矩阵特征值计算ppt课件
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矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
第七章矩阵特征值与特征向量计算课件
不计）或者k充分大时，
vk
a1
k 1
x1
(5)
即迭代向量 vk 为 1 的特征向量的近似向量(除一个因子外)。
下面考查主特征值 ：
1
的计算。用vk(i) 表示
vk的第 i 个分量,
vk i1 vki
a1 x1i 1 a1 x1i
i
k 1
i
k
故
lim k
vki1
v(i) k
1
则
(6) (7)
的非零解。即求 x x 的非零解。
此非零解x称为矩阵A的对应于 的特征向量。
回顾几个基本代数结论:
定理1 若i i 1......n 为A的特征值，则有:
n
n
(1) i ii tr
(2) detA 12......n
i 1
i 1
定理2.设A与B为相似矩阵(即存在T，det 0 ， T 1AT
(1)A与B有相同的特征值；
)，则:
(2)若x为B 的一个特征向量，则Tx为A的特征向量。
定理3. (Gerschgorin’s定理)设 aij nn 则A的每一个特征值，必
属于下述某个圆盘之中:
n
aii
aij ,
i 1 j i
i 1......n
且如果一个特征向量的第i个分量绝对值最大,则对应的特征值一定属
述讨论总结一下有结论:
1
定理5：A Rnn 有n个线性无关特征向量。主特征值 1 满足
`1 2 3 ...... n ,则对任何非零初始向量v a1 0,有(4)、(7)
成立。
若A的主特征值为实的重根，即 1 2 ... r ，且
`r r1 r2 ...... n
数值分析ppt第8章-矩阵特征值问题计算
现讨论求λ1及x1旳措施.
上页 下页
幂法旳基本思想是: 任取非零旳初始向量v0 , 由矩 阵A构造历来量序列{vk}
v1 Av0 , .v.2.......A..v..1......A...2v0 , vk1 Avk Ak1v0 , .........................
(2.2)
(2.5)
即为矩阵A旳相应特征值1 旳一种近似特征向量.
因为 vk1 Avk 1k1a1 x1 1vk , (2.6)
用(vk)i 表达vk旳第i个分量，则当k充分大时，有
vk1 i
vk
i
1.
(2.7)
即为A旳主特征值1旳近似值.
这种由已知非零向量v0及矩阵A旳乘幂Ak构造向
量序列{vk}以计算A旳主特征值1(2.7)及相应特征向量
当A为实矩阵，假如限制用正交相同变换，因为
A有复旳特征值， A不能用正交相同变换约化为上三
角阵. 用正交相同变换能约化到什么程度呢？
上页 下页
定理10 (实Schur分解) 设A∈Rn×n，则存在正 交矩阵Q使
R11
QT
AQ
R12 R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶 Rii是A旳实特征值，每个二阶对角块Rii旳两个特征值 是 A旳两个共轭复特征值.
上页 下页
8.2.1 幂法（又称乘幂法）
设实矩阵A=(aij)有一种完全旳特征向量组，即 A有n个线性无关旳特征向量，设矩阵A旳特征值为 λ1,λ2,,λn, 相应旳特征向量为x1,x2,,xn. 已知A旳主 特征值λ1是实根，且满足条件
| 1 || 2 | | n |,
矩阵特征值ppt课件
为方 A 的 特阵 征多项式 .
.
3
4 .设 n 阶方 A a ij阵 的特1,征 2, , 值
n ,则有
( 1 )1 2 n a 1 a 2 1 2 a n ;n
(2 ) 12 nA .
.
4
例1 求A 3 1的特征值和特.征向量 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3)21
3edet思考题思考题解答相似矩阵一相似矩阵与相似变换的概念二相似矩阵与相似变换的性质三利用相似变换将方阵对角化一相似矩阵与相似变换的概念对称性传递性利用上述结论可以很方便地计算矩阵a定理证明与对角矩阵相似的情形只证明adiagapapapapapap说明如果阶矩阵与对角阵相似
矩阵的特征值及特征向量
类推之，有 1 k x 1 p 1 k 2 x 2 p 2 k m x m p m 0 .
k 1 ,2 , ,m 1
.
15
把上列各式合写成矩阵形式，得
1 1 1m1
x1p1,x2p2,,xmpm1
2
m 210 ,0 , ,0
1 m m m1
上式等号左端第阵二的个行矩列式为范列德蒙
A 1 x x , A 2 x x
1x2x
1 2 x 0 ,
由 1于 20 ,则x0, 与定义矛盾.
.
