第2章二次函数 题型解读1 二次函数图像认识题型-北师大版九年级数学下册教学讲义
北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
(名师整理)最新数学北师大版九年级下册第2章第2节《二次函数的图像与性质》精品课件
(3开)y口=-向5x下2+80x直-3线19x(=代8入法()8, 1)
2.当火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t(s) 的 关系可以用公式 h=-5t2+150t+10表示,经过多长时间,火箭 到达它的最高点？最高点的高度是多少？
3※若二1次5s函数y=x2+bx+5 配方后11为35ym=(x-2)2+k,
图象开口
，对称轴是
，
向上
直线x=-3
顶点坐标是
，当x=
时,y有
最
值是 (-3,-5。)
-3
小
-5
生活中的数学
3.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，
O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的两个旋转喷头向外喷水，水流在各
个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任意平面上，抛物线
?
用配方法求二次函数y=2x2-8x+7图象的 对称轴和顶点坐标。
题后反思： 1.选择最优的解题方法 2.用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式的步骤：
①提二次项系数； ②配方； ③化简
用配方法确定下列二次函数图象的对称轴
和顶点坐标。
(1) y=3x2-6x+7
(2) y=-2x2-12x+8
求二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴和顶点坐标．
对称轴：直线x=h
顶点坐标 : (h,k)
②公式法
对称轴：直线 x=- b 2a
③代入法
顶点坐标 : (- b ，4ac-b2 ) 2a 4a
通过本节课的学习， 你掌握了哪些知识… 应用了哪些数学思想方法…
第2章二次函数与几何综合 题型解读1 二次函数与几何综合题的两种解题方法-北师大版九年级数学下册
<<函数与几何综合>>解题思路结合图(1)公式法(2)补割法(3)12×水平宽度×铅直高度注意分类讨论1.存在性问题(1)是否存在点:利用点所在函数图像设出点的坐标, 再利用点所满足的一个条件,通过全 等,相似,或三角函数,列出方程.注意 判别解的合理性.典型题型 (2)是否存在三角形①Rt :以谁为直角顶点分三种情况讨论,结合 双垂型、射影定理等相似，全等，勾 股定理及直角三角形的性质解题②等腰:以两两相等分三种情况讨论,结合相似 全等、勾股定理、中垂线、圆等解题③等腰Rt ：分三种情况分类讨论，结合上述 几何性质解题④等边：结合等腰、等边性质解题(3)是否存在面积关系:利用面积关系,通过求面积 的各种方法,列出方程解答.(4)是否存在全等：设点的坐标，利用 全等性质列方程解答。
(4)等底等高与平行(5)是否存在相似:一般利用等角分两种情况分类讨论,利用相似性质列方程解答(7)是否存在矩形、菱形、正方形：结合点的坐标， 利用它们的判定或性质及相似等列方程解答。
2.最值问题(1)线段最值①求解析式,利用二次函数配方求最值; ②垂线段最短、两点间线段最短 （转化为同一线段、将军饮马问题）(2)线段和差或周长最值:①解析式求最值;②将军饮马问题(3)面积最值:利用面积三种方法,列解析式求最值3.取值范围问题:①善于抓住图形位置特点,确定最大/小值; ②求解析式解不等式方程.4.线段定值问题:①直接计算；②如果题目没给出定值的，可利用特殊位置、 极端位置先探求出定值，然后加以一般化证明。
(6)是否存在平行四边形①几何论证法：以已知边为长边、短边及对角线去找图②代数论证法：选三点，以两两的连线为对角线，利用中点坐标公式分三种情况讨论计算出第四点坐标③平行四边形顶点的横纵坐标的差相等，利用平移表示 各点坐标，计算上可以简化，用于表示各顶点坐标①点动:依解析式设动点坐标②线动总体思路:圆只是周围是曲线的多边形 全等或相似勾股等照常用①求角或三角函数:直接求或等量替换 圆心或圆周角定理 切线性质,内接四边形对角性质 弦切角性质②求线段:垂径定理 切线性质③辅助线:(1)连半径，构造等腰(2)见弦必做弦心距，构造RT △(3)见切线必连圆心与切点，构造RT △ (4)见直径，构造90°圆周角基本思路:在变化中找到不变的性质③面动:折叠,平移,旋转5.动态问题6.圆典型题型思路要点与行程问题结合的动态问题:先用字母表示出各线段,根据 各线位置,结合相似全等等几 何知识列方程解答题型解读1 二次函数与几何综合题的两种解题方法【分析思路】在二次函数与几何综合的各种题型中，只有一条总体分析思路线：解析式（方程）←→点的坐标←→线段长←→几何问题，但在具体解题分析过程中，求点的坐标或线段长时，思考方向却有两种：可以由左往右思考，即“由解析式或方程求点的坐标，由点的坐标求线段长”，这是“代数论证方法”；也可以由右往左思考，即“由几何问题求线段长，由线段长求点的坐标”，这是“几何论证方法”。
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
北师版初三数学下册第二章一元二次函数讲解附题解析
已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数 的图像如图1，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、二次函数的基本形式
二次函数的基本形式 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（形象理解：a越大，弓被拉的越紧，即开口越小）
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
3.常数项 决定了抛物线与 轴交点的位置．
总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
六、二次函数 的性质
1.当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
北师大数学九年级下册第二章-二次函数与一元二次方程(含解析)
第04讲_二次函数与一元二次方程知识图谱二次函数与一元二次方程知识精讲一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x +=-⋅=，： ()()22221212121244+4b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=---=--=⎪⎝⎭判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxOxy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根三点剖析一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．二次函数与x 轴交点例题1、 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A.m ＜2 B.m ＞2 C.0＜m≤2 D.m ＜﹣2 【答案】 A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例题2、 二次函数2y x 6x n =-+的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程2x 6x n 0-+=的一个解为x 1＝1，则另一个解2x ＝__________．