矩阵分析课件(1-1,4)
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
《矩阵分析》课件
方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
矩阵分析课件(1)f
A 第一组基下的坐标为 7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3 利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
向量
2 3 y1 1 y 2 3 y3 1 3 y4 1 3
R 则 为实数域 R 上的一个线性空间。
例 5 设V是由系数在实数域R上，次数为n的 n次多项式f(x)构成的集合，其加法运算与数乘运算 按通常规定，则V不是R上的线性空间。
7
二： 向量的线性相关性
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一 组实数k1，k2， , km， 向量
它的秩为 0. 注：线性无关向量组的最大无关组即其自身！
10
基本性质： （1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向 量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相 关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并 不唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出， 那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
2
第一章
线性空间和线性变换
第一节 线性空间
实数域R 复数域C
一： 线性空间的定义与例子
定义 设 V 是一个非空的集合， F 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 来表示; 另一种是数乘运算, 用 来表示, 并且 这两种运算满足下列八条运算律：
运算的结果是 V中的元素
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
22
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
矩阵分析3ppt课件
3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
应用 计算矩阵多项式
1 0 2
例 A0 1 1 ，求(A) 2A8 3A5 A4 A2 4
0 1 0
特征多式E- A 3 21，于是A3 2A10 (A) (2A5 4A3 5A2 9A)(A3 2A1)
24A2 37A10E
0 0 ( 2 ) ( 1)( 2 )
1 0
0
0 0
0
(
0 1)(
2)
4. 多项式矩阵与史密斯标准形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
性质 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩 史密斯标准形中的d i 即是不变因子
充要条件 两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因 子，相同的不变因子，相同的初等因子
2
n
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1
1
0
1 2 1
2
P －1 A P
1
1
2
100
2100 2 2101 2 0
A100
P
1
P －1
2100 1
2101 1
0
1
2100 1 2101 2 1
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵 不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较 简单的分块对角阵与它相似？
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
第3讲 矩阵分析
( 使得对一切k 都有 aijk ) M (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n).
定义 设A为方阵, 且k 时, A( k ) 0, 则称A为收敛矩阵.
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
定理 Ak 0的充要条件是 ( A) 1. 定理 Ak 0的充要条件是只要有一种 矩阵范数 , 使得 A 1. 1/ 2 1/ 3 例: A 是否为收敛矩阵？ 1/ 4 1/ 5 解： A
2
1 -1 1 -1 1 -1 B BB B 0 00 0 0 0
2
A A2 A3 ; B B 2 B 3
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矩阵论
矩阵分析
matrix theory
1 2 1 3 e I A A A 2! 3!
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矩阵论
矩阵分析
matrix theory
矩阵函数 - - -以n阶矩阵为自变量和函数值的一种函数. 定义 设一元函数f ( z )能够展开为z的幂级数 f ( z ) ck z k
k 0
z r
其中r 0表示该幂级数的收敛半径. 当n阶矩阵A的谱半径 ( A) r时, 把收敛的矩阵幂级数 ck Ak 和称为矩阵函数, 记为f ( A), 即
1 1 1 1 1 N 1 1 2 2 3 N 1 N 1 N 1
N 1 1 2 0
S
(N )
A( k )
k 1
N
1 N 1 9 4 N N 1
3 4k 的收敛性. 1 k ( k 1)
定义 设A为方阵, 且k 时, A( k ) 0, 则称A为收敛矩阵.
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矩阵论
矩阵分析
matrix theory
定理 Ak 0的充要条件是 ( A) 1. 定理 Ak 0的充要条件是只要有一种 矩阵范数 , 使得 A 1. 1/ 2 1/ 3 例: A 是否为收敛矩阵？ 1/ 4 1/ 5 解： A
2
1 -1 1 -1 1 -1 B BB B 0 00 0 0 0
2
A A2 A3 ; B B 2 B 3
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矩阵论
矩阵分析
matrix theory
1 2 1 3 e I A A A 2! 3!
