矩阵特征根(课堂PPT)
矩阵的特征值与特征向量(PPT)
更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧 进行拉伸，变成四分之一椭圆。
MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的 单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变 化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。 在特征方向上有Ax等于λ x。
例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐 标，第二行代表纵坐标）。
x
0
0.5 0.5
3
5.5 5.5
6
6
3
0
y
0
0
6
0
6
0
0
8
1
8
（1）绘制M的图形。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）设������ =
������ ������
������. ������ ，用A对M的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。 ������
x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8]; A=[1,0.5;0,1]; y=A*x; subplot(2,2,1); fill(x(1,:),x(2,:),'r'); subplot(2,2,2); fill(y(1,:),y(2,:),'r');
定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换 前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。
启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行 适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。
例1 设
������ =
第十二讲特征根法
第十二讲特征根法特征根法是一种用于求解线性代数问题的方法，特别适用于求解矩阵的特征值和特征向量。
在矩阵的特征根法中，首先需要找到矩阵的特征值，然后再利用特征值求解特征向量。
特征根法具有较高的通用性和求解效率，因此被广泛应用于工程、数学、物理等领域。
特征值和特征向量是矩阵的重要特征，可以通过特征根法求解。
首先来看特征值的求解。
对于一个n阶方阵A，满足线性方程组Ax=λx，其中λ是一个常数，x为一个非零向量。
那么λ是矩阵A的特征值，而满足方程组的x是矩阵A的特征向量。
求解特征值的步骤如下：1.构造n阶特征矩阵A-λI，其中I是单位矩阵。
2.计算特征矩阵A-λI的行列式，A-λI。
3.解特征方程，A-λI，=0，得到特征值λ。
在计算特征值时，需要注意一些细节。
首先，特征值是方程，A-λI，=0的根，因此可以通过求解特征方程的根来获得。
其次，特征值可能是复数，因此需要采用复数运算。
此外，特征值可能存在多重性，即重根，需要进行相应的处理。
获得特征值后，接下来可以求解特征向量。
特征向量是满足方程Ax=λx的非零向量x。
对于每一个特征值λ，有一个对应的特征向量x。
特征向量满足一些性质，比如对于特征值α，特征向量x1和x2对应于相同特征值的特征向量，则c1x1+c2x2也是对应特征值α的特征向量，其中c1，c2为任意常数。
求解特征向量的步骤如下：1.将特征值代入方程(A-λI)x=0，构造齐次线性方程组。
2.利用高斯消元法或其他方法求解齐次线性方程组的基础解系。
3.基础解系中的向量即为特征向量。
特征向量的求解有多种方法，不同的方法可以根据问题的特点和要求选择合适的方法。
特征根法的应用非常广泛。
在工程领域，特征根法被用于控制系统的稳定性分析和设计、结构力学中的模态分析等。
在数学领域，特征根法可以用于求解矩阵的特征值问题、线性方程组的解等。
在物理学领域，特征根法也可以应用于量子力学中的本征值问题等。
总之，特征根法是一种重要的线性代数求解方法，通过求解特征值和特征向量可以获得矩阵的重要特征信息。
线性代数 矩阵的特征值与特征向量(课堂PPT)
互不相等的特征值.
§
20
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§
4
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
性质3：已知 为n阶矩阵A的一个特征值，则
（1） kA 必有一个特征值为 k ;
（2） A2 必有一个特征值为
2
;
§
8
（3） Am (m Z ) 必有一个特征值为 （4）A可逆时，A1必有一个特征值为 （5）A可逆时，A* 必有一个特征值为
m
;
1 ;
A
；
（6）多项式( A)必有一个特征值为 ( ).
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§
1
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§
2
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为
定理1 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量.
