椭圆经典解题思路
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
高考数学中的椭圆问题技巧
高考数学中的椭圆问题技巧高考椭圆题技巧高考数学复习策略和高考椭圆大题技巧对考生来说极其重要。
以下是边肖为大家整理的高考数学大椭圆题技巧内容。
希望你喜欢！高考椭圆大题技巧1。
设定点或直线一般来说，问题需要点的坐标或线性方程组，其中求解点或线性方程组的方法有很多。
该点可以设置为等于，或者如果它是椭圆上的点，也可以设置为。
一般来说，如果题目中只涉及椭圆xx上的运动点，这个点可以设置为。
还需要注意的是，很多点的坐标都是不求而设的。
对于直线，如果经过一个固定点，且不平行于Y轴，则可以设置为一个斜点；如果不平行于X轴，可以设置为参数方程，其中为直线的倾角。
一般题目涉及xx运动直线时，可以设置直线的参数方程。
二、转型条件有时题目给出的条件不直接适用或者直接使用不方便，此时需要对这些条件进行转化。
这是解决问题的关键一步。
如果翻译得巧妙，计算量可以大大减少。
例如，圆上的一个点可以转化为乘以零的向量点，三个共线性点可以转化为平行的两个向量。
如果一个角的平分线是一条水平或垂直的直线，则该角两边的斜率之和为零。
有些问题可以不通过变换直接带入条件解题，有些问题可以通过多种变换方法给出条件。
这个时候X最好不要急着做题，多想想几种变换方法，估计哪种方法更简单。
第三，代数运算在转换条件之后，没有什么可以计算的了。
在很多题目中，直线和椭圆要结合使用二次方程的vieta定理，但需要注意的是，并不是所有题目都是这样的。
有些题目可能需要计算弦长，可以用弦长公式。
设置参数方程后，弦长公式可以简化为解析几何中有时需要的面积。
如果O是坐标原点，椭圆上的两点A和B 的坐标分别是和，AB和X轴相交D，那么(d为O点到AB点的距离；我自己推了第三个公式，但是课本上没有。
几何分析中的许多问题都有移动的点或移动的线。
如果主题只涉及一个移动点，可以考虑用参数设置点。
如果只涉及一条移动的直线经过一个固定的点，而题目涉及到像求长度和面积这样的东西，那么直线的参数方程就会简单一些。
椭圆定值定点、范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1。
设直线与方程；（提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2。
设交点坐标;（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求")3.联立方程组；4.消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)5。
根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在)OA OB ⊥121K K •=-0OA OB •=12120x x y y +=②“点在圆内、圆上、圆外问题"“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y +>等;③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系（120K K +=或12K K =）；④“共线问题”（如：AQ QB λ=数的角度：坐标表示法；形的角度:距离转化法）；(如:A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；⑤“点、线对称问题"坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择）；6。
化简与计算；7。
细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0。
二、基本解题思想:1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在"问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值）、三角代换法(转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施.这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型:在几何问题中,有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。
椭圆大题题型及方法总结
椭圆大题题型及方法总结
椭圆在大题中的题型一般有以下几种:
1. 求椭圆方程：这是基础中的基础，可以直接设方程，也可以根据已知条件设方程。
2. 探究椭圆的性质：例如探究椭圆的焦点位置、焦距大小、离心率等性质。
3. 求椭圆上的点的坐标：通常会涉及到椭圆上的点与其他图形的关系，例如与直线、圆、柱形等的关系。
4. 用韦达定理求解椭圆的问题：韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，通常会在第 2 问或第 3 问中使用。
5. 与三角形相关的问题：椭圆通常会与三角形联系起来，涉及到三角形的面积、周长、角度等问题。
6. 探究椭圆与其他图形的关系：例如椭圆与圆的关系、椭圆与直线的关系等。
针对以上题型，有一些常用的方法和技巧，例如:
1. 画图是一个必不可少的步骤，有助于更好地理解题意和解决问题。
2. 熟悉椭圆的定义和性质，有助于更好地解答题目。
3. 韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，需要熟练掌握。
4. 注意椭圆与其他图形的关系，例如椭圆与直线的关系、椭圆与圆的关系等，可能需要使用勾股定理、余弦定理等知识。
5. 考试中需要仔细阅读题目，理解题意，抓住关键信息，有针
对性地解决问题。
椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型概括一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点F1 , F2的距离之和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) .2.椭圆的标准方程：x 2 y 21（ a ＞b＞0）y 2 x 21 （ a ＞b＞0）a 2b 2 a 2 b2y yM F 2cc cO c xF 1 O F 2 x MF 1焦点在座标轴上的椭圆标准方程有两种情况，可设方程为 mx2 ny2 1(m 0, n 0) 不用考虑焦点地点，求出方程。
3.范围 . 椭圆位于直线 x＝± a 和 y＝± b 围成的矩形里． |x|≤a，|y|≤ b．4.椭圆的对称性椭圆是对于 y 轴、 x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．5.极点椭圆有四个极点： A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．线段 A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。
长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝ |B 2F 1|＝ |B 2F 2|＝a ．在 Rt △OB 2F 2 中， |OF 2|2＝ |B 2F 2|2－|OB 2|2，即 c 2＝a 2－b 2．yB 2A 1ba A 2cF 2xF 1 OB 16.离心率 ec(0 e 1)a7. 椭圆x 2y 2 1 (a ＞ ＞ 0) 的左右焦点分别为 1， F 2 ，点 P 为椭圆上随意一点a 2b 2 bFF 1PF 2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPF2b 2 tan .128. 椭圆x 2y 2 1 （ ＞ ＞ ）的焦半径公式a 2b 2 a b 0| MF 1 | a ex 0 , | MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M ( x 0 , y 0 ) ).9. AB 是椭圆x 2y 2 1的不平行于对称轴的弦 ， Ma 2b 2(x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点，则kOMkABb 2 ，即K ABb 2 x 0 。
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。
对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。
例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。
2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。
2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。
考研数学椭圆与双曲线题解题方法
考研数学椭圆与双曲线题解题方法考研数学是很多考生的痛点，尤其是对于椭圆与双曲线这一部分，更是让人头疼不已。
然而，在做题时，只要抓住一些方法和技巧，这一部分也可以轻松应对。
下面，我将结合一些例题，分享一些解题方法，希望对考生有所帮助。
首先，我们来看一个关于椭圆的例题。
假设一个椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
若过焦点F1引椭圆的切线交椭圆于点A，在椭圆的长轴上任取一点B。
现要证明：线段AB的中垂线一定过定点。
首先，我们需要了解椭圆的性质。
对于一个椭圆上的任意一个点P，其到焦点距离之和等于2a（即PF1 + PF2 = 2a）。
所以，点A到焦点F1的距离等于点A到焦点F2的距离，即AF1 = AF2。
由于线段AF1和AF2垂直于椭圆的切线，所以它们互为等腰三角形的腰。
根据等腰三角形的性质，∠AF1P = ∠AF2P。
又由于F1P = F2P，所以三角形AF1P和AF2P是全等三角形。
接下来，我们来证明线段AB的中垂线一定过定点。
连接OB，并延长交AB的延长线于点C。
根据题意，点A是椭圆的切点，所以∠BAO = 90°，又∠AF2P = ∠AF1P = ∠BAO，所以A、B、F2、P共圹。
同理，A、 B、 F1、 P 共圹。
现在，我们证明线段CF2的垂直平分线也通过点B。
由于∠BF2A = ∠CAF2 = 90°，又∠BAF2 = ∠CAF2，所以三角形BAF2与三角形CAF2全等，所以∠BCF2= ∠BPF2，所以线段CF2垂直平分线也通过点B。
同理，线段CF1的垂直平分线也通过点B。
综上所述，线段AB的中垂线一定过定点B。
通过这个例题，我们可以提到一些解题方法：了解椭圆的性质，通过观察和利用已知的条件，进行等辅助线的构造，最终简化题目难度，验证解答的正确性。
接下来，我们来看一个关于双曲线的例题。
已知双曲线的标准方程为x^2/16 -y^2/9 = 1。
求该双曲线的渐近线方程。
高考数学椭圆解题方法总结
高考数学椭圆解题方法总结一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧省市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。
求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。
又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。
