勾股定理常见练习题
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案问题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答一：根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
设斜边的长度为c，则有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25取平方根得到c = 5cm。
所以，斜边的长度为5cm。
问题二：已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答二：设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：a^2 + 6^2 = 10^2a^2 + 36 = 100a^2 = 100 - 36a^2 = 64取平方根得到a = 8cm。
所以，另一条直角边的长度为8cm。
问题三：已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。
解答三：设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：c^2 = 5^2 + 12^2c^2 = 25 + 144c^2 = 169取平方根得到c = 13cm。
所以，斜边的长度为13cm。
问题四：已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。
解答四：设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：a^2 + 9^2 = 15^2a^2 + 81 = 225a^2 = 225 - 81a^2 = 144取平方根得到a = 12cm。
所以，另一条直角边的长度为12cm。
问题五：已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。
解答五：设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：c^2 = 7^2 + 24^2c^2 = 49 + 576c^2 = 625取平方根得到c = 25cm。
所以，斜边的长度为25cm。
以上是五道勾股定理练习题及答案的解答过程。
通过这些练习题，我们可以加深对勾股定理的理解，熟练掌握如何在已知条件下求解三角形的边长。
勾股定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用，是数学中的重要概念之一。
勾股定理常见练习试题
（一）情境引入如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下， 树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（二）合作探究（1）观察下面两幅图并填表：A 的面积 （单位面积）B 的面积 （单位面积）C 的面积 （单位面积）左图 右图（2）问：①、图形A 、B 、C 的面积有何关系？②、图形A 、B 、C 的面积与三角形的边长有何关系？ ③、由①、②可得出直角三角形三边长有什么结论？１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：AB CC BAcba HG FEDCBA方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５..勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 题型一：已知两边求第三边【例1】直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_____15____2cm ．【例2】已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是____13或____________． 【例3】作出长度为10的线段。
勾股定理知识点与常见题型总结
《勾股定理分类练习》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2变形公式：1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！4、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或251、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为2、已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为3、已知△ABC ，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC,BC 的值.题型三：勾股定理的逆定理：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．10，8，4C ．7，25，24D ．7，15，122、分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：（ ）Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题（判断真假）题型四、与直角三角形面积相关直角三角形的面积公式：1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 （a×b×21 ) 3. 斜边×斜边上的高×21（每种求面积的方法举例两个）1、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿＿，三角形的面积为＿＿，斜边上的高为 ＿＿＿2、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝3、已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB =︒90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长及三角形的面积；4、等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =︒90，∠DBC =︒90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；题型六、折叠问题 1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）（A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2题型七：实际问题中应用勾股定理1、 如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，2、 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm4、一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.B C A D D E。
初中勾股定理常见题型
1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为？A.5（答案）B. 6C.7D.82.直角三角形的一条直角边长为8，斜边长为17，则另一条直角边的长为？A.15B.10（答案）C.12D.163.勾股定理适用于哪种三角形？A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形（答案）D.任意三角形4.若一个直角三角形的两直角边分别为6和8，则其斜边上的高为？A. 4.8（答案）B. 5C. 6D.7.25.在直角三角形中，如果斜边长为c，两直角边分别为a和b，那么勾股定理的表达式是？A. a + b = cB.a2 + b2 = c2（答案）C.a2 - b2 = c2D.ab = c26.一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边的平方是？A.144（答案）B.169C.196D.2257.直角三角形中，若斜边长为10，一条直角边比另一条直角边长2，则较短的直角边长为？A.4（答案）B. 5C. 6D.88.已知直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，若a和b都扩大2倍，则新的斜边长为？A. cB.2c（答案）C.4cD.c29.勾股定理最早是由哪位数学家提出的？A.牛顿B.欧拉C.毕达哥拉斯（答案）D.高斯10.在直角三角形中，如果一条直角边长为12，斜边上的高为6.4，那么斜边的长为？A.15B.18（答案）C.20D.24。
《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7。
勾股定理常见题
一．选择题（共16小题）1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26C．47 D．942．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15C．6 D．以上答案都不对3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（）⑴A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cmC．4cm D．5cm5．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）⑷A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍6．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或337．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（）A．175 B．575C．625 D．7008．下列说法中，正确的个数有（）①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．⑺A．1个B．2个C．3个D．4个9．小明的爸爸买了一部29英寸（74厘米）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）A．小明认为指的是荧屏的长度B．妈妈认为指的是荧屏的宽度C．爸爸认为指的是荧屏的周长D．售货员认为指的是荧屏对角线的长度10．已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6=0的两根，则此直角三角形的斜边长为（）A．B．3 C．D．311．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6C．3 D．4⑾12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=，则AC=（）A．