高数A(2)综合测试1参考答案

合集下载

高中数学人教A版必修二模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1C．2 D．4【解析】由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】 A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.22 3C.423 D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )图1A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ，所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )图2A．8＋2 2 B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15【解析】由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.【答案】 B7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.【答案】 C8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝32×2＝3，DE＝1.∵tan∠ADE＝AEDE＝31＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.【答案】 C9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④【解析】对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】 A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.253 D.43【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.【答案】 B11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，P A 是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若P A长度的最小值为2，则k的值是()【导学号：09960153】A．3 B.21 2C．2 2 D．2【解析】圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5，∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D12．(2016·德州高一检测)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )A.212a 3 B.a 312 C.24a 3D.a 36【解析】取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ，又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ，所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x . 横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．【解析】设点C 的坐标为(x ，y )，则由|AB |＝|AC |得 (x －3)2＋(y －20)2 ＝(3－3)2＋(20－5)2，化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)．【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋(－4)2＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【解】若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【导学号：09960154】【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.【证明】(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP.又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程．【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0，解得b ＝2，所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图4(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．【解】(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值.【导学号：09960155】【解】 (1)法一线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0.所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PCMD 的面积为S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S ＝2|PC |，而|PC |＝|PM |2－|CM |2 ＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以 |PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PCMD 面积的最小值为S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.。

高数A2试题参考答案

高数A2试题参考答案一、填空题：1. 2222xdx ydy x y ++ ；2. 110(,)dy f x y dx ⎰；； 4. (3,3)- 5. 22x Ce -+二、选择题：1).D 2).A 3) C . 4).C 5).B 三、计算题：（共21分）1、略解：123uyf f f x∂'''=++∂ 221112132232332222uy f yf yf f f f x∂''''''''''''=+++++∂ 2、略解：D⎰⎰ 220sin d d πππθρρρ=⎰⎰=26π-3、略解：补上曲面1∑：0,z =(,)x y ∈22:x y R +≤xy D ，取上则有高斯公式得333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ =11333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑∑++-++⎰⎰⎰⎰=-32222222()03sin Rx y z dv d d d ππθϕρρϕρΩ++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 565R π=-4、略解：补上OA:0,y x =从0到4。

设L 与OA 所围成的区域为D ，则2222(2)(2)(2)(2)LL OAy xy dx x x y dy y xy dx x x y dy +++++=++++⎰⎰-22(2)(2)OAy xy dx xx y dy ++++⎰=4[22(21)]0Dx x dxdy dx +-+-⎰⎰⎰2Ddxdy π==⎰⎰5、略解：方程20y y y '''--=的特征方程为2r -r-2=0，其根为121,2r r =-=，故微分方程20y y y '''--=的通解为212x x y C e C e -=+1λ=不是特征方程的根，故设x y ae *=，代入原方程可得1a =- 22x y y y e '''--=的一个特解为x y e =-6、略解：从点A （1，1）到点B （2，2）的方向的方向余弦为cos 22sin αα==在点A （1，1）处4,2,z zx y∂∂==∂∂cos sin z z zl x xαα∂∂∂=+=∂∂∂ (1,1)|42grandz i j =+7、略解：(1)lim1(1)n n n n n ρ→∞-==+ ，∴级数的收敛半径11R ρ==。

高中数学人教A版选修2-1 模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a ∉A 或b ∉B ”的否定形式是( ) A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．a ∈A 或b ∈B C ．a ∉A 且b ∉BD ．a ∈A 且b ∈B【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”，D 正确．【答案】 D2．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2. ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．【答案】 B3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54B.52C.32D.54【解析】由题意，1－b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t ，1，t )，b ＝(t －2，t ，1)，则|a －b |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2（t －1）2＋4≥2，故选C. 【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1AB C 为( )A.π3B.2π3C.3π4 D.π4【解析】以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0，0，1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0，1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1AB C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈[1，2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( )【导学号：18490126】 A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p ⇒/ q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9.如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB →＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13 B.13 C ．±13D ．±12【解析】由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |，4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1± 5【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4（k ＋2）k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4（k ＋2）k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55B.155C.2155D.1520【解析】设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________．【解析】由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1，3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为______. 【导学号：18490127】【解析】如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b2a 2＋b2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0，0，1)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0，0，1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12.18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM→与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程．【解】 (1)连结CQ ，建立如图坐标系，由题意得△CQM 为正三角形．∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴r ＝2，∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)易知M (2，0)，N (－2，0)，Q (1，3)， 2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2.∴c ＝2，a ＝3＋1，b 2＝a 2－c 2＝2 3. ∴椭圆的方程为x 24＋23＋y 223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .图3(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．【解】 (1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ，∴AB ⊥平面P AD . ∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，M (0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM →＝(0，1，1)，CD →＝(－1，0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1，1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．【解】 (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)．图(1)∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，图(2)∴AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA→·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；【导学号：18490128】(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2， ∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F1为(－c，0)，kF1C＝b3a2＋c22a2ca2＋c2＋c＝b33a2c＋c3，又k AB＝－bc，由F1C⊥AB，得b33a2c＋c3·⎝⎛⎭⎪⎫－bc＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca＝5 5.。

