几何体的外接球(附练习题)
中学数学 几何体外接球常见模型 练习题
几合体外接球常见模型 类型一、正方体 （a R 23=，a 为正方体的边长） 例1、已知正方体的棱长为1，则该正方体的体对角线长为______：外接球的表面积为______． 3、已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为例2、已知正方体的外接球的体积是43π，则这个正方体的棱长是( ) A ．23 B ．33 C ．223D ．233 类型二、长方体（2222c b a R ++=，c b a 、、为长方体的长、宽、高）例1、已知在长方体1111ABCD A B C D -中，棱长3AB =，4=AD ,15AA =,则该长方体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．30πC ．45πD ．50π例2、一个长方体长、宽分别为5，4，且该长方体的外接球的表面积为50π，则该长方体的表面积为（ ）A ．47B ．60C ．94D ．198类型三、圆柱（222)21(h r R +=，为高为底面圆半径，为外接球半径，h r R ）例1、已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为_____________．例2、若半径为2的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为8π时，圆柱的体积为__________．类型四、圆锥（222)-(R h r R +=，为高为底面圆半径，为外接球半径，h r R ）例1、底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O 的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．8πD ．16π类型五、直棱柱与正棱柱（补圆柱，222)21(h r R +=为高为底面外接圆半径，为外接球半径，h r R ）例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32类型六、对棱相等的三棱锥（补长方体、8222c b a R ++=，c b a 、、为三棱锥的棱长）例1、在三棱锥BCD A -中，,4,3,2======BD AC BC AD CD AB 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 。
2022高考数学立体几何外接球专题(含解析)
知识梳理模型一、圆柱外接球结论：422h r R +=（R：外接球半径 h：圆柱高 r：圆柱底面半径）推导：模型一推广：（1）直棱柱422h r R += （h:圆柱的高 r:直棱柱底面外接圆半径 ）学 科 数学 教师姓名 教材版本 人教版新教材学生姓名所在年级上课时间课题名称外接球问题教学目标 1、圆柱和圆锥的外接球模型2、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球3、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题教学重点 教学难点（2）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥（3）侧棱垂直于底面的棱锥【2017深二模】已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为( )（A）64π（B）68π（C）72π（D）100π模型二、圆锥外接球结论：hh r R 222+=（R：外接球半径 h：圆锥高 r：圆锥底面半径）推导：模型二推广：（1）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球hh r R 222+= （h:棱锥的高 r:棱锥底面外接圆半径 ）【2018深一模】如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．16πD．25π【2017全国一卷文 16】已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为______________．【2019 全国一卷理 12】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．B．C．D模型一、二总结题型：求几何体的外接球模型一： 422h r R += （圆柱模型） 模型二： h h r R 222+=（圆锥模型）适用于： 适用于：1、所有的圆柱、直棱柱 上顶点在底面外心正上方的棱锥2、侧棱垂直于底面的棱锥3、侧面为任意三角形，底面为矩形， 且侧面垂直于底面的四棱锥模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处如下图，∠ABC=∠ADC=90°，则O 为外接球球心1、在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. π12125B.π9125C.π6125D.π31252.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为A 2563πB 323π C 16π D 64π专题练习类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________．【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25ΠB．C．50ΠD．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．7πB．8πC．9πD．10π类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ．【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．42. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______．814π16π9π274π3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P −ABC 中，√2PA =AB =4√2，点E 在棱PA 上，且PE =3EA .正三棱锥P −ABC 的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，α截球O 所得截面面积的最小值为__________．类型三 直棱柱的外接球【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 .【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72Π，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15C ．D ．2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,,,,则球的半径为（）A B ． C．D ．3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 1321111ABCD A B C D -R值，为 .答案与解析类型一 构造法（补形法）【例1】已知是球上的点， , ， ,则球的表面积等于________________． 【答案】 【解析】由已知S,A,B,C 是球O 表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为， ,所以，所以球的表面积.【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球.【例2】【辽宁省鞍山一中2019届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．3πD ．4π,,,S A B C O SA ABC ⊥平面AB BC ⊥1SA AB ==BC =O 4πOA OB OC OS ===SA ABC ⊥平面AB BC ⊥S ABC -1SA AB ==BC =22,1R R ==O 244S R ππ==【答案】B【解析】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，∴外接球的体积为.故选：B．【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可.