矩阵分析课件
合集下载
《矩阵分析》课件
方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
矩阵分析课件
矩阵分析课件
• 波士顿矩阵的基本应用法则。
• 第一法则：成功的月牙环。在企业所从事的事业领域内 各种产品的分布若显示月牙环形，这是成功企业的象征， 因为盈利大的产品不只一个，而且这些产品的销售收入 都比较大，还有不少明星产品。问题产品和瘦狗产品的 销售量都很少。若产品结构显示的散乱分布，说明其事 业内的产品结构未规划好，企业业绩必然较差。这时就 应区别不同产品，采取不同策略。
矩阵分析在经营管理中的应用
矩阵分析课件
一、波斯顿矩阵
波斯顿矩阵是美国波斯顿咨询公司（BCG）在1960年 为一家造纸公司咨询时而提出的一种投资组合分析方法。 该矩阵是用两次衡量标准构成的矩阵，它把需求数量的 增长率作为战略经营领域的预期衡量标准，把企业的相 对市场占有率作为竞争地位的衡量标准。任何一个战略 经营领域在未来的增长率被估测、相对的市场 占有率被
矩阵分析课件
• （3）问号产品 • 它是处于高增长率、低市场
占有率象限内的产品群。前 者说明市场机会大，前景好， 而后者则说明在市场营销上 存在问题。其财务特点是利 润率较低，所需资金不足， 负债比率高。选择性投资战 略；采用智囊团式或项目小 组结构;选拔有规划能力、敢 冒风险、有才干的人负责。 •
矩阵分析课件
14
• 三、产品—市场演变矩阵
• 美国学者霍福尔(C.W.Hofer)扩展了波士顿咨询集团和通用 电器公司的评价方法，把矩阵扩展为15个区域，并按照 各个经营单位的产品——市场发展阶段和竞争地位，画 出它们在霍福尔矩阵中的位置。
矩阵分析课件
整顿 成熟 衰退
矩阵分析课件
• 四、Swot矩阵
• SWOT分析法模型（也称TOWS分析法）即态势分析法， 经常被用于企业战略制定、竞争对手分析等场合。
• 波士顿矩阵的基本应用法则。
• 第一法则：成功的月牙环。在企业所从事的事业领域内 各种产品的分布若显示月牙环形，这是成功企业的象征， 因为盈利大的产品不只一个，而且这些产品的销售收入 都比较大，还有不少明星产品。问题产品和瘦狗产品的 销售量都很少。若产品结构显示的散乱分布，说明其事 业内的产品结构未规划好，企业业绩必然较差。这时就 应区别不同产品，采取不同策略。
矩阵分析在经营管理中的应用
矩阵分析课件
一、波斯顿矩阵
波斯顿矩阵是美国波斯顿咨询公司（BCG）在1960年 为一家造纸公司咨询时而提出的一种投资组合分析方法。 该矩阵是用两次衡量标准构成的矩阵，它把需求数量的 增长率作为战略经营领域的预期衡量标准，把企业的相 对市场占有率作为竞争地位的衡量标准。任何一个战略 经营领域在未来的增长率被估测、相对的市场 占有率被
矩阵分析课件
• （3）问号产品 • 它是处于高增长率、低市场
占有率象限内的产品群。前 者说明市场机会大，前景好， 而后者则说明在市场营销上 存在问题。其财务特点是利 润率较低，所需资金不足， 负债比率高。选择性投资战 略；采用智囊团式或项目小 组结构;选拔有规划能力、敢 冒风险、有才干的人负责。 •
矩阵分析课件
14
• 三、产品—市场演变矩阵
• 美国学者霍福尔(C.W.Hofer)扩展了波士顿咨询集团和通用 电器公司的评价方法，把矩阵扩展为15个区域，并按照 各个经营单位的产品——市场发展阶段和竞争地位，画 出它们在霍福尔矩阵中的位置。
矩阵分析课件
整顿 成熟 衰退
矩阵分析课件
• 四、Swot矩阵
• SWOT分析法模型（也称TOWS分析法）即态势分析法， 经常被用于企业战略制定、竞争对手分析等场合。
矩阵分析课件(1-1,4)
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
《MATLAB矩阵分析》PPT课件
整理ppt
24
2．三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵， 所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元 素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角 线以上的元素全为0的一种矩阵。
整理ppt
25
(1) 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是 求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取 矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵 B。 (2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数 是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的 函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
(6) 帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n 的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角 形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯 卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶 帕斯卡矩阵。
整理ppt
14
• 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其 余的数则是等于它肩上的两个数之和。
整理ppt
35
2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其 函数调用格式与求向量的范数的函数完全 相同。
整理ppt
36
在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得 x=A-1b 例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=inv(A)*b
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.7
证明：Im T
2
= Im T .