高等数学(A2)期末试题参考答案

高等数学A2参考答案一、选择、填空题设向量(1,0,1),(1,1,0),a b =-=r r 则1,(1,1,1).??-r r r ra b a b1．设(),z f u f =是可导的函数,其中,u xy =则d ()(d d ).¢=+z f xy y x x y 2．曲面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面方程为323160.x y z +-+= 3．设L 为圆周221,x y +=则2.p =òs4．设数项级数1(32)n n u ¥=-å收敛,则2lim .3n n u =5．函数23u x y z x yz =+-在(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大,其最大值是( B )A ．．C ．．7．化二次积分200d xf y 蝌为极坐标系下二次积分为( A )A ．2cos 20()d f d p q qr r r 蝌; B ．2sin 00()d f d pq qr r r 蝌; C ．2sin 2()d f d p q qr r r 蝌; D ．2cos 0()d f d pq qr r r 蝌.8．第一类曲面积分222()d (D ),å++=蝌x y z S 其中222: 1.x y z ?+=A ． 1;B ．p ;C ． 2p ;D ． 4p .9．级数21(1)nn n n ¥=+-å ( C ) A ．绝对收敛; B ．条件收敛; C ．发散; D ．敛散性不确定. 10．设函数()f x 是周期为2p 的周期函数,且它在[,)p p -上的表达式为1,0,()1,0.x f x x p p ì--?ïï=íï?ïî 记()S x 为函数()f x 展开的傅里叶级数的和函数,则(0),()2S S p分别为( C ).A ． 1,1-;B ． 1,1;C ． 0,1;D ． 0,1-. 二、解答下列各题（每小题6分,共18分）1．设22223arctan()ln 2,x z x y y e x =+++求2,.z z x x y抖抖?解:224262,1x z x x y y e x x ¶=++? 222242()(62)64.1x xz z x x y y e x ye x y y x y x抖抖==++=+抖抖? 2．设sin ,u z e v =其中,23,u xy v x y ==+求,.z z x y抖抖解: sin cos 2[sin(23)2cos(23)],u u x y z z u z v e v y e x u x v xe y x y x y 抖抖?=+=??抖抖?=+++ sin cos 3[sin(23)3cos(23)].u u x y z z u z v e v x e y u y v y e x x y x y 抖抖?=+=??抖抖?=+++3．设函数设(,)z z x y =是由方程20y z xe z e -+=所确定的隐函数,求22,.z z x x 抖抖解:法一:令(,,)2,y z F x y z x e z e =-+则,,2,y y z x y zF e F xe F e ===-,2yx zz F z e x F e¶\=-=? 22223()().2(2)(2)y zyy z z z z z e e z z e e x x x x x e e e +¶抖抖¶====抖抖--- 法二:方程两边同时对x 求导得20,y zz z e e x x抖-+=抖 ,2y z z e x e ¶\=? 22223()().2(2)(2)y z yy z z z z z e e z z e e x x x x x e e e +¶抖抖¶====抖抖--- 三、解答下列各题（每小题7分,共28分）1．交换积分次序并计算二次积分220sin d d .y xyx x蝌解: 2220002sin sin d d d d sin d 1cos 2.===-蝌蝌òx y x x y x x y x x x x2．计算三重积分d ,z V W蝌?其中W 是由旋转抛物面22z x y =+与平面4z =所围空间立体区域.解：法一:z44D d d d d d 64.3p p W==?=蝌蝌蝌?z V z z x y z z z法二: 投影区域22:4,+?xy D x y22240d d d d 64.3p r q rr rp W==蝌蝌蝌z V z3．证明曲线积分2L2d (1)d xy x x y ++ò在xoy 面内与路径无关,并计算(1,1)2(0,0)2d (1)d xy x x y ++ò的值.解: 因为2(,)2,(,)(1),==+P x y xy Q x y x 则2.抖==抖P Q x y x 所以曲线积分2L2d (1)d xy x x y ++ò在xoy 面内与路径无关.法一：又因为2222d (1)d 2d d d d()++=++=+xy x x y xy x x y y x y y (1,1)(1,1)222(0,0)L(0,0)2d (1)d d()[]2.++=+=+=蝌xy x x y x y y x y y法二： 12,1,L ::01,L ::01.0,,祆==镲镲眄镲==镲铑x x x x y y y y (如上图)12222LL L 12d (1)d 2d (1)d 2d (1)d 0(11)d 2++=+++++=++=蝌?òxy x x y xy x x y xy x x yy4．计算d d ,z x y å蝌其中å是锥面22z x y =+01z＃部分的下侧.解:法一:曲面2222:,:1xy zx y D x y ?++? 所以22D 210d d d d 2d d .3ppqr r r å=-+=-?-蝌蝌xyz x y x y x y法二:补面221:1,:1xy zD x y ?+? 取上侧.则1??构成了闭合曲面,由Gauss 公式得1d d d .3p?錡==蝌蝌?Òz x y V 又因为1D d d d d ,p å==蝌蝌xyz x y x y所以11d d d d d d 2.33p p p 邋+邋=-=-=-蝌蝌蝌Òz x y z x y z x y四、解答下列各题（第1、2小题每小题6分,第3小题7分，第4小题5分，共24分）1．判断级数1(1)2nnn n ¥=-×å的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛？解：因为 (1),2n n n u n -=×所以 1,2n nu n =× 由比值审敛法知道, 1121lim lim 1.(1)22n n n x x n u n u n ++×==<+? 所以级数 1112n nn n u n ゥ===×邋收敛. 即级数1(1)2nnn n ¥=-×å绝对收敛. 2．将函数1()1f x x =+展开成1x -的幂级数.解：由于1(1),(1,1).1n n n x x x ¥==-?+å所以 1001111()112121211(1)(1)()(1),(1,3).222nn n n n n n f x x x x x x x ゥ+=====?-++-+--=-=-?邋3．求幂级数(1)nn n x ¥=+å的收敛区间以及和函数()S x ,并计算01.2nn n ¥=+å解: 该幂级数的系数(1),n a n =+ 所以 12limlim1,1n nnna n a n r ++===+ 即收敛半径R =1,收敛区间为 (-1,1). 又20()(1)123(1)n n n S x n x x x n x ¥==+=++++++åL L则d d d d d 021()(1)2(1),(1,1).1xx x x xn n n n S x x n x x x x x n x x xx x x x x¥=+=+=+++++=++++=?-å蝌蝌?L LL L所以 21()(),(1,1).1(1)x S x x x x ¢==?-- 200111(1)() 4.122(1)2n nn n n n ゥ==+=+==-邋 4．利用二重积分证明无穷积分20d 2x e x +?-=ò解:记20I d ,2+?-==òx e x 则I >0.又因为222222222()200(d )d d d d d d d d .4pr p qr r +?????-----+???-+-=====蝌蝌?蝌蝌x x x x y xy ex ex ex ex e ye x y e所以2d 2x e x +?-=ò。