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矩阵论
矩阵分析
matrix theory
矩阵函数 - - -以n阶矩阵为自变量和函数值的一种函数. 定义 设一元函数f ( z )能够展开为z的幂级数 f ( z ) ck z k
k 0
z r
其中r 0表示该幂级数的收敛半径. 当n阶矩阵A的谱半径 ( A) r时, 把收敛的矩阵幂级数 ck Ak 和称为矩阵函数, 记为f ( A), 即
1 1 1 1 1 N 1 1 2 2 3 N 1 N 1 N 1
N 1 1 2 0
S
(N )
A( k )
k 1
N
1 N 1 9 4 N N 1
3 4k 的收敛性. 1 k ( k 1)
矩阵分析英文课件1
(Neutrality y of f one, , If f 1 denotes the multiplicat p ive identity of the field F ) 9. a (v w ) = a v a w (Distributivity with respect to vector addition) 10. (a b) v = a v b v (Distributivity with respect to field addition)
5
Basis
Any linearly independent set which spans a vector space V is called a basis for V . A vector t space V is i called ll d finite fi it dimensional di i l if it has h a basis. b i Basis are not unique.
Extension to a basis
If {v1 , v 2 , , vk } is i a linearly li l independent i d d set of f a finite fi i dimensional vector space V , there exist additional vectors vk 1 , vk 2 , , vn V such h that h {v 1 , v 2 , , v k , v k 1 , , v n } is a basis of V . The extension of a independent set to a basis is not unique.
矩阵分析 第三章内积空间、正规矩阵1-4节
四、长度及其性质
记为 . 1、定义： 非负实数 ( , )称为向量的长度， 2、 单位向量： 1 , 则称 为单位向量. 设 1 0 注 :当 0时， 为单位向量
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3、 性质： (1) 非负性： 0， 当且仅当 0 时 0;
( 2) 齐次性： ; ( 3) 三角不等式： .
满足以下条件:
i 1
i 1
(1) (， ) ( ， ) ； (2) (k， ) k (， )； (3) ( ， ) (， ) ( ， )； (4) (， ) 0， 当且仅当 0时等号成立. 则称V为C上的酉空间， (， )称为内积. 而
ii
4、 内积表示式： 设内积空间V中基 1， 2， ， n的度量矩阵为G 且， 在基下的坐标为 ， ， (， ) X T GY . X Y 则
证： (1， 2， ， n ) X， (1， 2， ， n )Y，
G (1， 2， ， n )T (1， 2， ， n ). (， ) T [(1， 2， ， n ) X ]T [(1， 2， ， n )Y ] X T [( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )]Y X T GY . 注： V为酉空间， (， ) Y H GX 若 则
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5、 不同基下度量矩阵的关 设 1， 2， ， n； 1， 2， ， n为内 系： 积空间V中的基且度量矩阵为 ， ， A B 过渡矩阵为C， B C T AC 则
证： A ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n ). B ( 1， 2， ， n )T ( 1， 2， ， n )，
矩阵分析名师课件4
2．最大公因式: f ( x )、g( x ) P[ x ], 若 d ( x ) P[ x ]
满足： i) d ( x ) f ( x ), d ( x ) g ( x ) ;
ii) 若 ( x ) P[ x ] ， ( x ) f ( x ) 且 ( x ) g ( x ) ，则 ( x) d ( x) .
证： " " 显然．
" " 设 ( x )为 f ( x ), g( x ) 的任一公因式，则
( x ) f ( x ), ( x ) g( x ), 从而 ( x ) 1, 又 1 ( x ),
( x ) c , c 0.
故 ( f ( x ), g( x )) 1.
一、公因式 最大公式
二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式
一、公因式 最大公因式
1．公因式: f ( x )、g( x ) P[ x ], 若 ( x ) P[x],
满足:
( x ) f ( x ) 且 ( x ) g ( x ),
则称 ( x ) 为 f ( x )、g( x ) 的公因式．
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
f ( x ) q1 ( x ) g( x ) r1 ( x )
于是有
u( x ) f ( x )h( x ) v ( x ) g( x )h( x ) h( x ) f ( x ) | f ( x )h( x )
矩阵分析考试重点.ppt
这说明 A B 为一个半正定H-阵。
类似地，可以证明另外一问。
习题3-23 设 A 是一个正定的H-阵, B 是一 个反H-阵, 证明: A B 是可逆矩阵.
证明: 由于 A是一个正定H-阵, 所以存在可
逆矩阵 Q 使得
A QHQ
这表明 A 是可逆的. 于是
A B A AA1B A I A1B
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值
x1
(1,2,L
,
n
)
x2
Hale Waihona Puke M是f的属于0 的特征向量
x1
x2
M
是
xn
A的属于0
的特征向量
xn
18
第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
主要掌握以下内容：
1、会求 矩阵的Smith标准形：
（1）初等变换法 （2）行列式因子法 （3）初等因子法
第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵
1
例 1 实数域 R 上的线性空间R3 的一组基
(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的一组基
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1
M
Ik
in
因才阵此 成 ，，立所只，以有这A当样与有J对i 为角in 一矩阶阵1 ，矩相这阵似表时。明上面J的为矩对阵角等矩式
2-6 设 A为数域 F上的 n 阶方阵且满足
A2 A ，证明： A 与对角矩阵
1
O
1
J
类似地，可以证明另外一问。
习题3-23 设 A 是一个正定的H-阵, B 是一 个反H-阵, 证明: A B 是可逆矩阵.
