矩阵分析课件(1-1,4)

n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
例如 : p5
, r 线性表示(出), 也称 是1 , 2 ,
, r的
定义1.1.3 已知线性空间V中一组向量1 , 2 , ( r 1), 如果在数域F中有r个不全为零的数k1 , k2 , 使得
,r , kr ,
k11 k22
则称1 ,2 ,
krr 0
例1.1.5 设A为m n矩阵, x为n维列向量, 则m维列向量集合 V y C m y Ax 记为R( A).

x C n , A C mn

构成复数域C 上的线性空间, 称为A的列空间或A的值域,常
例1.1.6 设V 是系数在实数域R上次数为n的n次多项式f ( x )的 集合, 其加法运算与数乘f ( x )按通常规定, 则V 是否是线性空间?
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
1 (1, 2, 1, 0)T 1 (2,1, 0,1)T T T (1, 1,1,1) (0,1, 2, 2) 2 2 与 T T ( 1, 2,1,1) ( 2,1,1, 2) 3 3 ( 1, 1, 0,1)T (1, 3,1, 2)T 4 4
上面这些例子, 虽然所涉及的对象不同, 但它们却有共同之处:
两个集合(一个向量集合,一个数集),两种运算,八条性质.
为了对这些类似问题统一起来研究, 下面引入线性空间概念
定义1.1.1 设V 是一个非空集合, F 是一个数域, 在集合V 的 元素之间定义了加法运算, 即对于V 中的任意两个元素 与 , 在V 中有唯一元素v与它们对应, 称之为 与 的和,记 为v , 并且满足下面四条法则 :
2 2
二. 基坐标与坐标变换
（>0）维线性空间的基不是唯一的，一个向量在不同基下 n 的坐标也不同，那么它们之间有什么关系呢？
设1 , 2 , 间的关系是
, n与1 , 2 ,
, Fra Baidu bibliotek是V中的两组基，它们之
i a1i1 a2 i 2
(1 , 2 ,
ani n
k11 k2 2
k1 k2 kn n (1 , 2 , ， n ) kn
n n
(1.2.2)
例如 线性空间R 中的元素（向量）组 Eij 是R 的
T T 一组基。又如 1＝（1,0, ， 0）， 2＝（0,1, ， 0）， ，
例1.1.9 试证 : R 22中的向量(矩阵 )组 1 1 1 1 0 0 1 , 2 , 3 , 0 0 0 1 0 1 是线性相关的.
定理1.1.1 设线性空间V 中向量组1 , 2 , 关, 且向量组1 , 2 , , m 线性表出, 且表出是唯一的.
, m 线性无
, m , 线性相关, 则 可由 1 , 2 ,
线性代数中向量组的极大线性无关组,向量组 的秩等概念在线性空间中也可自然引入.
$1.2 基与坐标，坐标变换
一. 基与维数，坐标
定义1.2.1 设在数域F 上线性空间V中有n个线性无关向量
1 , 2 , ，n .且V中任何一个向量 都可由1 , 2 , ，n
义要广得多,不过线性相关性概念与结论与线性代数中
定义1.1.2 设V 是数域F 上的线性空间, 1 , 2 , ( r 1)是V中一组向量, k1 , k2 , 若向量 可以表示为
,r
, kr 是数域F中的一组数,
k11 k22
krr
则称 可由1 , 2 , 线性组合.
1 (1,1,1,1)T , 2 (1,1, 1, 1)T , 3 (1, 1,1, 1)T , 4 (1, 1, 1,1)T 下的坐标。
1 2 例1.2.4 在R 中，求A 在基 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 , 1 0 , 0 1 , 1 1 下的坐标。
并求向量 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 在1 ,2 , 3 ,4下的坐标。
$1.3 线性子空间
一. 线性子空间的概念
共线向量集，共面向量集是三维几何空间的子空间，设 A R mn , 则Ax 0的解是n维空间。显然N (A) R n , 线性 空间N ( A)可以称为线性空间R n的子空间。
在集合V的元素与数域F中的数之间还定义了一种运算,叫做 数乘,即对于V中任一元素 与F中任一数k , 在V 中有唯一的 一个元素与之对应, 称为k与的数乘积, 记为 k , 并且数 乘运算满足下面四条法则:
