矩阵的特征值和特征

• 向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性 运算。 运算律： • 设 , , 都是n维向量，, 都是实数， 则 • (1) (2) ( ) ( ) • (3) 0 (4) ( ) 0 • (5) 1 (6) ( ) ( ) • (7) ( ) (8) ( )
• 我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y • 恰巧是输入x的 倍，即 y x ；对某些输 入，其输出与输入就不存在这种按比例放大 的关系。
2 • 例如，对系统 A 3
1 1 ，若输入 x 4 3
• 则 y Ax 2 1 1 5 5 1 5x 3 4 3 15 3
• 我们只讨论实向量。 • 向量一般用希腊字母 , , , 表示（有 时采用黑体）。 • 行 向量： (a1 , a2 ,, an ).
• 列向量：
a1 a2 a n
• 行向量、列向量统称为向量。
• 只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。
(b1 , b2 ,, bn )
ai bi (i 1,2,, n)
• 记作

• 二 n 维向量的线性运算 • 定义 设
(a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn )
• 则称
(a1 b1, a2 b2 ,, an bn )
• 结论： • 不同的特征值对应的特征向量不相等，即： 一个特征向量只对应一个特征值。
布置作业：
• P130: 1. 2(3)Байду номын сангаас 3.
• 注意：两个向量只有维数相同时才能考虑 相等的问题，才能有和、有差。
• 三 特征值与特征向量的概念 • 引例 在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中， 其中
a11 a21 A a n1 a12 a22 an 2 a1n x1 y1 a2 n x2 y2 , x , y x y ann n n
• 定义 设A是一个n阶方阵，若存在着一个 数 和一个非零n维向量x，使得 • 则称 是方阵A的特征值，非零向量x称 • 为A对应于特征值 的特征向量，或简称 为A的特征向量。
Ax x
• 四 特征值与特征向量的求法 • Ax x 可改写为 ( A I ) x 0 • 这实际上是一个n个未知数n个方程的齐 次线性方程组，特征向量可看成是它的 一个非零解。而此齐次线性方程组有非 零解的充要条件是 A I 0 ，即
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann 0
•
（称为方阵A的特征方程）
• 上述方程的左端是 的n次多项式，记 作 f ( ) ，称为A的特征多项式。 从A的特征方程中解出的 值就是A的特 征值。然后通过求解方程组
• 于是，m n 矩阵有m个n维行向量， 同 • 时有n个m维列向量。
• 零向量（分量全为零）：
0 (0,0,,0)
• n维单位坐标向量：
1 (1,0,0,,0) 2 (0,1,0,,0)
n (0,0,0,,1)
• 向量
• 与 • 相等
(a1 , a2 ,, an )
2 • 若输入 x 5
，则
2 1 2 9 x y Ax 3 4 5 26
• 所以，给定一个线性系统A，到底对哪些 输入，能使其输出按比例放大，放大倍 • 数 等于多少？这显然是控制论中感兴 趣的问题。
第四节
矩阵的特征值与特征 向量
所组
• 一 n 维向量的概念 • 定义 n 个有顺序的数 a1 , a2 ,, an 成的数组
(a1 , a2 ,, an )
• 称做n维向量，数 a1 , a2 ,, an 称为向量 • 的分量（或坐标），aj叫做 的第j个分量 （或坐标），分量全为实数的向量称为实向量， 分量是复数的向量 称 为复向量。
• 为向量 与 的和
(a1 , a2 ,, an ) • 定义 设 • 为实数，则称
(a1 , a2 ,, an )
• 为数 与向量 的乘积 • 当 1 时，记
(1) (a1 ,a2 ,,an )
• 称它为

的负向量
( A I ) x 0
就可以求出A的特征向量。
• 例
求矩阵
1 6 A 5 2
• 的特征值和特征向量。
• 求特征值和特征向量的一般步骤： • （1）由
A I 0
• 求出所有特征值 • （2）求解齐次线性方程组
( A I ) x 0
• （ 为特征值），则所得非零解x必为特征 • 向量（它是基础解系的线性组合，且为非零 向量）
• 如
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
• 的行向量为
i (ai1, ai 2 ,, ain )
(i 1,2,, m).
• A的列向量为
a1 j a2 j j ( j 1,2, , n) a mj