证明: 由于 A是一个正定H-阵, 所以存在可
逆矩阵 Q 使得
A QHQ
这表明 A 是可逆的. 于是
A B A AA1B A I A1B
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值
x1
(1,2,L
,
n
)
x2
Hale Waihona Puke M是f的属于0 的特征向量
x1
x2
M
是
xn
A的属于0
的特征向量
xn
18
第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
主要掌握以下内容：
1、会求 矩阵的Smith标准形：
（1）初等变换法 （2）行列式因子法 （3）初等因子法
第一章 线性空间和线性变换
主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基；
会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵
1
例 1 实数域 R 上的线性空间R3 的一组基
(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)
例 2 实数域 R 上的线性空间R22 中的一组基
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 0 1
M
Ik
in
因才阵此 成 ，，立所只，以有这A当样与有J对i 为角in 一矩阶阵1 ，矩相这阵似表时。明上面J的为矩对阵角等矩式
2-6 设 A为数域 F上的 n 阶方阵且满足
A2 A ，证明： A 与对角矩阵
1
O
1
J
2016矩阵分析-第1章多项式矩阵与矩阵多项式-1.4(讲)
A1 0 A 0 A 2 并设 A1 , A2 的最小多项式分别为 g1 ( x ), g2 ( x ).
则A的最小多项式为 g1 ( x ), g2 ( x )的最小公倍式.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 A s 且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x )].
A 的最小多项式没有重根.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
练习：
1 1 求矩阵 A 1 1 1 1 1 1 的最小多项式. 1
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
解： A的特征多项式
x 1 1 f ( x ) | E AE | 1
1.4 矩阵的零化问题
1 0 2 8 5 4 2 A 0 1 1 , 2 A 3 A A A 4E . 例1. 设 求 0 1 0
3 f ( ) E A 2 1 解：A的特征多项式
用 f ( )去除 2 8 3 5 4 2 4 g( ), 得
g( ) f ( )(2 5 4 3 5 2 9 14) (24 2 37 10)
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
f ( A) 0,
2 A8 3 A5 A4 A2 4 E 24 A2 37 A 10 E
3 48 26 0 95 61 0 61 34
2016级矩阵分析
北理版矩阵分析课件
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
是其两组基，求向量 坐标。
A
1 3
2 4 在这两组基下的
解：设向量 A 在第一组基下的坐标为 ( x1, x2 , x3, x4 )T
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1
1 1 1 1 x3 0 1 x4 1 0
解得
x1
7, 3
求 V1 V2 、V1 V2 的基与维数。
第一章 第一节 函数
解： 设 V1 V2 ，则 V1， V2
所以可令 k11 k22 = l11 l22
故
k11 k22 l11 l22
这是关于 k1, k2 , l1, l2 的齐次方程组，即
k1
(1 , 2
,
1,
2
)
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
组互不相同的实数。
例 2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
x1 , x2 , , xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2 , ,n为一
组互不相同的实数。
例 3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos x,cos2x,,cosnx
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其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
在集合V的元素与数域F中的数之间还定义了一种运算,叫做 数乘,即对于V中任一元素 与F中任一数k , 在V 中有唯一的 一个元素与之对应, 称为k与的数乘积, 记为 k , 并且数 乘运算满足下面四条法则:
(1) 1 (2) k ( l ) kl (3) ( k l ) k l (4) k ( ) k k
(1) 交换律 (2) 结合律 ( ) ( ) (3) 零元素 在V 中有一元素0(称为零元素), 对于V 中任 一元素 都有 0 (4) 负元素 对于V 中有一元素 , 都有V 的元素 , 使得 0
例1.1.9 试证 : R 22中的向量(矩阵 )组 1 1 1 1 0 0 1 , 2 , 3 , 0 0 0 1 0 1 是线性相关的.
定理1.1.1 设线性空间V 中向量组1 , 2 , 关, 且向量组1 , 2 , , m 线性表出, 且表出是唯一的.
