故答案为414已知数列{a n}满足a1+a2=0a n+2+(−1)n(n+1)2a n=2则数列{a n}的前12项的和为______．【答案】12【分析】根据递推公式以及a1+a2=0可推出a3+a4=4,a5+a6=0按照此规律可得a4k−1+a4k= 4,a4k−3+a4k−2=0,k∈N∗即可求出{a n}的前12项的和为12【详解】由a n+2+(−1)n(n+1)2a n=2可知令n=1,2可得a3−a1=2a4−a2=2；两式相加可得a3+a4−(a1+a2)=4；分别令n=3,4可得a5+a3=2a6+a4=2；两式相加可得a3+a4+a5+a6=4；由a1+a2=0可得a3+a4=4,a5+a6=0以此类推可得a4k−1+a4k=4,a4k−3+a4k−2=0,k∈N∗所以数列{a n}的前12项的和为124×4=12故答案为12四、双空题(共3 分)15记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知A=2B若b=2,c=1则a=________；若b+ c=√3a则B=________【答案】(1) √6(2) π6##30°【分析】①由A=2B可得sinA=2sinBcosB由正弦定理和余弦定理将等式边化角即可求出a；②由{b+c=√3aa2−b2=bc可得{c=2ba=√3b再由余弦定理即可求出B【详解】①由题意A=2B则sinA=sin2BsinA=2sinBcosB又由正弦定理与余弦定理可得a=2b×a 2+c2−b22ac即a2c=b(a2+c2−b2)则a2(c−b)=b(c2−b2)故a2=b(c+b)则a=√2×(2+1)=√6②由①a 2=b (c +b )又b +c =√3a 故a 2=√3ab 又a >0则a =√3b 则b +c =3b,c =2b 由余弦定理cosB =a 2+c 2−b 22ac=24√3b 2=√32又B ∈(0,π)所以B =π6 故答案为√6；π6 五、填空题(共 3 分)16若函数f (x )=x −13sin2x +asinx 在(−∞,+∞)单调递增则a 的取值范围是______． 【答案】[−13,13] 【分析】根据导数与函数单调性的关系由函数在(−∞,+∞)单调递增得到不等式利用三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题运算即可得解 【详解】解函数f (x )=x −13sin2x +asinx (x ∈R )的导数为f ′(x )=1−23cos2x +acosx 由题意函数f (x )=x −13sin2x +asinx 在(−∞,+∞)上单调递增 ∴f ′(x )=1−23cos2x +acosx ≥0在(−∞,+∞)上恒成立 即−43cos 2x +acosx +53≥0在(−∞,+∞)上恒成立 令t =cosx 则t ∈[−1,1]g (t )=−43t 2+at +53 ∵−43cos 2x +acosx +53≥0在(−∞,+∞)上恒成立 ∴g (t )=−43t 2+at +53≥0在[−1,1]上恒成立 又∵g (t )=−43t 2+at +53的图象是开口向下的抛物线 ∴{g (−1)=−43−a +53≥0g (1)=−43+a +53≥0 解得−13≤a ≤13∴a 的取值范围是[−13,13] 故答案为[−13,13] 【点睛】方法点睛导数与函数单调性的关系1f′(x)>0(<0)是函数f(x)在区间(a,b)上单调递增（减）的充分不必要条件2f′(x)≥0(≤0)是函数f(x)在区间(a,b)上单调递增（减）的必要不充分条件3若f(x)在区间(a,b)的任意子区间上都不恒等于零则f′(x)≥0(≤0)是函数f(x)在区间(a,b)上单调递增（减）的充要条件六、计算题(共6 分)已知等比数列{a n}的各项均为正数前n项和为S n且满足a1+a2=4S4=40．17 求{a n}的通项公式；18 若数列{b n}满足b n=na n求{b n}的前n项和T n．【答案】17 a n=3n−118 T n=(2n−1)⋅3n+14【分析】（1）根据题意求出首项与公比再根据等比数列的通项即可得解；（2）利用错位相减法求解即可【17题详解】设公比为q(q>0)因为a1+a2=4S4=40所以a3+a4=a1q2+a2q2=(a1+a2)q2=36即4q2=36所以q=3（q=−3舍去）则a1+a2=a1+3a1=4所以a1=1所以a n=3n−1；【18题详解】由（1）得b n=n⋅3n−1则T n=1+2×3+3×32+⋯+n⋅3n−1①3T n=3+2×32+3×33+⋯+n⋅3n②由①−②得−2T n=1+3+32+⋯+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n=(12−n)⋅3n−12所以T n=(2n−1)⋅3n+14七、解答题(共6 分)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,cC=120°．19 若a=2b求tanA的值；20 若∠ACB的平分线交AB于点D且CD=2AD=√7求△ABC的面积．【答案】19 √3220 9√32【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件由此求得tanA（2）根据三角形的面积公式、角平分线的性质求得a,b从而求得△ABC的面积．【19题详解】由a=2b以及正弦定理得sinA=2sinB=2sin(A+C)=2sin(A+2π3)=2(−12sinA+√32cosA)=−sinA+√3cosA所以2sinA=√3cosA,tanA=√32【20题详解】依题意∠ACD=∠BCD=60°由正弦定理得ADsin60°=bsin∠ADC,BDsin60°=asin∠BDC由于sin∠ADC=sin∠BDC所以ADBD =ba,BD=√7ab所以c=√7+√7ab =√7(1+ab)=√7(a+b)bbc=√7(a+b)由S△ABC=S△ACD+S△BCD12absin120°=12b⋅2⋅sin60°+12a⋅2⋅sin60°ab=2(b+a)=2×bc√7c=√72a由余弦定理得c2=a2+b2−2abcos120°=a2+b2+ab即74a2=a2+b2+ab3a2−4ab−4b2=0(a−2b)(3a+2b)=0,a=2b 则由ab=2(b+a)得2b2=6b,b=3,a=2b=6所以S△ABC=12absinC=12×6×3×√32=9√32八、问答题(共6 分)若函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极小值．21 求c的值．22 函数g(x)=f(x)+6x2−(9+3a)x+1恰有一个零点求实数a的取值范围．【答案】21 322 (−∞,√232)【分析】（1）利用导数在x=x0处取到极值的必要不充分条件f′(x0)=0从而求出c值再对c进行检验即可求出结果．（2）利用导数研究函数单调性通过极值的范围求实数a的取值范围．【21题详解】因为f(x)=x(x−c)2所以f′(x)=(x−c)(3x−c)又因为函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极小值所以f′(3)=(3−c)(9−c)=0解得c=3或c=9当c=3时f′(x)=(x−3)(3x−3)则1<x<3时f′(x)<0x>3时f′(x)>0f(x)在(1,3)上单调递减在(3,+∞)上单调递增可得函数f(x)在x=3处取得极小值；当c=9时f′(x)=(x−9)(3x−9)则x<3时f′(x)>03<x<9时f′(x)<0f(x)在(−∞,3)上单调递增在(3,9)上单调递减可得函数f(x)在x=3处取得极大值不合题意舍去．