矩阵分析PPT
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《矩阵分析》课件
方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
波士顿矩阵分析ppt课件
◦ BCG矩阵的发明者、波士顿公司的创立者布鲁斯认为 “公司若要取得成功，就必须拥有增长率和市场分额 各不相同的产品组合。组合的构成取决于现金流量的 平衡。”如此看来，BCG的实质是为了通过业务的优化 组合实现企业的现金流量平衡。
3
波士顿矩阵
4
BCG矩阵的象限特征
30%
明星 利润：高、稳定、增长中
这类业务常常是微利甚至是亏损的 瘦狗型业务通常要占用很多资源，如资金、管理部门的时间
等，多数时候是得不偿失的 瘦狗型业务适合采用战略框架中提到的收缩战略，目的在于
出售或清算业务，以便把资源转移到更有利的领域 瘦狗业务通常因为管理层情感因素而得以保留
10
波士顿矩阵使用步骤
• 1.评价各项业务的前景 • 2.评价各项业务的竞争地位
第一法则：成功的月牙环。在企业所从事的事业领域内各种产 品的分布若显示月牙环形，这是成功企业的象征，因为盈利大 的产品不只一个，而且这些产品的销售收入都比较大，还有不 少明星产品。问题产品和瘦狗产品的销售量都很少。若产品结 构显示的散乱分布，说明其事业内的产品结构未规划好，企业 业绩必然较差。
17
16
波士顿矩阵
波士顿矩阵应用法则
◦ 照波士顿咨询集团法的原理，产品市场占有率越高，创造利 润的能力越大；另一方面，销售增长率越高，为了维持其增 长及扩大市场占有率所需的资金亦越多。这样可以使企业的 产品结构实现产品互相支持，资金良性循环的局面。按照产 品在象限内的位置及移动趋势的划分，形成了波士顿咨询集 团法的基本应用法则。
公司可以开始诊断自
己的业务组合是否健
康
一个失衡的业务组合
就是有太多的狗类或
问题类业务，或太少
的明星类和金牛类业
3
波士顿矩阵
4
BCG矩阵的象限特征
30%
明星 利润：高、稳定、增长中
这类业务常常是微利甚至是亏损的 瘦狗型业务通常要占用很多资源，如资金、管理部门的时间
等，多数时候是得不偿失的 瘦狗型业务适合采用战略框架中提到的收缩战略，目的在于
出售或清算业务，以便把资源转移到更有利的领域 瘦狗业务通常因为管理层情感因素而得以保留
10
波士顿矩阵使用步骤
• 1.评价各项业务的前景 • 2.评价各项业务的竞争地位
第一法则：成功的月牙环。在企业所从事的事业领域内各种产 品的分布若显示月牙环形，这是成功企业的象征，因为盈利大 的产品不只一个，而且这些产品的销售收入都比较大，还有不 少明星产品。问题产品和瘦狗产品的销售量都很少。若产品结 构显示的散乱分布，说明其事业内的产品结构未规划好，企业 业绩必然较差。
17
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波士顿矩阵
波士顿矩阵应用法则
◦ 照波士顿咨询集团法的原理，产品市场占有率越高，创造利 润的能力越大；另一方面，销售增长率越高，为了维持其增 长及扩大市场占有率所需的资金亦越多。这样可以使企业的 产品结构实现产品互相支持，资金良性循环的局面。按照产 品在象限内的位置及移动趋势的划分，形成了波士顿咨询集 团法的基本应用法则。
公司可以开始诊断自
己的业务组合是否健
康
一个失衡的业务组合
就是有太多的狗类或
问题类业务，或太少
的明星类和金牛类业
《MATLAB矩阵分析》PPT课件
整理ppt
24
2．三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵， 所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元 素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角 线以上的元素全为0的一种矩阵。
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25
(1) 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是 求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取 矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵 B。 (2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数 是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的 函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
(6) 帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n 的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角 形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯 卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶 帕斯卡矩阵。
整理ppt
14
• 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其 余的数则是等于它肩上的两个数之和。
整理ppt
35
2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其 函数调用格式与求向量的范数的函数完全 相同。
整理ppt
36
在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得 x=A-1b 例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=inv(A)*b
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
SWOT分析模型矩阵示意图优势分析劣势分析机会分析威胁分析PPT课件带内容
区分
内 容
优先顺序
区分
内 容
优先顺序
S
W
O
T
SWOT分析步骤
优先顺序评价说明
项目
评价
项目
评价
项目
评价
备注重要度5来自非常重要紧急度5
非常紧急
影响度
5
影响非常大
根据3项的评价合计分数总和作出优先排序.
4
很重要
4
很紧急
4
影响很大
3
重要
3
紧急
3
影响大
2
不重要
2
不紧急
2
影响不大
1
很不重要
1
很不紧急
1
影响很小
SWOT分析步骤
制定战略计划
制定计划的基本思路是：
运用系统分析的综合分析方法，将排列与考虑的各种环境因素相互匹配起来加以组合，得出一系列公司未来发展的可选择对策。
发挥优势因素，分析劣势因素，并克服劣势因素。
利用机会因素，识别威胁因素，并规避或化解威胁因素。
考虑过去，立足当前，着眼未来。
SWOT分析步骤
WT对策
WO对策
ST对策
SO对策
最小与最小对策，即考虑弱点因素和威胁因素，目的是努力使这些因素都趋于最小。
最小与最大对策，即着重考虑弱点因素和机会因素，目的是努力使弱点趋于最小，使机会趋于最大
最小与最大对策，即着重考虑优势因素和威胁因素，目的是努力使优势因素趋于最大，是威胁因素趋于最小。
机会（ Opportunity ）
威胁（ Threats ）
P-政策/法律
政府稳定性劳动法
贸易法税收政策
经济刺激方案行业性法规等
内 容
优先顺序
区分
内 容
优先顺序
S
W
O
T
SWOT分析步骤
优先顺序评价说明
项目
评价
项目
评价
项目
评价
备注重要度5来自非常重要紧急度5
非常紧急
影响度
5
影响非常大
根据3项的评价合计分数总和作出优先排序.