1 B．2C．3 D．413．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm214．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．1515．下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a≥0，那么=a（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A．B．3 C．+2 D．二．填空题（共4小题）⒄⒅19．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________．20．如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________．⒆⒇三．解答题（共4小题）21．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．23．如图，已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm．△ABC的面积是6cm2．（1）求AB的长度；（2）求△ABD的面积．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．（1）填表：（2）如果a+b﹣c=m，观察上表猜想：=_________，（用含有m的代数式表示）；（3）说出（2）中结论成立的理由．答案与评分标准一．选择题（共16小题）1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26C．47 D．94考点：勾股定理。
勾股定理常见题型总结
典型题型题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒．⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC =题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB C D E分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
勾股定理常见练习题精修订
勾股定理常见练习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]勾股定理应用题题型一：已知两边求第三边1、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm．2、已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是________________．3、作出长度为10的线段。
4、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？针对练习1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，122、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm2题型二：利用勾股定理测量长度例1：如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例2：如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.AB例3：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？题型三：转化思想例:如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________ cm。
（π取3）题型四：利用勾股定理解决实际问题例:如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为多少米？巩固练习1、如图1，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（）A．6 B．8 C．10 D．12图1 图22、如图2，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米3、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24 4、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm24题 5题6题5、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（）A、36，B、22C、18D、126、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为厘米。
八年级勾股定理典型练习题含答案
4、如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的大小为（）
A.45°B.50°C.55°D.60°
题型二勾股定理中的网格问题
5、如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有（）
∴AB= ，
选C.
15、答案：B
解答：先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC= =2π≈6cm，
在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB= = =10cm．
16、答案：B
解答：将长方体展开，连接A、B，
A.5 B.25C.10 +5D.35
17、如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，边长为2厘米，现有一小虫从A出发，沿长方体表面到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米？
18、如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km，现要在河边上建一个水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/km，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最低，并求出铺设水管的总费用．
勾股定理中的常见题型
题型一勾股定理与翻折问题
1、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE 面积为（）
A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2
2、如图所示，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，使点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积．
(完整版)勾股定理及其逆定理的应用常见题型
勾股定理及其逆定理的应用常见题型利用勾股定理求线段长1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E,交BC于F,若AE＝4,FC＝3，求EF的长．(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)利用勾股定理求面积2．如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．利用勾股定理逆定理判断三角形的形状3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5,AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题4.（中考·青岛）如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．利用勾股定理解决实际问题65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A,B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后,相距40 n mile,已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？(第6题)几种常见的热门考点勾股定理及其应用1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为( ）A．3 B．4 C．5 D．10(第2题）2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于点E,AD＝8，AB ＝4,则DE的长为________．3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm,AD＝13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求：(1）AB的长度；（2)△ABD的面积．(第3题）勾股定理的验证4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE,所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE 的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种证明勾股定理的方法．（第4题)直角三角形的判别5．在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm，下列关系式成立的是( )A．∠B＋∠C>∠A B．∠B＋∠C＝∠AC．∠B＋∠C<∠A D．以上都不对6．已知｜x－12|＋|z－13｜和（y－5)2互为相反数,则以x，y，z为边长的三角形为________三角形．7．在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA.利用勾股定理求最短距离8．如图，圆柱形无盖玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．利用勾股定理解决实际问题9．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题．小溪边长着两棵棕榈，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远?思想方法a．方程思想10．如图，四边形ABCD是长方形,把△ACD沿AC折叠得到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．b．分类讨论思想11．在△ABC中,若AB＝20，AC＝15，AD是BC边上的高,AD＝12,试求△ABC的面积．c．转化思想。
勾股定理常见练习题
