费马点与中考试题
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识别“费马点”思路快突破
解题的成功取决于多种因素,其中最基本的有:解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经
验因素和解题的非智力因素,这也就是我们常说的解题基本功.可见解题的知识因素是第一位的,足以说明它的重要性.下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取.
例1 (2010湖南永州)探究问题:
(1)阅读理解:
①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则
称点P为△ABC的费马点,此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离.
②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB·CD+BC·DA=AC·BD.此为托勒密定理.
(2)知识迁移:
①请你利用托勒密定理,解决如下问题:
如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证:PB+PC=P A.
②根据(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:
第一步:如图(D),在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;
第二步:在BC上任取一点P′,连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A+P′B+P′C=P′A+(P′B+P′C)
=P′A+;
第三步:请你根据(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.
(3)知识应用:
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选
取一点P 打水井,使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.
思路探求:(2)知识迁移 ①问,只需按照题意套用托勒密定理,再利用等边三角形三边相等,将所得等式两边都除以等边三角形的边长,即可获证. ②问,借用①问中对于费马点的定义结论容易获解. (3)知识应用,模仿(2)的图形,先构造正三角形,由(2)中的结论,再计算AD 即为最小距离.
简解:(2)①证明:由托勒密定理可知PB ·AC +PC ·AB =P A ·BC
∵△ABC 是等边三角形
∴ AB =AC =BC
∴PB +PC =P A
②P ′D AD
(3)解:如图,以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ,连接AD ,则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离.
∵△BCD 为等边三角形,BC =4,
∴∠CBD =60°,BD =BC =4.
∵∠ABC =30°, ∴∠ABD =90°.
在Rt △ABD 中,∵AB =3,BD =4 ∴AD 22AB BD +2234+=5(km )
∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km.
点评:此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体,题型新颖别致,综合考查自主探究、创新应用能力,是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题,后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用,这也是近年“课题学习”考查的一大风向,值得重视.
如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查,为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点,我们补充几点:
(1)平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA+PB+PC ,当点P 为费马点时,距离之和最小.
特殊三角形中:
(2)三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB ,BC ,CA ,为边,向三角形外侧做正三角形ABC 1,ACB 1,BCA 1,然后连接AA 1,BB 1,CC 1,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的
费马点.
(3)若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC 为等边三角形时,此时外心与费马点重合.
可见,永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体,考得比较直截了当;巧合的是2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了,请看:
例2 (2010福建宁德)如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM .
⑴ 求证:△AMB ≌△ENB ;
⑵ ①当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;
②当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由;
⑶ 当AM +BM +CM 的最小值为13+时,求正方形的边长.
思路探求:⑴略;
⑵ ①要使AM +CM 的值最小,根据“两点之间线段最短”,需设法将AM +CM 转化为一条线段,连接AC 即可获取;
②要使AM +BM +CM 的值最小,由例3积累的知识经验:点M 应该是△ABC 的费马点.由例3中(2)的求解示范,只要连接CE 即可获得CE 为AM +BM +CM 的值最小.这样获到M 点至少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第(1)问的全等获得BM=BN ,将三条线段转化到CE 上去,问题化为两点之间线段最短.
⑶根据题意,添加辅助线,构造直角三角形,过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F . 设正方形的边长为x ,则BF =
23x ,EF =2x .在Rt △EFC 中,由勾股定理得(2x )2+(23x +x )2=()2
13+,解得即可.
简答:⑴略;
⑵①当M 点落在BD 的中点时,AM +CM 的值最小.
②如图,连接CE ,当M 点位于BD 与CE 的交点处时,
AM +BM +CM 的值最小.
理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB ≌△ENB
∴AM =EN .
∵∠MBN =60°,MB =NB ,
A D
B C F A D B C