所以c的值为3【22题详解】g(x)=f(x)+6x2−(9+3a)x+1=x3−6x2+9x+6x2−(9+3a)x+1=x3−3ax+1函数定义域为R g′(x)=3x2−3a当a≤0时g′(x)≥0恒成立g(x)在R上单调递增a=0时g(x)=x3+1有一个零点-1；a<0时g(1a )=1a3−3+1<0g(0)=1>0g(x)恰有一个零点当a>0时g′(x)>0解得x<−√a或x>√ag′(x)<0解得−√a<x<√a g(x)在(−∞,−√a)和(√a,+∞)上单调递增在(−√a,√a)上单调递减x =−√a 时g (x )有极大值x =√a 时g (x )有极小值g (x )恰有一个零点g(−√a)=2a √a +1<0或g(√a)=−2a √a +1>0 解得0<a <√232综上可知函数g (x )=f (x )+6x 2−(9+3a )x +1恰有一个零点实数a 的取值范围为(−∞,√232) 九、计算题(共 9 分)已知数列{a n }的前n 项和为S n a n >0且a n 2+2a n =4S n −1．23 求{a n }的通项公式； 24 设b n =S n a n a n+1的前n 项和为P n 求P n ．25 记数列{(−12)a n +12}的前n 项和为T n 若λ≤T n −1T n≤t 恒成立求t −λ的最小值．【答案】23 a n =2n −1 24 n (n+1)2(2n+1) 25 94 【分析】（1）根据a n 2+2a n =4S n −1及a n−12+2a n−1=4S n−1−1可得到{a n }是首项为a 1=1公差为2的等差数列结合定义法求通项公式即可；（2）根据（1）的结果求得b n 结合裂项相消法求和即可； （3）根据（1）的结果得到(−12)a n +12=(−12)n进而得到当n ≥3时T 1=−12＜T n ＜T 2=−14结合T n −1T n随T n 的增大而增大得到T n −1T n最值即可得到λ≤32,t ≥154进而得到答案【23题详解】因为a n 2+2a n =4S n −1所以当n =1时a 12+2a 1=4S 1−1=4a 1−1解得a 1=1 当n ≥2时a n−12+2a n−1=4S n−1−1 两式相减得a n 2−a n−12+2a n −2a n−1=4a n化简得(a n −a n−1−2)(a n +a n−1)=0 因为a n >0所以a n +a n−1＞0则a n −a n−1=2 即{a n }是首项为a 1=1公差为2的等差数列所以{a n }的通项公式为a n =1+2(n −1)=2n −1 【24题详解】 由（1）知S n =n (1+2n−1)2=n 2因为b n =S na n a n+1所以b n =n 2(2n−1)(2n+1)=n 24n 2−1=14+14(2n−1)(2n+1)=14+18(12n−1−12n+1)所以P n =n4+18(1−13+13−⋯−12n+1)=n4+18(1−12n+1)=n 4+n 4(2n +1)=n (n +1)2(2n +1)【25题详解】 由（1）知(−12)a n +12=(−12)2n−1+12=(−12)n所以T n =−12+14−18+116+⋯+(−12)n 所以当n ≥3时T 1=−12＜T n ＜T 2=−14 因为T n −1T n随T n 的增大而增大所以(T n −1T n)max=T 2−1T 2=−14+4=154(T n −1T n )min =T 1−1T 1=−12+2=32所以λ≤32,t ≥154所以t −λ的最小值为154−32=94十、解答题(共 12 分)一条直角走廊的平面图如图所示宽为2米现有一辆转动灵活的平板车其平板面为矩形ABCD 它的宽为1米26 若平板车被卡在此直角走廊内如图设∠PAB =θ(rad )试用θ表示平板车的长度f (θ)； 27 要想平板车能顺利通过直角走廊其长度不能超过多少米？【答案】26 f(θ)=2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ(0<θ<π2)27 (4√2−2)m 【分析】（1）延长CD交边P APB分别相交于EF得到EF=2cosθ+2sinθ且DE=1tanθCF=tanθ结合AB=DC=EF−(DE+CF)即可求解；（2）设sinθ+cosθ=t得到f(θ)=g(t)=4t−2t2−1利用导数求得函数的单调性与最小值结合最小值即可求解【26题详解】解由题意延长CD直角走廊的边P APB分别相交于EF则EF=OF+OE=2cosθ+2sinθ其中0<θ<π2又由DE=DAtanθ=1tanθCF=BC⋅tanθ=tanθ可得AB=DC=EF−(DE+CF)于是f(θ)=2cosθ+2sinθ−(tanθ+1tanθ)=2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ其中0<θ<π2【27题详解】解设sinθ+cosθ=t则t=√2sin(θ+π4)于是1<t≤√2又sinθcosθ=t 2−12因此f(θ)=g(t)=4t−2t2−1因为g′(t)=−4t2−4t+4(t2−1)2=−4(t−12)2+3(t2−1)2<0恒成立因此函数g(t)=4t−2t2−1在t∈(1,√2]上是减函数所以g(t)min=g(√2)=4√2−2故平板车被此走廊卡住的最小长度为(4√2−2)m从而平板车长不大于(4√2−2)m能在此走廊转弯平板车的长度大于(4√2−2)m 则不能在此走廊转弯故要想平板车能顺利通过此走廊其长度不能超过(4√2−2)m米设函数f(x)=cosx−1+x 22(x≥0) 28 求f(x)的最值；29 令g(x)=sinxg(x)的图象上有一点列A i(12i ,g(12i))(i=1,2,...,n,n∈N*)若直线A i A i+1的斜率为k i(i=1,2,...,n−1)证明k1+k2+...+k n−1>n−76【答案】28 f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=0f(x)在[0,+∞)上无最大值29 见解析【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负故可判断导数非负据此可求原函数的最值（2）根据（1）可得sinx≥x−x 36(x≥0)结合二倍角的正弦可证k i>1−76×122i+2结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式【28题详解】f′(x)=−sinx+x设s(x)=−sinx+x则s′(x)=−cosx+1≥0（不恒为零）故s(x)在(0,+∞)上为增函数故s(x)>s(0)=0所以f′(x)>0故f(x)在[0,+∞)上为增函数故f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=0f(x)在[0,+∞)上无最大值【29题详解】先证明一个不等式sinx≥x−x 36(x≥0)证明设u(x)=sinx−x+x 36,x≥0则u′(x)=cosx−1+x22=f(x)≥0（不恒为零）故u(x)在[0,+∞)上为增函数故u(x)≥u(0)=0即sinx≥x−x 36(x≥0)恒成立当i∈N∗时k i=g(12i+1)−g(12i)12i+1−12i=2i+1(sin12i−sin12i+1)=2i+1(2sin12i+1cos12i+1−sin12i+1)=2i+1sin12i+1×(2cos12i+1−1)由（1）可得cosx≥1−x 22(x>0)故cos12i+1≥1−122i+3>0故2i+1sin12i+1×(2cos12i+1−1)≥2i+1sin12i+1×[2(1−122i+3)−1]=2i+1sin12i+1×(1−122i+2)≥2i+1(12i+1−16×23i+3)(1−122i+2)=(1−16×22i+2)(1−122i+2)=1−76×122i+2+16×124i+4>1−76×122i+2,故k1+k2+...+k n−1>n−1−76(124+126+⋯+122n)=n−1−76×124(1−14n−1)1−14=n−1−76×(112−13×14n)=n−1−772+718×14n>n−7972>n−76【点睛】思路点睛导数背景下数列不等式的证明需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式从而得到相应的数列不等式再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式。

