几何体的外接球
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o
A
【点评】几何体的外接球问题的作图有时可不画出球，直接在原图形上建立几何直观，避免复杂作图． 10．在四面体 S ABC 中， SA 平面 ABC ， BAC 120 ， SA AC 2 ， AB 1 ，则该四面体的 外接球的表面积为
A.
10 3
B.7 C.11 D.
O 在 O1D 上，且 O1 D 3 ，设球半径为 R ，则 (3 R)2 ( 3)2 R2 ，可得 R 2 ，故球 O 的体积为
4 32 23 ． 3 3
【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心. 6.已知在梯形 ABCD 中， AB // CD ， AD AB ， AB 2 ， AD CD 1 ， 将梯形 ABCD 沿对角线 AC 折叠成三棱锥 D ABC ， 当二面角 D AC B 是直二面角时， 三棱锥 D ABC 的外接球的体积为 .
2, 所以 AC SA SB 2 ，设 AC 的中点为 D ，连接 AD ，
则三角形 SAC 的外心 O1 为在线段 AD 上，且 DO1
1 3 ，又三角形 ABC 的外心为 D ，又 SD 3 3
，所以 AC 平面 SDB ，过 D 垂直于平面 ABC 的直线与过 O1 垂直于平面 SAC 的 SD AC , BD AC 直线交于点 O ，则 O 为四面体外接球的球心，在三角形 SDB 中，由余弦定理得 cos SDB
3 ． 36 【 解 析 】由 PA 4 PC 2 ， AC 2 5 ，∴ PA2 PC 2 AC 2 ， 可 得 P A P C ； 又 ∵ PB 平 面 PAC ， PA, PC ⊂ 平 面 PAC ，
∴ PB PA ， PB PC ， 以 PA, PB, PC 为 长 、 宽 、 高 ， 作 长 方 体 如 图 所 示 ： 则 该 长 方 体 的 外 接 球 就 是 四 面 体 P ABC 的外接球，∵长方体的对角线长为
42 42 22 6 ， ∴ 长 方 体
外 接 球 的 直 径 2R 6 ， 得 R 3 ； 因 此 ， 四 面 体 P ABC 的 外 接 球 体 积 为 V 36 ． 【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角” ，可将“墙角”补形构造正方体或长方体， 通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题． 4 ．已 知 三 棱 锥 S ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 表 面 上 ， ABC 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ， SC 为 球 O 的 直 径 ， 且 SC 2 ， 则 此 三 棱 锥 的 体 积 为 （ ） A．
【点评】外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上。利用坐标法建立空间直角坐标系，得外接球球心两 条棱 AC （ x 轴） 、 AS （ z 轴）的中垂面上，故可设球心坐标 O(1, y,1) ，通过代数计算求解外接球半径， 避免复杂作图与空间想象．
1 ， AB BC CA 3 ， 2
1 2
9． B 【解析】 设球心为 O , ABC 中心为 O1 ， ABC 外接圆半径 r 依题意， OO1 平面 ABC ，∴ OO1
3 3 1， 3
C O1 B O2 O S
R2 r 2 1 ．
1 作 SO2 OO1 ，垂足为 O2 ，则 O1O2 ，∴ O2 为 OO1 的中点，∴ 2 SO1 SO R 2 ．
A O O2 O1 B O3 C D
8 ． D 【 解 析 】 如 图 所 示 ， 设 两 三 角 形 外 心 分 别 为 O2 , O3 , 球 心 为 O ，
AO1C 120
OC 2
2
,
2
故
OO1 2, OO3 3
，
球
的
半
径
为
3
7 ，故球的表面积为 28 .