【答案】 5【解析】 暂无解析例题3、 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式． 【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++x()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=，由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0，∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练1、 二次函数与y ＝kx 2－8x ＋8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.k ＜2 B.k ＜2且k ≠0 C.k ≤2 D.k ≤2且k ≠0 【答案】 D【解析】 暂无解析随练2、 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A.0或2B.0或1C.1或2D.0，1或2【答案】 A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0．故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2．故选：A ．随练3、 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．一元二次方程根的分布问题例题1、 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x -a ）（x -b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A.m ＜a ＜b ＜n B.a ＜m ＜n ＜b C.a ＜m ＜b ＜n D.m ＜a ＜n ＜b 【答案】 A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例题2、 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a +-++=． （1）有两个实根x 1,x 2，且满足1204x x <<<； （2）如果至少有一个正根，求实数a 的取值范围．【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =+-++；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．随练1、 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练2、 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的对称轴为直线x ＝－2． （1）b ＝________；（用含a 的代数式表示）（2）当a ＝－1时，若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，求c 的取值范围； （3）若抛物线过点（－2，－2），当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为4，求a 的值． 【答案】 （1）4a （2）－4≤c ＜5（3）32a =或12a =-【解析】 （1）由2b x a =-得到：22ba-=-，则b ＝4a ．（2）当a ＝－1时，∵关于x 的方程－x 2－4x ＋c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，即关于x 的方程x 2＋4x －c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，图1图3∴b2－4ac＝16＋4c≥0，即c≥－4．方法一：∴抛物线y＝x2＋4x＝（x＋2）2－4与直线y＝c在－3＜x＜1的范围内有交点．当x＝－2时，y＝－4，当x＝1时，y＝5．由图象可知：－4≤c＜5．方法二：∴抛物线y＝x2＋4x－c＝（x＋2）2－4－c与x轴在－3＜x＜1的范围内有交点．当x＝－2，y＝0时，c＝－4，当x＝1，y＝0时，c＝5．由图象可知：－4≤c＜5．方法三：∵c＝x2＋4x＝（x＋2）2－4．∴c是x的二次函数．当x＝－2时，c＝－4，当x＝1时，c＝5．由图象可知：－4≤c＜5．（3）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋c过点（－2，－2），∴c＝4a－2．∴抛物线解析式为：y＝ax2＋4ax＋4a－2＝a（x＋2）2－2．方法一：①当a＞0时，抛物线开口向上．∵抛物线对称轴为x＝－2．∴当－1≤x≤0时，y随x增大而增大．∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，由图象可知：4a－2＝4．∴32a=．②当a＜0时，抛物线开口向下．∵抛物线对称轴为x＝－2．∴当－1≤x≤0时，y随x增大而减小．∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，由图象可知：4a－2＝－4．∴12a=-．方法二：∵－1≤x≤0，∴当x＝0时，y＝4a－2；当x＝－1时，y＝a－2．∵当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4．∴有两种情况：①若|4a－2|＝4，则32a=或12a=-．此时1|2|42a-=<或5|2|42a-=<，符合题意．②若|a－2|＝4，则a＝6或a＝－2．此时|4a－2|＝22＞4或|4a－2|＝10＞4．∴a＝6或a＝－2不合题意，舍去．综上所述：32a=或12a=-．随练3、在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋3的图象与x轴交于点A，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A．（1）当m＝4时，求n的值；（2）设m＝－2，当－3≤x≤0时，求二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值；（3）当－3≤x≤0时，若二次函数－3≤x≤0时的最小值为－4，求m、n的值．【答案】（1）3（2）－15（3）2；－3【解析】（1）当y＝x＋3＝0时，x＝－3，∴点A的坐标为（－3，0）．∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ， ∴0＝9－3m ＋n ，即n ＝3m －9， ∴当m ＝4时，n ＝3m －9＝3．（2）抛物线的对称轴为直线2mx =-，当m ＝－2时，对称轴为x ＝1，n ＝3m －9＝－15， ∴当－3≤x≤0时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－15．（3）①当对称轴32m-≤-，即m≥6时，如图1所示．在－3≤x≤0中，y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为0， ∴此情况不合题意；②当302m-<-<，即0＜m ＜6时，如图2，有2444930n m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩， 解得：23m n =⎧⎨=-⎩或1021m n =⎧⎨=⎩（舍去），∴m ＝2、n ＝－3； ③当02m-≥，即m≤0时，如图3，有4930n m n =-⎧⎨-+=⎩，解得：534m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去）． 