高等数学A(二)(答案及得分详解)

高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （）。

(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（）的方向导数最大。

(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（）。

(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是（）。

(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（），其中L 为圆周222=+y x 。

(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（）。

(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（）。

高等数学A(二)试卷及答案

高等数学A （二）考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。

2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。

3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。

4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。

5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足。

二、计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。

(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。

（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。

（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。

6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。

（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。

（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。

答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。

（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、计算题。

【人教A版】高一数学必修二：模块综合测评(一)(含解析答案)

模块综合测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是( )A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点思路解析:根据公理1判断,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内;反之,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内. 答案:C2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.23-B.32-C.52D.2思路解析:用两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=23-. 答案:A3在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与AD 成异面直线的棱共有( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.7条思路解析:其余11条棱中,有4条与AD 异面,有三条与它相交,其他4条异面. 答案:A4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1或a>1 D.a=±1 思路解析:解不等式(1-a)2+(1+a)2<4. 答案:A5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( ) A.3倍 B.32倍 C.33倍 D.4倍思路解析:球的面积变为原来的3倍,球的半径就变为原来的.3倍,则它的体积就变为原来的33倍.答案:C6下列命题:①一条直线在平面内的射影是一条直线. ②在平面内射影是直线的图形一定是直线. ③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行. 其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3思路解析:各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如:命题①一条直线的射影可以为一个点;命题②和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题③与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等;命题④两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面. 答案:A7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB 的最小值是( ) A.179 B.173 C.17173 D.17179 思路解析:AB 2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m 2-24m+9=17(m-172)2+179=179, ∴AB min =17173179=. 答案:C8正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列结论不成立的是( ) A.AC ⊥BDB.△ADC 为正三角形C.AB 、CD 所成角为60°D.AB 与面BCD 所成角为60°思路解析:AB 与面BCD 所成的角应为45°. 答案:D9从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A.π B.2π C.4π D.6π 思路解析:将圆的方程配方得: x 2+(y-6)2=9,圆心在(0,6),半径为3.如图1,Rt △PAO 中,OP=6=2PA,图1从而得到∠AOP=30°, 即∠AOB=60°.可求∠BPA=120°. ∴P 的周长为2π×3=6π, 劣弧长为周长的31,可求得劣弧长为2π. 答案:B10a 、b ∈N *,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.多于3 思路解析:过(a,0)与(0,b)的直线为by a x +=1,于是ba 31+=1, 故3a=b(a-1).若b=3m,m ∈N *,则a=m(a-1),于是m≤2,代入逐个验证可知,m=2,a=2,进而b=6; 若b≠3m,则必有a-1=3n,n ∈N *,则1=n(b-3),于是只有n=1,b=4,进而a=4, 故满足条件的直线最多有2条. 答案:B11图2,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB,EF=23,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为…( )图2A.29 B.5 C.6 D.215 思路解析:分别取AB 、CD 的中点G 、H 连EG ,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积29,进而整个多面体的体积为215. 答案:D12光线从点A(-1,1)射出经x 轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( ) A.26-2 B.8 C.64 D.10 思路解析:点A(-1,1)关于x 轴的对称点是A′(-1,-1). 圆心C(5,7),最短路程是A′C -r=2286+-2=8.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为___________.思路解析:过P 点且垂直于OP 的直线为所求,方程为x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=014已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为___________-.思路解析:由于球心在截面ABC 上的射影是△ABC 的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为32,最后利用球的面积公式得S=916π为所求. 答案:916π15在xOy 平面上,四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.思路解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1). 答案:32516如图3,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图3思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为21(a+b).所求体积为它的一半. 答案:21πr 2(a+b)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)如图4,A 、B 分别是异面直线a 、b 上两点,自AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行,M 、N 分别是a 、b 上的任意两点,MN 与α交于点P.图4求证:P 是MN 的中点.思路分析:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,从而在△ABN 和△AMN 中利用中位线的性质求解. 证明:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,∵b ∥α,OQ 是过直线b 的平面ABN 与α的交线, ∴b ∥OQ.同理PQ ∥a.在△ABN 中,O 是AB 的中点,OQ ∥BN, ∴Q 是AN 的中点. 又∵PQ ∥a,∴P 是MN 的中点.18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S. 思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式. 解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1x=±1或y=±1.它的图形(如图5)是四条直线围成的正方形ABCD,它的边长为2,面积为S=22=4.图519(本题满分12分)如图6所示,在正△ABC 中,E 、F 依次是AB 、AC 的中点,AD ⊥BC,EH ⊥BC,FG ⊥BC, D 、H 、G 为垂足.若将正△ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值为多少？图6思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算. 解:设圆锥的高为h,底面半径为r, 则圆柱的高为2h ,底面半径为2r . 所以,85312)2(1122=∙∙-=-=-h r hr VV VV V ππ柱柱. 20(本题满分12分)圆C:x 2+y 2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P 、Q,且OP ⊥OQ,求F 的值.思路分析:P,Q 两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F 的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解. 解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+--+.23,0622xy F y x y x 5x 2+2x+4F-27=0. 根据根与系数的关系,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∙-=+.5274,522121F x x x x根据题意,有PO ⊥OQ 2211x y x y ∙⇒=-1⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+⇒=-∙-0232321x x5x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=0⇒5×52109)52(35274=⇒=+-⨯--F F . 21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE 中,AB ⊥平面ACD,DE ⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为CE 的中点.图7(1)求证:BF ⊥面CDE.(2)求多面体ABCDE 的体积.(3)求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.思路分析:(1)如图6,取CD 的中点G ,DE 的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF ⊥面CDE 证明成立的话,则必然有BF ⊥CE,考虑到F 为CE 的中点,我们的目标就是要证明△BCE 是等腰三角形.另外由于BF 在平面ACD 上的射影AG 是△ADC 的边CD 上的高,所以BF ⊥CD.这样BF 就垂直于平面ACD 上的两条相交直线,从而BF ⊥面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△BCE 在平面ACD 上的射影就是△ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解. 解:(1)证明:∵AB ⊥平面ACD,∴AB ⊥AC, 由AB=a,AC=2a,得BC=5a.同理,在直角梯形ABDE 中,AB ⊥AD,DE ⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=5a. 又F 是CE 的中点,∴BF ⊥CE.∵BF 在面ACD 上的射影是等边△ADC 的边CD 上的高, ∴BF ⊥CD.∴BF ⊥平面CDE.(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥B —ACD 与三棱锥B —CDE. V B —ACD =31AB·S ACD =31·a·43(2a)2=33a 3. ∵CE=22a,CF=2a, 而BC=5a,∴BF=3a,∴V B —CDE =31BF·S CDE =31·3a·21·(2a)2=3323a . 故所求多面体ABCDE 的体积为3a 3.(3)解:设面BCE 与面ACD 所成的角为θ. ∵△BCE 在面ACD 上的射影为△ACD,∴cosθ=2232221)2(432=∙∙=∆∆a a a s S BCE CDA , ∴θ=4π 22(本题满分14分)已知圆C:x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.思路分析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A 和B 的坐标值.但不必解出A 和B 坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB 为直径的圆可表示为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. 解:假设直线存在,设l 的方程为y=x+m,由⎩⎨⎧=-+-++=,0442,22y x y x m x y 得2x 2+2(m+1)x+m 2+4m-4=0.(*) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+y 2=-(m+1),x 1x 2=2442-+m m .∵以AB 为直径的圆(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0, 若它经过原点,则x 1x 2+y 1y 2=0. 又y 1·y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2. ∴2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=0, ∴m 2+3m-4=0,m=-4或m=1.∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ>0, ∴所求直线l 的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.。