【举一反三】1、【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为R，则2R=4，R=2,所以该长方体的外接球的体积，故选C.2、【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥S−ABC中，，则三棱锥S−ABC外接球的表面积为（）A．25蟺B．C．50蟺D．【答案】C【解析】解：如图，把三棱锥S−ABC补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥S−ABC外接球的表面积为．故选：C．3、【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π 【答案】C 【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为9π.故答案为：C.类型二 正棱锥与球的外接【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．814π16π9π274π【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径. 【举一反三】1、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( )A .33 B . 3 C ．2 3 D ．4 【答案】A【解析】 (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大．学科*网因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝233.在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝33，所以SH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝1， 故所求体积的最大值为13×34×22×1＝33.2. 【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】【解析】 解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为x ，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则AO =23AD =√33x ，，，即x=√2a．再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即．∴正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：．3、【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥P−ABC中，√2PA=AB=4√2，点E在棱PA上，且PE=3EA.正三棱锥P−ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为__________．【答案】3π【解析】因为PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4√2，所以PA2+PC2=AC2，所以∠CPA=π2，同理∠CPB=∠BPA=π2，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故2R=4√3，设PA的中点为F，连接OF，则OF=2√2且OF⊥PA，所以OE=√8+1=3，当OE⊥平面α时，平面α截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为√(2√3)2−32=√3，故截面的面积为3π．填3π．类型三 直棱柱的外接球 【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,， 则此球的表面积等于 . 【答案】【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 【举一反三】1、【云南省2019年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72蟺，则这个直三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．15 C ．D ．【答案】A 【解析】 由题，，因为AB =AC =2，BC =2√2，易知三角形ABC 为等腰直角三角形， 故三棱柱的高故体积V =12脳2脳2脳8=16 故选A111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒ABC ∆2AB AC ==120BAC ∠=︒BC =ABC ∆O 'O RT OBO '∆R =2420R ππ=2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M.计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径,选C.3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为 . 【答案】大111ABC A B C -O 34AB AC ==，AB AC ⊥112AA =O 213252132=1111ABCD A B C D -R。
立体几何之外接球问题含答案
立体几何之外接球问题一讲评课1课时总第课时月日1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ? )A. B. C. D.2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（??）A.B. C.D.3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( ? ?)A. B. C. D.4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（?）A.B. C.D.5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B.C. D.6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（? ）A.B.C. D.7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（?）A. B. C. D.8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ? )A.B. C.D.9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ?)A.B.C. D.10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( ? )A. B. C. D.立体几何之外接球问题二讲评课1课时总第课时月日11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________.12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________.14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________. 15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________. 16.已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________． 16、在三棱锥中,平面，，，,则此三棱锥外接球的体积为__________18、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.17、三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为__________.20、一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为__________.