综上所述：m ＝2，n ＝－3．拓展1、 抛物线y=2x 2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【答案】 C【解析】 抛物线y=2x 2﹣2，显然抛物线与y 轴有一个交点， 令y=0，得到2x 2﹣2x+1=0， ∵△=8﹣8=0，∴抛物线与x 轴有一个交点，则抛物线与坐标轴的交点个数是2，2、 已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）A.x 1＝1，x 2＝－1B.x 1＝1，x 2＝2C.x 1＝1，x 2＝0D.x 1＝1，x 2＝3【答案】 B【解析】 ∵二次函数的解析式是y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数），∴该抛物线的对称轴是：32x =．又∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根分别是：x 1＝1，x 2＝2． 3、 已知函数y=mx 2﹣6x+1（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 【答案】 （1）见解析（2）m 的值为0或9 【解析】 （1）当x=0时，y=1．所以不论m 为何值，函数y=mx 2﹣6x+1的图象都经过y 轴上一个定点（0，1）； （2）①当m=0时，函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则方程mx 2﹣6x+1=0有两个相等的实数根， 所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．综上，若函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 4、 若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2． （1）求m 的取值范围；（2）如果这个方程的两个实根分别为x 1＝α，x 2＝β，且α＜β，当m ＞0时，试比较α，β，2，3的大小，并用“＜”连接；（3）求二次函数y ＝(x －x 1)(x －x 2)＋m 的图像与x 轴的交点坐标． 【答案】 （1）m ＞41- （2）α＜2＜3＜β （3）(2，0)和(3，0) 【解析】 （1）m ＞41-（2）α＜2＜3＜β（3）因为一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根1x ，2x ，且1x ≠2x ， 所以该一元二次方程可以写成(x －1x )(x －2x )＝0或者(x －2)(x －3)－m ＝0 即：(x －1x )(x －2x )＝(x －2)(x －3)－m所以y ＝(x －1x )(x －2x )＋m 可以表示成y ＝(x －2)(x －3)－m ＋m 即：y ＝(x －2)(x －3) 二次函数的图像与x 轴的交点坐标为(2，0)和(3，0) 5、 已知二次函数2316y x bx c =-++的图象经过A （0，3），9(4,)2B --两点． （1）求b ，c 的值；（2）二次函数2316y x bx c =-++的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况． 【答案】 （1）983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）（－2，0）或（8，0）【解析】 （1）把A （0，3），9(4,)2B --分别代入2316y x bx c =-++，得 339164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩，解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：2393168y x x =-++． 293225()4()3081664∆=-⨯-⨯=>，所以二次函数2316y x bx c =-++的图象与x 轴有公共点．∵23930168x x -++=的解为：x 1＝－2，x 2＝8 ∵公共点的坐标是（－2，0）或（8，0）．6、 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图，方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <，则两实根满足（ ）A.1213x x <<<B.1213x x <<<C.1213x x <<<D.1201,34x x <<<<【答案】 D【解析】 该题考查的是二次函数综合．由图象可知，二次函数过()0,2、()1,0、()3,0三点．设二次函数的交点式为()()13y a x x =--，将()0,2代入解析式，可得23a =． 故方程2ax bx c n ++=即2282033x x n -+-=．记()228233f x x x n =-+-，则()020f n =->，()10f n =-<，()30f n =-<，()420f n =->．结合()f x 的图象可知101x <<，234x <<．故答案选D ．7、 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围． 【答案】 20a -<<【解析】 设()22()12f x x a x a =+-+-；则有(1)0(1)0f f <⎧⎨-<⎩，即2211201120a a a a ⎧+-+-<⎪⎨-++-<⎪⎩，解得20a -<<． 8、 二次函数y=ax 2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根，则m 的最大值为_____．【答案】 3【解析】 先根据抛物线的开口向上可知a ＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b 与a 关系，再根据一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，yxO 213∴a＞0．﹣24ba=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3。
北师大版九年级数学下册第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件
想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移 后会得到新的抛物线吗？
1 二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质
例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
x
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
2x2
32 18 8 2
yO
x
-4 -2
24
(1) 顶点都是最_高___点，函数都
-2
有最_大___值，都为__y_=__0__；y 1 x 1 2 -4
(2)
y
函数的增减性： 1 x 1 2 当 x＜-1
时，y
2
随
x
y
增大而增大
1 2
x
12
2
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
