几何体的内切与外接球
立体几何中球的内切和外接问题完美版
S
A.
B.
C.1
D.
答案：D.
O
，即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，
且
，，
解：
且
，
，
因为 所以
所以知 所以可得图形为：
，
，
,
,求球 的体积。
P
在
中斜边为
在
中斜边为
B
取斜边的中点 ， 在
中
在
中
所以在几何体中
则这个球的表面积是（ ）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中
是正三角形，
AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 （ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD 2, BD CD ，
将其沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD，使平面 A' BD 平面 BCD，
∴S 表=S 侧+S 底=9
外接球与内切球
外接球与内切球【基础回顾】 球的体积公式：343V R π=球的表面积公式：24S R π= ☆核心：求出外接球/内切球的半径R . 【知识引导】一、多边形外接圆⇒几何体外接球（圆心到多边形各个顶点距离相等，距离为半径r ⇒球心到几何体各顶点距离相等，距离为半径R ） ☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r . 【1】常见多边形外接圆半径 1. 四边形长方形： 半径：22a br +=，圆心：对角线交点正方形： 半径：22r a =， 圆心：对角线交点2. 三角形☆等边三角形： 半径：3r =， 圆心：中线三等分点 （注意讲解中线上2:1关系）直角三角形： 半径：222a br +=， 圆心：斜边中点120︒等腰三角形： 半径：r a =，圆心：如图，在三角形外部普通三角形： 半径：利用正弦定理2sin ar A= （已知一组对边角） （这里r 即为外接圆半径）【2】常见几何体外接球半径1. 直棱柱：222hR r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，r为底面外接圆半径，h为柱体的高（注：斜棱柱无外接球）长方体：半径：222a b c R++ =正方体：半径：3R=，球心：体对角线交点直三棱柱：半径：222h R r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2. 锥体：正三棱锥：外接球球心在底面的高线上球半径可利用勾股定理列方程求解正四面体：半径：64R=，二、多边形内切圆⇒几何体内切球【解题技巧与步骤】一、求解外接球半径R （☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r ）【1】柱体：R =r 为底面外接圆半径. 【2】锥体步骤：（1）选合适底面，找圆心O '，求出底面外接圆半径r .（底面：长方形，正方形，等边∆，直角∆，120︒等腰∆，已知一组对边角的∆） （2）将圆心向上平移h ，得到球心O☆（3）利用PO AO =（R 相等）列方程求h （OA（4）将h 代入OA =R（三棱锥外接球为重点内容，重点讲解第3步列方程中各长度的求解）二、求解内切球半径R （核心：等体积法）题型一、柱体外接球1. 一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5cm cm cm ，则该长方体的外接球的体积是________3cm ．2. 长方体的长宽高分别是 ，，，则其外接球的体积是 ．3.长、宽、高分别为 、 、 的长方体的外接球的表面积为 ．4.一个棱长为2cm 的正方体的外接球的体积是_________3cm ．5.若正方体外接球的体积是 ，则正方体的棱长等于 ．6.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A . B. C.132D. 7.三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A. B. C.D.8.三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.B.C.D.9.已知侧棱与底面垂直的三棱柱满足，，则其外接球的表面积为 ．10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 2a π B.273a π C.2113a π D. 25a π11.设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是．12.一个直六棱柱的底面是边长为的正六边形，侧棱长为，则它的外接球的表面积为．题型二：锥体外接球（等边三角形（含正三棱锥））1.在正三棱锥中，，分别是棱，的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是．2.已知三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的外接球的直径为 ．3.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是___________.4.已知球的直径6SC =，,A B 是该球球面上的两点，且3AB SA SB ===，则棱锥S ABC -的体积为A . B.C.D.5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为_________________.6.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒，已知,,,A B C D 四点在同一个球面上，则球的表面积等于___________.7.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且2PA PB ==，当三棱锥P ABC -表面积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 A. 12π B. 8π C. 43πD.323π8.三棱锥中， 为等边三角形，，，二面角的大小为，则三棱锥 的外接球的表面积为A. B.C.D.9.已知三棱锥A BCD -中，2,2AB AC BD CD BC AD =====，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的体积为A. 8πB.C.D.（直角三角形） 1.设，，， 是球面上的四点，，， 两两互相垂直，且 ，，，则球的表面积为A. B. C. D.2.已知 的顶点都在球 的球面上，，，，三棱锥的体积为，则该球的表面积等于 ．3.已知三棱锥 中，，，，，则该三棱锥外接球的体积为 ．4.已知四面体P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ABC ⊥平面, AB AC ⊥,且AC =2PB AB ==,则球O 的表面积为_______________________.5.某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为A. B. C. D.6.一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积是．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的A.外接球的体积为B.外接球的表面积为4πC.体积为D.18.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积是A. B. C. D.9.已知点,,,A B C D 在同一个球的球面上，2AB BC ===,若四面体中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC =则这个球的表面积为___________________.10.在体积为43的三棱锥S ABC -中，2,90,AB BC ABC SA SC ==∠=︒=，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是A.B. 92π C. 272π D. 12π11.