立体几何之三视图问题1讲评课 1课时 总第 课时 月 日3、一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D.4、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（??? ） A.B.C.D.5、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ? ?）A.B.C.D.6、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（?? ） A. B. C.D.7、多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( ???) A.B.C.D.8、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（?? ） A.B.C.D.9、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（?? ） A. B.C. D. 10、一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是（?? ）A.B.C.D.11、若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（?? ） A.B.C.D.12、某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（?? ）D.A. B. C.13、一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（?）A. B.C. D.14、已知一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是等腰梯形，则该几何体的体积为（?）A.D.B. C.15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（?）C. D.A. B.立体几何之三视图问题2讲评课1课时总第课时月日16、某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为__________.17、一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为__________.18、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积__________．19、已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位：）,则该四棱锥的体积为__________.20、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.21、已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.22、某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是__________.23、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为____．24、2016年11月18日13时59分，神舟十一号飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆. 神舟十一号载人飞行，是我国迄今为止时间最长的一次载人航天飞行，在轨33天飞行中，航天员景海鹏、陈冬参与的实验和实验多达38项. “跑台束缚系统”是未来空间站长期飞行的关键锻炼设备，本次任务是国产跑台首次太空验证. 如图所示是“跑台束缚系统”中某机械部件的三视图（单位：），则此机械部件的表面积为__________.25、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．立体几何之外接球问题答案解析第1题答案C第1题解析如图所示，∵，∴为直角，即过的小圆面的圆心为的中点，和所在的平面互相垂直，则圆心在过的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径，球的表面积为，故选．第2题答案B第2题解析设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长都为，则可知?，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选.第3题答案C第3题解析如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选.第4题答案D第4题解析该几何体为三棱锥,设球心为，分别为和的外心，易求得,，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．第5题答案B第5题解析∵，∴，∴圆心在平面的射影为的中点，∴，∴．∴，当线段为截面圆的直径时，面积最小，∴截面面积的最小值为.第6题答案C第6题解析此几何体是底面边长为，高为的正四棱锥，可算出其体积为，表面积为. 令内切球的半径为，则，从而内切球的体积为，故选C.第7题答案B第7题解析由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为?，于是,，进而球的体积. 故选.第8题答案B第8题解析由题可知该三棱锥为一个棱长的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为，则球半径为，则. 故选.第9题答案A第9题解析如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的中点.又直三棱柱的棱长为，可知，，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选.?第10题答案D第10题解析此几何体是三棱锥，底面是斜边长为的等腰直角三角形，且顶点在底面内的射影是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥的外接球的球心在上.设球的半径为，则，∵，∴，解得：，∴外接球的表面积为.第11题答案第11题解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆⊙和外切圆⊙，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意⊙的半径为，∴的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．第12题答案第12题解析设球心为,正三棱柱的上下底面的中心分别为，，底面正三角形的边长为，则，由已知得底面，在中，,由勾股定理得，故三棱柱体积，又，所以，则.第13题答案第13题解析底面正三角形外接圆的半径为，圆心到底面的距离为，从而其外接圆的半径，则该球的表面积.第14题答案第14题解析设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.第15题答案第15题解析设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.第16题答案第16题解析设正的外接圆圆心为，易知，在中，，故球的表面积为.第17题答案第17题解析根据题意球心到平面的距离为，在的外接圆的半径为，所以球的半径为,所以此三棱锥的外接球的体积为,所以答案为:.第18题答案第18题解析设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是所求半球的体积为.第19题答案第19题解析依题意,外接球的表面积为,所以.如图所示,三棱柱外接圆球心为,设,在直角三角形中,所以.三棱柱的体积为,当且仅当时取得最大值.第20题答案第20题解析由已知可得长方体的体对角线为球的直径：,所以.所以球的面积为.。
人教版高中数学必修二《简单几何体的外接球》
1 1 2
2 2
2
2R
O P C
A
例 2.已知棱长为
6 的正四面体（四个面都是正三角形的
9 三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，求此球的体积. 2
C
正方体边长 a 3
体对角线长度 2R 3a 3
A
B
D
1. 三 棱 锥 S-ABC 中 ， SA 平 面 ABC ， AB BC ， SA=1,AB=2,BC=3，求三棱锥 S-ABC 外接球的半径.
长方体的长宽高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，求球O
的半径.