y 1 x 12
2
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
2(x - 1)2 50 32 18 8
02 20
8 18 32 0 8 18
你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？
描点、连线，如图所示： 根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 抛物线 ；
(2) 图形的开口方向 向上 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都 是 x = 0，x = 1 ；
(4) 从左到右顶点坐标分别是 _(_0_，__0_)_，__(_1_，__0_)___；
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
(5) 顶点都是最_低___点，函数都有 y = 2x2 最__小__值，都为__y_=__0__； (6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ：
北师大版九年级下册二次函数的图象与性质课件
2
8
（2）画出 y =
2x2
0
0
的图象．
1
2
2
8
4
···
2
···
－4
－2
2
－2
4
活动探究
10
问题：二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？它与二 次函数
y = 2x2
8
y = x2 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和
y = x2
6
顶点坐标分别是什么？
4
①二次函数 y = 2x2 的图象：抛物线
y = 2x2
y = x2
y = x2
4
4.抛物线的对称轴：y轴；
2
－4
－2
2
－2
4
10
例题讲授
y = 2x2
y = x2
8
活动三：在图中画出 y =- x2、y = -x2 、y =-2x2
图象有什么相同和不同？
y = x2
4
2
结论：
1.二次函数y =-
6
2
x 图象与
y=
－4 －2
什么
关系
活动探究
三 二次函数y=ax2+c的图象及平移
活动四:(1)画二次函数 y = 2x2+1 、 y =2x2-1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．
解：先列表：
10
y = 2x2＋1
8
x
··· －2 －1.5 －1
y =2x2＋1 ···
y = 2x 2 －
1
···
9
7
5.5
九年级数学下册 第二章 二次函数 1 二次函数教学课件 (新版)北师大版
是函数关系且为二次函数关系.
1.（衢州·中考） 如图，四边形ABCD中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形 ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2
25
B. y 4 x2
25
A D
C. y 2 x2
5
【答案】选C .
想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总 产量最多？ 【解析】
y=-5(x2-20x)+60 000 =-5(x2-20x+102-102)+60 000 =-5(x-10)2+60 500 ≤60 500
合作探究
y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
D. y 4 x2
5
BC
x 2.如果函数y= k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0_或__3_ .
x 3.如果函数y=(k-3) k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k
的值一定是___0___ .
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c一定是整式，a， b，c为常数,且 a≠0.
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0
北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数说课教学复习课件巩固
原点 (0,0).
8
问题4 当x取何值时，y的值最小？
6
最小值是什么？
4
x=0时，ymin=0.
2
问题5 当x<0时，随着x值的增大，－4 －2 y值如何变化？当x>0时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
y 2x2
24
讲授新课 y＝ax2
图象
位置开
口方向 课件
课件
问题3
函数
y 1 (x 2)2 的图象，能否也可以由函数 y 1 x2
2
2
平移得到？
应该可以.
讲授新课
一 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
例1 画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
当堂练习
6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象 经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4 ＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1与y2的大小关系是 ___y_1_＞__y_2__.
当堂练习
7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c的图象大致为( D )
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=0
直线x=0
顶点坐标
（0,c）
（0,c）
最值
当x=0时，y最小值=c 当x=0时，y最大值=c
增减性
当x＜0时，y随x的增 当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＞0时， 大而减小；x＜0时， y随x的增大而增大. y随x的增大而增大.
九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质课件新版北师大版
y
y=2x2 10
y=x2
8
6
4
2
-4
-2
0
2x
y=-x2 y=-2x2
课堂探究
探究四 二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不 同？
你是怎么想的？
动手验证一下你的想法.
课堂探究
x y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1
函数 关系式
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
抛物线 a>0向上,a<0向下
y轴 （0，0）
y=ax2+c
抛物线
a>0向上,a<0向下
y轴 （0，c）
本课小结
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征 (1)y=ax2的图象是一条抛物线. (2)其顶点坐标是（0，0）. (3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）.