如图，三棱锥中S ABC -，,6,12SA ABC AB BC ⊥==平面, AC SB ==则三棱锥S ABC -外接球的表面积为_______________.12.已知三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的三视图如图所示，三个视图的外轮廓都是直角三角形，则其侧视图面积的最大值为 ．13.在三棱锥 中，， 斜边上的高为 ，三棱锥的外接球的直径是 ，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为B. C.D.14.如图所示，平面四边形ABCD 中，,,AB AD BD CD BCD ⊥⊥∆BD 折成四面体ABCD ，满足二面角A BD C --为60︒.若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为( )A. 4πB.C. 8πD.（正弦定理）1.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，AB =60,90,,ACB BCD AB CD CD ∠=︒∠=︒⊥=则该球的体积为___________.2.三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，且2,5,6PA AB AC BC ====，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为___________.3.三棱锥P ABC -中，6,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ，2PC =，则这三棱锥的外接球表面积为A . 253π B.252π C.833π D.832π（120︒等腰∆） 1.已知球的半径为 ，，， 三点在球 的球面上，球心 到平面的距离为，，， 则球的表面积为 A. B.C.D.（四棱锥）1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为 ．2.底面为正方形，顶点投影再底面中心的棱锥P ABCD-的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为_____________3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为A. 8πB. 252π C. 12π D.414π4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球体的表面积是A. 12πB. 24πC. 32πD. 48π5.某四棱锥的三视图如图所示，其中网格中的小正方形的边长为1，侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的外接球的表面积是___________.6.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PBC ABCD ⊥平面平面，PE BC ⊥于点E ，1EC =，AB =,3,2BC PE ==则四棱锥P ABCD -的外接球半径为________________.7.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为( )A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π8.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的外接球表面积为________________.题型三：内切球1.在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为．2.已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为√2a．求它的内切球的表面积．。
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享•不当之处，敬请大家批评指正•—、有关定义1•球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球2•外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球•3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）2.结论：结论1 :长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2 :若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论&圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直•（与直线切圆的结论有一致性）2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等•（类比：与多边形的内切圆）•3.正多面体的内切球和外接球的球心重合4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合5.基本方法：（3）在正三棱锥 S ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且 AMMN ,若侧棱SA 2・3则正三棱锥S ABC 外接球的表面积是解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直 .证明如下：如图（3） -1 , 取AB,BC 的中点D,E ，连接AE,CD , AE,CD 交于H ，连接SH , 则H 是底面正三角形ABC 的中心，SH 平面ABC : ,SH AB ,AC BC , ADBD , CD AB ,AB 平面SCD ,AB SC ,同理： BC SA , ACSB , 即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3） -2 ,AM MN ,SB//MN , AM SB , AC SB , SB平面SAC ,SB SA , SB SC , SB SA ,BC SA ,SA 平面SBC , SA SC ,故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，（2R ）2 !（2、3）2r — r~（2、、3）2（2、、36 2即4R 2 36 ,正三棱锥S ABC 外接球的表面积是36（4）在四面体S ABC 中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球半径的通用做法（ 等体积法） 四、 与台体相关的，此略• 五、 八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 2（2R）..a 2 b 2 c 2，求出 R例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是（ A. 16 B . 20C . 24D . 32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,3，则其外接球的表面积是 _________________PbCB图1-1图1-2图1-3 图1-4C（3）题-1（引理）球的表面积为(求出R .球的表面积为 _________________ ,球的表面积为 ____________ . __________A11 B.7C.- 3(5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 (6) 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为 ________________D.40 6、4、3，那么它的外接球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几类型二、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等， 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱; 求外接球半径(AB第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c ， AD BC x ，AB CD AC BD z ，列方程组,2a b 2 2cb 22 c2a2 x2 y 2z2(2R) 2 . 