勾股定理应用题题型一：已知两边求第三边1、直角三角形中;以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ;82cm ;则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．2、已知直角三角形的两边长为5、12;则另一条边长是________________．3、作出长度为10的线段..4、一种盛饮料的圆柱形杯;测得内部底面半径为2.5㎝;高为12㎝;吸管放进杯里;杯口外面至少要露出4.6㎝;问吸管要做多长针对练习1、以下列各组数为边长;能组成直角三角形的是 A ．2;3;4 B ．10;8;4 C ．7;25;24 D ．7;15;122、已知一个Rt △的两边长分别为3和4;则第三边长的平方是A ．25B ．14C ．7D ．7或25 3、以面积为9 cm 2 的正方形对角线为边作正方形;其面积为A ．9 cm 2B ．13 cm 2C ．18 cm 2D ．24 cm 2题型二：利用勾股定理测量长度例1： 如果梯子的底端离建筑物9米;那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米A B例2：如图8;水池中离岸边D点1.5米的C处;直立长着一根芦苇;出水部分BC的长是0.5米;把芦苇拉到岸边;它的顶端B恰好落到D点;并求水池的深度AC.例3：如图所示;一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下;树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少题型三：转化思想例:如图;有一圆柱;其高为12cm;它的底面半径为3cm;在圆柱下底面A处有一只蚂蚁;它想得到上面B处的食物;则蚂蚁经过的最短距离为________ cm..π取3题型四：利用勾股定理解决实际问题例:如图;在一个高为3米;长为5米的楼梯表面铺地毯; 则地毯长度为多少米巩固练习1、如图1;直角△ABC的周长为24;且AB:AC=5:3;则BC=A．6 B．8 C．10 D．12图1 图22、如图2;一架云梯长25米;斜靠在一面墙上;梯子底端离墙7米;如果梯子的顶端下滑4米;那么梯子的底部在水平方向上滑动了A．4米 B．6米 C．8米 D．10米3、将一根长24 cm的筷子;置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中;设筷子露在杯子外面的长为hcm;则h的取值范围是A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤244、已知;如图;长方形ABCD中;AB=3cm;AD=9cm;将此长方形折叠;使点B与点D重合;折痕为EF;则△ABE的面积为A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm24题 5题6题5、已知;如图;四边形ABCD中;AB=3cm;AD=4cm;BC=13cm;CD=12cm;且∠A=90°;则四边形ABCD的面积为A、36;B、22C、18D、126、如图中阴影部分是一个正方形;如果正方形的面积为64厘米2;则X的长为厘米..7、如图;从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳;这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为米..7题8题8、如图;在等腰直角△ABC中;AD是斜边BC上的高;AB=8;则AD2= ..9、小华和小红都从同一点O出发;小华向北走了9米到A点;小红向东走了12米到了B点;则________AB米..10、如图;所有的四边形都是正方形;所有的三角形都是直角三角形;其中最大的正方形的边长为6cm;则正方形A;B;C;D的面积之和为_____cm2..11、如图;某人欲横渡一条河;由于水流的影响;实际上岸地点C偏离欲到达点B200m;结果他在水中实际游了520m;求该河流的宽度为多少课后思考题如图;一个三级台阶;它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2;A 和B是这个台阶两个相对的端点;A点有一只蚂蚁;想到B点去吃可口的食物;则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是..。
17.1 勾股定理的应用常见题型及答案
17.1.2 勾股定理的应用【常见题型一】【题型1 蚂蚁行程模型】【例】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，=5（cm）．则AD＝10×12又因为CD＝AB＝12cm，所以AC=√122+52=13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．【变式】如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（3+√13）cm B．√97cm C．√85cm D．√109cm【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是√42+92=√97；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是√72+62=√85；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是√32+102=√109；三种情况比较而言，第二种情况最短．故选：C．【题型2 范围影响问题】【例】如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C 与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m 以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，=120（m），∴CD=150×200250∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=√EC2−CD2=√1302−1202=50（m），∴EF＝100（m），∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【变式】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，OA＝40米，∴AH=12∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=√AC2−AH2=√502−402=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【题型3 大树折断模型】【例】如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．12米C．14米D．16米【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC=√AB2+AC2=√62+82=10（m），∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故选：D．【题型4 风吹荷花模型】【例】如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．【变式】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD 可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴AB=√132−52=12（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝8（m），∴AD=√CD2−AC2=√82−52=√39（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12−√39）m．故答案为：（12−√39）．【题型5 方向角问题】【例】如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A 出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度．【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，由勾股定理得BC=√AB2+AC2=√2402+1802=300，答：此时两艘海舰相距300海里．【题型6 梯子问题】【例】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为米．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2），∵AB＞0，∴AB＝2.5（米），在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米，∴BD2+A′D2＝A′B2，即BD2+22＝2.52（米2），∵BD＞0，∴BD＝1.5（米），∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米），故答案为：2.2．【变式】一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较．【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：√52−22=√21，因为√21＞4.5，所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】【例】如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距C点13.3km，即CE＝13.3km．【变式】在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．【解答】解：设树的高度为x米．∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案为：7.5．。
勾股定理及常见题型分类
勾股定理及常见题型分类一、知识要点：1.勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的证明方法包括几何证明和代数证明，其中几何证明使用勾股树。
3.勾股定理的逆定理是指若一个三角形的三边满足勾股定理，则该三角形是直角三角形。
4.勾股定理常见题型包括勾股定理的应用、勾股定理的证明和勾股定理的逆定理。
二、典型题题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积1.如图所示，正方形A、B、C、D构成了一棵勾股树，求最大正方形E的面积。
2.如图所示，直线l上有三个正方形a、b、c，已知a、c 的边长分别为6和8，求b的面积。
3.如图所示，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，探索三个半圆的面积之间的关系。