预习反馈
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的 时间t(s)的关系为h=4.9t2, h是t的_二__次_____函数，它的 图象是_抛__物__线在第一象__限__的__部__分，顶点坐标为（__0_，__0_）_. 2.上题中若物体从100米高的地方落下，它离地面的高 度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=100-4.9t2,则h是t的 _二__次__函数，图象是_抛__物__线__在__第__一__象__限__的__部__分__，顶点 坐标是_（__0__，__1_0_0_）_.
y=-2x2
y=-x2
课堂探究
【解析】
函数 y=2x2 y=x2 y=-2x2 y=-x2
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
二次函数的图象与性质 第2课时 二次函数y=ax2+c的图象与性质 课件 数学北师大版九年级下册
（ B ）
A. 顶点相同
B. 对称轴相同
C. 开口方向相同
D. 顶点都在 x 轴上
2. 若抛物线 y ＝ x2＋3上有三点 A （1， y1）， B （5，
y2）， C （－2， y3），则 y1， y2， y3的大小关系为
（ B ）
A. y2＜ y1＜ y3
B. y1＜ y3＜ y2
C. y2＜ y3＜ y1
2
如图，二次函数 y ＝－ x ＋2的图象与 x 轴、 y 轴分
4.
别交于点 A ， B ， C .
（1）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
解：（1）抛物线的顶点坐标为（0，2），
对称轴为 y 轴.
（第4题）
（2）若y的值随x的值的增大而减小，求x的取值范
围；
解：（2）由图象可知，若 y 的值随 x 的值
入 y ＝ ax2＋ c ，
= ，
＋ = ，
得ቊ
解得ቊ
= .
＋ = ，
∴抛物线的表达式为 y ＝ x2＋2.
令 x ＝0，则 y ＝2，∴点 C （0，2）.
∵ BE ⊥ x 轴，点 B （2，6），∴点 E （2，
0）.
∴直线 AE 的表达式为 y ＝－ x ＋2.
令 x ＝0，则 y ＝2，
当 x ＜0 时， y 的值随 x 值的增大而减小；
（2）抛物线 y ＝ ax2＋ b 的形状与函数 y ＝2 x2的图象的
形状相同，开口方向相反，与 y 轴交于点（0，－2），
2－2
y
＝－2
x
则该抛物线的表达式为
；
（3）已知点（－9， y1），（4， y2），（－2， y3）都
北师版初三数学(下册)第二章一元二次函数讲解附题
九年级（上）第二章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（形象理解：a 越大，弓被拉的越紧，即开口越小）三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；※3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
北师版初三数学下册第二章一元二次函数讲解附题讲解学习
九年级（上）第二章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（形象理解：a 越大，弓被拉的越紧，即开口越小）三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；※3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
第2章二次函数 题型解读1 二次函数图像认识题型-北师大版九年级数学下册
重点掌握函数的大致图象、对称轴、顶点坐标、开口方向、函数值的增减性及最值《二次函数》知识结构图二次函数二次函数表达式的五种形式二次函数的定义注意二次函数判别和定义正逆考查二次函数的图象和性质熟悉以下四种函数图象的画法及性质， 特别注意它们之间的变化过程数形结合思想（1）y=ax 2(2)y=ax 2+c(3)y=a(x-h)2(4)y=a(x-h)2+k注意a,b,c 的正负性对函数图象性质的影响注意四种函数图象是如何通过平移而成的二次函数的实际应用1.用二次函数解决实际问题2.二次函数最值的应用（1）最大利润问题二次函数的表达方式1.列表法2.图象法3.解析式法（1）确定方法：待定系数法一元二次方程与二次函数的关系1.表达式上的转化关系2.方程与图象的关系：记熟关系表。
3.交点的应用（1）抛物线与坐标轴的交点（2）一次函数与抛物线的交点4.方程与抛物线关系的实际应用（2）注意把握三种设解析式 方法的运用情形《二次函数》题型全解读1 二次函数的概念【知识梳理】1.定义：一般地，若两个变量，x,y 之间的对应关系可以表示成是常数，a ≠0,b,c 可以为零)．那么y 叫做x 的二次函数.其中ax 2,bx,c 分别是二次项、一次项和常数项，a,b 分别是二次项系数、一次项系数。
2. 二次函数各种形式之间的变换 （1）二次函数c bx ax y++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中.（2）y =ax 2+bx +c (a ≠0)是二次函数的一般式，它还有以下几种特殊形式：①2ax y =；②y =ax 2+c ； ③y =ax 2+bx ；④()2h x a y-=；⑤. ()k h x a y+-=2【典型例题】例1. 下列函数中是二次函数的有（ D ）①y=x ＋1x；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=1x＋x ．⑤c bx ax y++=2;⑥y =(x −1)2−(x +1)(x −1);⑦y =x 2;⑧y =x(1−x) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例2. 函数y =(m +2)x m2−2+2x −1是二次函数，则m= ．m=2例3．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．(a ≠0;a =0,b ≠0;a =0,b ≠0,c =0)例4.已知函数y =(m 2−m )x 2+(m −1)x +2−2mc b a c bx ax y ,,(2++=（1）若这个函数是二次函数，m的取值范围是___________(m≠0,m≠1) （2）若这个函数是一次函数，m=________(m=0)（3）这个函数可以是正比例函数吗？