2 2abcx 2补充： 2-1 中, V A BCDabc - abc6 -abc . 3第三步：根据墙角模型，2Ra 2b 2c 2R 2CD ，AD BC ，AC BD )2 2y __ j R 8 ，R2 2 2x y z { 8 ，例2( 1)如下图所示三棱锥A BCD ，其中 AB CD 5,ACBD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接(2)在三棱锥A BCD 中，AB CD 2，AD BC 3，AC BD 4，则三棱锥A BCD 外接A(1)题图(3)正四面体的各条棱长都为 ______________________________ 2，则该正面体外接球的体积为(4) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形(正四面体的截面)的面积是类型三、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)图3-1 图3-2 图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形) 第一步：确定球心 0的位置，01是 ABC 的外心，则001 平面ABC ； 11第二步：算出小圆 0<!的半径A01r ，001 AA 1h ( AA , h 也是圆柱的高)；2 2 第三步：勾股定理： OA 2 01A 20102R 2(-)2 r 2 Rv r2(-)2，解出 R . 2V 2例3( 1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3，则这个球的体积为 __________________________8(2)直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若ABAC AA 2, BAC120，则此球的表面积等于(3)已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2,AEB 60，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为.（4）在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AB 4, AC 6, A孑AA 14， 则直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球的表面积为r!,BccooAA2o第二讲锥体背景的模型1.如图4-1，平面PAC 心 三棱锥P ABC 的三条侧棱相等 锥的顶点.解题步骤：BC （即AC 为小圆的直径），且P 的射影是P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心01，则三点共线;图4-4图4-1图4-2 图4-3类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法） 平面ABC ，且AB三棱 ABC 的外 P 点也是圆第一步: 第二步: 先算出小圆 O i 的半径AO ir ，再算出棱锥的高 PO 1 h （也是圆锥的高）；第三步: 勾股定理：OA 2 O 1A 2 O 1O 2R 2 (h R)2 r 2，解出 R ；事实上,2.如图 ACP 的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R .4-2，平面PAC 平面ABC , 且AB BC （即AC 为小圆的直径），且PAAC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2PA 2 (2r)2 2R PA 2 (2r)2② R 2 r 2 OO 12 OO 123.如图4-3，平面PAC平面 ABC , 且ABBC （即AC 为小圆的直径） OC 2 O 1C 2 O 1O 2R 2 r 2 O 1O 2AC 2 R 2 O 1O 2平面ABC ，且AB BC （即AC 为小圆的直径） PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 — b— 2R ，求出R . sin A sin B sin C 4.题设：如图 4-4，平面 第一步：易知球心 O 必是PAC PAC 的外心，即 aAC 2r ;例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2 3 ,则该球的表面积为 （2）正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3） —个正三棱锥的四个顶点都在半径为三棱锥的体积是（ ）A .沁B .旦1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正^3 12（4）在三棱锥P ABC 中，PA PB PC . 3 ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1. 题设：如图5, PA 平面ABC ，求外接球半径解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心0 ;第二步：01为 ABC 的外心，所以 00^! 平面ABC ，算出小圆01的半径01D r （三角形的外接圆直 径算法：利用正弦定理，得 -^―-^―2r ），0011PA ；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R ）2 PA 2 （2r ）22R . PA 2 （2r ）2 ；② R 2 r 2 0012R ... r 2 00：.2•题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥P ABC 的 三条侧棱相等 三棱锥P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的 顶点•33（5）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 0的求面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径,且SC 2，则此棱锥的体积为（ ）A •二B .C.1!D.迈6 6 3 2A . B.C. 4D.P图5-1OCA Oi BPP图5-4OCA DBO i P图5-6图5-7图5-8解题步骤:第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心O i，则P,O,O i三点共线;第二步：先算出小圆O i的半径AO i r，再算出棱锥的高PO i h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 O i A2 O i O2R2（h R）2 r2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 3B. 2C.i63D.以上都不对第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2;第二步：过H i和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC ；第三步：解OEH i，算出OH i，在Rt OCH i中，勾股定理：OH； CH； 0C2注：易知O,H i,E,H2四点共面且四点共圆，证略•例6( 1)三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC，△ PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝U 三棱锥P ABC外接球的半径为____________________________ .