1 (1,1,1,1)T , 2 (1,1, 1, 1)T , 3 (1, 1,1, 1)T , 4 (1, 1, 1,1)T 下的坐标。
1 2 例1.2.4 在R 中，求A 在基 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 , 1 0 , 0 1 , 1 1 下的坐标。
上式称为坐标变换公式。
例1.2.5 在R[ x ]n中， 1,x , x 2 , 渡矩阵。
, x n1与1,x a ,( x a )2 ,
,( x a )n1 为两组基，求前一组基到后一组基的过
例1.2.6 在R4中，求由基1 ,2 ,3 ,4到1 , 2 ,3 , 4的 过渡矩阵,其中
,r 线性相关.否则称之为线性无关.
换言之,若
k11 k22
则只有k1 k2
krr 0
,r 线性无关.
kr 0, 便称1 ,2 ,
一组向量要么线性相关, 要么线性无关.
例1.1.8 试证 : R 22中的一组向量( 矩阵 ) 1 0 0 1 0 0 0 0 E11 , E12 , E 21 , E 22 0 0 0 0 2 0 0 1 是线性无关.
例1.1.2 n元实向量集合R n , , , 数乘向量乘法也有四条性质.
,由线性代数知
向量有加法运算与数乘向量运算,向量加法有四条性质,
例1.1.3 设R[ x ]n 次数小于n的变量x的实系数多项式集合 R[ x ]n中的两个多项式f ( x )与g( x )的加法按通常多项式加法运 算一样,数乘运算也按通常多项式一样,则加法运算和数乘运 算都具有四条性质.
并求向量 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 在1 ,2 , 3 ,4下的坐标。
$1.3 线性子空间
一. 线性子空间的概念
共线向量集，共面向量集是三维几何空间的子空间，设 A R mn , 则Ax 0的解是n维空间。显然N (A) R n , 线性 空间N ( A)可以称为线性空间R n的子空间。
定理1.2.1 过渡矩阵P是可逆的
下面建立V中任一向量在不同基下坐标间的关系，设
x1 x2 , n） 与＝（ 1 , 2 , xn y1 y2 , n） yn
＝（1 , 2 ,
例如 : p5
, r 线性表示(出), 也称 是1 , 2 ,
, r的
定义1.1.3 已知线性空间V中一组向量1 , 2 , ( r 1), 如果在数域F中有r个不全为零的数k1 , k2 , 使得
,r , kr ,
k11 k22
则称1 ,2 ,
krr 0
2 2
二. 基坐标与坐标变换
（>0）维线性空间的基不是唯一的，一个向量在不同基下 n 的坐标也不同，那么它们之间有什么关系呢？
设1 , 2 , 间的关系是
, n与1 , 2 ,
, n是V中的两组基，它们之
i a1i1 a2 i 2
(1 , 2 ,
ani n
上面这些例子, 虽然所涉及的对象不同, 但它们却有共同之处:
两个集合(一个向量集合,一个数集),两种运算,八条性质.
为了对这些类似问题统一起来研究, 下面引入线性空间概念
定义1.1.1 设V 是一个非空集合, F 是一个数域, 在集合V 的 元素之间定义了加法运算, 即对于V 中的任意两个元素 与 , 在V 中有唯一元素v与它们对应, 称之为 与 的和,记 为v , 并且满足下面四条法则 :
k11 k2 2
k1 k2 kn n (1 , 2 , ， n ) kn
n n
(1.2.2)
例如 线性空间R 中的元素（向量）组 Eij 是R 的
T T 一组基。又如 1＝（1,0, ， 0）， 2＝（0,1, ， 0）， ，
an1 x n1在基1,x a ,( x a )2 ,
例1.2.2 已知 1 0 1 2 A＝ 1 2 2 2 2 1 5 1 3 5 12
试求A的核空间的两组基。（此核空间有多少组基？）
例1.2.3 在R4中，向量 (1, 2,1,1)T 在基
x1 y1 y1 x1 x y y x 2 2 2 1 2 则有 P 或 P xn yn yn xn },由线ຫໍສະໝຸດ 代数知矩阵有加法运算与数乘距阵运算.