矩阵特征根
X = (x1, x2 ,..., xn )T
(ξ ≠ 0) AX = λ0 X ( X ≠ 0)
4
T (ξ ) = λ0ξ
§5.3 特征值与特征向量
( λ0 E − A) X = 0
也即
λ0 − a11 − a21 L an1
− a12 λ0 − a22 L an 2
L − a1n x1 L − a 2 n x2 =0 O L M L λ0 − ann xn
f (λ) = ( λ − λ1 )( λ − λ2 )L( λ − λn ) = λ n − (λ1 + λ2 +L+ λn )λ n−1 +L+ (−1)n λ1λ2 Lλn
的特征向量， (3) 如果 ξ 是 T 的属于特征值 λ0 的特征向量，则ξ 的任何一 个非零倍数 kξ 也是 T 的属于特征值λ0 的特征向量
T (kξ ) = kT (ξ ) = k (λ0ξ ) = λ0 (kξ )
零向量构成一个线性子空间 属于特征值λ0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间
3
§5.3 特征值与特征向量
记
V λ 0 = {ξ T ( ξ ) = λ 0 ξ , ξ ∈ V
}
定义5.6 定义 子空间. 子空间
V λ 0 称为线性变换 T 的属于特征值λ0 的特征
二 特征值与特征向量的求法 的一个基， 设 ε1, ε2,…, εn 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基， 在该基下的矩阵为A 线性变换 T 在该基下的矩阵为 ，λ0 为 T 的一个特征 值，属于特征值 λ0 的特征向量ξ 在该基下的坐标为 因为
f (λ) = λE − A
线性代数ppt 第四章 矩阵的特征值和特征向量
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
二. 相似矩阵的定义 An与Bn相似(similar): P可逆, s.t. P 1AP =B. 相似(similar): 可逆, 记为A 记为A~B. 易见, 易见, 矩阵间的相似关系满足 (1) 反身性: A~A; 反身性: (2) 对称性: A~B B~A; 对称性: (3) 传递性: A~B, B~C A~C. 传递性: 即矩阵间的相似关系是一种等价关系. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系.
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
§4.2 特征值与特征向量 一. 定义 n阶方阵 特征值(eigenvalue) 特征值(eigenvalue) 对应
Aξ = λξ
非零向量 非零向量
特征向量(eigenvector) 特征向量(eigenvector)
注意:特征向量不能是零向量
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
特征值 特征矩阵 Aξ = λξ (λE–A)ξ = 0 |λE–A| = 0 特征方程
(characteristic equation)
特征向量
λE–A
特征多项式
(characteristic polynomial)
λ–a11
–a21 |λE–A| = … – a n1
α1, …, αs
线性无关
λ1
A
λ2
β1, …, βr
为方阵A 思考题. 思考题. 设λ1, λ2, …, λm为方阵A的m个不同的 特征值, 特征值, p1, p2, …, pm为依次对应于这些特征值 的特征向量, 证明p 线性无关. 的特征向量, 证明p1, p2, …, pm线性无关. 证明: 证明: 若k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 则 +…+k
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
线性代数 第五章第一节 矩阵的特征值与特征向量 PPT精品课件
性质6 设 λ1,λ2 ,L,λs为矩阵A的互异特征值 , 对应的
第 五
特征向量分别为 ξ1,ξ2 ,L,ξ s , 则ξ1,ξ2 ,L,ξ s线性无关.
证:⑴ s=1时结论成立；
章
矩
⑵假设s=r-1时成立，则s=r时：
阵 的
设 k1ξ1 + k2ξ2 + L + kr−1ξr−1 + krξ r = 0, (∗)
的
n
特 征 值 与
其中 trA = ∑ aii 为A的迹。 i =1 性质2 设相似矩阵有相同的特征多项式，从而特征
对 角
值也相同。
化
证:设A与B相似, 则存在可逆阵P,使得 B = P −1AP
fB (λ ) = λI − B = λI − P −1AP = P −1(λI − A)P
= P−1 λI − A P = λI − A = fA(λ )
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ1 = ⎜ 1 ⎟;
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ2 =⎜ 0⎟;
⎜⎝ 1 ⎟⎠
⎜⎛ 1 ⎟⎞
ξ3 =⎜ −1⎟ .
⎜⎝ − 1 ⎟⎠
-6-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
第
例3 设λ0 为A的特征值,则
五
章
⑴ λm0 为Am的特征值；
矩 阵 的 特
⑵
若A可逆,
则
1
λ0
为A−1的特征值；
征 值 与 对
⑶
若A可逆,
则
1
λ0
A 为A∗的特征值.