【点评】外接球球心在与棱 BD 垂直的的平面 AO1C 中，使空间问题平面化． 9．点 S 、 A 、 B 、C 在半径为 2 的同一球面上，点 S 到平面 ABC 的距离为 则点 S 与 ABC 中心的距离为（ A． 3 B． 2 ） C． 1 D．
ABC 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ， 则 SABC
2 ． 6
3 1 3 2 6 ，得 V 4 3 4 3
来自百度文库
【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面． 5.已知如图所示的三棱锥 D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， ABC 和 DBC 所在的平面互相垂 直， AB 3 ， AC 3 ， BC CD BD 2 3 ，则球 O 的体积为（ ）
3 ，所以 3
3 6 ，所以 OO1 O1 D tan ODO1 ，设外接圆半 sin ODO1 sin(SDB ) cos SDB 2 3 6
径为 R ，则 R 2 SO12 OO12
3 ，所以 S 4 R 2 6 . 2
【点评】 外接球球心在与棱 AC 垂直的的平面 SBD 中， 然后在平面 SBD 中可以通过平面 SAC 的外心 O1 作 垂线与过平面 ABC 的外心 D 并垂直平面 ABC 的垂线 DF 相交出外接球球心， 也可以通过棱 SB 的中垂线 与过平面 ABC 的外心 D 并垂直平面 ABC 的垂线 DF 相交出外接球球心． 8．已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中， BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 为 120 的四 面体 ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ A． 25 B． 26 C． 27 D． 28 ）
1 4
B．
2 4
C．
2 6
D．
2 12
4 ． C【 解 析 】 根 据 题 意 作 出 图 形 ： 设 球 心 为 O ， 过 ABC 三 点 的 小 圆 的 圆 心 为 O1 ， 则 OO1 平 面 ABC ， 延 长 CO1 交 球 于 点 D ， 则 SD 平 面 ABC ． 由
1 6 2 3 3 2 6 ， OO1 1 ， 得 高 SD 2OO1 ，而 CO1 3 3 3 2 3 3
2
）
7 2 B． a 3
11 2 C． a 3
D．5 a
2
1．B【解析】∵三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心 连线过球心 O ，且 ON 则有 AN
1 a ， N 为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心， 2
7 2 3 AE a ，∴球半径 OA2 AN 2 ON 2 a 2 ，∴球的表面 12 3 3
A．
4 3
B．
4 3 3
C．
32 3
D． 36
5.C【解析】如图，由条件知 ABC 是以 BC 为直径的直角三角形，取 BC 的中点 O1 ，知 r O1 A
1 BC 2
3 ，又 DBC 为等边三角形， ABC 所在的小圆面与平面 DBC 垂直，得 O1 D 平面 ABC ，即球心
r O1C
D AC B 是直二面角，知 O1 ED
2
，所以 O1 D
2 2 1 ，所以 O1D 1 O1C O1 A O1B ， 2
即 O1 为 三 棱 锥 D ABC 的 外 接 球 的 的 球 心 ， R 1 ， 故 三 棱 锥 D ABC 的 外 接 球 的 体 积 为
6.
4 【 解 析 】 如 图 ， 由 条 件 知 ABC 是 以 AB 为 直 径 的 直 角 三 角 形 ， 取 AB 的 中 点 O1 ， 知 3 1 1 2 2 AB 1 ，又 AD CD 1 ，取 AC 的中点 E ，则 OE BC ， DE ，又二面角 2 2 2 2
2 2 2
因此，三棱锥 P ABC 外接球的表面积是 4R 2 4 ( 3 ) 2 12 ． 【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球． 3． 已 知 四 面 体 P A B C 中 ， PA PB 4 ， PC 2 ， AC 2 5 ， PB 平 面 PAC ， 则 四 面 体 P ABCD 外 接 球 的 表 面 积 为 ．
4 4 13 . 3 3
7．在四面体 S ABC 中， AB BC, AB BC 面积是（ A． 8 6 ） B． 6 C． 24 D． 6
2, SA SC 2 ， SB 6 ，则该四面体外接球的表
7．D【解析】因为 AB BC, AB BC
40 3
10．D【 解 析 】 如图所示，以 A 为原点建系，则 C(2, 0, 0), B( ,
1 3 , 0) ， 2 2 3 2 ) 1， 2
设球心为 O(1, y,1) ，则 OB OC R ，即 1 y 1 ( ) ( y
2 2
3 2
解得 y
10 40 2 2 ，从而外接球表面积 S 4 R 4 3 3 3
2
积为 4 OA
7 2 a ． 3
【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线 段中点即为外接球的球心． 2．三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC 2 ， PA PB ，三棱锥 P ABC 的外 接球的表面积为________． 2． 12 【解析】∵三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC 2 ， ∴ PAB PAC PBC ．∵ PA PB ，∴ PA PC ， PB PC ． 以 PA, PB, PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图： 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P ABC 外接球． ∵长方体的对角线长为 2 2 2 2 3 ，∴球直径为 2 3 ，半径 3 ，
几何体的外接球
南昌高中数学教研室命题工作坊 几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的 球心。我们要抓住几何体外接球球心的本质特征： （1）外接球球心是任意两条直径的交点； （2）外接球球 心在几何体任意一条棱的中垂面上； （3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直 的垂线上。所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征 平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。下面结合实例的 应用进行说明。 1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ A． a
A
【点评】几何体的外接球问题的作图有时可不画出球，直接在原图形上建立几何直观，避免复杂作图． 10．在四面体 S ABC 中， SA 平面 ABC ， BAC 120 ， SA AC 2 ， AB 1 ，则该四面体的 外接球的表面积为
A.