(2)在直角梯形ABCD中，AB//CD , A 90 , C 45 , AB AD 1，沿对角线BD折成四面体A BCD，使平面ABD 平面BCD，若四面体A BCD的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(3)在四面体S ABC中，AB BC , AB BC 匹，二面角S AC B的余弦值为—贝y四3 面体S ABC的外接球表面积为____________________(4)在边长为2..3的菱形ABCD中，BAD 60，沿对角线BD折成二面角A BD C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 ____________________(5)在四棱锥ABCD 中，BDA 120 , BDC 150 , AD BD 2, CD . 3，二面角A BD C的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 ________________类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设：如图7, APB ACB 90，求三棱锥P ABC 外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O ,1连接OP,OC ，则OA OB OC OP -AB ， O 为三棱锥P ABC 外接球球心，然后在 OCP 中 2求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值•例7 (1)在矩形ABCD 中，AB 4, BC则四面体ABCD 的外接球的体积为(3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角 BAC D ,).125D6125 3A125DA . B.121259C(2)在矩形ABCD 中，AB 2, BC 3, 沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC , 所得三棱锥A BCD的外接球的表面积为 ___________________第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题第一步：先现出内切球的截面图，E,H 分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH -BD , PO PH r , PD 是侧面 ABP 的高；3第三步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： 坐 竺，解出rDH PD2. 题设：如图8-2，四棱锥P ABC 是正四棱锥，求其内切球的半径3. 题设：三棱锥 P ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等1.题设：如图8-1，三棱锥P ABC 上正三棱锥，求其内切球的半径第一步: 先现出内切球的截面图，P,O, H 三点共线；第二步: 求 1FH 丄 BC2 ，PO PH r , PF 是侧面PCD 的高;第三步:由POG 相似于 PFH OG ，建立等式：HF PO ，解出PFPCACB图8-1PGOHFC图8-2D第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;3V P ABCS O ABC S O PAB S O PACS O PBC 例8 （ 1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是 ________________________（2）正四棱锥S ABCD 的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为 _________________（3）三棱锥P ABC 中，底面 ABC 是边长为2的正三角形，PA 底面ABC ，PA 2， 则该三棱锥的内切球半径为 ___________________习题：1 •若三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6C. 36D. 9 2.三棱锥S ABC 中，侧棱SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为..3的正三角形，SA 2 3，则该三 棱锥的外接球体积等于 . 3•正三棱锥S ABC 中，底面ABC 是边长为 3的正三角形，侧棱长为 2，则该三棱锥的外接球体积等 于4 •三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，△ PAC 边长为2的正三角形， AB BC ，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为5. 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC 3，AB BC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为6. 三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC ，AB BC ，则三棱锥P ABC第二步：设内切球的半径为 建立等式：V p ABC ABC V O PAB VO PAC V O PBC 1 V P ABC S ABC 3 11 PAB r S pAC 33 1 PBC 3 1 (S ABC S PAB S PAC S PBC ) r 3 第三步：解出r外接球的半径为_______ .。
微专题[球与几何体的内切与外接
球与几何体的外接与内切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .答： 43V π∴=球 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法:补成长方体，正方体例3，则其外接球的表面积是 . 答： 249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =变式1：如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥BC ，DA=AB=BC=2，则球O 的体积等于 . 23 变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ B ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 变式3：棱长为2的正四面体的外接球的表面积为 . π3 内切球的表面积 .3π 变式4：四面体BCD A -中6==CD AB ,5====BC AD BD AC ,求其外接球的表面积. π43变式5：边长为2的正三角形ABC ∆,沿高AD 翻折使B 和C 距离1，求四面体ABCD 的外接球的表面积。
球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
空间几何体的外接球与内切球。专题汇编
空间几何体的外接球与内切球。
专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。
首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。
在此基础上，定义了外接球和内切球。
外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。
其次，文章介绍了外接球的性质和结论。
其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。
文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。
最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。
经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。
2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。
3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。
4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。
5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。