(1) 显然有 Im T 2 ⊂ Im T . 证： (2) 由 Im T + ker T = V , 及 dim Im T + dim ker T = n，
知 Im T ⊕ ker T = V . 取 ker T 的基α 1，α 2， α n − r , 扩充成 V 的基α 1， , α n − r , α n − r +1 , α n . 则有 ∀α ∈V , Tα ← {Tα n− r +1 , , Tα n }， 结合 Im T ⊕ ker T = V， 可得 T α n − r +1 , , T α n 是ImT的一个基. 则有 α1， , α n− r , Tα n− r +1 , , Tα n 是V的一个基. 于是
（是V 中同一向量在基 α1 , α 2 , , α n 下的坐标） 注：求T 的特征值、特征向量时，可以先求其矩阵的特 征值、特征向量；T 的特征多项式、最小多项式就 是它的矩阵的特征多项式的最小多项式.
6
例： 设T 是数域F上n维线性空间V 的线性变换，且满足
Im T + ker T = V .
由α ∈ ker T 知, Tα = 0. 由α ∈ ImT 知， 存在β ∈V，使得T β = α . 1 2 1 1 于是 α = T β = T β = T (T β ) = T α = 0. 3 3 3 即 Im T ∩ ker T = {0}.
又 故
8
dim Im T + dim ker T = n,
T ( β ) = T (T (α ) ) ∈ Im T (2) ∀α ∈ Ker T，T (α ) = O ∈ Ker T
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是一组线性无关的函数，其中 1,2 , ,n 为一
组互不相同的实数。
例 3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例 4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
是线性相关
cos 2x 2cos2 x 1
矩阵分析
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 ,,（m当 m 时2 ）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 ,,m线性无关,而向量 组B :1,,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
定义１
给
定向
量组A
:
1
,
2
,,
，对于任何一
m
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
它的秩为0. 注：线性无关向量组的最大无关组即其自身！
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
A0 :பைடு நூலகம்1,2 ,,r，满足 （1）向量组 A0 :1,2 ,,r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有 r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩 . 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一组数1， 2，, m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3, ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
（2） 加法结合律 ( ) ( )
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素
对于 V 中的任意元素 都存
在一个元素 使得
0
（5） 1
记
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
（1） 加法交换律
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛
组互不相同的实数。
例 3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
也是线性无关的。
例 4 实数域 R 上的线性空间空间 RR 中，函数组 1,cos2 x,cos 2x
是线性相关
cos 2x 2cos2 x 1
矩阵分析
教材：矩阵分析 史荣昌等编
参考书 矩阵分析引论 矩阵论
罗家洪编 程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。 在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理， 系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化 技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切 的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和 发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。 它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门 课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特 别向量、矩阵、二次型的相关内容。
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 ,,（m当 m 时2 ）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
定理 4：设向量组A :1,2 ,,m线性无关,而向量 组B :1,,m ,b 线性相关,则向量 b必能由向量组
设元素x有两个负元素x1, x2
x x1 0, x x2 0 x1 x1 0 x1 (x x2 )
(x1 x) x2 0 x2 x2
二： 线性空间的基本概念及其性质
定义１
给
定向
量组A
:
1
,
2
,,
，对于任何一
m
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
它的秩为0. 注：线性无关向量组的最大无关组即其自身！
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关；
（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；
（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，
A线性表示,且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
A0 :பைடு நூலகம்1,2 ,,r，满足 （1）向量组 A0 :1,2 ,,r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有 r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩 . 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；
（6）等价的向量组秩相同。
例 1 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
e1x , e2x , , enx
是一组线性无关的函数，其中 1, 2, , n 为一
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一组数1， 2，, m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
定义2 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域 F 上的线性空间。
例 1 全体实函数集合 RR 构成实数域 R上的
线性空间。 按函数的加法和数乘函数
例 2 复数域 上的全体 m n 型矩阵构成
的集合 mn 为 上的线性空间。
按矩阵的加法和数乘矩阵
例 3 实数域 R上全体次数小于或等于 n 的多项
式集合 R[ x]n 构成实数域 R上的线性空间
函数组
sin x,cos x,sin2 x,cos2 x,,
例8
n 1
在R
中有界的无限序列组成的子集也构成
R 上的线性空间。一个无限序列 [a1, a2, a3, ]
称为有界的，如果存在一个实数 r ， 使得
ai r,i 1,2,
定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的 负元素.
证 : 设01，02是两个零元素,则有 01 01 02 02
（2） 加法结合律 ( ) ( )
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素
对于 V 中的任意元素 都存
在一个元素 使得
0
（5） 1
记
（6） k(l) (kl) （7） (k l) k l
（8） k( ) k k
第一章 线性空间和线性映射
第一节 线性空间 一： 线性空间的定义与例子
实数域R 复数域C
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集和 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算,
用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且
这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
（1） 加法交换律
例 6 在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R 上的线性空间。Cauchy条件是： 0,N 0, 使得对于 m,n N 都有
am an
例7 在 R中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合不构成 R 上的线性空间。Hilbert条件是：
级数 an 2 收敛