椭圆经典解题思路

椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2

2

2

c b a +=可求出m 的值．

解：方程变形为

1262

2=+m

y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2

262=-m ，5=m 适合．故5=m ．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a 和b （或2

a 和2

b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

y a x ．

由椭圆过点()03，

P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92

=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

x a y ．

由椭圆过点()03，P ，知10922=+b

a ．又

b a 3=，联立解得812=a ，92

=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．

例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．

（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，

故其方程为

()0136

1002

2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则

()0136

1002

2≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧='='33

y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=

PF ，3

5

22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=

a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F

PF Rt ∆中，2

1

sin 12

21==∠PF PF F PF ， 可求出6

21π

=

∠F PF ，3

526

cos

21=

⋅=π

PF c ，从而3102

22=-=c a b ．

∴所求椭圆方程为

1103522=+y x 或15

1032

2=+y x ． 例5 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是

椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2

1

=

∆求面积．

解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2

2

1F F 2

221PF PF +=12PF -·2

24cos c PF =α．①

由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2

得 α

cos 122

21+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=

b 2

tan 2α

b =．

例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

2

=-=b 的椭圆的方程：

17

162

2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹

方程的一种重要思想方法．

例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1

-

=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+=+=+=+④

，③，②，①，y y y x x x y x y x 2222222

1212

22

22121

①－②得

()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

由题意知21

x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()

022

12

12121=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得022

12

1=--+x x y y y

x ．⑤

（1）将21=

x ，2

1

=y 代入⑤，得212121

-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程222

2

=+y x 得041662

=-

-y y ，04

1

6436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．

（2）将

22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）

（3）将

2

12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222

2=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得 ：

()

22

2

2212

221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122

22124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12

122

=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 例8 已知椭圆142

2

=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？