矩阵特征根(课堂PPT)

因为
T ( ) 0 ( 0)
AX 0 X ( X 0) 4
4
§5.3 特征值与特征向量
0E A X 0
也即
0 a11 a12 L
a21
0 a22 L
L an1
LO an2 L
a1n x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a2n
x2
0
L M
0
ann
xn
求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题，
L
L OL
an1
an2
称为 A 的特征多项式，记为
L 0 ann
f () E A
f () 0 的根称为 A 的特征根（或特征值）
6
6
§5.3 特征值与特征向量
当0 为 A 的一个特征值时，方程 (0E A)X 0 （称为特征方程组）
的非零解称为 A 的特征向量 显然：
当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时 T 的特征值 对应于 A 的特征值 T 的特征向量坐标 对应于 A 的特征向量
10 10
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 2 3 1 代入特征方程组,得
2 1 0 x1
4
2
0
x2
0
1 0 1 x3
1
得基础解系
2
1
属于特征值 2 3 1 的全部特征向量
1
k2
2
1
k2 0
11
11
§5.3 特征值与特征向量
例 设 1, 2, 3 是数域 P 上 3 维线性空间 V 的一个基，线性
3
0
0
0
2
A 特征值
1 2 , 2 3 1
9
9
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 1 2 代入特征方程组,得
(1E A)X 0
即
3 1 0 x1
4
1
0
x2
0
1 0 0 x3
0
得基础解系
0
1
属于特征值 1 2 的全部特征向量
0
k1
0
1
k1 0
16
§5.3 特征值与特征向量
定理5.6 相似的矩阵有相同的特征多项式 证明: 设 A B , 存在可逆阵 P 使得
P-1A P = B
E B E P1 AP
P1 E P P1 AP
定义5.6 子空间.
V0 称为线性变换 T 的属于特征值0 的特征
二 特征值与特征向量的求法
设 1, 2,…, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基， 线性变换 T 在该基下的矩阵为A ，0 为 T 的一个特征 值，属于特征值 0 的特征向量 在该基下的坐标为
X (x1, x2,..., xn )T
得基础解系 1, 2 ,L , r
其线性组合 k11 k22 krr 即为i 的全部特征向量。
（ k1, k2 ,L , kr 不全部为零）
8
8
§5.3 特征值与特征向量
例 求矩阵
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
特征值与特征向量.
解:
1
f
()
E
A
4
1
( 2)( 1)2
1
(1
,
2
,
3
)
1
2
3
1
T 的属于特征值 1 2 1 的全部特征向量
k11 k22
（ k1, k2 不全部为零）
14
14
§5.3 特征值与特征向量
T 的属于特征值 3 5 的线性无关的特征向量
1
3 (1,2 ,3 ) X3 (1,2 ,3 ) 1 1 2 3
1
T 的属于特征值 3 5 的全部特征向量
k33
（ k3 不为零）
15
15
§5.2 线性变换的矩阵
例 R2 上旋转变换T 在单位向量组成的基 e1, e2 下的矩阵
A
cos sin
sin
cos
它的特征多项式
cos E A
sin 2 2 cos 1
sin cos
如果 k cos 1
E A 0 无解
16
一些基本性质:
(1) 一个特征向量只能属于一个特征值
T ( ) 0 T ( ) 1
0 1
0 1
2
2
§5.3 特征值与特征向量
(2) 如果 1 、2 都是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则当 1 + 2 0 时，1 + 2 也是 T 的属于特征值0 的特征向量
T (1 2 ) T (1) T (2 ) 01 02 0 (1 2 )
7
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量的步骤： (1) 计算矩阵 A 的特征多项式
En A (1 )(2 )L (n )
(2) 由
En A 0
得所有根 1 , 2 , , n 即为矩阵A的特征值
(3) 对 A 的不同特征值 i , 分别求解方程组
(i E A) X 0
(3) 如果 是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则 的任何一个 非零倍数 k 也是 T 的属于特征值0 的特征向量
T (k ) kT ( ) k(0 ) 0 (k )
属于特征值0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间 3
3
§5.3 特征值与特征向量
记
V0 T ( ) 0 , V
变换T 在该基下的矩阵为
1 2 2
A
2
1
2
2 2 1
求线性变换 T 的特征值与特征向量.
解:
1 2 2
f ()
E A
2 2
1
2
21
( 1)2 ( 5)
A 特征值
1 2 1, 3 5
12
12
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 1 2 1代入特征方程组
得线性无关的特征向量
1
X1
0
1
0
X2
1
1
(E A)X 0
将特征值 3 5 代入特征方程组 (E A)X 0
得特征向量
1 X 3 1
1
13
13
§5.3 特征值与特征向量
T 的属于特征值 1 2 1 的线性无关的特征向量
1
1
(1,2 ,3 ) X1
(1
,
2
,
3
)
0
1
3
1
0
2
(1,2 ,3 ) X 2
线性代数
第五章 线性变换
1
§5.3 特征值与特征向量
一 特征值与特征向量的概念 定义6.1 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换，对
于数域 P 上一个数 0 ，如果存在一个非零向量 使得
T ( ) 0
则称 0 为 T 的一个特征值，非零向量 称为T 的属于0 的一
个特征向量 .
存在的充要条件是：
0 a11 a12 L a1n
a21 0 a22 L
L
LO
a2n 0 L
an1
an2 L 0 ann
5
5
§5.3 特征值与特征向量
定义5.7 设 A 是数域 P 上一个n 阶方阵， 为一个未知量，
矩阵 E - A 的行列式
0 a11 a12 L a1n
E A a21 0 a22 L a2n