4.如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是S1+S2=S3.5.如图所示，依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是4、5、6、7.题型二：勾股定理与图形问题1.如图所示，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是n+1.2.如图所示，求该四边形的面积。
3.如图所示，已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为3.4.如图所示，某公司的大门为长方形ABCD，上部为以AD为直径的半圆，已知AB=2.3m，BC=2m，卡车高2.5m，宽1.6m，判断卡车是否能通过公司的大门，并说明理由。
5.如图所示，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
题型三：已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm、2cm，则斜边长为√5cm。
2.已知直角三角形的两边长为3cm、2cm，则另一条边长的平方是5cm²。
勾股定理复习专题3.利用勾股定理解题的6种常见题型
专训3.利用勾股定理解题的6种常见题型利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 为AC 边的中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．(第1题)利用勾股定理作长为n 的线段2．已知线段a ，作长为13a 的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＝2AB 2－CD 2.求证：AB ＝BC.(第3题)利用勾股定理解非直角三角形问题4．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第4题)利用勾股定理解实际生活中的应用5．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km /h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m /s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第5题)利用勾股定理探究动点问题6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P 从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．(第6题)解析(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF.∴∠FDC ＝∠EDB. 在△EDB 与△FDC 中，⎩⎨⎧∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC(ASA )， ∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7.∴BF ＝4.在Rt △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42＝25，∴EF ＝5. 2．2a ；3a3．证明：∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形． 由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2.又∵AD 2＝2AB 2－CD 2，∴AD 2＋CD 2＝2AB 2.∴AC 2＝2AB 2. ∵∠ABC ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2， 故BC 2＝AB 2，即AB ＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．4．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D. ∴∠ADC ＝90°.又∵∠C ＝60°， ∴∠CAD ＝90°－∠C ＝30°，(第4题)∴CD ＝12AC ＝5.∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝102－52＝5 3. ∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝11. ∴BC ＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．5．解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝12AB.∵OA＝100 m，∴AB＝200 m.由勾股定理，得OB＝AB2－OA2＝2002－1002＝100 3(m)．在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∴OC＝OA＝100 m．∴B(－100 3，0)，C(100，0)．(2)∵BC＝BO＋CO＝(100 3＋100)m，100 3＋10015≈18>503，∴这辆汽车超速了．6．解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm.(2)由题意知BP＝t cm，①如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4；[第6题(2)]②如图②，当∠BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2，解得t＝25 4.故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝25 4.(3)①如图①，当BP＝AB时，t＝5；②如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；[第6题(3)]③如图③，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝25 8.综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝25 8.。
勾股定理知识点总结及练习
勾股定理知识总结 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
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勾股定理常见练习题Last revision on 21 December 2020
勾股定理应用题
题型一：已知两边求第三边
1、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为
边长的正方形的面积为_________2cm ．
2、已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是________________．
3、作出长度为10的线段。
4、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸管要做多长
针对练习
1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A ．2，3，4 B ．10，8，4 C ．7，25，24 D ．7，15，12
2、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A ．25
B ．14
C ．7
D ．7或25
3、以面积为9 cm 2 的正方形对角线为边作正方形，其面积为（ ）
A ．9 cm 2
B ．13 cm 2
C ．18 cm 2
D ．24 cm 2
题型二：利用勾股定理测量长度
例1： 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米
A B
例2：如图（8），水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
例3：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少
题型三：转化思想
例:如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，
它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________ cm。
（π取3）
题型四：利用勾股定理解决实际问题
例:如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为多少米
巩固练习
1、如图1，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（）
A．6 B．8 C．10 D．12
图1 图2
2、如图2，一架长25米，斜靠在一面
云梯
墙上，梯子底端离米，如果梯子的顶端下
墙7
滑4米，
那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
3、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子
露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）
A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24 4、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
4题 5题 6题5、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（）
A、36，
B、22
C、18
D、12
6、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为
厘米。
7、如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为米。
7题8题
8、如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=8，则
AD2= 。
9、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小
红向
东走了12米到了B点，则________
AB米。
10、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_____cm2。
11、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B
200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为多少
课后思考题
如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是。