大学高等数学A-2试卷答案

《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1．B 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π三、计算题(每题7分；共56分)1．解：设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z （3分）2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域．解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解：设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=，所以220x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。

高中数学人教A版选修2-1 章末综合测评1 Word版含答案

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】 A4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】 A5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.【答案】 A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的() 【导学号：18490031】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】 A7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y ＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．∅B．{c|c<－1}C．{c|c≥－1} D．R【解析】命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝∅，故选A.【答案】 A8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是() A．－4≤k≤0 B．－4≤k＜0C．－4＜k≤0 D．－4＜k＜0【解析】由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎨⎧k ＜0，Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C9．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．綈p ∨qC ．綈q ∧pD ．q【解析】很明显命题p 为真命题，所以綈p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以綈q 是真命题．所以綈p ∨q 为假命题，綈q ∧p 为真命题，故选C.【答案】 C10．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．【答案】 D11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1【解析】因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x )，故綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.【答案】 B12．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)【解析】因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题．所以点P为直线y ＝2x －3与直线y ＝－3x ＋2的交点．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，即点P 的坐标为(1，－1)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．【答案】 p ∨q 与綈p14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】依题意，⎩⎨⎧f （1）＝3－m ≤0，f （2）＝8－m >0，∴3≤m <8. 【答案】 [3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，使x 30>x 20”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________. 【导学号：18490032】【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0.【解】 (1)綈q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．【解】 (1)因为{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⇒/ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a ，b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎨⎧m <13，m >0⇔ 0<m <13.所以p 是q 的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围. 【导学号：18490033】【解】 2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 为真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 为真时，m ≤－1或m ≥3.因为“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以得⎩⎨⎧m >1，－1<m <3，即1<m <3，即m 的取值范围为(1，3)．20．(本小题满分12分)已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，有p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．【解】当命题p 是真命题时，由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≥－2，所以有m ＜－ 2.当命题q 是真命题时，由于x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．考虑到函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p 为假，q 为真，此时有⎩⎨⎧m ≥－2，－2＜m ＜2，解得－2≤m ＜2，所以实数m 的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0的解集的真子集．法一因为方程t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 法二令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2，因为f (1)＝0，所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 22．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理 ∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．可以发现，x 1＝x 3，∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0， ②由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)．代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2.∴∠A ＝90°.∴结论成立．。

2020学年高中数学学期综合测评(一)(含解析)新人教A版必修2(2021-2022学年)

学期综合测评(一)对应学生用书P103本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分,考试时间１20分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分）1.已知两直线y=ａx-2和y=（a+2）ｘ+1互相垂直，则a等于( ）Ａ.２Ｂ．1 Ｃ．０ D．－1答案D解析由题知（ａ＋2)ａ＝－１⇒a2+２a＋１＝(a+１）2＝0,∴a＝－1,也可以代入检验.2.圆x2+y2+2x-4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A.（1，－2),5 B．（1,-2)，＼r（５）C.（－1,2）,5Ｄ.(－1，2),错误!未定义书签。

答案Ｄ解析圆的方程化为标准方程为（x+1）２+(ｙ-2)2=5，其圆心是(-1,2）,半径为错误!未定义书签。

．3．已知直线l的方程为2x-5y＋１0＝０,且在x轴上的截距为ａ,在y轴上的截距为b,则｜a+b|＝( ）A．3 B.７ C．10 D.5答案Ａ解析因为直线ｌ的方程为２x-5y+１０＝0,所以令y＝0,得ｘ＝-５,即a=-5，令x=0,得y＝2,即b=2,所以|ａ+b|＝|-5+2|＝３．４．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中,最大侧面的面积为（）Ａ.＼f(1，2）B．错误! C．错误!未定义书签。

D．错误!答案 C解析由三视图,知该几何体的直观图如图所示.平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A －B ＣDE 的高为1．四边形BCD Ｅ是边长为1的正方形，则S △AE Ｄ=错误!未定义书签。

×１×1＝错误!,S △ABC =Ｓ△ＡB Ｅ＝错误!×１×错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

，S △ACD ＝１2×1×错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

，故选C ．5．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为２０ｍ,5 m,１0 ｍ,四棱锥的高为8 ｍ，若按1∶500的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图,那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )Ａ．4 cm ，1 cm ，2 cm,1．６ｃm Ｂ.４ cm,0.5 cm,2 cm,0.8 ｃｍ C ．4 cm,0．5 ｃm,2 cm,１．6 ｃｍ D.2 cm,０.5 c ｍ,1 cm ，0．８ cm 答案 C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 ｃm ，1 ｃm ，2 ｃm ，1．6 cm,再结合斜二测画法,则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm ，0．５ cm,2 c ｍ,1.6 c ｍ．6．直线ｌ:y=kx －１与曲线错误!未定义书签。

