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矩阵分析课件
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.5
⎛ n ⎞ T (α + β ) = T ⎜ ∑ ( k i + l i ) α i ⎟ ⎝ i =1 n ⎠ n n = ∑ ( ki + li )β i = ∑ ki β i + ∑ li β i = T (α ) + T ( β ) ,
i =1 i =1 i =1
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ T ( λα ) = T ⎜ λ ∑ kiα i ⎟ = T ⎜ ∑ λ kiα i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n = ∑ λ k i β i = λ T (α ) .
11
⎡ kTT −1 (α ) ⎤ = T −1 ⎡ kT T −1 (α ) ⎤ T ( kα ) = T ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 ⎡T kT −1 (α ) ⎤ = T −1T kT −1 (α ) =T ⎣ ⎦ = kT −1 (α ) .
−1 −1
(
) (
( )(
)
)
注：当T 可逆时,可以定义T 的负整数幂,即 ∀n ∈ Z + , n −n −1 定义 T = T .
§3.5
线性变换（线性映射）
定义： 若在数域F 的线性空间V上，有一种规则T,使得 ' V中任意向量α 对应于V中唯一向量α T (α ) , 规则T 称为V 的变换， ' 称为α的像，α 称为 α ' 的原像. α
T : V ⎯⎯ V →
α
α = T (α )
'
如果变换T 又满足下面条件： ∀α , β ∈V 和 k ∈ F 有
α = T (α ) = Aα ∈ R
'
n
⇒ T是线性变换，由方阵A所确定的线性变换也
通常用A表示.
矩阵分析课件(1-1,4)
其中k , l 表示数域F中的任意数, , 表示V中任意元素. 称这样的V 为数域F 上的线性空间.
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
显然, 例1.1.1 1.1.3都是实数域R上的线性空间.下面再举 几个例子 :
例1.1.4 设A为实m n矩阵, 易证 : 齐次线性方程组Ax 0的所有 解(包括零解)的集合构成实数域R上的线性空间.这个空间为方 程组 Ax 0的解空间, 也称为矩阵A的核或零空间, 常记为N ( A).
称n阶方阵
a11 a21 P= a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
是由基1 , 2 ,
, n到基1 , 2 ,
, n的过渡矩阵。于是上 ,n ) P
式可写成（1 , 2 ,
, n）＝(1 , 2 ,
n n
1＝（0,0,
T ,1）是 Rn的一组基，称 1 , 2 , , n为Rn的
标准正交基。
例1.2.1 试证：线性空间 R[ x ]n a0 a1 x
是n维的，并求a0 a1 x ,( x a )n1 下的坐标。
an1 x n1 ai R
定义1.3.1 设W 为域F 上的n维线性空间V的子集合，若 W 中元素满足
（1） 若， W , 则＋ W ; (2) W ， F , 则 W .
则称W 是线性空间V的一个子空间。
a1i a 2i , n ) ani
( i 1, 2,
, n)
把这n个关系式用矩阵可表示为
（ 1 , 2 , , n ) (1 , 2 , a11 a21 , n ) a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.7
证明：Im T
2
= Im T .
(1) 显然有 Im T 2 ⊂ Im T . 证： (2) 由 Im T + ker T = V , 及 dim Im T + dim ker T = n，
知 Im T ⊕ ker T = V . 取 ker T 的基α 1，α 2， α n − r , 扩充成 V 的基α 1， , α n − r , α n − r +1 , α n . 则有 ∀α ∈V , Tα ← {Tα n− r +1 , , Tα n }， 结合 Im T ⊕ ker T = V， 可得 T α n − r +1 , , T α n 是ImT的一个基. 则有 α1， , α n− r , Tα n− r +1 , , Tα n 是V的一个基. 于是
（是V 中同一向量在基 α1 , α 2 , , α n 下的坐标） 注：求T 的特征值、特征向量时，可以先求其矩阵的特 征值、特征向量；T 的特征多项式、最小多项式就 是它的矩阵的特征多项式的最小多项式.
6
例： 设T 是数域F上n维线性空间V 的线性变换，且满足
Im T + ker T = V .
由α ∈ ker T 知, Tα = 0. 由α ∈ ImT 知， 存在β ∈V，使得T β = α . 1 2 1 1 于是 α = T β = T β = T (T β ) = T α = 0. 3 3 3 即 Im T ∩ ker T = {0}.
