2019届高考理科数学专题 定积分与微积分基本定理

通常记作‫׬‬������������ f(x)dx=F(x)
������ ������
=F(b)-F(a).
如果F'(x)=f(x),那么称F(x)是f(x)的一个原函数.
规律总结
理科数学 第三章 ：导数及其应用
常见被积函数的原函数
(1)‫׬‬������������ cdx=cx
������ ������
物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=-‫׬‬������������ v(t)dt. (2)变力做功
物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力F(x)相同的方向从
x=a移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功W=‫׬‬������������ F(x)dx.
理科数学 第三章 ：导数及其应用
考情精解读
考纲要求 命题规律 命题分析预测
考纲要求
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
命题规律
核心考点 1.定积分的计算
2.定积分的应用
考题取样 2015湖南,T11 2015天津,T11 2013湖北,T7
考查内容（对应考法） 定积分的计算(考法1) 求平面图形的面积(考法2) 求变速运动的路程(考法2)
(2)‫׬‬−55 (3x3+4sin x)dx.
解析
(1)根据定积分的几何意义,可知∫
1 0
1−(������−1)2dx
表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的14(如图中阴影部分).
故∫
1 0
1−(������−1)2dx=π4.
理科数学 第三章：导数及其应用
(2) 设y=f(x)=3x3+4sin x, 则f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sin x)=-f(x),所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是 奇函数. 所以‫׬‬−05 (3x3+4sin x)dx=-∫ 05(3x3+4sin x)dx. 所以‫׬‬−55 (3x3+4sin x)dx=‫׬‬−05 (3x3+4sin x)dx+∫ 05(3x3+4sin x)dx=0.
(4)‫׬‬������������ cos xdx=sin x
������ ������
;
(6)‫׬‬������������ exdx=ex
������ ������
.
理科数学 第三章 ：导数及其应用
B考法帮∙题型全突破
考法1 求定积分 考法2 定积分的应用
考法1 求定积分
考法指导 求解定积分的思路与方法: (1)找出被积函数,进行化简,即把被积函数变为常见函数(如幂函数、正弦函 数、余弦函数、指数函数等)与常数的和或差,对于含有绝对值符号的被积 函数,要先去掉绝对值符号,写成分段函数; (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差; (3)分别用求导公式找出F(x),使得F'(x)=f(x); (4)利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个定积分的值; (5)计算所求定积分的值.
理科数学 第三章 ：导数及其应用
示例4 一物体A以速度v(t)=t2-t+6作直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时, 物体A运动的路程是 A.26.5 B.53 C.31.5 D.63
思路分析 利用微积分基本定理求解.
解析 答案
S=‫׬‬14 (t2-t+6)dt=(13t3-12t2+6t) 14=(634-8+24)-(13-12+6)=31.5. C
【理科数学】第三章 导数及其应用
第三讲 定积分与微积分基本定理
考情精解读 考纲要求
目录
CONTENTS
命题规律
命题分析预测
A考点帮∙知识全通关
考点1 定积分 考点2 微积分基本定理
B考法帮∙题型全突破 考法1 求定积分 考法2 定积分的应用
理科数学 第三章 ：导数及其应用
理科数学 第三章 ：导数及其应用
考法2 定积分的应用
考法指导 1.求图形的面积 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3) 求出曲线的交点坐标,确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定 积分,求出平面图形的面积.
注意 ①定积分是一个数值(极限值),可为正,可为负,也可为零,而平面图形 的面积在一般意义上总为正.②定积分的上下限的顺序不能颠倒.
A考点帮∙知识全通关
考点1 定积分 考点2 微积分基本定理
考点1 定积分
1.定积分的基本思想
定积分的基本思想就是以直代曲,即求曲边梯形的面积时,将曲边梯形分割
成一系列的小曲边梯形,用小矩形近似代替,利用矩形面积逼近求出曲边梯
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形的面积.这一步骤为分割—近似代替—求和—取极限.
2.定积分的概念
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将 区间[a,b]等分为n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作
解法一 选取横坐标x为积分变量,则图中阴影部分的面积S可看作两部分
面积之和,即S=2∫
2 0
2������dx+∫ 28(
2������-x+4)dx=18.
解法二 选取纵坐标y为积分变量,则图中阴影部分
的面积S=‫׬‬−42 (y+4-12y2)dy=18.