高数A(2)综合测试1

高等数学（A2）综合测试（一）(时间：120分钟)一、填空题（24分）1 21. 设442u x y x y =+−，则22________.u x ∂=∂ 2. 设函数在点(1,1,1)沿的方向导数u xyz =(2,1,1)l =G (1,1,1)u l ∂=∂【】.323. 曲面上点（1,-2,1）处的切平面方程为222321x y z ++=222___________________.u x∂=∂ 4. 若级数收敛，则.1(21)n n u ∞=−∑lim ____________n n u →∞=5. 设曲线L 是沿逆时针方向的圆周则224,x y +=Lxdy ydx −∫v = 。

6. 下列级数收敛的是【】.A. n ∞=B. 21(1)5n n n n∞=−+∑ C. n n ∞= D. 111nn n ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑ 7. 已知平面区域D ：,01,a x b y ≤≤≤≤又()1,D yf x d σ=∫∫ 则()b af x dx =∫【】.A. 1B. 2C. 0D. 0.58. 设L 为圆周则223,x y +=∫v = . 二、解答下列各题（56分）1. 设求2222,sin ,x y z u e z x y ++==,u u x y ∂∂∂∂. 2. 设函数2ln sin 2yz y u x y e =++，求全微分. du 3. 求由方程33z x 1yz −=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（2,1,1）处的全微分.4. 设,,xy x z f e y −⎛⎞=⎜⎝⎠⎟ 且f 具有二阶连续偏导数，求22,z z xx ∂∂∂∂. 5. 计算(D,x σ+∫∫其中D: 221x y +≤.6. 计算，其中由zdv Ω∫∫∫Ω2z x 2y =+及平面1z =所围成的闭区域.7. 计算222(1)(2),Lx y dx x x y dy −+++∫L ：从沿上半圆(4,0)A y =的一段圆弧.(0,0)O 8. 计算其中Σ是曲面,zdxdy Σ∫∫22z x 2y =+介于0z =及1z =之间的部分的外侧.三、解答下列各题（20分）1. 判定级数21(1)3nn n n ∞=−∑的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 2. 求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数()s x ，并计算和11(3)n n n ∞=−∑. 3. 将函数21()2f x x x =−−展开为x 的幂级数. 4. 设(),0f x x x π=≤≤，将()f x 展开为正弦级数，（1）求的值；（2）记1sin n n b n ∞=∑x 2b 1()sin n n s x b ∞==∑nx ，则()s π= .。

2022-2023学年下学期高数A(2)-A卷答案

2022-2023学年下学期高等数学A(2)-A 卷参考答案与评分标准一、填空题（每题4分，共40分） 1. 32−； 2. 2； 3. 22249936x y z −−=； 4. 14− ； 5．1x ；6.1233dz dx dy =+； 7.125241x y z −−−==−； 8. 不是；9. 4102(,)xdx f x y dy ⎰⎰；10. 2x y C +.二、计算题（每题7分，共21分）11.解：已知直线的方向向量为()12416,14,11352i j ks =−=−− ……………（5分）由于平面与直线垂直，所求平面法向量可取n s =，则所求平面方程：()()162141130x y z −−+++= 即161411650x y z −−−=……………（7分） 12. 解：令(,,)ln x zF x y z z y=−，则 222111,,x y z y z x y x zF F F zz y yz z y z⎛⎫+==−⋅−==−−⋅=− ⎪⎝⎭…………（3分） 21x z F z zz x z x F x z z ∂=−=−=+∂+− ……………（5分） ()221y z F z z yx z y F y x z z−∂=−=−=+∂+ ……………（7分） 13. 解：222x y xye+关于x ，y 均是奇函数，则12,D D 关于x 轴对称，34,D D 关于y 轴对称221220x y D D xyedxdy ++=⎰⎰223420x y D D xyedxdy ++=⎰⎰……………（3分）所以11123x DI ydxdy dx ydy −−===−⎰⎰⎰⎰ ……………（7分）三、计算题（每题7分，共21分） 14.解：2()2zf x y xy x∂=⋅∂ ………（4分） 2222()2()2zf x y x xy f x y x x y∂'=⋅⋅+⋅∂∂ =3222()2()x yf x y xf x y '+ …………（7分）15.解：22220cos sin RI d d r r dr ππθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰ ………（4分）25012cos sin 5d R ππϕϕϕ=⋅⎰5415R π= …………（7分）16.解：12L L I =+⎰⎰11222L L e ds e π==⋅⎰⎰…………（3分）222220222|2(1)xx x L e dx e dx e e −====−⎰⎰⎰…………（6分）2222(1)I e e π=+−…………（7分）四、综合应用题（每题6分，共18分） 17．解：,()xyP e y Q e x =+=−+ 1,1P Qy x∂∂==−∂∂ 补线1L ：0,:11y x =→−，则1111()L L L L L L I −++=−=−−⎰⎰⎰⎰……（2分）()()()1()2xy L L Dey dx e x dy dxdy π−++−+=−=−⎰⎰⎰ ……（4分）()()1111xyx L ey dx e x dy e dx e e −−+−+==−⎰⎰……（5分）1I e e π−=−+ ……（6分）18、解：原式=()()424z y y dv z y dv ΩΩ−+=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（3分）4zdv ydv ΩΩ=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111114dx dy zdz dx ydy dz =−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（5分）32= ……….（6分）19. 解：记1∑为锥面z =()01z ≤≤，2∑为圆面1z =()221x y +≤，它们在xOy 面上投影为22:1xy D x y +≤，在1∑上ds =，则()(12122222xyD x y ds x y d d πθρρρ∑+=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（3分）在2∑上dS dxdy =，则()()221222220012xyD x y ds x y dxdy d d πθρρρπ∑+=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（5分）故原式+12π。