解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。
利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 19, n= 13.∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n），由题目所给条件求出m ，n 即可. 三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.1||6611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()222()()33()(0)3||1(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC y x x C y x λλ∆=∈==+=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．，得整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化围．。
椭圆综合题中定值定点范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、 三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求 直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的 取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、 解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、 解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、 解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． 又因为2111b ==+,所以22a =,21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ； 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、 解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =； 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明： 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，． 所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。
椭圆经典解题思路
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c2，根据关系a2 b2 2c2可求出m的值.2 2解：方程变形为- L 1 .因为焦点在6 2my轴上，所以2m 6,解得m 3.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0,a 3b，求椭圆的标准方程.求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.解：当焦点在x轴上时, 设其方程为由椭圆过点P 3,0，知3b，代入得b2 1 , a29，故椭圆的方程为y21.当焦点在y轴上时，设其方程为2y2ax2b29 0 由椭圆过点P 3,0 ,知一02a b 3b,联立解得281 , b29 ,故椭圆的方程为—812x- 1 .9例3 ABC的底边BC 16 , AC和AB两边上中线长之和为30, 求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.解：（1 ）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系. 设G点坐标为x, 由GC GB 20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆, 且除去轴上两点. 10 , c 8，有b2 故其方程为—1002y_36椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆mx2 3y2 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m的值.又c 2，所以2m 6 22, m 5适合.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法, 分析：（1）由已知可得GC GB 20，再利用椭圆定义求解.A的轨迹方程.(2)设A x, y ，则2X1002y36xx 3，由题意有3代入①，得y : A的轨迹方程为900 3241 y 0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）.（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求•••所求椭圆方程为3y 2 10半长轴为4,半短轴长为b 例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 ―5和——，过P 点作焦点所在轴33的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.c 221或 竺 乂 1 .10 5解:如图，设P x, y ,由椭圆的对称性, 不妨设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P, _________ _242 32. 7的椭圆的方程： —16说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹 方程的一种重要思想方法.解：设两焦点为F 1、F 2，且PF 1从 PF i PF ?知［PF ? 可求出PF 1F 24.5 3,PF 2晋.从椭圆定义知2a垂直焦点所在的对称轴，所以在 Rt 2；52c PF 1cos —，从而 b6PF 2F 1 中, PF 1|PF 2 2J5 .即 a J 5 .sin PF |F 2PF21PF 12,1032 例5已知椭圆方程笃 a 2 y_b 2，长轴端点为A 1, A 2，焦点为F i , F ?, P 是椭圆上一点, APA 2 F 1PF 2 .求：F 1PF 2的面积（用a 、分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 1的两邻边，从而利用S -absinC 求面积.2表示）.在第一象限.由余弦定理知: 由椭圆定义知: F i PF 2例6已知动圆 PF 1 P 过定点 F i F 』2 |PF iPF 222PF | -PF 2PF 2 2a ②，则②2—①得 PF 2 sin 1 2b 2 sin 2 1 cos A 3,0，且在定圆B:x 32 PF 1 b 2%. PF 2 cos4c 2.①2b 21 cos2 y 64的内部与其相内切,分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式. 解：如图所示，设动圆 P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点, 即定点A 3,0和定圆圆心 B 3,0距离之和恰好等于定圆半径, 即PA PB PM PB BM 8 .•点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,例7已知椭圆 X2i iX y 2i , (i )求过点P 丄，丄且被P 平分的弦所在直线的方程; 2 2 2(2) 求斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程;(3) 过A 2, 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程; (4) 椭圆上有两点 P 、Q ，O 为原点，且有直线 OP 、OQ 斜率满足k OP k OQ 分析: 解: 2 X i 2(i) 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.此题中四问都跟弦中点有关, 因此可考虑设弦端坐标的方法. 设弦两端点分别为 2y 22 2y ； y 2 M x b y i ,N X 2, ①一②得 y 2 X i ，线段MN 的中点R x, y ，则 X 2 X i X 2 2 y i y 2 y i y ? 2 2X,2y, 由题意知 X i X 2 ，则上式两端同除以X i X 2，有X i X 2 2 y i y 2y i y 2 X-I X 2将③④代入得2y3 0 .⑤ X i X 2 丄代入⑤，得业上 2 X i X 2 1 丄，故所求直线方程为: 2 2X 4y 将⑥代入椭圆方程 x 2 2y 2 2 得 6y 26y 36 0符合题意，2X 4y 3 0为所求.(2) 将 X-I X 2 2代入⑤得所求轨迹方程为: 4y 0 .(椭圆内部分)(3) 将 X i X 2 y丄代入⑤得所求轨迹方程为: 2 (4) 由①+②得 X 2 x ；4X 2 2y 22X 2y 0 .(椭圆内部分)将⑧⑨代入⑦得: 再将y i y 2 2X I X 2, ⑧, 4X 22X -|X 2⑦,2y i2y 2将③④平方并整理得4y 2 2y i y 2,4y 22y i y 2X i X 2代入⑩式得: 2 2X 2X-|X 2 4y 1 X i X 22 X 22丄i .12此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决. 例8已知椭圆4X 2 y 2i 及直线y X m . (i )当m 为何值时，直线与椭圆有公共点?要使所作椭圆的长轴最短,（2）若直线被椭圆截得的弦长为2 10，求直线的方程.5解：（1）把直线方程y x m 代入椭圆方程4x 2 y 21得4x 2 x m 2 1 ,即 5x 2 2mx m 21 0 . 2m 24 52m 116m 220 0,解得-m _522（2 ）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X 1 , X 2，由 2m(1)得为 X 2, X 1X 2 -2m 15 5J2根据弦长公式得 ：.1 1 222m 24 mi12、10.解得m 0 .方程为y X .555说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.2 2例9以椭圆 — 仝 1的焦点为焦点，过直线 丨：x y 90上一点M 作椭圆，12 3点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程.分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点， 使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.2 2解:如图所示，椭圆- y1的焦点为F 13,0 , F 23,0 .12 3点F 1关于直线丨：x y 90的对称点F 的坐标为（一9, 6）,直线FF ?的方程为x 2y 30.x 2y 3 0解方程组 y得交点M 的坐标为（—5, 4）.