安徽省合肥市2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案

安徽省合肥市2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案

合肥2025届高三10月段考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos 2αα+=，则tan 2α=（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos 3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M =+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n n a a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】102sin cos 2αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = 12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=-，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos 3sin 2sin 3cos 5cos1OP OP ⋅=-=≠，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x有极小值为20f =<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin043x α+=>>-，()2min 5π2sin sin42x α+==-23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin073x α+=>>-，()2min 19πsin sin14x α+=<4π2sin 323=-<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB⋅==⋅，∴π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．23【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则3M b a c b c a =---，()622b a c b a c b c a --≤-+-=-∴32323M b a c b c a c a =----+，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．23+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos 3sin 0a C a C b c +--=，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos 3sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()3sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>3cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 632ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 1032ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC边中点为M，连接BM，则BM=，4AM=，在ABM△中，由余弦定理得2222cosBM AB AM AB AM A=+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB=+-⋅．整理得2450AB AB--=，解得5AB=或1AB=-（舍）．所以ABC△的面积为1sin2ABCS AB AC A=⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4ky a xx⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x axx⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x≤≤，即单价最低定为2.6元/3m．17．【解析】（1）()1122xxf xa=⨯+，因为()f x是奇函数，所以()()f x f x-=-，所以11112222x xx xa a⎛⎫⨯+=-⨯+⎪⎝⎭，所以111202xxa⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a+=，1a=-；（2）因为()122xxf x=-，[]1,2x∈，所以22112222x xx xm⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，所以122xxm≥+，[]1,2x∈，令2xt=，[]1,2x∈，[]2,4t∈，由于1y tt=+在[]2,4单调递增，所以117444m≥+=．18．【解析】（1）()f x的定义域为()0,+∞，()1lnf x x'=-，当()0f x'=时，ex=，当()0,ex∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111⋅⋅⋅⋅⋅≥，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。

河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题含答案

河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题含答案

高三数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数tan y x =的值域可以表示为（）A.{tan }xy x =∣ B.{tan }yy x =∣C.{(,)tan }x y y x =∣D.{tan }y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣.故选：B.2.若“sin 2θ=-”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A .第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角【答案】B 【解析】【分析】根据角θ的正切值与正弦值的正负判断象限即可.【详解】由题可知，sin 02θ=-<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角.故选：B3.下列命题正确的是（）A.x ∃∈R ，20x <B.(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C.(0,)x ∃∈+∞，132x x< D.