高等数学AⅡ参考答案

1、1．设是平面上以三点和为顶点的三角形区域，是的第一象限部分，则( A )。

（A）；（B）；（C）；（D）。

2.下列级数中发散的级数是（C ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

3.设幂级数在处条件收敛，则该级数在处是（ A ）。

（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）以上结论都不对。

4.设在展开成正弦级数为，且，则（ C ）。

（A）；（B）；（C）；（D）以上结论都不对。

二 5.设闭区域由曲线与所围成，则。

6. 设曲线方程为，则。

7. 将展开成的幂级数为。

8. 设，则。

三9.分别用先二后一和柱坐标的方法计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域。

解先二后一1柱坐标的柱坐标为，则=10.设为锥面及平面所围成闭区域的边界曲面，计算。

解：如图，其中，故=+=+11. 设为从点沿曲线到点的弧，其中为正的常数，计算。

解;作辅助线，若设与所围闭区域为，则，故12. 设是球面的上侧，计算。

解；作曲面，朝下。

则其中（先二后一）由，朝下，有，故13. 求幂级数的收敛域及和函数。

解由，可知幂级数收敛半径为1，且与均发散，故幂级数收敛域为。

当时故当时四、（10分）。

14.常数取什么值使得在平面存在二元函数满足，且，并求出函数。

解（1）设，故取值使得等式成立，即成立时存在二元函数满足条件，故，且O（0，0）B（x，y）A（x，0）其中五、（每小题4分，共8分）。

15．计算积分，其中为圆周。

解：注意到，取做曲线方向为逆时针，设曲线围成复连通区域为，显然在满足格林公式条件，故，可得，其中为所围区域。

16．判别级数的敛散性，并给出理由。

解：显然级数是正项级数且注意到，故收敛，故也收敛。

描述[←1]。

高中数学人教A版选修1-2模块综合测评1 Word版含解析

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为()A．i B．－iC．1D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为()A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值()【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i－1)2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了() A．直接求出回归直线方程B．直接求出回归方程C．根据经验选定回归方程的类型D．估计回归方程的参数【解析】散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()图1 A．5 B．6 C．7 D．8【解析】运行第一次：S＝1－12＝12＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4，所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)．【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba＋b ＝1858，dc＋d＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论________．【解析】由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝...＝b11b20，∴10b11b12...b20＝30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z＝(1－4i)(1＋i)＋2＋4i3＋4i，求|z|.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2. 18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病患其他病总计高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】由列联表中数据可得 k ＝110×(20×50－10×30)230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】假设1a，1b，1c能构成等差数列，则2b＝1a＋1c，因此b(a＋c)＝2ac.而由于a，b，c构成等差数列，且公差d≠0，可得2b＝a＋c，∴(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，即1a ，1b，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.分析法：要证ax＋by≤1成立，只要证1－(ax＋by)≥0，只要证2－2ax－2by≥0，又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x2，a^＝y－b^x－.【解】(1)散点图如图，(2)x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i＝15x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i＝15x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以b^＝∑i＝15x i y i－5x－y－∑i＝15x2i－5x－2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a^＝y－b^x－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是林老师网络编辑整理y^＝0.625x＋22.05.(3)x＝96，则y^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．林老师网络编辑整理。

2020-2021学年高中数学人教A版第二册全册综合检测试题含解析

全册综合检测试题时间：120分钟分值:150分第Ⅰ卷（选择题，共60分)错误!1．下列命题为假命题的是( D ）A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1｜>|z2|解析：A中,任何复数z＝a＋b i(a，b∈R）的模｜z｜＝a2＋b2≥0总成立，所以A正确；B中，由复数为零的条件z＝0⇔错误!⇔|z｜＝0,故B正确;C中，若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R），且z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，所以｜z1｜＝|z2｜；反之,由｜z1|＝｜z2|,推不出z1＝z2,如z1＝1＋3i,z2＝1－3i时，｜z1|＝｜z2｜，故C正确；D中，若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1〉z2，则a1>a2，b1＝b2＝0，此时|z1|>｜z2|;若｜z1｜>|z2|，z1与z2不一定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：这50 A ）A．7。

2,0.56 B．7。

2，错误!C．7,0.6 D．7，错误!解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是错误!＝错误!×(6×10＋7×20＋8×20）＝7。

2，方差是s2＝150［10×(6－7。

2）2＋20×(7－7.2）2＋20×(8－7.2）2]＝错误!(14。

4＋0。

8＋12。

8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B )A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A错．同样当α，β平行于同一条直线或α,β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C,D错．由面面平行的判定定理可得B正确．4．如图,在三棱柱ABC。

高等数学A(二)2022-2022(A)试卷及解答

高等数学A（二）2022-2022(A)试卷及解答--------------------------------------------------------------------------------------上海海事大学试卷2022—2022学年第二学期期末考试《高等数学A（二）》（A卷）（本次考试不能使用计算器）班级学号姓名总分题目得分阅卷人一二12345678910四一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分3小题,每小题4分,共12分)某y1、函数f(某,y)某2y20装订(某,y)(0,0)(某,y)(0,0)在点(0,0)处（）线------------------------------------------------------------------------------------(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C)连续但不可导;(D)可导但不连续.2、函数z某2y在点（3，5）沿各方向的方向导数的最大值为（）(A)3;(B)0;(C)5;(D)23、设Ω是由3某2+y2=z,z=1－某2所围的有界闭区域，且f(某,y,z)在Ω上连续，则f(某,y,z)dv()dy1某23某2y2(A)2d某(C)12014某20f(某,y,z)dz(B)dz01某某dyzy23zy23f(某,y,z)d某111y2dy21y22d某1某23某2y2f(某,y,z)dz(D)d某121214某214某2dy3某2y21某2f(某,y,z)dz第1页共8页二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分3小题,每小题4分,共12分)1、设函数zz(某,y)由方程zez某y所确定，则dz2、微分方程yye某的通解为0,某2，已知S(某)是f(某)的以2为周期的3、设f(某)某,某022正弦级数展开式的和函数，则S9=4三计算题（必须有解题过程）（本大题分10小题，共70分）1、（本小题7分）z2z设zarcin(某0)，求，22某某y某yy2、（本小题7分）计算二重积分ID1in2(某y)d某dy,D:0某2,0y23、（本小题7分）判别下列级数的敛散性，并说明绝对收敛还是条件收敛。

