关于高等数学第六章答案

第六章 定积分的应用

第二节 定积分在几何上的应用 1? 求图中各阴影部分的面积? （1） 16

. (2) 1

(3)

323? (4)32

3

?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?

(1) 463

π-? (2)

3

ln 22-? (3)1

2e e

+-?

(4)b a -

3? 94

?

4? （1）?1

213

（2）?4

5? (1) ?a 2?

(2) 238

a π? (3)218a π?

6? （1）423

π⎛- ⎝ （2）54

π

（3）2cos 2ρθρθ==及

6π

+7．求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2

2x y 516,x +-=绕轴。

（4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

（5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。

8．由y ?x 3? x ?2? y ?0所围成的图形? 分别绕x 轴及y 轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?

128

7

x V π=

? 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形? 绕x 轴旋转? 计算所得旋转体的体积?332

105

a π 10．（1）证明 由平面图形0?a ?x ?

b ? 0?y ?f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=b

a

dx x xf V )(2π

? 证明略。

（2）利用题（1）结论? 计算曲线y ?sin x (0?x ??)和x 轴

所围成的图形绕y 轴旋

转所得旋转体的体积? 2

2π

11．计算底面是半径为R 的圆? 而垂直于底面上一条固定

3

433

R ? 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?

12．计算曲线3

223

y x =上相应于38x ≤≤的一段弧

的弧长。2123

13．计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102

x ≤≤的一段弧的弧长。1ln 32

-

14．求星型线33

cos sin x a t

y a t

⎧=⎨=⎩的全长。6a 15．求曲线()1cos a ρθ=-的周长。8a

第三节 定积分的应用

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F (单位? N )与伸长量s (单位? cm)成正比? 即F ?ks (k 为比例常数)?

如果把弹簧由原长拉伸6cm ? 计算所作的功? 18 k(牛?厘米)

解 将弹簧一端固定于A ? 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW ?ksds ? 所求功为 182

16

026

0===⎰s k ksds W

k(牛?厘米)? 2．直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问

需要作多少功？800ln 2π(J)? 解 由玻?马定律知?

ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV ?

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2? 则

ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P ? π

-=80800

)(x P ?

功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π? 所求功为 2ln 8008018000080800)10(40040

2

ππππ

π=-=-⋅⋅=⎰⎰

dx dx W

(J)?

3．设地球的质量为M ，半径为R ，现要将一个质量为m 的物体从地球表面升高到h 处，问需要做多少功（设引力系数为G ）？()

mMh

G

R h +

4．半径为R 的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C 沿其轨迹移动的距离S 时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功

解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点B 为圆柱体的速度瞬心，由式

（11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。

滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=F

N

δ

来计算所以它的元功为 λMd W -=δ=-ds R

F n

δ

如

F

N

及R 均为常量，滚动一段路程S 后滚动摩阻力偶的功为

W=

⎰0S -ds R F n

δ=-s R

F n δ 可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值W 与圆柱半径成反比

5．设一锥形贮水池? 深15m ? 口径20m ? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功？ 解 在水深x 处? 水平截面半径为x r 3

210-

=? 功元素为

dx x x dx r x dW 22)3

210(-=⋅=ππ?

所求功为

?1875(吨米)?(kJ)?

6? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶

2m ? 求闸门上所受的

水压力?205? 8(kN)?

解 建立x 轴? 方向向下? 原点在水面? 水压力元素为

xdx dx x dP 221=⋅⋅=?

闸门上所受的水压力为