π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =【答案】C 【解析】【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令14x =即可判断;对于选项D:令4sin cos 2sin 2y x x x ==，结合三角函数的值域求解验证即可.【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为0,+∞，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误；对于选项B:因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈-，故选项B 错误；对于选项C:令14x =,则311464⎛⎫= ⎪⎝⎭，121142⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2y x x x ==，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2y x =∈，2>，故不存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得4sin cos x x =,故选项D 错误.故选：C.4.函数24()f x x x =-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.【详解】函数24y x x =-是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ，故选：C .5.已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e -的夹角为（）A.45︒B.60︒C.120︒D.135︒【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅-=-⋅=，12e e -==，121e e == 所以()1121121122cos ,2e e e e e e e e e ⋅--===-故向量1e 与12e e -的夹角为45︒故选:A 6.已知5πtan 210α+=，则4π5tan 5α-=（）A.125 B.125-C.43D.43-【答案】C 【解析】【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.【详解】由题可知，5π4π52π105αα+-⨯+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++⎛⎫⨯===- ⎪+-⎝⎭-所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα-++⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C7.已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A.8B.9C.12D.16【答案】A 【解析】【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令()364a b =+代入化简，然后利用基本不等式求解即可.【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立；故选：A8.若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先将两个乘积看做两个函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-，易知要使0x ∀>时，()21(ln 1)0xax ax ---≥，则需要两函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-同号，所以我们需要去找他们零点，0x >时零点相同，然后求解参数a 即可.【详解】由题易知0a >，当ex a=时，()ln 10ax -=；由对数函数的性质可知，当e 0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax -<；当e ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax ->；显然函数21y x ax =--有两个根12,x x ，不妨令12x x <，则120x x <<由二次函数的图像可知，()20,x x ∈时，210x ax --<；()2,x x ∞∈+时，210x ax -->故要使()()()21ln 10x ax ax ---≥恒成立，则2ex a=所以有2e e 10aa a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，解得a =故选：D【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数sin()()2x f x -=，则（）A.()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()f x 为奇函数C.()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的最小正周期为2π【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A:利用换元()sin t x =-，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C :结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D :借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.【详解】对于选项A:由sin()()2x f x -=，令()sin t x =-，则2t y =，[]1,1t ∈-，因为2t y =在[]1,1t ∈-上单调递增，所以12,22ty ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选项A 正确；对于选项B:由sin()()2x f x -=可知(),x ∞∞∈-+，对任意的(),x ∞∞-∈-+，因为sin ()2x f x -=，而sin ()2x f x -=，易验证()(),f x f x -≠-故()f x 不是奇函数，故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，而2t y =在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得sin()()2x f x -=在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故选项C 错误；对于选项D :因为()sin t x =-的最小正周期为2πT =，所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x ---==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当0200x <<时，应进甲商场购物B.当200300x ≤<时，应进乙商场购物C.当400500x ≤<时，应进乙商场购物D.