(1) 1 (2) k ( l ) kl (3) ( k l ) k l (4) k ( ) k k
定理1.2.1 过渡矩阵P是可逆的
下面建立V中任一向量在不同基下坐标间的关系，设
x1 x2 , n） 与＝（ 1 , 2 , xn y1 y2 , n） yn
＝（1 , 2 ,
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
第一章
线性空间和线性映射
$1.1 线性空间 线性空间是线性代数的最基本的概念.我们将简要 的介绍线性空间,所考虑的数域是实数域(记为R)或复 数域(记为C),统称数域F.
一 线性空间概念 先举几个例子
例1.1.1 n 阶实方阵集合Rnn { A, B, C , 矩阵的加法运算具有四条性质.
(1)加法交换律 A B B A (2)加法结合律 ( A B ) C A ( B C ) (3)存在零矩阵 "0", 满足A 0 0 A A
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
an1 x n1在基1,x a ,( x a )2 ,
例1.2.2 已知 1 0 1 2 A＝ 1 2 2 2 2 1 5 1 3 5 12
试求A的核空间的两组基。（此核空间有多少组基？）
例1.2.3 在R4中，向量 (1, 2,1,1)T 在基
例1.1.2 n元实向量集合R n , , , 数乘向量乘法也有四条性质.
,由线性代数知
向量有加法运算与数乘向量运算,向量加法有四条性质,
例1.1.3 设R[ x ]n 次数小于n的变量x的实系数多项式集合 R[ x ]n中的两个多项式f ( x )与g( x )的加法按通常多项式加法运 算一样,数乘运算也按通常多项式一样,则加法运算和数乘运 算都具有四条性质.
例1.1.7 非齐次线性方程组Ax b的所有解构成集合(解 向量集合)按通常的加法与数乘向量, 它是否是线性空间?
对一个给定的对象, 判定它是否是线性空间,必须判定 两种定义的运算是否封闭?八条性质是否满足?
二. 向量的线性相关性
线性空间的元素 , , , 称为向量,但这里所指的 , an )的含 向量的含义比线性代数中n元向量 (a1 , a2 , 差不多
上式称为坐标变换公式。
例1.2.5 在R[ x ]n中， 1,x , x 2 , 渡矩阵。
, x n1与1,x a ,( x a )2 ,
,( x a )n1 为两组基，求前一组基到后一组基的过
例1.2.6 在R4中，求由基1 ,2 ,3 ,4到1 , 2 ,3 , 4的 过渡矩阵,其中
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
(1) 交换律 (2) 结合律 ( ) ( ) (3) 零元素 在V 中有一元素0(称为零元素), 对于V 中任 一元素 都有 0 (4) 负元素 对于V 中有一元素 , 都有V 的元素 , 使得 0
线性表出
＝k11 k22
knn
(1.2.1)
, kn )T 为 在基
则称1 , 2 , ，n为V的一个基，(k1 , k2 , 并记 dimV n.
1 , 2 , ，n下的坐标。这时，就称V 为n维线性空间，
根据定理1.1.1知，向量 在基1 , 2 , ，n下的坐标是 唯一的。1.2.1式常改写成
},由
线性代数知矩阵有加法运算与数乘距阵运算.
(4)存在负矩阵,即对于R nn中任何一个矩阵A (aij )nn , 都有对应的负矩阵 A ( aij )nn , 满足A ( A) 0
数乘矩阵运算也具有四条性质: (5) 1 A A (6) k(lA)=(kl )A ( k , l为数, A为矩阵) (7) (k l )A=kA+lA (8) k(A B )=kA kB
x1 y1 y1 x1 x y y x 2 2 2 1 2 则有 P 或 P xn yn yn xn
,r 线性相关.否则称之为线性无关.
换言之,若
k11 k22
则只有k1 k2
krr 0
,r 线性无关.
kr 0, 便称1 ,2 ,
一组向量要么线性相关, 要么线性无关.
例1.1.8 试证 : R 22中的一组向量( 矩阵 ) 1 0 0 1 0 0 0 0 E11 , E12 , E 21 , E 22 0 0 0 0 2 0 0 1 是线性无关.