1.2_反比例函数的图像和性质(1)
人教版初中数学九年级下册 26.1.2 反比例函数的图像和性质(第1课时)课件 【经典初中数学课件】
B
C B1
C1
∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1 AB = BC = AC ， A1B1 = B1C1 = A1C1
对应角相等
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 对应边成比例
对应角有什么关系？
正六边形 AF
120° B
放大 B1 E
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 当k＜0时，函数图象
性 的两个分支分别在第 的两个分支分别在第
质
一、三象限，在每个 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 象限内，y随x的增大
而减小.
而增大.
1.反比例函数y= -
5 x
的图象大致是（
D）
y
y
A.
o
x B.
o x
y
y
C.
o
x D.
y
6
6y
5 4
y
=
6 x
3
y=
6 x
5 4
3
2
2
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描一 些点,这样既可以方便连线，又可以使图象精确． 2.描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把 点的位置描错． 3.线连时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连 线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接． 4.图象是延伸的，注意不要画的有明确端点． 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称 为反比例函数。
通过直接观察反比例函数的图像，可以判断其单调性。当比例系数大于0时，函数图像在第一、三象限内单调递 减；当比例系数小于0时，函数图像在第二、四象限内单调递增。
导数法
对反比例函数求导，通过导数的正负判断函数的单调性。当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函 数单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数质
综合应用探讨
反比例函数与一次函数的 综合应用
在解决某些实际问题时，可以将反比例函数 与一次函数结合起来，例如分段函数中的一 部分为反比例函数，另一部分为一次函数。 通过比较和分析这两个函数的图像和性质， 可以更好地理解问题的本质和解决方案。
反比例函数与二次函数的 综合应用
在某些复杂的问题中，可能需要同时考虑反 比例函数和二次函数的性质。例如，在经济 学中研究成本、收益与产量之间的关系时， 可能会遇到同时包含反比例函数和二次函数 的模型。通过综合运用这两个函数的性质和
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即 如果点(x, y)在图像上，那么点(-x, y)也在图像上。
VS
反比例函数的图像也关于直线y = x 和y = -x对称。这意味着如果点(x, y) 在图像上，那么点(y, x)和(-y, -x)也在 图像上。
反比例函数的图象和性质
1.2反比例函数的图像和性质（1）[教学目标]1、体会并了解反比例函数的图象的意义2、能描点画出反比例函数的图象3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质 [教学重点和难点]本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点 [教学过程] 1、情境创设可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。
转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢? 2、探索活动探索活动1 反比例函数xy 6=的图象． 由于反比例函数xy 6=的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：(1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；(2)方法与步骤——利用描点作图；列表：取自变量x 的哪些值? ——x 是不为零的任何实数，所以不能取x 的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。
描点：依据什么(数据、方法)找点?连线：怎样连线? ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。
探索活动2 反比例函数xy 6-=的图象． 可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：(1)可以用画反比例函数xy 6=的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；(2)可以通过探索函数x y 6=与x y 6-=之间的关系，画出x y 6-=的图象．探索活动3 反比例函数x y 6-=与xy 6=的图象有什么共同特征?引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．反比例函数xky =(k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。
当0>k 时，图象在一、三象限：当0<k 时，图象在二、四象限。
反比例函数xky =(k ≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
1.2反比例函数的图象与性质
（2） 判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个
函数的图象上；
解：把点A， B
的坐标分别代入
y
8
，
x
可知点A 的坐标满足函数表达式， 点B 的坐标
不满足函数表达式， 所以点A 在这个函数的图
象上， 点B 不在这个函数的图象上.
精品课件
例1.已知反比例函数y k x
（2，4）.
的图象经过点P
x (2) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第_一__、_三__象限， 在
每个象限内 y 随 x 值的增大而减小
.
(3) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第__二_、_四__象限，在
每个象限内 y 随 x 值的增大而 增大
.
(4)反比例函数图象与坐标轴不相交.
(5)反比例函数y= —xk (k≠0) 的图象关于直角坐标系的原点
又有当 y一定时，x互 为相反数，因此它们 也关于 y 轴对称.
精品课件
小结与复习
解析式
y k (k 0) x
图象
y k (k 0) x
象限 增减性
一三象限
二四象限
在每个象限内，在每个象限内，
y随x的增大而 y随x的增大而
减小
增大
精品课件
做一做
习题一：简单图像性质
1.反比例函数 y 5 它的图象经过 二四3 x
3.为什么反比例函数
y k (k 0) x
的图象关于原点对称？
由解析式可知： 坐标点（x，y）和 坐标点（y，x）都 在函数的图象上， 因此它关于原点对称.
精品课件
说一说
从反比例函数的解析式中再分析
4. 反比例函数
y k (k 0) x
1.2反比例函数的图像和性质(1)
练一练 5
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y 100 的图象上，则（ B ） x
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
练一练 6
已知圆柱的侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为 rcm,高为hcm,则h与r的函数图象大致是( C ).
oD x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分
别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这
y
个反比例函数的
关系式是
y
.
3 x
pN M ox
3. 如图，正比例函数 y kx(k 0)与反比例函数
y 2 相交于A、B两点．过 A作x轴的垂线、过B
x
作y轴的垂线，垂足分别为D、C，设梯形ABCD的
2. 双曲线y =
1 3x
经过点（-3，__91_）
3.函数
y=
m-2 x
的图象在二、四象限，则m的
取值范围是 _m__<_2.
4.对于函数 y = _____三___象限.