4
很重要
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很紧急
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影响很大
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重要
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紧急
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影响大
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不重要
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不紧急
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影响不大
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很不重要
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很不紧急
1
影响很小
SWOT分析步骤
制定战略计划
制定计划的基本思路是：
运用系统分析的综合分析方法，将排列与考虑的各种环境因素相互匹配起来加以组合，得出一系列公司未来发展的可选择对策。
发挥优势因素，分析劣势因素，并克服劣势因素。
利用机会因素，识别威胁因素，并规避或化解威胁因素。
考虑过去，立足当前，着眼未来。
SWOT分析步骤
WT对策
WO对策
ST对策
SO对策
最小与最小对策，即考虑弱点因素和威胁因素，目的是努力使这些因素都趋于最小。
最小与最大对策，即着重考虑弱点因素和机会因素，目的是努力使弱点趋于最小，使机会趋于最大
最小与最大对策，即着重考虑优势因素和威胁因素，目的是努力使优势因素趋于最大，是威胁因素趋于最小。
机会（ Opportunity ）
威胁（ Threats ）
P-政策/法律
政府稳定性劳动法
贸易法税收政策
经济刺激方案行业性法规等
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
2024版第5章矩阵分析ppt课件
矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
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i 1 n i 1
n
i
i ( i )
p i 1 p 1/ p
n
p 1/ p
( i i
i 1
n
)
( i )
n
( i i
i 1 n
n
1 p 1 ( p 1) p p 1
)
[( i )
i 1
p 1/ p
( i )
i 1
x lim x
p
p
证明:
例4.4 设A 是任意一n阶正定Hermite矩阵,列向 x C n , 则函数 x A ( x H Ax)1/ 2 是一种向量范数, 称为 量 加权范数或椭圆范数. 证：因为A 正定，所以当x=0时， x
A
0
例4.5
是线性空间 C[a,b]的范数.
(k )
必要性. 设 x
x ，则 x x 0 即向量
(k )
(k ) 1
1 , 2( k ) 2 ,, n( k ) n
i
的每一个分量收敛 时，
到零，于是对 0 ，ki 使得当 k> 有
(k ) i
i ，取N= max ki ，当k> N时
p i 1
n
1/ p
( i )
p i 1
1/ p
( i )
p i 1
n
1/ p
其中
y (1 ,2 ,,n ) C n
注：这里要用到 Holder不等式：
其中 因为
1 1 1, p 1, q 1. p q
1 p 1 ( p 1) p p 1
二. 向量范数的等价性 定理4.3 设 x 和 x 为有限维线性空间V 的 任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的 正常数 c1和 c2 使下面不等式成立
c1 x x c2 x
例如：x 2 x 1 n x 2
n or x1 x2 x1 n n x2 x x2 n 1 x1 x x1 n
i i i
因此， max i 是 C n 上的一种范数. x
i
例4.3
以上例子给出了 中向量的三种常用范数， 下面再来看更一般的 P-范数（也叫Holder（赫 n 尔德）范数） p 1/ p
x ( i )
i 1
n
,1 p
要证明上式是向量范数. 只证明三角不等式
( i i )
定义4.2 满足上述不等式 的两种范数称为是 等价的.由此可见任意两种向量范数是等价的。
定理4.4
( ( C n 中的 x ( k ) 1( k ) , 2 k ) ,, n k )
收敛到向量 x 1 , 2 ,, n ，序列
的充要条件是对任一种范数
x
(即 解：（1）对于
x
）是否是范数？
1 2 n
2 2
2
(2)a C , ax (3)对于 x, y C ,
n
a1 a 2 a n a x
2 2 2
x y ( x y, x y ) ( x, x) 2 Re( x, y ) ( y, y )
第四章 向量的范数与矩阵的 范数 4.1 向量的范数 4.2 矩阵的范数
定义 4.1 如果V 是数域K上的线性空间，且 对于V 中任意一向量x ，对应一个实值函数,
它满足以下三个条件： （1）非负性： （2）齐次性： （3）三角不等式：
例4.1
x 1 2 n
2 2
2
（ 2.1.1 ）
p 1/ p
] ( i i ) p
所以 称
( i i )
i 1
n
p 1/ p
( i )
i 1
n
p 1/ p
( i )
i 1
n
p 1/ p
显然上面三个例子中给出的三种常用范数是P范数的特殊情况。当p=1, 2, 便得 x 1与 x 2 ， 并且
i( k ) i 有
，故
即 从而可知序列
.
证毕
2
因为 Re（x, y ) ( x, y ) ( x, x)( y, y ) x y
证明 x max i 是Cn 上的一种范数， 例4.2
这里x 1 , 2 , n C
i
n
x y max i i max i max i x y
(k )
x 收敛于零
证 取 .
充分性. 设 x
(k )
x 0 即 max
i
(k ) i
i 0
但是 从而
( k ) j max i( k ) i ( j 1,2,, n) j
i
( k ) j 0( j 1,2,, n)即x ( k ) x j
有关性质：
1）零向量的范数是零。
2）当
时，有
实际上，我们还可以通过已知的向量范 数来构造新的向量范数。
定理4.1 设
是
上的一种已知向量范数
（不一定是P-范数），A是n阶满秩方阵，
，定义 ，则 是
上的一种向量范数。
证明：
所以
是
上的一种向量范数。 是 中向量 是 的n元连续
定理4.2 设
的一种范数，则 函数。