高等数学A(二)答案详解

一、单项选择题（每小题3分，共30分）请将答案填在下面表格内！切记！题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C A C A D D 得分1、已知向量(1,1,0)MA = ，(1,0,1)MB =，则AMB ∠=（）。

(A) 3π (B)6π (C) 4π (D) 2π2、函数()y x f ,在点()00,y x 处可微分是()y x f ,在该点处连续的（）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要3、函数22y x z -=在点)1,1(沿方向(1,3)的方向导数为（）。

（A ）31+ （B ）31- （C ）6 （D ）74、曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程为（）（A ）23140x y z +++= （B ）23140x y z ++-= （C ）2370x y z +++=（D ）2370x y z ++-=5、设()y x f ,为连续函数，则二次积分⎰⎰11),(ydx y x f dy 交换积分次序后为（）。

(A) dy y x f dx x⎰⎰112),( (B) ⎰⎰11),(dy y x f dx (C) dy y x f dx x ⎰⎰201),( (D) ⎰⎰110),(ydy y x f dx6、Lxds =⎰（）其中L 为抛物线2y x =上01x ≤≤的弧段。

(A)()155112- (B) 551- (C)112 (D)()15518- 7、设∑为球面2222R z y x =++，则曲面积分=++⎰⎰∑dS z y x )(222（）。

(A)4R π (B)42R π (C)44R π (D)46R π 8、下列级数中，条件收敛的是（）。

（A ）()-+-=∞∑124131n n n n （B ）()-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=∞∑12311n nn（C ）()--=∞∑11121n n n （D ）()--=∞∑11211n n n n 9、幂级数20n n n e x ∞=∑的收敛半径=R （）。

西安工程大学高数A2答案

解： z x
=
f1 y +
f2，
五．（11 分）利用格林公式计算 L (ex sin y − 2y)dx + (ex cos y −1)dy ，其中 L 为从 (2, 0) 到 (0, 0) 的上
（2 分）
半圆 x2 + y2 = 2x ( y 0) .
解：根据题意可知： P( x, y) = ex sin y − 2y, Q( x, y) = ex cos y −1
n=1 n +1
n=1 n +1
所以幂级数的收敛域为[−1,1) .
（5分）
所以在 [−1,1)
内，幂级数
n=1
xn n +1
的和函数
S
(
x)
=
−1− 0
ln(1 − x
x) ,
, x
x =0
0
方法一：设 S ( x) =
xn ， x [−1,1)
n=1 n +1
则 xS ( x) = xn+1 ， n=1 n +1
第 1页共 1页
2018 级高数 A2 参考答案与评分标准：
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）BCCAB DCACD
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 2 ；
2. 3，2 ； 3
( ) 3. 1, − 3；
4.
2
d
2
f
r2
rdr
0
0
5. 0,
4
.
Lx = 2z + y + yz = 0
（2 分）
2z xy
=[
f11 x +