10 3
B.7 C.11 D.
O 在 O1D 上，且 O1 D 3 ，设球半径为 R ，则 (3 R)2 ( 3)2 R2 ，可得 R 2 ，故球 O 的体积为
4 32 23 ． 3 3
【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心. 6.已知在梯形 ABCD 中， AB // CD ， AD AB ， AB 2 ， AD CD 1 ， 将梯形 ABCD 沿对角线 AC 折叠成三棱锥 D ABC ， 当二面角 D AC B 是直二面角时， 三棱锥 D ABC 的外接球的体积为 .
2, 所以 AC SA SB 2 ，设 AC 的中点为 D ，连接 AD ，
则三角形 SAC 的外心 O1 为在线段 AD 上，且 DO1
1 3 ，又三角形 ABC 的外心为 D ，又 SD 3 3
，所以 AC 平面 SDB ，过 D 垂直于平面 ABC 的直线与过 O1 垂直于平面 SAC 的 SD AC , BD AC 直线交于点 O ，则 O 为四面体外接球的球心，在三角形 SDB 中，由余弦定理得 cos SDB
3 ． 36 【 解 析 】由 PA 4 PC 2 ， AC 2 5 ，∴ PA2 PC 2 AC 2 ， 可 得 P A P C ； 又 ∵ PB 平 面 PAC ， PA, PC ⊂ 平 面 PAC ，
∴ PB PA ， PB PC ， 以 PA, PB, PC 为 长 、 宽 、 高 ， 作 长 方 体 如 图 所 示 ： 则 该 长 方 体 的 外 接 球 就 是 四 面 体 P ABC 的外接球，∵长方体的对角线长为
42 42 22 6 ， ∴ 长 方 体
外 接 球 的 直 径 2R 6 ， 得 R 3 ； 因 此 ， 四 面 体 P ABC 的 外 接 球 体 积 为 V 36 ． 【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角” ，可将“墙角”补形构造正方体或长方体， 通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题． 4 ．已 知 三 棱 锥 S ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 表 面 上 ， ABC 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ， SC 为 球 O 的 直 径 ， 且 SC 2 ， 则 此 三 棱 锥 的 体 积 为 （ ） A．
【点评】外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上。利用坐标法建立空间直角坐标系，得外接球球心两 条棱 AC （ x 轴） 、 AS （ z 轴）的中垂面上，故可设球心坐标 O(1, y,1) ，通过代数计算求解外接球半径， 避免复杂作图与空间想象．
1 ， AB BC CA 3 ， 2
1 2
9． B 【解析】 设球心为 O , ABC 中心为 O1 ， ABC 外接圆半径 r 依题意， OO1 平面 ABC ，∴ OO1
3 3 1， 3
C O1 B O2 O S
R2 r 2 1 ．
1 作 SO2 OO1 ，垂足为 O2 ，则 O1O2 ，∴ O2 为 OO1 的中点，∴ 2 SO1 SO R 2 ．
A O O2 O1 B O3 C D
8 ． D 【 解 析 】 如 图 所 示 ， 设 两 三 角 形 外 心 分 别 为 O2 , O3 , 球 心 为 O ，
AO1C 120
OC 2
2
,
2
故
OO1 2, OO3 3
，
球
的
半
径
为
3
7 ，故球的表面积为 28 .