此时MR MF 2最小.x y 9 0所求椭圆的长轴：2a |MF 1 MF 2 |FF 2 6J5 ,.•• a 3聶，又c 3,2 2 2…b a c3.5 2 3236 •因此，所求椭圆的方程为2 2互壬145 3622例10 已知方程— y1表示椭圆，求k 的取值范围.k 50,例11 解：由3 k 0, 得3 k 5，且 k 4.k 53 k,•••满足条件的k 的取值范围是 3 k 5, 且 k 4.说明：k本题易出现如下错解：由5 0,得3 k5，故k的取值范围是3 k 53 k 0,例 12 已知 x 2 sin y 2 cos 1 (0)表示焦点在y 轴上的椭圆，求的取值范围.分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系•再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围.2解：方程可化为—1sin1 .因为焦点在 1 1y 轴上，所以—cossincos因此sin 0且tan1从而说明：(1)由椭圆的标准方程知2⑵由焦点在y 轴上，知a1 sin —,b2 cos(2'^ 10，这是容易忽视的地方.cos 1 .(3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件sin例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(.. 3, 2)和B( 2.3,1)两点的椭圆方程.可设其方程为mx 2 ny 2 1 (m 0, n解：设所求椭圆方程为2 2mx ny 1 (m 0, n 0).由A(・.3,2)和B( 2、.3,1)两点在椭圆上可得_ 2m ( 3) n ( m ( 2 ..3)2 n22) 1,即 3m 4n 1, 12 1, 12m n 1,1 1x 2y 2所以m 幕,n -.故所求的椭圆方程为-y例13 知圆x 2 y 21，从这个圆上任意一点 P 向y 轴作垂线段，求线段中点 M 的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题•这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹.解：设点M 的坐标为(x , y)，点P 的坐标为(x 0, y 0),y 。
椭圆中动点问题的解题策略：
椭圆中动点问题的解题策略：椭圆中动点问题的解题策略椭圆中的动点问题是一种常见的数学问题，涉及到在给定椭圆上运动的点的位置和速度等相关信息。
解决这类问题可以利用以下简单的策略：1. 理解椭圆的定义：首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是一个闭合的曲线，由到两个焦点距离之和等于固定常数的点构成。
掌握椭圆的数学表达式和椭圆的特征将有助于更好地解决椭圆中动点问题。
理解椭圆的定义：首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是一个闭合的曲线，由到两个焦点距离之和等于固定常数的点构成。
掌握椭圆的数学表达式和椭圆的特征将有助于更好地解决椭圆中动点问题。
理解椭圆的定义：首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是一个闭合的曲线，由到两个焦点距离之和等于固定常数的点构成。
掌握椭圆的数学表达式和椭圆的特征将有助于更好地解决椭圆中动点问题。
2. 确定椭圆的方程式：根据问题的描述，我们可以确定椭圆的方程式。
通常，椭圆的方程式可以写为 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的半长轴和半短轴。
确定椭圆的方程式：根据问题的描述，我们可以确定椭圆的方程式。
通常，椭圆的方程式可以写为 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的半长轴和半短轴。
确定椭圆的方程式：根据问题的描述，我们可以确定椭圆的方程式。
通常，椭圆的方程式可以写为 $x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 表示动点的位置和速度：了解动点的位置信息和速度信息是解决问题的重要一步。
根据问题的描述，我们可以确定动点在椭圆上的初始位置和速度，以及任意时刻的位置和速度。
这些信息可以通过给定的条件或方程来表示。
表示动点的位置和速度：了解动点的位置信息和速度信息是解决问题的重要一步。
根据问题的描述，我们可以确定动点在椭圆上的初始位置和速度，以及任意时刻的位置和速度。
椭圆问题的类型与解法
椭圆问题的类型与解法椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。
可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭圆问题。
从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。
纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。
各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。
那么在实际解答椭圆问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： D 1、如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 相交于点P ，则点P的轨迹是（ ）A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 圆【解析】【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。
【解题思路】设点P （x ，y ），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点P 的轨迹是一个椭圆，从而得出选项。
【详细解答】设点P （x ，y ），纸片折叠后M 与F 重合，折痕为CD ，CD 与OM 相交于点P ，∴|PM|=|PF|，⇒|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆O 的半径为一个定值，∴点P 的轨迹是以2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆，⇒A 正确，∴选A 。
2、根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，且过点（2,0）和点（0,1）； （2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于2； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
五种椭圆解题方法高考数学一轮复习(新高考专用解析版)
五种椭圆解题方法题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题一、单选题1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点P 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且124PF PF +=，当121sin 2F PF ∠=时，椭圆的中心O 到与椭圆切于点P 的切线的距离为：（ ）A ．1 BC D 【答案】C【分析】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点，做PH l ⊥交x 轴于H 点，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等得122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 利用中位线可得1=OO cos a α，再根据121sin 2F PF ∠=，可得答案， 【详解】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点， 做PH l ⊥交x 轴于H 点，所得1OO 是12、F M F N 的中位线，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等，则122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 则12121cos cos 22αα++==F M F N F P F P OO 12cos cos 2αα+==F P F Pa ， 因为2,1a c ==，当P 为上顶点时，12F PF ∠为60， 因为，121sin 2F PF ∠=，所以1230F PF ∠=， 即230α，15α=，()6cos cos15cos 45302α==-=⨯=a a a 故选：C.2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（ ）A 15B 15C 215D 15【答案】B【分析】首先求1PF 和2PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.【详解】因为1226PF PF a +==，且122PF PF =，所以14PF =，22PF =，2954c =-=，1224F F c ==，则等腰三角形12PFF △底边上的高224115h - 所以121215152PF F S=⨯=设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121211101522PF PF F F r r ++⨯=⨯⨯= 所以15r =故选：B 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.223AF BF =，146AB BF ==，若1ABF 的周长为20，则经过点5319()的直线（ ） A ．与椭圆C 可能相交 B ．与椭圆C 可能相切 C ．与椭圆C 可能相离 D ．与椭圆C 不可能相切【答案】AB【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点与椭圆的位置关系作答.【详解】由椭圆的定义知122BF BF a +=，122AF AF a +=，设2BF m =，则2233AF BF m ==，则12BF a m =-，123AF a m =-，而1AB BF =，即有42m a m =-，解得52a m =， 又1ABF 的周长为20，则有11||||||420AB AF BF a ++==，解得5a =，2m =，因为1AB BF ==，即83=，解得c 22219b a c =-=，椭圆C 的方程为2212519x y +=，显然222212519+=，即点在椭圆上，所以经过点的直线与椭圆C 相交或相切. 故选：AB4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的方程为22132y x +=B ．椭圆C 的方程为22132x y +=C ．PQ =D ．2PF Q △的周长为【答案】AC【分析】解方程组求出,a b 即可选项AB 的真假，再利用通径公式判断选项C 的真假，再利用椭圆的定义判断选项D 的真假.