A数学必修二综合测试题(含答案),推荐文档

人教版A数学必修二综合测试题第I卷(选择题满分60分)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.*1.下列叙述中，正确的是( )(A) 因为P,Q，所以PQ(B) 因为P,Q，所以=PQ(C) 因为AB,C AB , D AB , 所以CD(D) 因为AB,AB，所以A()且B ()*2 .已知直【线l的方程为y x 1，则该直线l的倾斜角为( )(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 1350*3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且AB 2 J6 ,则实数x的值是().(A)-3 或4 (B) - 6或2 (C)3 或-4 (D)6 或-2*4.长方体的三个面的面积分别是.2 • 3.6，则长方体的体积是( ).A. 3-2B. 2 .3C.、6D. 6*5.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为()A、a2B、2 a2C、3 a2D、4 2 a*6.若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线( )(A)只有条(B)无数条(C)是平面内的所有直线(D)不存在**7.已知直线1、m、n与平面、，给出下列四个命题：①若m // 1 , n //1，贝U m // n②若m l,m / , 则丄③若m/ , n/ ，贝U m // n④若m l, 丄, 则m/ 或m其中假命题是()(A)①(B②(C)③(D)④** 8.在冋一直角坐标系中，表示直线y ax与y x a正确的是( ) .C .**9 •如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正方形,第 n 卷 (非选择题满分90分)4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上k ,直线(3 + k)x + (1-2k)y + 1 + 5k=0都过一个定点 A ,那么点 A 的坐标**14.空间四个点 P 、A B C 在同一球面上，PA PB PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=,那么这个球面的面积是 _________________ .2 2 2 2 .. ..**15 .已知圆01：x y 1与圆O 2：(x —3) (y + 4) 9，则圆O 与圆O 2的位置关系为 ________ .***16 .如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为旦(如图②)，则图①中的水面高度2为 __________ .5 (A)— (B)一 44 (C)(D)32** 10.直线x 2y 3与圆(x22) (y两点，则EOF (O 是原点) 的面积为(33A . 25B.4 C . 2B( 3, 2)直线I 过点P(1,1)，且与线段AB 相交，则直线I 的斜率的取值k 范围是 ()A k -或 k4 B 、k-或k44*** 12.若直线y kx42k与曲线y3 A .人 B .[1,4)1 33 C 、4 k D 、 k 44444x?有两个交点，贝y k 的取值范围是()3C .(4,1] D .( ，1]•填空题：本大题共 **13.如果对任何实数是 _______________ .俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积** 11.已知点 A(2, 3)、 ①三•解答题：本大题共6小题，共74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**17 .(本小题满分12分)如图，在Y OABC 中，点C (1, 3).(1)求OC所在直线的斜率；(2)过点C做CD丄AB于点D，求CD所在直线的方程.**18 .(本小题满分12分)如图，已知正四棱锥V —ABCD中，AC与BD交于点M , VM是棱锥的高，若AC 6cm, VC 5cm，求正四棱锥V - ABCD的体积.***19 .(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点.(1)求证：EF //平面CB1D1；(2)求证：平面CAA1C1丄平面CB1D1.AA F B*** 20.(本小题满分12 分)已知直线11: mx-y=O , l2: x+my-m-2=0 -(I)求证：对m€ R, l1与l2的交点P在一个定圆上；(H)若l i与定圆的另一个交点为Pi，I2与定圆的另一交点为F2，求当m在实数范围内取值时，"PRP2面积的最大值及对应的m.***21.(本小题满分12分)如图，在棱长为a的正方体A1B1C1D1 ABCD中，(1)作出面A1BC1与面ABCD的交线I，判断I与线A1C1位置关系，并给出证明；(2)证明B1D丄面ABQ ；(3)求线AC到面ABG的距离；(4)若以D为坐标原点，分别以DA, DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，试写出B, B1两点的坐标.**** 22.(本小题满分14分)已知圆O: x2 y21和定点A(2,1)，由圆0外一点P(a,b)向圆0引切线PQ,切点为Q,且满足PQ| |PA .(1) 求实数a、b间满足的等量关系；(2) 求线段PQ长的最小值；(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆0有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程.参考答案一.选择题DBACA BDCCD AB二.填空题13. ( 11 2)14. 3『15.相离16. (1 :27)a三.解答题17.解：(1) Q 点0( 0, 0), 点C( 1, 3),0C 所在直线的斜率为 3 0 k0C 3.1 0(2)在Y0ABC 中，AB//0C,Q CD 丄AB, CD 丄0C.1CD所在直线的斜率为k cD 3.CD所在直线方程为y 3 」(x 1),即x 3y 10 0.318. 解法1: Q正四棱锥V - ABCD中，ABCD是正方形，1 MC AC^BD1 6 3222口1且S ABCD— AC BD21 626 18 (cm2).Q VM是棱锥的高，Rt △VM(中,MC-5 - A BVM ..VC 2 MC 2 、52 32 4(cm).1正四棱锥V — ABCD 的体积为—S ABCD VM3解法2: Q 正四棱锥V - ABCD 中，ABCD 是正方形, MC 1 AC -BD 1 6 3(cm)2 2 2且AB BCAC 3 2 (cm).2S ABCD AB 2 (3.2) 2 18(cm 2).Q VM 是棱锥的高，Rt △ VMC 中，VM.VC^MC 2 ,52一32 4(cm).1 1正四棱锥 V -ABCD 的体积为—S ABCD VM 18 4 24(cm 3). 3 319.(1)证明：连结BD.在长方体 AC 1中，对角线 BD//B 1D 1. 又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点，EF//BD .EF // B 1D 1.又 B 1D 1 平面 CB 1D 1， EF 平面 CB 1D 1,EF //平面 CB 1D 1.(2) Q 在长方体 AC 1中，AA 1丄平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1,AA 1 丄 B 1D 1.又Q 在正方形 A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1丄B 1D 1, B 1D 1 丄平面 CAA 1C 1. 又 Q B 1D 1 平面 CB 1D 1, 平面CAA 1C 1丄平面 CB 1D 1.20. 解：(I) h 与J 分别过定点(0,0)、以(0, 0 )、( 2, 1)为一条直径的圆：x(x 2) y(y 1) 0 即x 2 y 2 2x y 0 -(□)由(1 )得 P 1 (0,0)、P 2 (2,1),15•••" PRP 2面积的最大值必为一2r r -.2 1 4此时OP 与RF 2垂直，由此可得 m=3或 -.31 18 4 24 (cm 3).3(2,1)，且两两垂直，• h 与 J 的交点必在x21. 解：(1)在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ,易知BE 即为直线I ,•/ AC // AG , AC // I ,••• I // AG .(2) 易证 AG 丄面 DBB 1 D i , • A 1C 1 _L B i D ，同理可证 A i B _L B i D ,又 A )GAB = A , • B 1D 丄面 A 1BC 1.(3) 线AC 到面ABC i 的距离即为点 A 到面ABG 的距离，也就是点B i 到面ABC i 的距离，记为h ，在三棱锥B i BA 1C i 中有(4) C(a,a,O), G(a,a,a)(2)由 2a b 3 0，得 b 2a 3.PQ J a 2 b 2 1 J a 2 ( 2a 3)2 1 .5a 212a 8 =6)2故当a 6时, 5 PQ iin 2 ,5.即线段PQ 长的最小值为5 5解法2:由(1)知，点P 在直线1: 2x + y — 3 = 0上. | PQ |min = | PA |min ，即求点 A 到直线I 的距离. | PQ |min| 2X 2 + 1 — 3 | .2 2 + 12 2*5 5 (3)设圆P 的半径为R , Q 圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1 , OP R 1.即 R J OP 1 且 R OP 1 . 而 |OP | J a 2 b 2 J a 2 ( 2a 3)2 (5(a £)2 g ，故当 a 6 时，OP min 3,5.5 min5此时，b 2a 3 3, R min 3.5 1. 5 5得半径取最小值时圆P 的方程为(x -)2 (y 3)25 5V B iBA C iVB A i B iC i ，即_s A iBCi-SA ］呂 C i22.解：(i )连OP,QQ 为切点，PQ OQ ，由勾股定理有2 2 2PQOPOQ.又由已知 PQPA ，故 PQ2 2PA即：(a 2b 2) 2 21 (a 2)(b 1)2b 3 0.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：2a解法2:圆P与圆0有公共点，圆P半径最小时为与圆的最小值为圆心0到直线I的距离减去1，圆心P为点与I垂直的直线I'与I的交点Po.3 3 5r = j 2 2—1 = —1.<2 2+ 1 25又I': x—2y = 0,解万程组XX26 -5 3 -5所求圆方程为（x 6）2（y 3）2（3.、5 1）2.5 5 50外切（取小者）的情形，而这些半径。