角
化
-7-
第一节 矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质：
特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次
矩阵特征根
矩阵特征根矩阵特征根是一种非常重要的数学工具，用于研究复杂的矩阵问题。
它可以帮助我们研究矩阵的映射和变换，以及矩阵在数学上的特殊性质。
矩阵特征根的算法更加复杂，因此它的应用更加广泛。
矩阵特征根的定义矩阵特征根是一种可以求解矩阵的特殊根的数学工具。
它用于研究矩阵的映射和变换，以及矩阵在数学上的特殊性质。
矩阵特征根通常与矩阵的特征向量相关联，它将矩阵的每一行都可以抽象地表示为单独的维度或者值，这可以让我们更加容易的研究矩阵的映射和变换。
矩阵特征根的性质矩阵特征根有一些重要的性质，它们可以用于研究变换和映射关系。
首先，它有一个特定的定义，即一个特征根对应着一个矩阵特征向量，这个特征向量可以用来描述矩阵的映射和变换。
其次，它还有一个根值，这个根值可以表示矩阵在该特征向量方向上的映射系数。
最后，矩阵特征根还可以用于表示矩阵的特殊性质，如对称性、正交性和正定性等。
矩阵特征根的应用矩阵特征根的应用非常广泛，它可以用于复杂的数学模型，如统计分析、模式识别、机器学习和信号处理等。
在统计分析中，矩阵特征根常用来判断数据点之间的关系，从而实现更好的预测。
在模式识别、机器学习和信号处理中，它常用来提取和判断突出的特征，从而有效地提高处理效率。
此外，矩阵特征根还可以帮助研究复杂的数学模型，如物理力学模型、贝叶斯网络和主动学习模型等。
总结矩阵特征根是一种非常重要的数学工具，它用于研究矩阵的映射和变换，以及矩阵在数学上的特殊性质。
它可以用来描述矩阵的特征，从而更容易地研究复杂的矩阵问题。
矩阵特征根的应用非常广泛，它可以用于统计分析、模式识别、机器学习和信号处理等领域，从而有效地提高处理效率。
此外，它还可以帮助研究复杂的数学模型，如物理力学模型、贝叶斯网络和主动学习模型等。
矩阵的特征多项式与特征根
矩阵的特征多项式与特征根
定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式
nn
n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ
212222111211
)(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根．
设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ
0的特征向量．
例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----310425
2373 的特征根和相应的特征向量．
解)1)(1(3104252
373)(2+-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0．
② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0
A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0
注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．。
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
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§5.3 特征值与特征向量
定理5.6 相似的矩阵有相同的特征多项式 证明: 设 A B , 存在可逆阵 P 使得
P-1A P = B
E B E P1 AP
P1 E P P1 AP
一些基本性质:
(1) 一个特征向量只能属于一个特征值
T ( ) 0 T ( ) 1
0 1
0 1
2
2
§5.3 特征值与特征向量
(2) 如果 1 、2 都是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则当 1 + 2 0 时，1 + 2 也是 T 的属于特征值0 的特征向量
T (1 2 ) T (1) T (2 ) 01 02 0 (1 2 )
(1
,
2
,
3
)
1
2
3
1
T 的属于特征值 1 2 1 的全部特征向量
k11 k22
（ k1, k2 不全部为零）
14
14
§5.3 特征值与特征向量
T 的属于特征值 3 5 的线性无关的特征向量
1
3 (1,2 ,3 ) X3 (1,2 ,3 ) 1 1 2 3
1
T 的属于特征值 3 5 的全部特征向量
7
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量的步骤： (1) 计算矩阵 A 的特征多项式
En A (1 )(2 )L (n )
(2) 由
En A 0
得所有根 1 , 2 , , n 即为矩阵A的特征值
(3) 对 A 的不同特征值 i , 分别求解方程组
(i E A) X 0
10 10
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 2 3 1 代入特征方程组,得
2 1 0 x1
4
2
0
x2
0
1 0 1 x3
1
得基础解系
2
1
属于特征值 2 3 1 的全部特征向量
1
k2
2
1
k2 0
11
11
§5.3 特征值与特征向量
例 设 1, 2, 3 是数域 P 上 3 维线性空间 V 的一个基，线性
1
X1
0
1
0
X2
1
1
(E A)X 0
将特征值 3 5 代入特征方程组 (E A)X 0
得特征向量
1 X 3 1
1
13
13
§5.3 特征值与特征向量
T 的属于特征值 1 2 1 的线性无关的特征向量
1
1
(1,2 ,3 ) X1
(1
,
2
,
3
)
0
1
3
1
0
2
(1,2 ,3 ) X 2
定义5.6 子空间.