(m不存在，不可能是正比例函数) 《二次函数》题型全解读2 二次函数图像与性质【知识梳理】一.二次函数的五种图像及性质yxO顶点坐标 (ｈ,0) 开口方向 开口向上开口向下开口大小 |a |越大，开口越小顶点坐标(ｈ,0)函数的增减性 当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小 当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大（开口向上，函数对称轴为界左增右减）最值 当x =h 时，y 有最小值c 当x =h 时，y 有最大值为c平移规律y =a(x −ℎ)2图象是由2ax y 图象按“左加右减”的规律平移|h|个单位而成y =a(x −ℎ)2+k 的图像及性质＞0＜0大致图象对 称 轴 x =h 顶点坐标(h,k )开口方向 开口向上开口向下开口大小|a |越大，开口越小a ayxO函数的增减性当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大 当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小 当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）最值x=h 时，y 有最小值为k当x=h 时，y 有最大值为k平移规律y =a(x −ℎ)2+k 的图像是由2ax y 图象按按“左加右减”的规律平移|h|个单位，再按“上加下减”的规律平移|k|个单位而成y =ax 2+bx +c 的图像及性质＞0＜0大致图象对 称 轴x =−b 2a顶点坐标(−b 2a ,4ac −b 24a) 开口方向 开口向上开口向下开口大小|a |越大，开口越小 函数的增减性当x >−b2a时，y 随x 的增大而增大 当x <−b2a时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）当x >−b2ah 时，y 随x 的增大而减小 当x <−b2ah 时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）a a二.二次函数图像性质与系数的关系三.二次函数图像的平移平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；左加右减须牢记，上加下减错不了”注意：①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a （x ﹣h ）2+k②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
第2章二次函数 题型解读1 二次函数图像认识题型-北师大版九年级数学下册
重点掌握函数的大致图象、对称轴、顶点坐标、开口方向、函数值的增减性及最值《二次函数》知识结构图二次函数二次函数表达式的五种形式二次函数的定义注意二次函数判别和定义正逆考查二次函数的图象和性质熟悉以下四种函数图象的画法及性质， 特别注意它们之间的变化过程数形结合思想（1）y=ax 2(2)y=ax 2+c(3)y=a(x-h)2(4)y=a(x-h)2+k注意a,b,c 的正负性对函数图象性质的影响注意四种函数图象是如何通过平移而成的二次函数的实际应用1.用二次函数解决实际问题2.二次函数最值的应用（1）最大利润问题（2）面积最值问题二次函数的表达方式1.列表法2.图象法3.解析式法（1）确定方法：待定系数法一元二次方程与二次函数的关系1.表达式上的转化关系2.方程与图象的关系：记熟关系表。
3.交点的应用（1）抛物线与坐标轴的交点（2）一次函数与抛物线的交点4.方程与抛物线关系的实际应用（2）注意把握三种设解析式 方法的运用情形《二次函数》题型全解读1 二次函数的概念【知识梳理】1.定义：一般地，若两个变量，x,y 之间的对应关系可以表示成是常数，a ≠0,b,c 可以为零)．那么y 叫做x 的二次函数.其中ax 2,bx,c 分别是二次项、一次项和常数项，a,b 分别是二次项系数、一次项系数。
2. 二次函数各种形式之间的变换 （1）二次函数c bx ax y++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中.（2）y =ax 2+bx +c (a ≠0)是二次函数的一般式，它还有以下几种特殊形式：①2ax y =；②y =ax 2+c ； ③y =ax 2+bx ；④()2h x a y-=；⑤. ()k h x a y+-=2【典型例题】例1. 下列函数中是二次函数的有（ D ）①y=x ＋1x；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=1x＋x ．⑤c bx ax y++=2;⑥y =(x −1)2−(x +1)(x −1);⑦y =x 2;⑧y =x(1−x) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例2. 函数y =(m +2)x m2−2+2x −1是二次函数，则m= ．m=2例3．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．(a ≠0;a =0,b ≠0;a =0,b ≠0,c =0)例4.已知函数y =(m 2−m )x 2+(m −1)x +2−2mc b a c bx ax y ,,(2++=（1）若这个函数是二次函数，m的取值范围是___________(m≠0,m≠1) （2）若这个函数是一次函数，m=________(m=0)（3）这个函数可以是正比例函数吗？(m不存在，不可能是正比例函数) 《二次函数》题型全解读2 二次函数图像与性质【知识梳理】一.