【点评】外接球球心在与棱 BD 垂直的的平面 AO1C 中，使空间问题平面化． 9．点 S 、 A 、 B 、C 在半径为 2 的同一球面上，点 S 到平面 ABC 的距离为 则点 S 与 ABC 中心的距离为（ A． 3 B． 2 ） C． 1 D．
ABC 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ， 则 SABC
2 ． 6
3 1 3 2 6 ，得 V 4 3 4 3
来自百度文库
【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面． 5.已知如图所示的三棱锥 D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， ABC 和 DBC 所在的平面互相垂 直， AB 3 ， AC 3 ， BC CD BD 2 3 ，则球 O 的体积为（ ）
3 ，所以 3
3 6 ，所以 OO1 O1 D tan ODO1 ，设外接圆半 sin ODO1 sin(SDB ) cos SDB 2 3 6
径为 R ，则 R 2 SO12 OO12
3 ，所以 S 4 R 2 6 . 2
【点评】 外接球球心在与棱 AC 垂直的的平面 SBD 中， 然后在平面 SBD 中可以通过平面 SAC 的外心 O1 作 垂线与过平面 ABC 的外心 D 并垂直平面 ABC 的垂线 DF 相交出外接球球心， 也可以通过棱 SB 的中垂线 与过平面 ABC 的外心 D 并垂直平面 ABC 的垂线 DF 相交出外接球球心． 8．已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中， BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 为 120 的四 面体 ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ A． 25 B． 26 C． 27 D． 28 ）
1 4
B．
2 4
C．
2 6
D．
2 12
4 ． C【 解 析 】 根 据 题 意 作 出 图 形 ： 设 球 心 为 O ， 过 ABC 三 点 的 小 圆 的 圆 心 为 O1 ， 则 OO1 平 面 ABC ， 延 长 CO1 交 球 于 点 D ， 则 SD 平 面 ABC ． 由
1 6 2 3 3 2 6 ， OO1 1 ， 得 高 SD 2OO1 ，而 CO1 3 3 3 2 3 3
2
）
7 2 B． a 3
11 2 C． a 3
D．5 a
2
1．B【解析】∵三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心 连线过球心 O ，且 ON 则有 AN
1 a ， N 为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心， 2
7 2 3 AE a ，∴球半径 OA2 AN 2 ON 2 a 2 ，∴球的表面 12 3 3
A．
4 3
B．
4 3 3
C．
32 3
D． 36
5.C【解析】如图，由条件知 ABC 是以 BC 为直径的直角三角形，取 BC 的中点 O1 ，知 r O1 A
1 BC 2
3 ，又 DBC 为等边三角形， ABC 所在的小圆面与平面 DBC 垂直，得 O1 D 平面 ABC ，即球心
r O1C
D AC B 是直二面角，知 O1 ED
2
，所以 O1 D
2 2 1 ，所以 O1D 1 O1C O1 A O1B ， 2
即 O1 为 三 棱 锥 D ABC 的 外 接 球 的 的 球 心 ， R 1 ， 故 三 棱 锥 D ABC 的 外 接 球 的 体 积 为
6.
4 【 解 析 】 如 图 ， 由 条 件 知 ABC 是 以 AB 为 直 径 的 直 角 三 角 形 ， 取 AB 的 中 点 O1 ， 知 3 1 1 2 2 AB 1 ，又 AD CD 1 ，取 AC 的中点 E ，则 OE BC ， DE ，又二面角 2 2 2 2
2 2 2
因此，三棱锥 P ABC 外接球的表面积是 4R 2 4 ( 3 ) 2 12 ． 【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球． 3． 已 知 四 面 体 P A B C 中 ， PA PB 4 ， PC 2 ， AC 2 5 ， PB 平 面 PAC ， 则 四 面 体 P ABCD 外 接 球 的 表 面 积 为 ．
4 4 13 . 3 3
7．在四面体 S ABC 中， AB BC, AB BC 面积是（ A． 8 6 ） B． 6 C． 24 D． 6
2, SA SC 2 ， SB 6 ，则该四面体外接球的表
7．D【解析】因为 AB BC, AB BC
40 3
10．D【 解 析 】 如图所示，以 A 为原点建系，则 C(2, 0, 0), B( ,
1 3 , 0) ， 2 2 3 2 ) 1， 2
设球心为 O(1, y,1) ，则 OB OC R ，即 1 y 1 ( ) ( y
2 2
3 2
解得 y
10 40 2 2 ，从而外接球表面积 S 4 R 4 3 3 3
2
积为 4 OA
7 2 a ． 3
【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线 段中点即为外接球的球心． 2．三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC 2 ， PA PB ，三棱锥 P ABC 的外 接球的表面积为________． 2． 12 【解析】∵三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC 2 ， ∴ PAB PAC PBC ．∵ PA PB ，∴ PA PC ， PB PC ． 以 PA, PB, PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图： 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P ABC 外接球． ∵长方体的对角线长为 2 2 2 2 3 ，∴球直径为 2 3 ，半径 3 ，
几何体的外接球
南昌高中数学教研室命题工作坊 几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的 球心。我们要抓住几何体外接球球心的本质特征： （1）外接球球心是任意两条直径的交点； （2）外接球球 心在几何体任意一条棱的中垂面上； （3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直 的垂线上。所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征 平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。下面结合实例的 应用进行说明。 1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ A． a