V0 称为线性变换 T 的属于特征值0 的特征二 特征值与特征向量的求法
设 1, 2,…, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基， 线性变换 T 在该基下的矩阵为A ，0 为 T 的一个特征 值，属于特征值 0 的特征向量 在该基下的坐标为
X (x1, x2,..., xn )T
得基础解系 1, 2 ,L , r
其线性组合 k11 k22 krr 即为i 的全部特征向量。
（ k1, k2 ,L , kr 不全部为零）
8
8
§5.3 特征值与特征向量
例 求矩阵
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
特征值与特征向量.
解:
1
f
()
E
A
4
1
( 2)( 1)2
1
因为
T ( ) 0 ( 0)
AX 0 X ( X 0) 4
4
§5.3 特征值与特征向量
0E A X 0
也即
0 a11 a12 L
a21
0 a22 L
L an1
LO an2 L
a1n x1
a2n
x2
0
L M
0
ann
xn
求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题，
存在的充要条件是：
0 a11 a12 L a1n
a21 0 a22 L
L
LO
a2n 0 L
an1
an2 L 0 ann
5
5
§5.3 特征值与特征向量
定义5.7 设 A 是数域 P 上一个n 阶方阵， 为一个未知量，
矩阵 E - A 的行列式
0 a11 a12 L a1n
E A a21 0 a22 L a2n
(3) 如果 是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则 的任何一个 非零倍数 k 也是 T 的属于特征值0 的特征向量
T (k ) kT ( ) k(0 ) 0 (k )
属于特征值0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间 3
3
§5.3 特征值与特征向量
记
V0 T ( ) 0 , V
变换T 在该基下的矩阵为
1 2 2
A
2
1
2
2 2 1
求线性变换 T 的特征值与特征向量.
解:
1 2 2
f ()
E A
2 2
1
2
21
( 1)2 ( 5)
A 特征值
1 2 1, 3 5
12
12
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 1 2 1代入特征方程组
得线性无关的特征向量
线性代数
第五章 线性变换
1
§5.3 特征值与特征向量
一 特征值与特征向量的概念 定义6.1 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换，对
于数域 P 上一个数 0 ，如果存在一个非零向量 使得
T ( ) 0
则称 0 为 T 的一个特征值，非零向量 称为T 的属于0 的一
个特征向量 .
L
L OL
an1
an2
称为 A 的特征多项式，记为
L 0 ann
f () E A
f () 0 的根称为 A 的特征根（或特征值）
6
6
§5.3 特征值与特征向量
当0 为 A 的一个特征值时，方程 (0E A)X 0 （称为特征方程组）
的非零解称为 A 的特征向量 显然：
当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时 T 的特征值 对应于 A 的特征值 T 的特征向量坐标 对应于 A 的特征向量
k33
（ k3 不为零）
15
15
§5.2 线性变换的矩阵
例 R2 上旋转变换T 在单位向量组成的基 e1, e2 下的矩阵
A
cos sin
sin
cos
它的特征多项式
cos E A
sin 2 2 cos 1
sin cos
如果 k cos 1
E A 0 无解
16
3
0
0
0
2
A 特征值
1 2 , 2 3 1
9
9
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 1 2 代入特征方程组,得
(1E A)X 0
即
3 1 0 x1
4
1
0
x2
0
1 0 0 x3
0
得基础解系
0
1
属于特征值 1 2 的全部特征向量
0
k1
0
1
k1 0