【详解】解：由题意得：2b =b =222113b e a =-=，故23a =，因为焦点1F ，2F 在y 轴上，所以椭圆C 的方程为22132y x+=，所以选项A 正确，选项B 错误；由通径长可得，22b PQ a ==，所以选项C 正确；2PF Q △的周长为4a =，所以选项D 错误.故选：AC ．5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆22:12+=xE y的左右焦点分别为1F，2F，直线(x m m=<<与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A．若直线CA的斜率为1k，BD的斜率2k，则1212k k=-B．存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形C．12AF AF⋅取值范围为()1,1-D．1ABF周长的最大值为【答案】BD【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出1212k k=；B选项，验证出1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出A m⎛⎝，求出(]2120,12mAF AF⋅=∈；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线(x m m=<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大.【详解】将x m=代入椭圆方程，求出y=()),C D，则212212122mk km⎛⎛⎫--⎪⎝⎭===-，A错误；由题意得：()()121,0,1,0F F-，当1m=±时，y=121AF F F=≠，所以当1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于1b c==，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形，B正确；不妨设A m⎛⎝，则222121122m mAF AF m⋅=-+-=，因为m(]2120,12mAF AF⋅=∈，C错误；如图，当直线(x m m=<<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大，等于1212442AF AF BF BF a +++==4a 小，例如当直线(22x m m =-<与椭圆相交于,A B ''，与x 轴交于C 点时， 连接2A F '，由椭圆定义可知：122A F A F a ''+=，显然2A F A C '>'， 同理可知：1212442A F A F B F B F a +++<''='' 故1ABF 周长的最大值为2D 正确 故选：BD6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A 3B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C ．椭圆离心率为12 D ．2ABF 面积最大值为3【答案】BC【分析】根据椭圆的定义得到2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，进而判断当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，进而求出b ,c ,即可判断A,B,C.设出直线AB 并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.【详解】由题意：2a =，根据椭圆的定义可知，2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，则8||AB -的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，如图：将x c =-代入椭圆方程得：2222142c y by b+=⇒=±，则2||33,1AB b b c ==⇒==.所以短轴长为23A 错误；此时22AF BF =，B 正确；12c e a ==，C 正确； 对D ，设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB l x ty =-，代入椭圆方程得：()2222133911043424ty y t y ty -⎛⎫+=⇒+--= ⎪⎝⎭，则1221223231494314t y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪=⎪+⎪⎩， 所以()22212121222239312||4333111444t t y y y y y y t t t ⎛⎫⎪+-+-+=⎪ ⎪+++⎝⎭21231211,||311344u u t y y u u u=+≥-==++，于是21212111212||||2112233ABF F F y y u uSu u =⨯⨯-=⨯⨯=++，由对勾函数的图象和性质可知：函数13y u u=+在[1,)+∞上是增函数，则函数1213y u u=+在[1,)+∞上是减函数.于是，当u =1，即t =0时，2ABF 面积最大值为3.故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题答案D 的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段12F F 作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到212121||||2ABF F F y Sy =⨯⨯-；在处理122||14y y t -=+. 三、填空题7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆22:12516x y C +=，1F 、2F 为C 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则12F PF △内切圆半径的最大值为________．【答案】32【分析】根据椭圆定义可得12121222F PF L PF PF F F a c =++=+△，结合内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，显然当P 为短轴顶点时12F PF S最大，即12F PF △内切圆半径的最大，此时12122F PF S b c bc =⨯⨯=△，代入求解．【详解】∵22:12516x y C +=，则5,4,3a b c ===∴12F PF △的周长1212122216F PF L PF PF F F a c =++=+=△∵12F PF △内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，则12F PF △内切圆半径的最大即为12F PF S最大显然当P 为短轴顶点时12F PF S 最大，此时1212122F PF S b c bc =⨯⨯==△则1212232F PF F PF S r L =△△=故答案为：32．8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C :22143x y +=的焦点为1F ，2F ，第一象限点P 在C 上，且1294PF PF ⋅=，则12PF F △的内切圆半径为_________. 【答案】12【分析】由题意列方程组解出P 点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径【详解】由已知条件得24a =，23b =，2221c a b =-=，则1F （－1，0），2F （1，0）. 设点P 的坐标为（p x ，p y ），则()11p p PF x y =---，()2,1p p PF x y =--2212914p p PF PF x y ⋅=+-=，即22134p p x y +=①，∵第一象限点P 在C 上，∴则22143p px y +=，即22443PPy x =-②， 联立解得32p y =由椭圆的定义得1224PF PF a +== 设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212132PF F S r PF PF F F r =++= 又∵1213222pF F p S c y ∆=⋅⋅=， ∴332r =，即12r =.故答案为：12 四、解答题9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为其左、右焦点，左、右顶点分别为A ，B ，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（异于A ，B 两点），且2MNF 的周长为8． (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，OP MN ⊥，求MNOP的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)32⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征，联立方程求,,a b c ，进而求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，利用弦长公式求出MN ，再利用两直线垂直斜率乘积为1-，得出直线OP ，求出OP ，进而得到MNOP的函数表达式，求其取值范围即可. (1)依题意知12e =，即2a c ＝，又2MNF 的周长为8，即2,1a c ＝＝，b ∴= 因此椭圆的方程为22143x y +=．(2)当0k =时，点,M N 为点,A B ，不符合题意，舍去； 设直线l 的方程为()1y k x =+，且0k ≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22223484120k x k x k +++-=，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以()212212134k MN x k +=-=+． 设直线OP 的方程为1=-y x k，联立221431x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设P ⎛⎝，所以OP = 故MN OP =243t k =+，()3,t ∈+∞，则MN OP=令()27103f m m m =++，110,3m t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()f m 开口向上，对称轴10357,m ⎛⎫⎪⎝-∉⎭=()f m ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()643,9f m ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭∴32MN OP⎛=⎝⎭． 【点睛】关键点睛：（1）焦点三角形的周长为()2a c +，本题三角形周长可转化成除去2c 边的两个焦点三角形的其余边长之和； （2）设出直线l 的方程时应注意0k ≠； （3）韦达定理与弦长公式要熟练掌握；（4）两直线垂直斜率乘积为1-，几何关系应牢记；（5）表示出MNOP后，换元法求函数值域是常用方法，应注意新元的取值范围； 10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，焦距为4.