二次函数的五种图像及性质yxO顶点坐标 (ｈ,0) 开口方向 开口向上开口向下开口大小 |a |越大，开口越小顶点坐标(ｈ,0)函数的增减性 当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小 当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大（开口向上，函数对称轴为界左增右减）最值 当x =h 时，y 有最小值c 当x =h 时，y 有最大值为c平移规律y =a(x −ℎ)2图象是由2ax y 图象按“左加右减”的规律平移|h|个单位而成y =a(x −ℎ)2+k 的图像及性质＞0＜0大致图象对 称 轴 x =h 顶点坐标(h,k )开口方向 开口向上开口向下开口大小|a |越大，开口越小函数的增减性当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小a ayxO当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）最值x=h 时，y 有最小值为k当x=h 时，y 有最大值为k平移规律y =a(x −ℎ)2+k 的图像是由2ax y 图象按按“左加右减”的规律平移|h|个单位，再按“上加下减”的规律平移|k|个单位而成y =ax 2+bx +c 的图像及性质＞0＜0大致图象对 称 轴x =−b 2a顶点坐标(−b 2a ,4ac −b 24a) 开口方向 开口向上开口向下开口大小|a |越大，开口越小 函数的增减性当x >−b2a时，y 随x 的增大而增大 当x <−b2a时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）当x >−b2ah 时，y 随x 的增大而减小 当x <−b2ah 时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）a a二.二次函数图像性质与系数的关系三.二次函数图像的平移平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；左加右减须牢记，上加下减错不了”注意：①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a （x ﹣h ）2+k②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
第2章二次函数 题型解读3 多种函数图像识别题型-北师大版九年级数学下册教学讲义
题型解读3 多种函数图像识别题型【解题方法】：排除法 【典型例题】1.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣b2a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣b 2a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣b2a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．故选C ．2.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）A. B. C. D.解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．故选B ．3．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y=的图象有可能是（C ）4.函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）B．B．C ．5.已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A. B. C. D解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．6.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）．B．C．D．解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；正确的只有D．故选：D．7.二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）．B．C ．解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，所以A选项错误；B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确；C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，所以C选项正确；D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以D选项错误．故选B．8.函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．。
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重点掌握函数的大致图象、对称轴、顶点坐标、开口方向、函数值的增减性及最值
《二次函数》知识结构图
二次函数
二次函数表达式的五种形式
二次函数的定义
注意二次函数判别和定义正逆考查
二次函数的图象和性质
熟悉以下四种函数图象的画法及性质， 特别注意它们之间的变化过程
数形结合思想
（1）y=ax 2
(2)y=ax 2+c
(3)y=a(x-h)2
(4)y=a(x-h)2+k
注意a,b,c 的正负性对函数图象性质的影响
注意四种函数图象是如何通过平移而成的
二次函数的实际应用
1.用二次函数解决实际问题
2.二次函数最值的应用
（1）最大利润问题（2）面积最值问题
二次函数的表达方式
1.列表法
2.图象法
3.解析式法
（1）确定方法：待定系数法一元二次方程与二次函数的关系
1.表达式上的转化关系
2.方程与图象的关系：记熟关系表。
3.交点的应用
（1）抛物线与坐标轴的交点
（2）一次函数与抛物线的交点
4.方程与抛物线关系的实际应用
（2）注意把握三种设解析式 方法的运用情形
《二次函数》题型全解读1 二次函数的概念
【知识梳理】
1.定义：一般地，若两个变量，x,y 之间的对应关系可以表示成是常数，a ≠0,b,c 可以为零)．那么
y 叫做x 的二次函数.其中ax 2,bx,c 分别是二次项、一次项
和常数项，a,b 分别是二次项系数、一次项系数。
2. 二次函数各种形式之间的变换 （1）二次函数c bx ax y
++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中.