2R 3 2 1
2 2
2
14 R 2
例 1. 已 知 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA,PB,PC 两 两 互 相 垂 直 ， 且
PA=PB=1，PC=2，求三棱锥P-ABC外接球的面积. 6
B
求长方体体对角线的长度
O'' S
O
C
O' A B
方法二 解题情景 解题步骤
几Байду номын сангаас法（直三棱柱） 侧棱垂直于底面 解 OO' 、 球的半径 OA 、 截面圆的半径 O' A 确定的
Rt OO' A ,
本节配套试卷
S
14 2
B A C
2.三棱锥 S-ABC 中， SB AC 5 , SC AB 13 , SA BC 10 ,求三棱锥 S-ABC 外接球的半径. 14
2
S
A
c B a b C
B
C
S
A
O P C
B A C
B D
A
方法一 解题情 景 解题步 骤
立体几何小题之外接球大全(1)
立体几何小题之外接球50道题
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1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）
A．6πB．12π C．8πD．16π
2．三棱锥S﹣ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
3．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，BC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值为（）
A．13π B．14π C．15πD．16π
4．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的体积为（）
A．8πB．C．D．π
5．已知正四面体S﹣ABC的外接球O的半径为，过AB中点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（）
A．4πB．6πC．D．
6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球的表面积为（）
A．8πB．13π C．17πD．48π
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几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)
高中数学立体几何外接球专题练习(含解析)1.已知菱形ABCD满足|AB|=2，∠ABC=120°，将菱形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D，则三棱锥B-ACD外接球的表面积为（）。
A。
πB。
8πC。
7πD。
4π2.如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，AB=BD=BC=1，∠CBD=60°，且二面角A-BD-C的大小为120°，∠BAD=45°，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）。
A。
12πB。
20πC。
24πD。
36π3.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）。
A。
28πB。
32πC。
41πD。
31π4.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）．若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）。
A。
4/3B。
2/3C。
8/3D。
16/35.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）。
A。
2+2+2B。
4+4+2C。
2+4+4D。
4+4+46.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）。
A。
25πB。
20πC。
16πD。
40π7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）。
A。
18+2B。
15+2C。
12+2D。
18+48.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，DE⊥AC，E为棱BC的中点，DG⊥BE，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为S，则tan∠AGD=S/12.A。
1/2B。
1C。
2D。
49.在三棱锥S-ABC中，∠ASB=90°，SA=SB=SC=2，且三棱锥S-ABC的体积为8/3，则该三棱锥的外接球的表面积为（）。
A。
4πB。
16πC。
36πD。
72π10.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）。
高考必考题—几何体中与球有关的切、接问题(含解析)
几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一 、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥P ABCD -的体积是ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（ ）A ．BCD ．例5、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．例7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．二、达标训练1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16πB ．20πC ．32πD ．64π2、【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A ．B ．C ．D ．5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．6、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC 外接球的表面积是________.8、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．9、（2020届山东省滨州市高三上期末）在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC=________，该四面体外接球的表面积为________.10、（2020届山东省济宁市高三上期末）下图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形-的外接球的体积为ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A BD C--，则三棱锥A BCDcm．__________3一、题型选讲题型一 、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A.本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.例2、【2020年高考天津】若棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C ．本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 例3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==2452S ππ==，故选C.例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知四棱锥P ABCD -的体积是ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（ ）A ．BCD ．【答案】A【解析】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积是13AB AB PQ =⨯⨯⨯13AB AB AB =⨯⨯，所以边长6AB =，PQ =OH x =，OM x =，()(222222R OA OM AM x==+=+，2222223R OP OH PH x ==+=+，x =2212321R =+=343V R π==球.故选：A.例5、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.【答案】20π 【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED =，所以，ADE ∆的外接圆半径为122AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则3143R π=，解得12R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=2PA ==PA ∴=正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ==22r ∴=，PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为22420R ππ=.故答案为：20π. 题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r，其体积：343V r =π=.故答案为：3. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．【解析】（1）因为16(12S =⨯⨯=. （2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，每个三角形面积是4，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是6. 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，所以16()6349R R =⨯⨯⨯⇒=，所以球的体积334433V R ππ===.故答案为：. 二、达标训练1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如图所示，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则263AE ==6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =， 所以球的表面积为2464S R ππ==， 故选D.2、【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C ．本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R ==即344π33R V R =∴=π==，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D.本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A． B ． C．D ．【答案】B【解析】如图所示，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，2ABC S AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==，Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=，()max 163D ABC V -∴=⨯= B.5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =，所以||EP ===所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ，因为||||EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得22FG π==.. 