当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC 【解析】【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场，所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x -，400.840.1640x x x --=-，因为200250x ≤<，所以80.16400x -≤-<，400.84x x -<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x ->应进甲商场，所以选项B 错误；当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x -800.840.1680x x x --=-，因为400500x ≤<，所以160.16800x -≤-<故800.84x x -<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504⨯=，在乙商场的费用为600120480-=，所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D 错误.故选：AC11.已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A.(0)0f = B.()()()f x y f x f y +=⋅C.()f x 在R 上是减函数 D.[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】取2,0x y =-=可求(0)f ，判断A ，取12,2x y =-=-证明()011f <<，取1x =可得()[(1)]y f y f =，由此可得()[(1)]x f x f =，结合指数运算性质和指数函数性质判断BC ，选项D 的条件可转化为当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，结合函数性质求结论.【详解】因为x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =，(2)1f ->取2,0x y =-=可得01(0)[(2)]f f =-=，A 错误；取12,2x y =-=-可得12(1)[(2)]f f -=-，又(2)1f ->，所以()011f <<，取1x =可得，()[(1)]y f y f =，所以()[(1)]x f x f =，其中()011f <<，所以()()()()()()111x yx yf x y f f f f x f y ++===，B 正确，由指数函数性质可得()[(1)]x f x f =，其中()011f <<在R 上单调递减，所以()f x 在R 上是减函数，C 正确；不等式()2(3)1f x kx f x -⋅-≥可化为()()()23111xkxx f f f --≥，所以230x kx x -+-≤，由已知对于[1,3]x ∀∈，230x kx x -+-≤恒成立，所以当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，故max31x k x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，其中[1,3]x ∈，因为函数1y x =+，3y x=-在[]1,3上都单调递增，所以31x x+-在[1,3]上的最大值为3，所以3k ≥，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为______．【答案】0x y +=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.【详解】由题可知，()12f x x =-+'，()11f -=，所以切线斜率()11k f =-=-'，故切线方程为()110y x x y -=-+⇒+=.故答案为：0x y +=13.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质，求得2k ω=，Z k ∈，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈，当∈0,π时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522w <£，所以2ω=.故答案为：214.若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得sin α，进而求得a ，也即是BC .【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ⎛⎫∠=∠-= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos ,sin 2525BAC BAC ⎛⎫⎛⎫∠=∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=，ππ11cos cos cos sin 22225BAC BAC BAC θ-∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=∠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，θ为锐角，则sin 5θ==.由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=-，所以ABP BCP ，所以AB AP BPBC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PCθαθααθα===----，所以()sin sin BP PC θαα-=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα-==，即()sin sin c a θαα-=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠-==-∠，即2525554tan 55α=-，解得4tan 7α=，则α为锐角，由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩解得sin αα==，在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+-=-⨯=，所以225,42b a b ==，在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBAC BAC ααα==∠--∠-，所以22445a=，解得a BC ==.【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭及正弦定理得：312sin sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦得：sin sin cos sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，又sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,66A -=解得π3A =.【小问2详解】因为O 为ABC V 的外心,且由上问知π3A =，所以2π23BOC A ∠=∠=,设OB OC R ==（R 为ABC V 的外接圆半径），因为D 为边BC 的中点，且1OD =，所以在OBC △中易得：1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，所以2221112πcos 4423OD OB OC OB OC =++ ，即22211121cos 4423πR R R =++，解得：2R =，在OBC △中由余弦定理可得：2222π2cos123BC OB OC OB OC =+-=，解得BC a ==在ABC V 中由余弦定理可得：()2222π2cos3123a b c bc b c bc =+-=+-=，由基本不等式22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得：()223122b c b c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以()21124b c +≤，即b c +≤.