高数A(2)综合测试1参考答案

1 1 1 1 1 ∞ 1 ∞ x 1 ∞ ⎛ (−1) n ⎞ + ⋅ = ∑ x n − ∑ (−1) n ( ) n = ∑ ⎜ 1 + n +1 ⎟ x n , x ∈ (−1,1) f ( x) = ⋅ 3 1 − x 6 1 + x 3 n=0 6 n =0 2 3 n =0 ⎝ 2 ⎠ 2
解：
∫∫ zdxdy = − ∫∫
Σ Dxy
2π 1 2 x 2 + y 2 dxdy = − ∫ dθ ∫ ρ ⋅ ρ dρ = − π . 0 0 3
三、解答下列各题（每题 5 分）
n 1. 判定级数 ∑ (−1) n =1
∞
n2 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 3n
2
解： 因为un = ( −1) n
2 2
∂P ∂Q = 2 x, = 2 x + 2; ∂y ∂x
⎧ y = 0, x : 0 → 4, 则 L1 + L 为封闭曲线,由 Green 公式得 ⎩ x = x, ∂Q ∂P − )dxdy = ∫∫ 2dxdy = 4π . 2 x( y − 1)dx + ( x 2 + 2 x + y 2 )dy = ∫∫ ( ∫ ∂x ∂y L +L1 D D
∞
un +1 ( n + 1) 2 3n 1 n2 n2 , , lim lim u = 又 = ⋅ = < 1. n n →∞ u n →∞ 3n 3n 3n +1 n 2 3 n
∞
n
n2 所以 ∑ un 收敛,即 ∑ (−1) n 绝对收敛. 3 n =1 n =1
2. 求幂级数
∞ xn 1 的收敛域及和函数 ，并计算和 . s ( x ) ∑ ∑ n n=1 n n =1 n ( −3) 1 解：因为幂级数的系数为 an = , 所以该幂级数的收敛半径为 n ∞ ∞ a xn (−1) n =∑ 收敛, ρ = lim n +1 = 1, ⇒ R = 1. 又因为 x = −1 时， ∑ n →∞ a n n =1 n x =−1 n =1 n
∞
xn ∑ n =1 n
∞
∞
∞ 1 xn = ∑ 发散，所以， 幂级数 ∑ 的收敛域为 [ −1,1) 。 n=1 n n =1 n x =1
∞
xn + , s(0) = 0, n n =1 1 , x ∈ (−1,1) s′( x) = 1 + x + + x n −1 + = 1− x x x 1 dx = − ln(1 − x), x ∈ [−1,1). s ( x) = s ( x) − s(0) = ∫ s′( x)dx = ∫ 0 0 1− x ∞ 1 1 1 3 所以 ∑ =s ( − ) = − ln(1 + ) = ln = ln 3 − 2 ln 2. n 3 3 4 n =1 n ( −3) 1 3. 将函数 f ( x ) = 展开为 x 的幂级数. 2 − x − x2 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ 解： f ( x ) = = = ⎜ + ⎟ 2 2− x− x (1 − x)(2 + x) 3 ⎝ 1 − x x + 2 ⎠ ∞ 1 因为 = ∑ t n , t ∈ (−1,1), 所以， 1 − t n=0 s ( x) = ∑ +
∫
L
xdy − ydx = 2
2
x + y ≤4
∫∫
dxdy =8π .
2
∑
n =1
∞
1 n
B.
n(n − 1) ∑ 2 n =1 n + 5
∞
(−1) n ∑ n n =1
∞
D.
⎛ 1⎞ ∑ ⎜1 + ⎟ n⎠ n =1 ⎝
b a
∞
n
7. 已知平面区域 D： a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ 1, 又 A. 1 B. 2
4. 设 f ( x ) = x, 0 ≤ x ≤ π ，将 f ( x ) 展开为正弦级数 （2）记 s ( x ) =
xn x2 = x+ + n 2
注意：上述 ( −1,1) 为 ( −1,1) 与 ( −2, 2) 之交集。
∑ b sin nx ，（1）求 b 的值；
n =1 n
∞
2
∑ b sin nx ，则 s(π ) =
dxdy ∫ 2
2
x +y
zdz = ∫ dθ ∫ d ρ ∫ 2 z ⋅ ρ dz =
0 0
π
3
ρ
.
7. 计算 2 x( y − 1)dx + ( x + 2 x + y )dy, 其中 L 为由 A(4, 0) 沿上半圆 y =
L
∫
4 x − x2
到 O (0,0) 的一段圆弧. 解： 设P = 2 x( y − 1), Q = x + 2 x + y ，则
∫∫ ( x + 1)
D
x 2 + y 2 dσ , 其中 D: x 2 + y 2 ≤ 1 .