18
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 n阶方阵，其特征多项式为 f A E A n a n 1 n 1 a 1 a 0
求AT的特征多项. 式
解 fA TE A T
.
7
3 A2E4
1 1
0 0~1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
矩阵特征值的计算.ppt
19
Householder 变换
3 0 0 1 7 7 1 3 3 15 15 T 7 118 101 A2 H1 A1 H 1 0 15 75 75 1 101 7 0 15 75 75 7 7 1 7 1 k 2, xT (3, , , ) x3 , y 3 15 15 15 15 7 2 1 1 12 7 s [( ) ( )( )] 0.4713 v3 s 0.9310 15 15 15 15
0 0 0 1 0 0 . 8944 0 . 4772 0 G (2,3, ) 0 0.4772 0.8944 0 0 0 0 1
1 2.2361 A2 G (2,3, ) A1G T (2,3, ) 0 2 2.2361 1 1 1.3416 0 1 2 0.4472 2 1.3416 0.4472 1
1 2
对应的各阶主子式：
p1 ( ) 2
p3 ( ) ( 2)3 2( 2)
构成一个Sterm序列。
p2 ( ) ( 2)2 1
p4 ( ) ( 2)4 3( 2)2 1
24
Sturm序列与二分法
考察当 ,2,0, 时，多项式序列的変号数
25
ห้องสมุดไป่ตู้
一般矩阵特征值的计算
对任意非奇异矩阵，用QR算法迭代， 它将收敛于一个上三角阵，主对角线上的 元素近似为矩阵的特征值。
26
QR算法
27
QR算法
定理：设 矩阵A是n 阶 非奇异实矩阵，则存在正交分解
A = QR
其中 Q 是正交矩阵 ，R 是非奇异上三角矩阵 。
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
矩阵的特征值和特征向量-习题ppt课件.ppt
25
三、矩阵的相似及对角化
b c a
例11．设a,
b,
c均为复数，令A
c
a
b
,
a b c
c a b a b c
B
a
b
c
,
C
b
c
a
b c a c a b
(1)证明：A, B,C彼此相似
（2）若BC CB，则A, B,C的特征根至少有两个等于零．
26
0 1 0
0 0 1
证：（1）令T
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
而r
，
1
，n是A的对应于特征值
0的特征向量，
从而1，2， n线性无关。
令P
（1，
，
2
，n），则P可逆，且
2
P1 AP
2 0
0
即A可对角化，且对角阵中2的个数为r。
三、矩阵的相似及对角化
b c a
例11．设a,
b,
c均为复数，令A
c
a
b
,
a b c
c a b a b c
B
a
b
c
,
C
b
c
a
b c a c a b
(1)证明：A, B,C彼此相似
（2）若BC CB，则A, B,C的特征根至少有两个等于零．
26
0 1 0
0 0 1
证：（1）令T
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 9
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
10
A
3b
由此，得方程组
使得P1 AP 。(2003年数学2)
解 : 矩阵的特征多项式为:
2 2 0 | E A | 8 2 a
0 0 6
( 6)[( 2)2 16] ( 6)2 ( 2)
29
所以A的特征值λ1 λ2 6，λ3 2
由于A相似于对角矩阵，故对应于λ1 λ2 6，
应有两个线性无关的特征向量,
而r
，
1
，n是A的对应于特征值
0的特征向量，
从而1，2， n线性无关。
令P
（1，
，
2
，n），则P可逆，且
2
P1 AP
2 0
0
即A可对角化，且对角阵中2的个数为r。
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第8章 矩阵特征值问题计算
§1 引 言
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求
矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物 的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临 界值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij )nn, 则称
a11 a12
() det(I A) a21 a22
n
| aii | | aij |, (i 1, , n).
ji (2) 如果上述的n个圆盘中有m个圆盘构成一个连通域S,
且S与其余n m个圆盘分离, 则S中恰有A的m个特征值.
8
选取非奇异对角矩阵D diag(1, ,n )，得到
D1AD aij j . i nn
适当选取i (i 1,2, ,n)有时可使某些圆盘半径和连通性
二阶时Rii的两个特征值是A的两个共轭复特征值.
10
定义4 设A是n阶实对称阵, 对于任一非零向量x Rn, 称
R( x) ( Ax, x) (x, x)
为关于向量x的瑞雷(Rayleigh)商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则
（1 ）
1
( Ax, x) (x, x)
5
定义2 设A Rnn, 如果A有一个k重特征值 且其对应的
线性无关的特征向量的个数少于k，则称A为亏损矩阵. 定理6（1）A Rnn可对角化，即非奇异矩阵P使
1
P 1AP
2
n
的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
(2) 若A Rnn有m(m n)个不同的特征值1,2, ,m, 则
13
定理12 设A Rnn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
Avk 1
1k
a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn .
当k很大时，vk 1k a1x1, vk 1 1vk , Avk 1vk，
lim
k
vk
1k
a1x1.
即vk是1的近似的特征向量.而主特征值
1
(vk 1) j , (vk ) j
或1
1 n
n
(vk 1) j .
j 1 (vk ) j
r11 U T AU
r12 r22
r1n
r2n
R,
rnn
其中rii (i 1,2, , n)为A的特征值.
定理10(实Schur分解) 设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
R11 R12
QT AQ
R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中当Rii (i 1,2, , m)为一阶时Rii是A的实特征值，当Rii为
( AT ) ( A).
4
定理4 设A为分块上三角阵,
A11
A
A12 A22
A1m
A2m
Amm
m
其中每个对角块Aii均为方阵, 则 ( A) ( Aii ).
i1
定理5 若A与B为相似矩阵, 即非奇异P使P1AP B,则
(1) A与B有相同的特征值;
(2) 若y是B的特征向量, 则Py是A的特征向量.
(1.2)
的非零解x称为A的对应于的特征向量.
2
2 1 0
例1 求A 1 3 1的特征值及其特征向量. 0 1 2
定理1 设是矩阵A Rnn的特征值, x是对应的非零特征
向量，则
(1) c是cA的特征值(常数c 0)；
(2) p为A pI的特征值,即 ( A pI ) x ( p) x；
为1,2, ,n, 对应的特征向量为x1, x2, , xn.
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n , 现在讨论求 1及x1的基本方法.
(2.1)
12
v0 a1x1 a2 x2 an xn,(设a1 0)
v1 Av0 a11x1 a22 x2 ann xn,
vk
向量u j为对应于 j的特征向量.
7
定义3 设A (aij )nn,令
n （1）ri | aij |，(2) Di {z | | z aii | ri , z C}, (i 1, ,n)
ji 称Di为复平面上以aii为圆心以ri为半径的Gerschgorin圆盘. 定理8 (Gerschgorin圆盘定理) (1) 设A (aij )nn, 则A的每 一个特征值必属于下列某个圆盘之中
改变，根据相似矩阵性质获得特征值的进一步结果.
4 1 0
| 4 | 1
例2
估计A 1 1
0 1
1的特征值的范围. 4
| | 2 | 4 | 2
1
D
1
4
, D1AD
1
10 9
0.9
1 0 0.9
0
10 9
.
3 1 5
19 9
2
19 9
4 5.8 3 2.2
9
定理9(Schur定理) 设A Rnn，则存在酉矩阵U使
(3) k是Ak的特征值,即 Ak x k x；
(4) 设A非奇异，则 0且 1 为A1的特征值,即 A1x 1 x.
3
定理2 若i (i 1, ,n)是矩阵A的特征值, 则
nn
(1) i aii tr( A),
i 1 i 1
(2) det(A) 1 n.
定理3 设A Rnn, 则
a1n a2n
an1 an2 ann 1
n (a11 a22 ann)n1 (1)n | A |
为A的特征多项式. A的特征方征值. ( A)表示A的所有特征值的集合.
设为A的特征值,相应的齐次方程组
(I A) x 0
n
,
对于任何非零向量x
R
n
,
（2）
1
max
xRn
( Ax, x) ( x, x)
,
x0
（3）
n
min
xRn
( Ax, x). (x, x)
x0
11
§2 幂法及反幂法
一、幂法
幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对 应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。 设A (aij )nn Rnn有一个完全特征向量组, 其特征值
对应的特征向量x1, x2, , xm线性无关.
6
定理7(对称矩阵的正交约化) 设A Rnn为对称矩阵,则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在正交矩阵P使得
1
P 1AP
2
，
n
且i (i 1,2, , n)为A的特征值,而P (u1,u2, ,un )的列
§1 引 言
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求
矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物 的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临 界值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij )nn, 则称
a11 a12
() det(I A) a21 a22
n
| aii | | aij |, (i 1, , n).
ji (2) 如果上述的n个圆盘中有m个圆盘构成一个连通域S,
且S与其余n m个圆盘分离, 则S中恰有A的m个特征值.
8
选取非奇异对角矩阵D diag(1, ,n )，得到
D1AD aij j . i nn
适当选取i (i 1,2, ,n)有时可使某些圆盘半径和连通性
二阶时Rii的两个特征值是A的两个共轭复特征值.