过右焦点2F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，已知1△MNF的周长为M 关于x 轴的对称点为P ，直线PN 交x 轴于点Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形1MF NQ 面积的最大值.【答案】(1)2215x y +=；【分析】（1）由1△MNF 的周长求出a ，再由焦距求得c ，进而求出b ，即得椭圆C 的方程；（2）设出直线l 的方程联立椭圆方程求得1212,y y y y +，表示出直线PN 的方程求出5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由112112MF NQ S y y FQ =-表示出面积，结合基本不等式求最大值即可. (1)1△MNF的周长为4a =a =又焦距24c =，得2c =，则1b ，所以椭圆C 的方程为2215x y +=；(2)设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225410m y my ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122241,55m y y y y m m +=-=-++，点11(,)P x y -，直线PN 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =得()()21122112122121212222y my y my y x y x my y x y y y y y y ++++===++++2212552425m m m m -⋅+=+=+，即5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，又()12,0F -，112112MF NQ S yy FQ=-9144==≤=m =1MF NQ 面积的最大值为958. 11．（2022·天津三中二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其离心率12e =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图过原点的直线1l 与椭圆C 交于E ，F 两点（点E 在第一象限），过点E 作x 轴的垂线，垂足为点G ，设直线FG 与椭圆的另一个交点为H ，连接HE 得到直线2l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，记OFG △、OMN 的面积分别为1S ，2S ，求21S S 的最小值. 【答案】(1)22143x y +=；(2)4.【分析】（1）利用椭圆的定义可得2a =，结合条件即得；（2）设直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，利用点差法可得2221222134y y x x -=--，进而可得直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+，然后表示出1S ，2S ，再利用基本不等式即得.(1)由题知椭圆的离心率122c e ==，且2ABF 的周长为8， 所以2a =，1c =, 所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)令直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，由EG x ⊥轴，则()1,0G x ， ∴2121HEy y k x x -=-，2121HF y y k x x +=+，则22212221HF HE y y k k x x -⋅=-，由将点E ，H 代入椭圆的方程可得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差可得：2221222134y y x x -=--，所以34HF HE k k ⋅=-，由11122HF GF y k k k x ===， 所以3342HE HF k k k=-=-， 所以直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+， 令0x =时，11113322N y x y x kx k k=+=+， 令0y =时，211122133M kk x x y x ⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭， 则MON △的面积为221112312232MONk S OM ON k x k ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， OFG △的面积为211122OFG G F S x y kx ==△， 则()22222222132191941224124666MON OFG k S Sk k S S k k k +⎛⎫⎛⎫===++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，当且仅当62k =时取等号， 所以21S S 的最小值为4. 12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆E 的右焦点为21,0F ，P ，Q 为椭圆上的两个动点，2PQF 周长的最大值为8.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）直线l 经过2F ，交椭圆E 于点A ，B ，直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆E于点M ，N ，24MN AB =，求证：直线m 与直线l 的交点T 在定直线上.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，2PQF 周长取最大值时，线段PQ 过点1F ，可求出a ，从而求出椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线()():10l y k x k =-≠，直线():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .把直线m 与直线l 的方程分别代入椭圆E 的方程，利用韦达定理和弦长公式求出2MN 和AB ，根据24MN AB =求出t 的值.最后直线m 与直线l 的方程联立，求两直线的交点即得结论.【详解】（Ⅰ）设2PQF 的周长为L ，则()221111224L PF QF PQ a PF a QF PQ a PF QF PQ =++=-+-+=-++44a PQ PQ a ≤-+=，当且仅当线段PQ 过点1F 时“=”成立.48a ∴=，2a ∴=，又1c =，b ∴=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点T 矛盾，所以直线l 的斜率存在.设()():10l y k x k =-≠，():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .将直线m 的方程代入椭圆方程得：()()22222348430k x k tx k t +++-=.2342834k tx x k ∴+=-+，()223424334k t x x k -⋅=+, ()()()2222222161239134k k t MN k k -+∴=+⋅+.同理，()2212134k AB k+==+. 由24MN AB =得0=t ，此时()()4222264163430k t k k t ∆=-+->.∴直线:m y kx =-，联立直线m 与直线l 的方程得11,22T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即点T 在定直线12x =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题. 题型二：待定系数法求椭圆方程一、单选题 1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上项点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89-，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n --且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=-.因为,PA PB 的斜率之积为89-，所以89n b n b m m---⋅=--，把22222a n m a b=-代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b ==所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解 【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()6,5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】由离心率和点()5-求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及,A B 的坐标，由点差法得到2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，结合中点坐标及斜率求得222a b =，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n -=>>，则223224251m n =⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=. 故选：D. 二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x ＝my －1经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ，椭圆C 的离心率为12，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆CB ．弦AB 的最小值为3C ．存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0D ．若3AF AB =，则m = 【答案】BCD【分析】由于直线x ＝my －1经过定点()1,0-，则由题意得1c =，再由离心率为12可求出a ，从而可求出b ，则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可 【详解】依题意可知，直线x ＝my －1经过定点()1,0-，所以1c =．又椭圆C 的离心率为12c a =，所以a ＝2，则b =所以椭圆C的短轴长为2b =所以A 选项不正确；当m ＝0时，弦AB 即为椭圆的一条通径，且223b AB a==，所以B 选项正确； 椭圆C 的长轴长为2a ＝4，所以[)3,4AB ∈，当AB 最短时，此时点()1,0在以AB 为直径的圆外，当AB 趋近于4时，点()1,0在以AB 为直径的圆内，因此，存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0，所以C 选项正确；由3AF AB =，得2AF FB =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y =-，联立221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my +--=，0∆>恒成立，则122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 因为122y y =-，所以122126,3492,34m y m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩解得255m =±，所以D 选项正确．