∫∫ ( x + 1)
D
2π 1 2 x 2 + y 2 dσ = ∫∫ x 2 + y 2 dσ = ∫ dθ ∫ ρ ⋅ ρ dρ = π . 0 0 3 D
注意： 6. 计算
∫∫ x
D
x 2 + y 2 dσ = 0, 因为被积函数关于 x 为奇函数， D 关于 y 轴对称。
2
∫∫∫ zdv ，其中 Ω 由 z = x
Ω
+ y 2 及平面 z = 1 所围成的闭区域.
解：法一(截面法)： 法二(柱坐标)：
∫∫∫ zdv= ∫
Ω Ω
1
0
zdz
x2 + y 2 ≤ z
1
∫∫
dxdy = ∫ z ⋅ π zdz =
0 2π 1
2
1
π
3
.
1
∫∫∫ zdv= ∫∫
2
x 2 + y 2 ≤1
4 3 3 B. C. 2 D. 2 6 6 2 2 2 3. 曲面 3 x + 2 y + z = 12 上点（1,-2,1）处的切平面方程为 3 x − 4 y + z − 12 = 0.
4. 若级数
∑ (2u
n =1
∞
n
1 − 1) 收敛，则 lim un = . n →∞ 2
2 2
5. 设曲线 L 是沿逆时针方向的圆周 x + y = 4, 则 6. 下列级数收敛的是【 C A. 】. C.
n =1 n
∞
.
解：
b2 =
2
s (π ) = 0.
π
∫
π
0
f ( x) sin 2 xdx =
2
π
∫
π
0
x sin 2 xdx = −1.
3
4. 设 z = f ⎜
⎛ x − xy ⎞ ∂z ∂ 2 z , e ⎟ , 且 f 具有二阶连续偏导数，求 , 2 . ∂x ∂x ⎝y ⎠
∂z 1 解: = f1′− ye− xy f 2′; ∂x y
5. 计算 解：
∂2 z 1 ′′ − 2e− xy f12 ′′ + y 2e−2 xy f 22 ′′ + y 2 e− xy f 2′. = 2 f11 2 y ∂x
1
设F ( x, y, z ) = z 3 − 3xyz − 1，则Fx = −3 yz, Fy = −3 xz, Fz = 3z 2 − 3xy;
解： ∂z
∂x
=−
F Fx ∂z yz xz = 2 , =− y = 2 , dz (2,1,1) = −(dx + 2dy ). Fz z − xy ∂y Fz z − xy
高等数学（A2）综合测试（一）(参考答案)
一、填空题（每题 3 分） 1. 设 u = x + y − x y ，则
4 4 2 2
∂ 2u = 12 x 2 − 2 y 2 . ∂x 2 ∂u ∂l = 【 A 】.
(1,1,1)
2. 设函数 u = xyz 在点(1,1,1)沿 l = (2,1,1) 的方向导数 A.
2
∫∫ yf ( x)dσ = 1, 则 ∫
D
b 1 a 0
f ( x )dx = 【 B 】.
1 b f ( x)dx = 1 ） 2 ∫a
C. 0
2
D. 0.5
（∵ ∫∫ yf ( x)dσ = ∫ f ( x)dx ∫ ydy =
D
8. 设 L 为圆周 x + y = 3, 则
∫
L
x 2 + y 2 ds = 3 ∫ ds = 3 × 2 3π = 6π .
L源自文库
二、解答下列各题（每题 7 分） 1. 设 u = e 解： u = e
x2 + y2 + z2
, z = x 2 sin y, 求
，
∂u ∂u , . ∂x ∂y
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
2 2 4 2 ∂u = e x + y + x sin y (2 y + 2 x 4 sin y cos y ). ∂y y 2. 设函数 u = x 2 ln y + sin + e yz ，求全微分 du . 2 y ∂u ∂u x 2 1 ∂u = 2 x ln y, = + cos + ze yz , = ye yz . 解： 2 ∂x ∂y y 2 ∂z
作辅助线 L1 : ⎨ 所以,所求曲线积分
∫ P d x + Qd y = ∫
L
L +L1
Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy = 4π − ∫ (−2 x)dx = 4π + 16.
L1
0
4
8. 计算
∫∫ zdxdy, 其中 Σ 是曲面 z
Σ
2
= x 2 + y 2 介于 z = 0 及 z = 1 之间的部分的外侧.
2 2 4 2 ∂u = e x + y + x sin y (2 x + 4 x 3 sin 2 y ); ∂x
x2 1 y + cos + ze yz )dy + ye yz dz. y 2 2 3 3. 求由方程 z − 3 xyz = 1 所确定的隐函数 z = z ( x, y ) 在点（2,1,1）处的全微分. du = 2 x ln ydx + (