（2）y =ax 2+bx +c (a ≠0)是二次函数的一般式，它还有以下几种特殊形式：①2ax y =；
②y =ax 2+c ； ③y =ax 2+bx ；④()
2
h x a y
-=；⑤. ()k h x a y
+-=2
【典型例题】
例1. 下列函数中是二次函数的有（ D ）
①y=x ＋1x
；②y=3（x －1）2
＋2；③y=（x ＋3）2
－2x 2
；④y=1
x
＋x ．⑤c bx ax y
++=2;⑥
y =(x −1)2−(x +1)(x −1);⑦y =x 2;⑧y =x(1−x) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例2. 函数y =(m +2)x m
2−2
+2x −1是二次函数，则m= ．m=2
例3．已知函数y=ax 2
＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，
b 时，是一次函数；当a ，b ，
c 时，是正比例函数．(a ≠0;a =0,b ≠0;a =0,b ≠0,c =0)
例4.已知函数y =(m 2−m )x 2+(m −1)x +2−2m
c b a c bx ax y ,,(2
++=
（1）若这个函数是二次函数，m的取值范围是___________(m≠0,m≠1) （2）若这个函数是一次函数，m=________(m=0)
（3）这个函数可以是正比例函数吗？(m不存在，不可能是正比例函数) 《二次函数》题型全解读2 二次函数图像与性质【知识梳理】
一.二次函数的五种图像及性质
y
x
O
顶点坐标 (ｈ,0) 开口方向 开口向上
开口向下
开口大小 |a |越大，开口越小
顶点坐标
(ｈ,0)
函数的增减性 当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大
当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小 当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大
（开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值 当x =h 时，y 有最小值c 当x =h 时，y 有最大值为c
平移规律
y =a(x −ℎ)2图象是由
2ax y 图象按“左加右减”的规律平移|h|个单
位而成
y =a(x −ℎ)2+k 的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对 称 轴 x =h 顶点坐标
(h,k )
开口方向 开口向上
开口向下
开口大小
|a |越大，开口越小
函数的增减性
当x >ℎ时，y 随x 的增大而增大
当x >ℎ时，y 随x 的增大而减小
a a
y
x
O
当x <ℎ时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当x <ℎ时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）
最值
x=h 时，y 有最小值为k
当x=h 时，y 有最大值为k
平移规律
y =a(x −ℎ)2+k 的图像是由
2ax y 图象按按“左加右减”的规律平
移|h|个单位，再按“上加下减”的规律平移|k|个单位而成
y =ax 2+bx +c 的图像及性质
＞0
＜0
大致图象
对 称 轴
x =−
b 2a
顶点坐标
(−b 2a ,4ac −b 24a
) 开口方向 开口向上
开口向下
开口大小
|a |越大，开口越小 函数的增减性
当x >−
b
2a
时，y 随x 的增大而增大 当x <−
b
2a
时，y 随x 的增大而减小 （开口向上，函数对称轴为界左减右增）
当x >−
b
2a
h 时，y 随x 的增大而减小 当x <−
b
2a
h 时，y 随x 的增大而增大 （开口向上，函数对称轴为界左增右减）
a a
二.二次函数图像性质与系数的关系
三.二次函数图像的平移
平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；
左加右减须牢记，上加下减错不了”
注意：
①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a （x ﹣h ）2
+k
②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。
四.（补充）二次函数过定点问题
例1：已知y=x ²+kx-2k 通过一个定点,这个定点的坐标是__________
（1）a 决定开口方向及开口大小.
│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴， │a│越小，开口越大，图像两边越靠近x 轴（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.
抛物线y=ax 2
+bx+c 的对称轴是直线y=-b 2a
口诀:同左异右
（3）c 的大小决定抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴交点的位置 交点坐标:(0,c)
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.
如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b
a
∠
0.
解析:题意是k为任何值时,都不会影响抛物线过这个定点,即定点的X和Y值,与K的取值无关.
方法一:特殊值法,取K=1和-1,解出X=2,Y=4,则定点即为(2,4)
方法二: y=x²+kx-2k=x²+(x-2)k,当X=2时,K无论取何值,都不影响Y值,即定点为(2,4) 例2.无论p取任何实数,抛物线y=2x²-px+4p+1都通过一个定点,求此定点解析:y=2x²-（4-x）p+1，显然，x=4时，p取多少，y都是33。
即过点（4，33）。
例3.某数学小组研究二次函数y=mx²-2mx+3的图像发现,随着的变化,这个二次函数的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图像总经过两个定点,
解析: y=mx²-2mx+3=mx(x-2)+3,X=0或,X=2时,Y值与M的取值无关,所以定点为(0,3),(2,3)
解法:二次函数过定点或与某个字母取值无关,先把带有该字母的所有项合并,再让该字母前所有的式子等于零,即可
题型解读1 二次函数图像认识题型
【解题方法】
熟悉五种二次函数图像与性质
【典型例题】
1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）C
A. 开口向下
B. 对称轴是x=﹣1
C. 顶点坐标是（1，2）
D. 与x轴有两个交点
2．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）,对称轴是____________________直线x=1 3．二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）D
解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x﹣1），则它的图象一定过点（1，1）
x2共有的性质是（）B
4．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=1
2
A. 开口向下
B. 对称轴是y轴
C. 都有最低点
D. y随x的增大而减小
5．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）D
A．6 B．5 C．4 D．3
解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．
6．对于抛物线y=﹣3（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ D ）
A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（2，1）D．抛物线与x轴没有交点。