所以ABC V 周长ABC C a b c =++≤+=V当且仅当b c ==时等号成立.故ABC V 周长的最大值为16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =．（1）求a ；（2）如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．【答案】（15（2）136【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求()tan B C +，即求角A ，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解sin BCD ∠，以及两角和的三角函数求sin D ，再根据正弦定理求BD ，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，tan tan 1tan tan +=-B C B C ，所以()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==-，所以45B C += ，即135A = ，所以2cos 2A =-，则22222cos 1221252a b c bc A ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以5a =；【小问2详解】15225cos 5215ACB ∠==⨯⨯，()25sin sin 90cos 5BCD ACB ACB ∠=-∠=∠=，5cos 5BCD ∠=，()()sin sin 45sin cos 225510D BCD BCD BCD ⎛=∠+=∠+∠=⨯+= ⎝⎭ ,BCD △中，sin sin BC BD D BCD =∠，即sin sin 3BC BCD BD D ⋅∠==，所以15sin 4523BCD S BC BD =⨯⨯= ，11sin13522ABC S AC AB =⋅⋅= ，所以四边形ABDC 的面积为5113326+=.17.已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=；（2）π[,π]3【解析】【分析】（1）由2m n =得2=，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得()2sin()f x x ωϕ=+，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a ，b ，ω的值；（2）由题意中点的变换求得π()sin(6g x x =+，利用正弦函数的图象特点即可求得()g x 在[0,π]上的单调递减区间.【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，由2m n =2=，由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=，因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，结合图象，由①可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入②式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=-+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<，由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由320b a a ⎧=⎪=⎪>⎩解得，1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故a =1b =，2ω=；【小问2详解】不妨记12,2x x y y ''==，则,22x x y y ''==，因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ''=+，即πsin(6y x ''=+，又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+.由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈，因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤.()g x 在[0,π]上的单调递减区间为π[,π]3.18.已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．（1）当24m n =时，求()f x 的最小值；（2）当2m =-时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．【答案】（1）0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式2e ln 1xx x >+等价转化为3e ln 1x x x x +>，设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >成立，分别求m m ax in (),()h x g x 即可得证.【小问1详解】当24m n =时，22()()e 4x m f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m m x x '=+++=++++，由()0f x '>，可得22m x <--或2mx >-，由()0f x '<，可得222m m x --<<-，即()f x 在(,2)2m -∞--和(,)2m -+∞上单调递增；在(2,)22m m---上单调递减，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =-时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f -=.【小问2详解】当2m =-时，()2()2e xf x x x n =-+，函数的定义域为R ，()2(e 2)xx f x n =+-'，当2n ≥时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x '=，可得x =，故当x <x >时，()0f x '>；即()f x 在(,∞-和)∞+上单调递增；当x <<()0f x '<，即()f x 在(上单调递减.综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x在(,∞-和)∞+上单调递增,在(上单调递减.【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >.因e ()=x g x x ，2(1)e ()xx g x x-'=，由()0g x '<，可得01x <<，由()0g x '>，可得1x >，故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增,则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =；因3ln 1()x h x x+=，423ln ()x h x x --'=，由()0h x '=，可得23x e -=，由()0h x '<，可得23x e->，由()0h x '>，可得230x e -<<，故()h x 在23(0,e)-上单调递增，在23(e ,)-+∞上单调递减，则()h x 在23x e -=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e1e (e )h ---==+.