又 故
8
dim Im T + dim ker T = n,
T ( β ) = T (T (α ) ) ∈ Im T (2) ∀α ∈ Ker T，T (α ) = O ∈ Ker T
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵分析课件
引理 设 矩阵 A 的左上角元a11 0， 并且 A 中至少有一个元素不能被它整除，那 么一定可以找到一个与 A 等价的矩B ， 它的左上角元素也不为零，但是次数比a11
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
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0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
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0
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0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
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3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
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(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
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L
g
nn
称 G 为基底 i 的度量矩阵，而且
gij gij, (G)T G
定义：设 ACnn，用 A 表示以 A
的共轭复数为元素组成的矩阵，记
的元素
AH ( A)T
则称 A H 为 A 的复共轭转置矩阵。不难验证
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A H ( AT ) (2) (A B)H AH B H (3) (kA)H k AH (4) ( AB)H B H AH
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2 ) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3 ) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
定义：设 V 是 n 维酉空间， i 为其一组
基底，对于V 中的任意两个向量
n
xii,
i1
那么 与 的内积
n
yjj
j1
n
n
n
(,)( xii, yii) xiyj(i,j)
i 1
j 1
i,j 1
令
g ij (i, j), i,j 1 ,2 ,L,n
g11 g12 L g1n
G
g
21
g 22
L
g
2
n
L L L L
g
n
1
gn2
(5) ( A k )H ( A H )k (6) ( A H )H A (7) A A (8) ( A H )1 ( A 1)H
定义：设 ACnn ,如果 AH A ，那么称 A 为Hermite矩阵；如果 AH A，那么
称 A 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
t
t
( 3) ( k i i , ) k i ( i , )
i1
i1
t
t
( 4 ) ( , k i i ) k i ( , i )
i1
i1
(3) ( , ) (, ) (, )
(4) (,) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意实数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为欧氏空间。
例 1 在 R n 中，对于
( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) , ( y 1 ,y 2 ,L ,y n )
4i 2 i 4 2i
(1)
2
i
i
1
4 2 i 1 2 i
6 1 2i 3i
( 2 ) 1 2 i
9
1
i
3 i 1 i 7
0 1 i 8i
(3)
1
i
0
4
i
8 i 4 i 0
3 1 3i 2i
(4)
1
3i
4
1
5
i
2 i 1 5 i 5
规定
(,) 1 x 1 y 1 x 2 y 2 L x n y n
容而易R 验n 成证为(一个,欧氏)空1 是间。R n如上果的规一定个内积，从
(,) 2 x 1 y 1 2 x 2 y 2 L n x n y n
容易验证 ( , )2 也是R n 上的一个内积 ，这样 R n 又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 n m 维线性空间 R n m 中，规定 (A,B):Tr(ABT)
容易验证这是 R n m 上的一个内积，这样R n m
对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 C [ a , b ] 中，规定
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
容易验证( f , g ) 是 C [ a , b ] 上的一个内积，
5196 21
14916 30
一般地，我们有: 对于 C n 中的任意向量
(a1,a2,L,an)
这样 C [ a , b ] 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义： 设 是复数域 上的 维线性空间，
对于 中的V 任意两个向C 量 n 按照某一确定 法 的则内V对积应，着记为一个复数，，这并个 且复, 要数求称内为积与满足 下
列运算条件： ( ) (k, ) k(, )
规定
(,): () T a 1 b 1 a 2 b 2 L a n b n
容易验证 ( , ) 是 C n 上的一个内积，从
而C n 成为一个酉空间。
例 2 设 C%[ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有
连续复值函数组成的线性空间，定义
b
(f,g):a f(x)g(x)dx
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵
定义： 设V 是实数域 R 上的 n 维线性空间，
对于 中V的任意两个向量 按, 照某一确
定法则对应着一个实数，这个实数称为 与
的内积，记为
(， ,并且) 要求内积满足
下列运算条件：
(1) (, ) (,)
(2) (k, ) k(, )
(3) ( , ) (, ) ( , )
(4) (, ) 0
这里 , , 是 V 中任意向量，k 为任意复数
，只有当 0 时 (,) 0 ，我们称带有
这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。欧氏
空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 C n 是 n 维复向量空间，任取
( a 1 ,a 2 ,L ,a n ) , ( b 1 ,b 2 ,L ,b n )
（5） 实对称矩阵 （6） 反实对称矩阵 （7） 欧氏空间的度量矩阵 （8） 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义：设 V 为酉（欧氏）空间，向量 V
的长度定义为非负实数
(,) 例 在 C 4 中求下列向量的长度
(1) (12i,i,3,2 2i) (2) (1,2,3,4)
解： 根据上面的公式可知
容易验证 ( , ) 是 C%[ a , b ] 上的一个内
积，于是 C%[ a , b ] 便成为一个酉空间。
例 3 在 n 2 维线性空间 C n n 中，规定
(A,B):Tr(ABH) 其中B H 表示 B 中所有元素取共轭复数后再 转置，容易验证 ( , ) 是 C n n 上的一 个内积，从而 C n n 连同这个内积一起成为