理科数学 第三章：导数及其应用
突破攻略 设阴影部分的面积为S,则对如图所示四种情况分别有:
示例3 求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.
思路分析 求出两曲线的交点坐标,可将所围成的平面图形进行适当的分 割,利用定积分的几何意义转化为求定积分的值.
解析 如图所示,解方程组ቊ������������2==������−2���4���,,得两交点的坐标分别为(2,-2),(8,4).
f(x) f(x)≥0
f(x)<0 f(x)在[a,b] 上有正有负
表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形 的面积 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形 的面积的相反数 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的 曲边梯形的面积
4.定积分的性质 (1)‫׬‬������������ kf(x)dx=k‫׬‬������������ f(x)dx(k为常数); (2)‫׬‬������������ [f1(x)±f2(x)]dx=‫׬‬������������ f1(x)dx±‫׬‬������������ f2(x)dx; (3)‫׬‬������������ f(x)dx=‫׬‬������������ f(x)dx+‫׬‬������������ f(x)dx(其中a<c<b).
理科数学 第三章 ：导数及其应用
突破攻略
1.当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图象与直线x=a,x=b,y=0所围成
的曲边梯形的面积易求时,可利用定积分的几何意义求定积分.
2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则由定积分的几何意义和奇偶函数图象
的对称性可得两个结论:
(1)若f(x)是偶函数,则‫׬‬−������������
(1)S=‫׬‬������������ f(x)dx;
(3)S=∫
������ ������
f(x)dx-∫
������ ������
f(x)dx;
(2)S=-‫׬‬������������ f(x)dx; (4)S=‫׬‬������������ f(x)dx-‫׬‬������������ g(x)dx= ‫׬‬������������ [f(x)-g(x)]dx.
;
(3)‫׬‬������������ sin xdx=-cos x
������ ������
;
(5)‫׬‬������������ ���1���dx=ln|x|
������ ������
;
(2)‫׬‬������������ xndx=���������������+���+11 ������������(n≠-1);
命题分析预测
1.分析预测 本讲在近五年的全国卷中未考查,但却是自主命题地区的命题 热点,常考查定积分的求解,定积分的应用(求平面图形的面积),多以选择题、 填空题的形式出现,题目较简单,预测在2019年的全国卷中命题的概率依然 不大. 2.学科素养 本讲主要考查考生的直观想象能力和数学运算能力.
理科数学 第三章 ：导数及其应用
示例1 计算下列定积分:
(1)∫
12���2���dx;(2)∫
π 0
cos
xdx;(3)∫
13(2x-���1���2)dx.
思路分析 求出被积函数的原函数即可得出结果.
理科数学 第三章 ：导数及其应用
理科数学 第三章：导数及其应用
示例2 利用定积分的几何意义计算下列定积分:
(1)∫
1 0
1−(������−1)2dx;
������
和式 ∑
������=1
n
f(ξi)Δx= ∑
i=1
������−������ ������f(ξi).
理科数学 第三章 ：导数及其应用
当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上
的定积分,记作‫׬‬������������
f(x)dx,即‫׬‬������������
理科数学 第三章 ：导数及其应用
说明 求分段函数的定积分,可以先确定不同区间上的函数解析式,然后根 据定积分的性质(3)进行计算.
考点2 微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么‫׬‬������������ f(x)dx=F(b)F(a),这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.
f(x)dx=2∫
������ 0
f(x)dx;
(2)若f(x)是奇函数,则‫׬‬−������������ f(x)dx=0.
拓展变式1 计算:‫׬‬−11 ( 1−������2+x)dx=
A.π
B.π2
C.π+1 D.π-1
理科数学 第三章 ：导数及其应用
答案 B 解析 ‫׬‬−11 ( 1−������2+x)dx=‫׬‬−11 1−������2dx+‫׬‬−11 xdx=π2+12x2 1−1=π2.故选B.
������
f(x)dx=������→lim+∞������∑=1
������−������ ������f(ξi).
其中f(x)叫作被积函数,区间[a,b]叫作积分区间,a叫作积分下限,b叫作积分上
限,x叫作积分变量,f(x)dx叫作被积式.
3.定积分的几何意义
理科数学 第三章 ：导数及其应用
2.定积分在物理中的应用 (1)变速直线运动的路程
理科数学 第三章 ：导数及其应用
如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0),那么
物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=‫׬‬������������ v(t)dt; 如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≤0),那么