因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证.即0x ∀>，()ln 1f x x >+．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.证明不等式型如()()f x g x >的恒成立问题，一般方法有：（1）构造函数法：即直接构造()()()F x f x g x =-，证明min ()0F x >；（2）比较最值法：即证明min max ()()f x g x >即可；（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.19.已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；（3）如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定,a b 的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把,AG BC的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ====（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈），则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ-=-=+，cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即c Rr a b ==⨯，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+.故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(,),22a b == ，则111,1222((0,2)2c a b ⨯+=== ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==，根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ==- ※，所以1()()()()222n q p m AG A AD E λλ--=+= ，而(,)BC AC AB p m q n =-=--，所以1[()()()()]02AG BC p m n q q n p m λλ⋅=--+--= ，故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+，())3ππ13cos ,sin 3,,,33222222u u v AC AB u v λ⎛⎫⎛++⎛⎫==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭※※，所以333(3)33333(3,0)(,)(,)222222u u v u v OC OA AC ++--++=+=-+-+=，所以OC ===.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ==≤<，则OC == ，当πsin 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，max 5OC = .【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值.。

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高三数学试题第I卷(选择题共40 分)符合题目要求的一项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出1•若集合A {x|0 x 3}，B {x| 1 x 2}，则AU B(A){x| 1 x 3} (C) {x|0 x 2} (B){x| 1 x 0} (D){x|2 x 3}2 .在复平面内，复数旦对应的点的坐标为1 i(A) (1,1) ( B) ( 1,1) (C) ( 1, 1) (D) (1, 1)3 .下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是(A) y x 1 (B) y (x 1)2(C) y sinx 1(D) y x"4 •执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)30(D)2705 .若log 2 a log^b 2，则有(A) a 2b (B) b 2a (C) a 4b6 •一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去.的几何体是(A)三棱锥(B)三棱柱(C)四棱锥7.函数f (x) sin(xn )的图象记为曲线c.则“ f(o) f( n”是“曲线C关于直线x -对称”的xx210.已知双曲线—a2每1的一个焦点是F(2,0)，其渐近线方程为b3x , 该双曲线的方程是11.向量a,b 在正方形网格中的位置如图所示.如果小正方形网格的边长为1，那么a b _____ .12•在△ ABC 中，a 3, C , △ ABC 的面积为①空，则b ______________ ; c3 413.已知点M(x,y)的坐标满足条件x 1 < 0,x y 1> 0,设O 为原点，则 OM 的最小值是 x y 1 > 0.14.已知函数f(x)2x x, 2 w x w c,1若c 0 ,贝y f(x)的值域是, c x w 3. ；若 f(x)的值域是［丄,2］，则实数c 的取值范围是4第H 卷(非选择题共110 分)(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件&已知 A , B 是函数y2x的图象上的相异两点 .若点则点 A , B 的横坐标之和的取值范围是(A ) ( ,1)(B ) ( , 2) (C )1y 2的距离相等，(D) ( , 4)、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30 分.9 .若函数f(x) x(x b)是偶函数，则实数b(C )充分必要条件 A , B 到直线 (,3)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)已知函数f (x) 2sin2 x cos(2x n).(I)求f (x)的最小正周期；(n)求证：当x [0,n]时，f (x) > 丄.2 216. (本小题满分13分)1已知数列｛a n｝是公比为-的等比数列，且a2 6是印和a3的等差中项.3(I)求｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛a n｝的前n项之积为T n，求T n的最大值.17. (本小题满分13分)某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A, B两类(评定标准见表1).根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A的学生中有一半是女生.等级为A和A的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B类学生.整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图.