(4)存在负矩阵,即对于R nn中任何一个矩阵A (aij )nn , 都有对应的负矩阵 A ( aij )nn , 满足A ( A) 0
数乘矩阵运算也具有四条性质: (5) 1 A A (6) k(lA)=(kl )A ( k , l为数, A为矩阵) (7) (k l )A=kA+lA (8) k(A B )=kA kB
例1.1.5 设A为m n矩阵, x为n维列向量, 则m维列向量集合 V y C m y Ax 记为R( A).
x C n , A C mn
构成复数域C 上的线性空间, 称为A的列空间或A的值域,常
例1.1.6 设V 是系数在实数域R上次数为n的n次多项式f ( x )的 集合, 其加法运算与数乘f ( x )按通常规定, 则V 是否是线性空间?
义要广得多,不过线性相关性概念与结论与线性代数中
定义1.1.2 设V 是数域F 上的线性空间, 1 , 2 , ( r 1)是V中一组向量, k1 , k2 , 若向量 可以表示为
,r
, kr 是数域F中的一组数,
k11 k22
krr
则称 可由1 , 2 , 线性组合.
第一章
线性空间和线性映射
$1.1 线性空间 线性空间是线性代数的最基本的概念.我们将简要 的介绍线性空间,所考虑的数域是实数域(记为R)或复 数域(记为C),统称数域F.
一 线性空间概念 先举几个例子
例1.1.1 n 阶实方阵集合Rnn { A, B, C , 矩阵的加法运算具有四条性质.
(1)加法交换律 A B B A (2)加法结合律 ( A B ) C A ( B C ) (3)存在零矩阵 "0", 满足A 0 0 A A
线性表出
＝k11 k22
knn
(1.2.1)
, kn )T 为 在基
则称1 , 2 , ，n为V的一个基，(k1 , k2 , 并记 dimV n.
1 , 2 , ，n下的坐标。这时，就称V 为n维线性空间，
根据定理1.1.1知，向量 在基1 , 2 , ，n下的坐标是 唯一的。1.2.1式常改写成
, m 线性无
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
在集合V的元素与数域F中的数之间还定义了一种运算,叫做 数乘,即对于V中任一元素 与F中任一数k , 在V 中有唯一的 一个元素与之对应, 称为k与的数乘积, 记为 k , 并且数 乘运算满足下面四条法则:
(1) 1 (2) k ( l ) kl (3) ( k l ) k l (4) k ( ) k k
(1) 交换律 (2) 结合律 ( ) ( ) (3) 零元素 在V 中有一元素0(称为零元素), 对于V 中任 一元素 都有 0 (4) 负元素 对于V 中有一元素 , 都有V 的元素 , 使得 0
例1.1.9 试证 : R 22中的向量(矩阵 )组 1 1 1 1 0 0 1 , 2 , 3 , 0 0 0 1 0 1 是线性相关的.
定理1.1.1 设线性空间V 中向量组1 , 2 , 关, 且向量组1 , 2 , , m 线性表出, 且表出是唯一的.
1 (1,1,1,1)T , 2 (1,1, 1, 1)T , 3 (1, 1,1, 1)T , 4 (1, 1, 1,1)T 下的坐标。
1 2 例1.2.4 在R 中，求A 在基 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 , 1 0 , 0 1 , 1 1 下的坐标。
上式称为坐标变换公式。
例1.2.5 在R[ x ]n中， 1,x , x 2 , 渡矩阵。
, x n1与1,x a ,( x a )2 ,
,( x a )n1 为两组基，求前一组基到后一组基的过
例1.2.6 在R4中，求由基1 ,2 ,3 ,4到1 , 2 ,3 , 4的 过渡矩阵,其中
,r 线性相关.否则称之为线性无关.
换言之,若
k11 k22
则只有k1 k2
krr 0
,r 线性无关.
kr 0, 便称1 ,2 ,
一组向量要么线性相关, 要么线性无关.
例1.1.8 试证 : R 22中的一组向量( 矩阵 ) 1 0 0 1 0 0 0 0 E11 , E12 , E 21 , E 22 0 0 0 0 2 0 0 1 是线性无关.
例1.1.2 n元实向量集合R n , , , 数乘向量乘法也有四条性质.
,由线性代数知
向量有加法运算与数乘向量运算,向量加法有四条性质,
例1.1.3 设R[ x ]n 次数小于n的变量x的实系数多项式集合 R[ x ]n中的两个多项式f ( x )与g( x )的加法按通常多项式加法运 算一样,数乘运算也按通常多项式一样,则加法运算和数乘运 算都具有四条性质.