6、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.若三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 【答案】13π【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，则SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan3SA AB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心， 连结,,,,OA OB GA GB OG ，则必有OG ⊥面ABC 在ABC ∆，2222cos 312162AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=， 则1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠， 又1322OG SA ==， 所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的表面积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.7、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC =，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC 外接球的表面积是________.【答案】45︒ 6π【解析】如图，作平行四边形ABCD ，连接PD ，由AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形． 由BC CD ⊥，BC PC ⊥，PCCD C =，∴BC ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥，同理可得AB PD ⊥，又AB BC B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,CD AB PC ===1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．由,PA AB ⊥PC BC ⊥知PB 的中点到,,,A B C P 的距离相等，PB 是三棱锥P -ABC 外接球的直径．由BC ⊥平面PCD 得BC PC ⊥，PB ===24()62PB S ππ==． 故答案为：45︒；6π．8、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________． 【答案】52π 4π【解析】（1）由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,则可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即2r ==则r =,所以球的表面积为224452r πππ=⨯=；（2）由题,因为Rt ABC ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,则外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯=故答案为：（1）52π；（2）4π9、（2020届山东省滨州市高三上期末）在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =________，该四面体外接球的表面积为________.【答案】68π【解析】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =AB ==，因此222BC AC AB +=，则AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，则OA OB OC OS ====，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC=所以该四面体外接球的表面积为248S ππ=⋅=； 又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值122AC BC ⋅=，SO ，因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为136ABC V S SO =⋅=.故答案为：(1).6(2). 8π10、（2020届山东省济宁市高三上期末）下图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．【答案】 【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==即球的半径R =该球的体积343V R π==，应填答案．。
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结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。
由图可得：
思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：
考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。
2、四边形
常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察围，不用掌握。
分析：设△ABC和△PAB的球心分别为O’,O’’，取AB中点M，球心设为O，则OO’⊥平面ABC，OO’’⊥平面PAB，从而四边形OO’MO’’是矩形，可得：OO’=O’’M，在三角形OO’C中结合沟通定理即可求解.
由题可得：
所以
练习题组一
1．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）
A．4πB． πC． πD．20π
2．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D． ﹣
3．体积为 的球有一个接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ）
由题可知：
所以
解得：
（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）的三棱锥
该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球心位于两垂线的交点处。
例：在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.
几何体的外接球
一、 球的性质回顾
如右图所示：O为球心，O’为球O的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。
二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）的求法
1、三角形：
（1）等边三角形：
等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。
心：切圆圆心，各角角平分线的交点；
从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。
三、常见几何体的外接球半径的求法
1、直（正）棱柱
以三棱柱为例
例：在正三棱柱 中，三角形ABC是边长为2的正三角形， ，求该三棱柱的外接球半径.
分析：如右图，由正三角形的边长可知底面的外接圆半径r，要求R，只需确定OO’的长度，结合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心O必位于上下两底面外心连线的中点处，即 ，从而R可求.
A．7πB．14πC． D．
6．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC= ，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为 ，则球O的表面积为（ ）
A．36πB．16πC．12πD． π
7．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC= ，若球O的体积为 ，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
A．4πB．8πC．12πD．16π
10．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为 同一球面上，则PA=（ ）
计算过程略.
（2）正棱锥
以正三棱锥为例
在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底面，即 ，故球心O落在直线PO’上.
例：在正三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边长为2的正三角形，PA=3，球该三棱锥的外接球半径.
分析：如图
由底面正三角形边长可得r，在直角三角形OO’A中， ，故只需确定OO’的长度即可，结合图形，OO’=PO’-OP=H-R，带入上式中即可求解.
A． B． C． D．
4．四面体ABCD的四个顶点都在某个球O的表面上，△BCD是边长为3 的等边三角形，当A在球O表面上运动时，四面体ABCD所能达到的最大体积为 ，则四面体OBCD的体积为（ ）
A． B． C．9 D．
5．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ）
分析：如右图
法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊PBC切割而产生，故该三棱锥的外接球可转化为原三棱柱的外接球；
法二：先确定底面三角形ABC的外心O’，从而球心位于O’的正上方，即OO’⊥平面ABC，同时：OP=OA，故，过O作OM⊥PA于M，此时M必为PA中点，从而四边形OMAO’为矩形，所以 ，在直角三角形OO’A中有： .
外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；
重心：各边中线的交点；
垂心：各边垂线的交点；
中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：
（其中a为等边三角形的边长）
（2）直角三角形：
结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。
外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。
结合上述所讲容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处
以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。
由题可得： ,
在直角三角形 中，从而Fra bibliotek2、棱锥
常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单，此处重点分析三棱锥的外接球。
（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的三棱锥
该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如下。
例：在三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，PA=3，求该三棱锥的外接球半径.
A． B． C．2D．
8．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为 ，则球O的表面积为（ ）