表1 图2(I)已知该市高中学生共 20万人，试估计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；(n)某5人得分分别为45,50,55,75,85 .从这5人中随机选取2人组成甲组，另外 3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；(川)在这10000名学生中，男生占总数的比例为 51% , B 类女生占女生总数的比例为 k i , B类男生占男生总数的比例为 k 2 .判断k 1与k 2的大小.(只需写出结论)18. (本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，AB 平面AA 1C 1C , AA 1 AC .过AA 1的平面交B 1C 1 于点E ，交BC 于点F .(I)求证：AC 平面ABC 1 ; (n)求证：AA//EF ;A 20 <x 5019. (本小题满分14分)(I)求椭圆C 的方程及离心率；(n)设点Q 在椭圆C 上.试问直线x y 4 0上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.20. (本小题满分13分)已知函数f(x) x 2lnx 2x .(I)求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (n)求证：存在唯一的x o (1,2)，使得曲线y f(x)在点(x o ,f(x o ))处的切线的斜率为f(2) f(1)；(川)比较f(1.01)与2.01的大小，并加以证明.(川)记四棱锥BAA 1 EF 的体积为V ,三棱柱 ABC的值.2 2已知椭圆C:务告1(aa 2b 2b 0)过 A(2, 0) , B(0,1)两点.ABC 的体积为V.若v i '求北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末高三数学(文科)参考答案及评分标准2018.1一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. C5. C6. B7. C8. B二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.29. 010. x2- 111. 43.2 1 112. 1 ; .1313. 14. [ —, ) ；[―,1]2 4 2注：第12, 14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15. (本小题满分13分)解：(I)因为f(x) 2sin2x cos(2x n)3n n1 cos2x (cos2x cos sin 2x sin ) ［ 4 分］3 33sin2x -cos2x 1 ［ 5 分］2 2 3sin(2 x16. (本小题满分13分)解：(I)因为a 2+ 6是a 1和a 3的等差中项，所以 2(a 2 6) a 1 a 3. ［ 2 分］1因为数列｛a n ｝是公比为1的等比数列，3所以2(旦6) a 1去,［4分］3 9解得a 1 27 . ［ 6分］所以 an d q n1 (3)n 4. ［ 8分］(n)令 a n > 1，即(^广4》1，得 n < 4 , ［10 分］3故正项数列｛a n ｝的前3项大于1,第4项等于1，以后各项均小于1. ［11分］ 所以当n 3，或n 4时，T n 取得最大值，［12分］ T n 的最大值为T 3 T 4耳a 2 a 3 729 . ［13分］17. (本小题满分13分) 解：(I)依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.02 0.04) 10 60% , [ 2分]所以A 类学生所占比例为 40% . [ 3分]所以 f(x)的最小正周期T2n~2 (n)因为2x所以 sin(2x¥，［12分］所以 f(x) >2.［13分］因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人.[4分](H)由表1得，在5人(记为a,b, c, d,e)中，B类学生有2人(不妨设为b, d ).将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种.[6分]依次为：(ab,cde),(ac,bde),( ad,bce),(ae,bcd),(bc, ade),(bd,ace),(be, acd),( cd,abe), (ce,abd),(de,abc) . [ 8 分]所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为6 3. [10分]10 5(川)k1 k2. [ 13 分]18. (本小题满分14分)解：(I)因为AB 平面AA1C1C，所以AC AB . [2分]在三棱柱ABC A1B1C1中，因为AA1 AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以AC AC1 . [3分]所以AC 平面ABC1. [5分](H)在三棱柱ABC A1B1C1中，因为A1A//B1B , A1A 平面BB1C1C , [6 分]所以A,A〃平面BB1C1C . [8分]因为平面AA1EF I平面BB1C1C EF ,所以AA//EF . [10 分](川)记三棱锥B1 ABF的体积为V，三棱柱ABF 厲B1E的体积为V3.因为三棱锥B1 ABF与三棱柱ABF A1B1E同底等高，所以业1, [11分]V3 3所以百1冷2V3 V3 3V 3 13 1 . 所以一 .[12分]V 6 2 4ABE 与三棱柱 ABC A i B 1C 1等高,所以△ ABF 与厶ABC 的面积之比为19. （本小题满分14分）解：（I ）由题意得，a 2, b 1 . ［2分］2 所以椭圆C 的方程为—y 21 . ［3分］4设椭圆C 的半焦距为c ，则c . —b 2 3 , ［ 4分］ 所以椭圆C 的离心率e -乜.［5分］a 2(H)由已知，设 P(t,4 t) , Q(x 0,y 0)18 2此时P （—,），或P （2,2） •经检验，符合四边形 PAQB 是平行四边形,5 518 2所以存在P （7，），或P （2,2）满足题意.［14分］5 520. （本小题满分13分）解：(I)函数f(x) x 2lnx 2x 的定义域是(0,),导函数为 f (x) 2xln x x 2．［ 1 分］若PAQB 是平行匹 【边形, 则 uua PA uu u PB所以（2t,t 4) (t,t 3) (X 0 t, 整理得 X 02 t,y ot 3 .[10分］将上式代弋入 2 X 4y 024 ,得(2t)2 4(t 3)2 4 , [11 分]整理得 5t 2 28t 36 0 ,解得t 18 或t2 . [13 分］5uurPQ , [ 8 分]y 0 4 t), 因为V 1, 因为三棱柱ABF所以BFBC所以 f (1) 1，又f (1) 2 ，所以曲线y f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y x 1 . ［ 3分］(n)由已知f(2) f (1) 41 n 2 2 . ［ 4 分］所以只需证明方程2xln x x 2 4ln2 2在区间(1,2)有唯一解．即方程2xlnx x 4ln2 0在区间(1,2)有唯一解．［ 5分］设函数g(x) 2xln x x 4ln 2，［ 6 分］则g (x) 2ln x 3 ．当x (1,2)时，g (x) 0，故g(x)在区间(1,2)单调递增.［7分］又g(1) 1 4ln 2 0，g(2) 2 0，所以存在唯一的x0 (1,2)，使得g(x0) 0．［ 8分］综上，存在唯一的x o (1,2)，使得曲线y f(x)在点(x o,f(x。

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