并求向量 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 在1 ,2 , 3 ,4下的坐标。
$1.3 线性子空间
一. 线性子空间的概念
共线向量集，共面向量集是三维几何空间的子空间，设 A R mn , 则Ax 0的解是n维空间。显然N (A) R n , 线性 空间N ( A)可以称为线性空间R n的子空间。
定理1.2.1 过渡矩阵P是可逆的
下面建立V中任一向量在不同基下坐标间的关系，设
x1 x2 , n） 与＝（ 1 , 2 , xn y1 y2 , n） yn
＝（1 , 2 ,
例如 : p5
, r 线性表示(出), 也称 是1 , 2 ,
, r的
定义1.1.3 已知线性空间V中一组向量1 , 2 , ( r 1), 如果在数域F中有r个不全为零的数k1 , k2 , 使得
,r , kr ,
k11 k22
则称1 ,2 ,
krr 0
2 2
二. 基坐标与坐标变换
（>0）维线性空间的基不是唯一的，一个向量在不同基下 n 的坐标也不同，那么它们之间有什么关系呢？
设1 , 2 , 间的关系是
, n与1 , 2 ,
, n是V中的两组基，它们之
i a1i1 a2 i 2
(1 , 2 ,
ani n
上面这些例子, 虽然所涉及的对象不同, 但它们却有共同之处:
两个集合(一个向量集合,一个数集),两种运算,八条性质.
为了对这些类似问题统一起来研究, 下面引入线性空间概念
定义1.1.1 设V 是一个非空集合, F 是一个数域, 在集合V 的 元素之间定义了加法运算, 即对于V 中的任意两个元素 与 , 在V 中有唯一元素v与它们对应, 称之为 与 的和,记 为v , 并且满足下面四条法则 :
k11 k2 2
k1 k2 kn n (1 , 2 , ， n ) kn
n n
(1.2.2)
例如 线性空间R 中的元素（向量）组 Eij 是R 的
T T 一组基。又如 1＝（1,0, ， 0）， 2＝（0,1, ， 0）， ，
an1 x n1在基1,x a ,( x a )2 ,
例1.2.2 已知 1 0 1 2 A＝ 1 2 2 2 2 1 5 1 3 5 12
试求A的核空间的两组基。（此核空间有多少组基？）
例1.2.3 在R4中，向量 (1, 2,1,1)T 在基
x1 y1 y1 x1 x y y x 2 2 2 1 2 则有 P 或 P xn yn yn xn },由线ຫໍສະໝຸດ 代数知矩阵有加法运算与数乘距阵运算.
(4)存在负矩阵,即对于R nn中任何一个矩阵A (aij )nn , 都有对应的负矩阵 A ( aij )nn , 满足A ( A) 0
数乘矩阵运算也具有四条性质: (5) 1 A A (6) k(lA)=(kl )A ( k , l为数, A为矩阵) (7) (k l )A=kA+lA (8) k(A B )=kA kB
例1.1.5 设A为m n矩阵, x为n维列向量, 则m维列向量集合 V y C m y Ax 记为R( A).
x C n , A C mn
构成复数域C 上的线性空间, 称为A的列空间或A的值域,常
例1.1.6 设V 是系数在实数域R上次数为n的n次多项式f ( x )的 集合, 其加法运算与数乘f ( x )按通常规定, 则V 是否是线性空间?
义要广得多,不过线性相关性概念与结论与线性代数中
定义1.1.2 设V 是数域F 上的线性空间, 1 , 2 , ( r 1)是V中一组向量, k1 , k2 , 若向量 可以表示为
,r
, kr 是数域F中的一组数,
k11 k22
krr
则称 可由1 , 2 , 线性组合.
第一章
线性空间和线性映射
$1.1 线性空间 线性空间是线性代数的最基本的概念.我们将简要 的介绍线性空间,所考虑的数域是实数域(记为R)或复 数域(记为C),统称数域F.
一 线性空间概念 先举几个例子
例1.1.1 n 阶实方阵集合Rnn { A, B, C , 矩阵的加法运算具有四条性质.
(1)加法交换律 A B B A (2)加法结合律 ( A B ) C A ( B C ) (3)存在零矩阵 "0", 满足A 0 0 A A
线性表出
＝k11 k22
knn
(1.2.1)
, kn )T 为 在基
则称1 , 2 , ，n为V的一个基，(k1 , k2 , 并记 dimV n.
1 , 2 , ，n下的坐标。这时，就称V 为n维线性空间，
根据定理1.1.1知，向量 在基1 , 2 , ，n下的坐标是 唯一的。1.2.1式常改写成
, m 线性无