故选：BCD ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1､F 2，长轴长为22，焦距为2c ，点P 在椭圆C 上且满足|OP |=|OF 1|=|OF 2|=c ，直线PF 2与椭圆C 交于另一个点Q ，若124cos 5FQF ∠=，点M 在圆228:9G x y +=上，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为2B ．三角形MF 1F 2面积的最大值为223C ．2212||||4PF PF +=D ．圆G 在椭圆C 的内部【答案】ABCD【分析】先根据已知条件，解出椭圆C 的标准方程，再逐个验证各个选项即可. 【详解】△12F PF 中，原点O 为边12F F 中点，|OP |=|OF 1|=|OF 2|，则122F PF π∠=，设2PF m =，2QF n =，则122PF m =，122QF n =△1F PQ 中，12F PQ π∠=,14cos 5FQP ∠= 则有4522223522m n n m n +⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解之得223m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故△12F PF 为等腰直角三角形：22PF =，12PF =，122F PF π∠=故222212(2)224F F c ==+=，则1c = 又222a =，故1b =.椭圆C 的方程为2212x y +=选项A ：椭圆C 的焦距为是2，正确； 选项B ：圆228:9G x y +=的半径为223r = △MF 1F 2面积的最大值为1212222233F F ⨯⨯=，正确； 选项C ：222212||||224PF PF +=+=，正确； 选项D ：圆G 圆心在原点，半径2213r b =<=，故圆G 在椭圆C 的内部，正确. 故选：ABCD6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<组成，其中222a b c =+，0a b c >>>，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线224x y +=为边界，1F ，2F 在宝珠珠面上，若10260F F F ︒∠=，则以下命题中正确的是（ ）A ．椭圆1CB ．椭圆1C 上的点到点0F的距离的最小值为C ．椭圆2C 的焦距为4D ．椭圆2C 的长短轴之比大于椭圆1C 的长短轴之比 【答案】BC【分析】据题意可知d b =，102F F F 为正三角形，结合曲线224x y +=可求出1C 、2C 的方程，然后逐项验证即可.【详解】1F ，2F 是半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<的焦点，1F ∴，2F 关于原点对称，且2001F F F F =,又10260F F F ︒∠=，102F F F ∴为正三角形，10OF ,1F ，2F 在224x y +=上, 12OF ∴=,01OF ∴==又半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥的短轴与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<的长轴相等，即d b =，对于半椭圆1C ：22221(0)x y x a b+=≥，(22220=12b OF a ==-，对于半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<，22214O d c F =-=，2222124d b a b d c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2222124d ba b b c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2216a c =∴-，2216d b ==∴，212c ∴=，228a =， ∴半椭圆1C 的方程为：221(0)2816x yx +=≥，半椭圆2C 的方程为：221(0)1216x y x +=< 对于A 选项：椭圆1C的离心率为：e =，故A 选项不正确； 对于B 选项：椭圆1C 上的点到0F距离为的最小值为：B 选项正确； 对于C 选项：椭圆2C 的焦距为124F F =，故C 选项正确； 对于D 选项：椭圆1C的长短轴之比为22a b ==2C的长短轴之比为22d c ，22234771.3 1.753324⎛⎫⎛⎫=≈<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，< ∴椭圆2C 的长短轴之比小于椭圆1C 的长短轴之比，故D 选项错误；故选：BC 三、解答题7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值．【答案】(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出PQ MN，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出MN ，再表达出直线PQ 的方程，表达出PQ ，用基本不等式求解最小值，与2比较大小，求出最小值. (1)由题意得：2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=(2)由（1）知：()1,0F ，当直线l 的斜率不存在时，()1,0P ，()2,0Q -，,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 此时PQ MN== 当直线l 的斜率存在时，故可设直线为()1y k x =-，联立椭圆方程得：()2222214220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，其中2880k ∆=+> 所以MN = 其中()121222221ky y k x x k k -+=+-=+， 所以2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为直线PQ 为线段MN 的垂直平分线，所以直线PQ ：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令2x =-得：()225221k y k k +=+，所以PQ == 故22PQ MN===因为22231k +=+≥所以22PQ MN=≥=，=，即21,1k k ==±时等号成立，所以2PQ MN≥，2>，所以PQ MN 的最小值为2. 【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的焦距为且过点⎭．(1)求椭圆C的方程；(2)设,A B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P是椭圆C上在第一象限的任意一点，直线AP与y轴交于点M，直线BP与x轴交于点N，PBM与PAN△的面积分别为12,S S，求12S S+的取值范围．【答案】(1)2214xy+=(2)[)2,+∞【解析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）设()()0000,0,0,P x y x y>>，利用点斜式求出直线AM和BN的方程，求出,M N的坐标，根据题意求出001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,，由此可知()00120000221221y xS S x yx y⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，再根据P在椭圆C上，可知220044x y+=，由此可得()()00001200000041222x y x yS S x yy x x y⎛⎫⎛⎫-+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式即可求出()122S S+的最小值，进而求出12S S+的范围.(2)解：设椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的焦距为2c=由题意可知:222222112ca b ca b⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得224=1ab⎧=⎪⎨⎪⎩，所以2214xy+=；(2)设()()0000,0,0,P x y x y>>，由题意可知()()2,0,0,1A B，所以直线AM方程为()22yy xx=--，直线BN方程为011yy xx-=+；令0x=代入直线AM方程，可得020,2yMx-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y=代入直线MN方程，可得0,01xNy-⎛⎫⎪⎝⎭，所以001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以()00120000221221y x S S x y x y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又220044x y +=，所以00002222y x x y +=-，00002222x x y y +-= ()22000012000024222x x y y S S x y y x +++=-+-222200000000002444242x x y y y x x y y x ++++=-+-()0000000042422x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00000000004122x y x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又220000444x y x y +=≥，所以001x y ≤，当且仅当002x y ==.所以()()00000012000000004142224x y x y x y S S x y y x x y y x ⎛⎫⎛⎫-+=+++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当002x y ==时等号成立.所以122S S +≥，即12S S +的取值范围[)2,+∞.【点睛】关键点点睛：本题第二问解答关键是对220044x y +=变形成00002222y x x y +=-和00002222x x y y +-=，然后再对()122S S +化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是Γ的上顶点.1F 到直线2PF. (1)求Γ的方程；(2)设直线:2l x =与x 轴的交点为M ，过M 的两条直线12,l l 都不垂直于y 轴，1l 与Γ交于点2,,A B l 与Γ交于点,C D ，直线,AC BD 与l 分别交于,E G 两点，求证：ME MG =.