6.与台体相关的内容在此略过。
7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。
8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
简单几何体的外接球和内切球的半径的求法
简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为 ，内切球半径为 ，棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。
例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。
解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
内切球的球心到多面体各面的距离均相等。
⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
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• 在处理与球有关的问题时，注意这几个核 心点：
• 1、两个公式；两个重要数据； • 2、球的特殊对称性； • 3、球的最大截面圆的圆心即为球心； • 4、截面圆的圆心与球心的连线⊥截面圆所
在的平面；
• 5、球面上任意两点的连线段的中垂面必过 球心；
• 6、球面距：过球心且过此两点的截面圆的 劣弧长。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
【巩固练习】
1、设正方体棱长为a， （1）求内切球的体积； （2）求与正方体的各棱相切的球的表面积。
2、长方体的三个面的面积分别为√2，√3，√6，求它的外接球的半径。 3、有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与 正方体各棱相切，第三个球的球面经过正方体各个顶点，求这三个球的面 积之比。 4、半球内有一内接正方体，求这个半球的体积和正方体体积之比。 5、求底面半径为10，母线长为26的圆锥的同内切球的体积。
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距 离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。简 单多面体外接球的球心有如下结论： 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线 的中点。 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算 找到。 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边 的中点就是其外接球的球心。
观察三维模型注意截面、球的直径、棱之 间的关系（相交的截面），转化为平面来建立 关系来解题。
【球与正方体关系模型】
一、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为
切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线 即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体 叫做“球的外切正方体”。
球的直径等于正方体棱长。
1、 ； 2、√6/2 ； 3、1：2：3 ； 4、√6 π /2 ； 5、 20/3
二、球与正方体的棱相切 球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点。
正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
三、 正方体的外接球 正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中
心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫 做“球的内接正方体”。
正方体找出球的半径与几何体 的基本量的联系，即半径等于什么？从这个意义 上来说，是不必画出球，只要能找出球心的位置， 及切点（或接点）的位置，连线即为半径！因而， 我们在处理这类问题时，只画几何体，并给自己 三个提问： 1、球在几何体的什么位置上？ 2、切点（或接点）在几何内的什么位置上？ 3、半径怎么求？
【正四面体与球关系】
正四面体与内切球关系模型
正四面体与内切球关系模型（框架）
正四面体与外接球关系模型 正四面体与外接球关系模型（框架）
几何体的外接球与内切球解题
一、外接球的问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，
此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中 球心的确定是关键！ （一） 由球的定义确定球心
（二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的
中点处。以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长 方体的途径与方法： 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四 个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相 对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补 成长方体或正方体。 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥 补成长方体或正方体。
【小专题】01
几何体的内切与外接球
曲江一中高三数学组
几何体中的外接球与内切球
• 高考题与高三训练题，流行出球的相关问 题。在高考中，对空间几何体的考查常常 与球结合，以几何体的外接球和内切球为 载体，考查几何体的三视图，柱、锥、台、 球的体积与表面积的计算，考查考生的空 间想象能力。有时采用割补法或转化为平 面几何问题解答，也可能与正、余弦定理、 基本不等式等知识相结合进行考查。为了 比较彻底全面掌握几何体与球的相关问题， 特补充此专题内容。
先观摩一下正方体各棱与球相切的3D动画
然后再来看看带直径的图形
随后是解法的图形。可以一目了然 球的直径与正方体边长的关系。
下图是改进版的，看得更清 楚，哪条线是直径？
最后，给大家全方位旋 转看看或透视图下形象 观察，以加强验证。
【典例演练】
【几何体与球关系】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一 种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中 也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空 间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认 真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的 位置，画好截面图是关键，确定基础三角形可 使这类问题迎刃而解。
• 外接球：在考查几何体的外接球时，常常以正方 体、长方体、三棱锥为基本模型。
• 内切球：空间几何体的内切球问题，常常转化为 球心到平面的距离为球的半径解答。
• 有很多题涉及到了几何体的内切及外接球问题， 同学们在研究空间几何体的外接球与内切球时， 常常因缺乏空间想象能力而感到束手无策，对这 类问题的处理能力非常薄弱，不得要领。很多同 学按照思维定式试图画出图形来观察，结果陷入 误区：要画出比较直观的立体图形是难上加难。 事实上，如果抓住要领，不画球就能解决所有问 题------无需画出球体，只需找出球心和半径即可； 或者画出球的大圆，转化为平面几何问题。
（三） 由性质确定球心 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及
球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是 这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等。