10
定义4 设A是n阶实对称阵, 对于任一非零向量x Rn, 称
R( x) ( Ax, x) (x, x)
为关于向量x的瑞雷(Rayleigh)商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则
（1 ）
1
( Ax, x) (x, x)
5
定义2 设A Rnn, 如果A有一个k重特征值 且其对应的
线性无关的特征向量的个数少于k，则称A为亏损矩阵. 定理6（1）A Rnn可对角化，即非奇异矩阵P使
1
P 1AP
2
n
的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
(2) 若A Rnn有m(m n)个不同的特征值1,2, ,m, 则
13
定理12 设A Rnn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
Avk 1
1k
a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn .
当k很大时，vk 1k a1x1, vk 1 1vk , Avk 1vk，
lim
k
vk
1k
a1x1.
即vk是1的近似的特征向量.而主特征值
1
(vk 1) j , (vk ) j
或1
1 n
n
(vk 1) j .
j 1 (vk ) j
r11 U T AU
r12 r22
r1n
r2n
R,
rnn
其中rii (i 1,2, , n)为A的特征值.
定理10(实Schur分解) 设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
R11 R12
QT AQ
R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中当Rii (i 1,2, , m)为一阶时Rii是A的实特征值，当Rii为
( AT ) ( A).
4
定理4 设A为分块上三角阵,
A11
A
A12 A22
A1m
A2m
Amm
m
其中每个对角块Aii均为方阵, 则 ( A) ( Aii ).
i1
定理5 若A与B为相似矩阵, 即非奇异P使P1AP B,则
(1) A与B有相同的特征值;
(2) 若y是B的特征向量, 则Py是A的特征向量.
(1.2)
的非零解x称为A的对应于的特征向量.
2
2 1 0
例1 求A 1 3 1的特征值及其特征向量. 0 1 2
定理1 设是矩阵A Rnn的特征值, x是对应的非零特征
向量，则
(1) c是cA的特征值(常数c 0)；
(2) p为A pI的特征值,即 ( A pI ) x ( p) x；
为1,2, ,n, 对应的特征向量为x1, x2, , xn.
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n , 现在讨论求 1及x1的基本方法.
(2.1)
12
v0 a1x1 a2 x2 an xn,(设a1 0)
v1 Av0 a11x1 a22 x2 ann xn,
vk
向量u j为对应于 j的特征向量.
7
定义3 设A (aij )nn,令
n （1）ri | aij |，(2) Di {z | | z aii | ri , z C}, (i 1, ,n)
ji 称Di为复平面上以aii为圆心以ri为半径的Gerschgorin圆盘. 定理8 (Gerschgorin圆盘定理) (1) 设A (aij )nn, 则A的每 一个特征值必属于下列某个圆盘之中
改变，根据相似矩阵性质获得特征值的进一步结果.
4 1 0
| 4 | 1
例2
估计A 1 1
0 1
1的特征值的范围. 4
| | 2 | 4 | 2
1
D
1
4
, D1AD
1
10 9
0.9
1 0 0.9
0
10 9
.
3 1 5
19 9
2
19 9
4 5.8 3 2.2
9
定理9(Schur定理) 设A Rnn，则存在酉矩阵U使
(3) k是Ak的特征值,即 Ak x k x；
(4) 设A非奇异，则 0且 1 为A1的特征值,即 A1x 1 x.
3
定理2 若i (i 1, ,n)是矩阵A的特征值, 则
nn
(1) i aii tr( A),
i 1 i 1
(2) det(A) 1 n.
定理3 设A Rnn, 则
a1n a2n
an1 an2 ann 1
n (a11 a22 ann)n1 (1)n | A |
为A的特征多项式. A的特征方征值. ( A)表示A的所有特征值的集合.
设为A的特征值,相应的齐次方程组
(I A) x 0
n
,
对于任何非零向量x
R
n
,
（2）
1
max
xRn
( Ax, x) ( x, x)
,
x0
（3）
n
min
xRn
( Ax, x). (x, x)
x0
11
§2 幂法及反幂法
一、幂法
幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对 应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。 设A (aij )nn Rnn有一个完全特征向量组, 其特征值
对应的特征向量x1, x2, , xm线性无关.
6
定理7(对称矩阵的正交约化) 设A Rnn为对称矩阵,则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在正交矩阵P使得
1
P 1AP
2
，
n
且i (i 1,2, , n)为A的特征值,而P (u1,u2, ,un )的列