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意利用点到直线的距离公式求得b ，继而求得a ，可得答案. （2）设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用点共线表示出点,E G 的纵坐标，二者相加，进行化简，可证明结论. (1)由题意知，1c = ，P 是2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的上顶点，∴点P 的坐标为()0,b .点2F 的坐标为()1,0,∴直线2PF 的方程为11x yb+=，即0bx y b +-=，()11,0F -到直线2PF=1,b a ∴=∴=所以Γ的方程为2212x y +=.(2)证明：直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，设()()()()()()11223344,,,,,,,,2,,2,A x y B x y C x y D x y E s G t ， 设直线11221212:2,:2,,0l x k y l x k y k k k k =+=+≠≠， 则1112123234242,2,2,2x k y x k y x k y x k y =+=+=+=+，联立直线1l 和曲线Γ的方程，得方程组122222x k y x y =+⎧⎨+=⎩ ， 消去x 得()22112420,k y k y +++=则11212221142,22k y y y y k k +=-=++. 同理23434222242,22k y y y y k k +=-=++. ,,A C E 三点共线，()()()()1331,22EA EC x y s x y s ∴--=--∥，得()()133113132x y x y y y s x x -+-=-，()()()()()13311213113213131123112322.22x y x y k k y y k y y k y y s x x k y k y k y k y -----===-----同理()12241224k k y y t k y k y -=-.()()()121312241324121123122411231224k k y y k k y y y y y y s t k k k y k y k y k y k y k y k y k y --⎛⎫+=+=-+ ⎪----⎝⎭()()()()()1312242411231211231224y y k y k y y y k y k y k k k y k y k y k y -+-=---()()()()()12112342341211231224k k k y y y y k y y y y k y k y k y k y -⎡⎤=+-+⎣⎦-- ()()()1221122222112312241221442202222k k k k k k k y k y k y k y k k k k ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪--++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ME MG ∴=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，解决问题的思路要通畅，及联立直线和椭圆方程，求得点的坐标，通过两点的纵坐标之和为0，证明线段相等，解答的关键是关于关于所设字母的运算十分繁杂，要十分细心.10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，坐标原点O 与A 点关于直线l ：2x =-对称，l 与椭圆第二象限的交点为C ，且1AC OC ⋅=-.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过A ，O 两点的圆Q 与l 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交椭圆C 于异于B 的E ，F 两点.求证：直线EF 恒过定点.【答案】(1)221164x y +=(2)20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出4a =，设()2,C n -，利用向量数量积求出n =(C -代入椭圆中，求出24b =，得到椭圆方程；（2）先根据OM ON ⊥得到19BM BN k k ⋅=-，进而设出直线方程()4x my t t =+≠，联立后得到两根之和，两根之积，利用1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--及19BM BN k k ⋅=-求出2013t =-，得到定点坐标. (1)点O 与A 关于直线2x =-对称， 可知()4,0A -，故点()4,0B ，4a =， 由题意可设()2,C n -，0n >，于是()()22,2,41AC OC n n n ⋅=⋅-=-=-，解得：n =将(C -代入椭圆方程中，243116b+=，解得：24b =， 所以椭圆方程为221164x y +=(2)证明：()4,0A -，()4,0B ，直线l ：2x =-，由题意得：圆心在直线l ：2x =-上，设()()2,,2,M N M y N y --， 且OM ON ⊥，所以40M N OM ON y y ⋅=+=，故4M N y y =-， 则12424369N M N M BM BN y y y y k k ⋅=⋅==-----，设直线EF ：()4x my t t =+≠，()()1122,,,E x y F x y ，由221164x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：()22242160m y mty t +++-=， 则2121222216,44mt t y y y y m m --+==++， ()12122824t x x m y y t m +=++=+，()()22121224164t m x x my t my t m -=++=+，所以1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--， 则()212122221212121644416164321664y y y y t x x x x x x m t t m -⋅==---++-+-++ 22161432649t t t -==--+， 即21332800t t --=，解得：4t =（舍去）或2013t =-， 所以直线EF 为：2013x my =-，恒过定点20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件得到方程，求出定值. 题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △）A1 B ．12CD1【答案】B【分析】依题意可得2a ，2b ，2c ，设12AF F △内切圆的半径为r，根据等面积法得到|A r y ，即可得到r 的最大值，从而求出m ，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：由椭圆221(1)1x y m m m +=>-，可得2a m =，21b m =-，2221c a b ∴=-=，则1c =， 如图，设12AF F △内切圆的半径为r ，1212121211||||(||||||)22AF F A SF F y AF AF F F r =⋅=++⋅， 2||(22)A c y a c r ∴⋅=+⋅，则|1A m r y +，要使12AF F △内切圆半径最大，则需||A y 最大，||1A y b m =-又12AF F △3311m m -=+4m =，所以2a =．则椭圆的离心率12c e a == 故选：B ．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为2π的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎝⎦D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【分析】先判断出临界情况下，椭圆2a AB =，22b r =，即可求出椭圆离心率的取值范围.【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，设AC x =，3MA x =-.因为圆柱底面积为π，故液体体积为()1322x x πππ-+=，解得2x =，即1MA =， 2AC BC ==，故22AB =，所以2a AB ≤，22b r =，即2,1a b ≤=，所以离心率221c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即椭圆离心率的取值范围是2⎛ ⎝⎦.故选：C 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为12 B ．12PF PF ⋅的最大值为4 C ．12PF F △的面积可能为2 D ．2PQ PF -的最小值为256【答案】ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误； 对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ． 三、填空题4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和2222222:1x y C a b +=在相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为12,e e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F B ⊥，且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是___________.【答案】122【分析】首先分别表示出12,e e ，设12PF F θ∠=，将12ee 表示成关于θ的三角函数，然后求其最值即可. 【详解】由图知12121122122,2c OF c c OF e e a BF a a PF PF =====+，则112212e PF PF e BF +=， 设1212,2PF F F F c θ∠==，则1212(sin cos ),cos cPF PF c BF θθθ+=⋅+=， 则()122112sin cos cos 242e e πθθθθ+⎛⎫=+⋅++≤ ⎪⎝⎭24πθ=时等号可取到.122.5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若112OF AB =，且16OF B π∠=，则1C 与2C 的离心率之积为_____.【答案】2【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出1AF c =，23AF c =，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.【详解】解：连接22,AF BF ，根据椭圆的对称性可知：点O 是AB 的中点， 所以，四边形12AF BF 为平行四边形， 若112OF AB =，所以1OF OA OB c ===， 因为16OF B π∠=，所以1π3AOF ∠=，所以1AOF △是等边三角形， 所以11AF OF c ==，1π3AFO ∠=，12AF B π∠=，所以，四边形12AF BF 为矩形， 所以，在直角三角形1ABF 中，()22123BF c c c =-=，所以，213AF BF c ==，在椭圆中，12132AF AF c c a +==，可得1131c e a ==+在双曲线中，21232AF AF c c a -=-=，可得2231c e a ==-所以离心率之积1223131e e ==+-， 故答案为：2.四、解答题6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，斜率为e 且过点()0,Pa 的直线l 与x 轴交于点Q(1)证明：直线l 与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为S ，过点S 且与l 垂直的直线交y 轴于点T ，记POQ △的面积为1,S PQT 的面积为2S ，若1234S S =，求椭圆的离心率 【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可. (1)由已知，:l y ex a =+．令l 与椭圆方程222222b x a y a b +=联立，经过整理，得到()2222342220b a e x a ex a a b +++-=，所以()()()()6222242224222442222222222Δ4444a e b a e a a b a a e b a b a e a b e a b a b a e =-+-=-+-+=-++()222222222222440c a b a b a a b a b c a ⎛⎫=-++⋅=-++= ⎪⎝⎭，所以直线l 与椭圆相切．(2)由（1），有322222S a ex b a e=-+，所以3222222s a e a c x c b a e b c =-=-=-++，所以22S S c b y ex a ec a a a a =+=-+=-+=，所以2,b S c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为ST l ⊥，所以1STk e =-，所以()21:b ST y x c a e -=-+．令0x =，得到2b cy a e-=-，所。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+= ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()43200000032004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点．(1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---，，，，所以()22120021PF PF x y ⋅=--=，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x =-，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k +++-=，设()B B B x y ，，则1B x ==同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -=-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k-+=+， 即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k=，所以222212m k k k +=+，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y xx y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E Dn y y m k ==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k =，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B ，，且3AP PB =， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-，所以112m -<-或112m <， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-或112m <．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--，，，，，． 由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=．(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>． 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k-+--+，解得213k ． (3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅的取值范围． 解：(13)AP =，，设()(31)Q x y AQ x y =--，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-因为221182y x +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅，所以18618xy -．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x 轴上．若右焦点到直线0x y -+的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=． (2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+，所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y += (2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=，所以()()112222x y x y λ-=-，，， 所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，，所以()22121221x xx x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===，，， 所以113λ<，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=(O 为坐标原点)，当25||3PA PB -<t 取值范围．解：(1)由题意知c e a =，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=． (2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为25||3PA PB-<12x -<，所以()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为(()26223-，，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x ab+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x += 设AB 的直线方程：y m =+．由22124y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得22440xm ++-=，由()22)1640m ∆=-->，得m -<< P 到AB 的距离为d =则1||2PAB S AB d ∆=⋅=，)(2188m -=当且仅当2(m =±∈-取等号，所以三角形P AB ． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t ．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()331122-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=相切，得2||11t k =+，即221t k =+．所以()()()()()222222212122224443||4||1434t t k t AB x x y y k k t k ⎡⎤-⎢⎥=-+-=+-=⎢⎥+++⎣⎦． 因为243||43||233||||t AB t t t ==++，且当3t =±时， 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯，当且仅当3t =±时，AOB ∆面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(03)-，或(03)，．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m的函数，并求AB 的最大值． 解：由题意知，||1m ．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB =； 当1m =-时，同理可得AB =；当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a ba b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为0)，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m，不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的，两点(A B=+与椭圆C相交于A B右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1M，，平行于OM(2)的直线l在y轴上的截距为(0)，两个不同点．m m≠，l交椭圆于A B(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直线MA MB，与x轴始终围成一个等腰三角形．。
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椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ， 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例11 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例12 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ． 说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握． 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ． 说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。