1 3x
，当 x<0时，图象在第
5.
已知反比例函数
y
m x
1的图像在二、四象限内
而一次函数y＝mx+2的图象经过一、二、三象限，
描点法
列 表
描 点
连 线
x
y
=
6 x
y=
6 x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
1.2反比例函数的图像和性质
（2）求△ABC的面积。
（1）m=4 （2） S△ABC=8
C
y
A
O
B
x
复习
1、判断 k y 为反比例函数（ 错 ） 1） x 2）反比例函数的图象是曲线，与x、y轴有交点( 错 ) 3) 反比例函数的图象是中心对称图形 2、选择、填空 3 1）函数y 2 x A 一、二 过 （ D ）象限 （ 对）
k 4）反比例函数 y x k 0 的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且
X1<x2 则y1－y2的值是（ D A 正数 B负数
） D不能确定 y
C非正数
本题要注意A,B是否在同一象限内 o x
若A,B在不同的象限则可能有多 种情况出现
1 1 已知P（2，2 ）为反比例函数 y x 图象上第一象限的点，过P分别作x轴、 y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的 矩形PEOF的面积为多少？
k<0时，都经过二、四象限
暂不能比较的：k>0时正比例函数y随x的增大而增大； k<0时正比例函数y随x的增大而减小。 那么反比例函数有没有这样的类似性质呢，你能不 能帮小明解决这个问题呢？
新课探究：
1、函数
2 y x
k值是几？过哪几个象限？ y
K＝2，过一、三象限
－4－3－2－1
2、我们看第一象限的图象填表并回答
相等
综合演练
k y k 0 的图 如右图，点A在反比例函数 x
A 不变
B增大
C减小
1 y 3）反比例函数 x
的图象上有两点A(1,y1),B(2,y2), ） C非正数 D不能确定
则y1－y2的值是（ A A 正数 B负数
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
1.2反比例函数的图像和性质(1)
1.2反比例函数的图像和性质（1）课标要求：作反比例函数的图像。
教学目标1.能用“描点法”画出反比例函数的图象。
2.用插点研究反比例函数的图像，运用“数形结合”思想根据反比例函数解析式理解反比例函数图像及简单的性质。
教学重点和难点重点：反比例函数的图象的画法难点：用插点研究反比例函数的图像，运用“数形结合”思想根据反比例函数解析式理解反比例函数图像教学过程一、情境创设从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?（描点、0~1插点）在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。
转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢?二师生互动，探究新知：1.组内同学相互交流 昨天布置的预学作业： 试着画反比例函数xy 4= （注意作图步骤：列表、描点、连线）我的疑问：教师预设学生可能出现的问题：1.有的同学只作了xy 4=()0>x 的图像。
2.为什么xy 4=的图像在第一、第三象限？ 3.有的同学将一、三象限的图连起来。
4.部分同学将点与点之间用线段连接。
5.图形有端点6.部分同学不能把握好图形的变化趋势。
三 师生互动，探究新知。
（一）解决预习作业中的疑难：1.作xy 4=的图像。
首先只作0>x 时的图像。
列表、描点、连线。
点与点之间用线段连接是否正确？同学们回忆一下我们是怎样研究一次函数图像的？（插x 21 1 2 3 4 5 x y 4= 8 4 2 34 1 45点研究）请大家试着在自变量1~2之间插点老师在学生作图探究的基础上示范，再用几何画板演示。
自变量1~2之间插5个点、10个点、20个点。
从而解决疑难4 怎样连线? 按照自变量从小到大的顺序用光滑的曲线把所描的点连接起来。
2.作xy 4=的图形 解决问题1 3.研究图形的变化趋势 解决问题5、6.4.由于xy 4= 因此0>xy 从而.00,00<<>>y x y x 时，时 （+，+）（-，-) xy 4=的图像在第一、第三象限？疑难2。
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反比例函数的图象又会是什么样子呢?
你还记得作函数图象的一般步骤吗?
用图象法表示函数关系时,首先在自变 量的取值范围内取一些值,列表,描点, 连线(按自变量从小到大的顺序,用一 条平滑的曲线连接起来).
函数图象画法
描点法
列
表
描 点
连 线
画一画
画出反比例函数 y =
6 x
和y=
6 x
的函数图象。
2
3 6 -6 -3 -2 -1.5-1.2 -1 …
y
y
6
6
5
4
y
=
6 x
3
2
y=
6 x
5
4
3 2
双曲线
1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2
-2
-3
双曲线
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
讨 论 反比例函数的性质
1
复习回顾,引入新课
1.
反比例函数的定义： 函数 y
k x
(k 0)
叫做反比例函数.
2. 反比例函数的特征：k ≠0， x ≠0. x是－1次
3. 反比例函数的确定：待定系数法.
4.它的三种常见的表达形式：xy = k（k ≠ 0）
y=kx-1（k≠0）
回顾与思考1
我们已研究过正比例函数，一次函数的图像， 你还记得是怎样的吗？
时室内空气中每立方米含药量6mg，请根据题中所
提供信息，解答下列问题：
y（mg）
（1）药物燃烧时，y关于x的函数
关系式
y
3x 4
，自变量x的取值 6
范围 0x8 ，药物燃烧后y关
于x的函数关系式
y 48 x
；o
8
x(min)
（2）研究表明，每立方米的含 药量低于1.6mg时，学生方可进 教室，那么从消毒开始，至少 需要经过 30 分钟后，学生才 能回教室；
2
oD x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分
别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这
y
个反比例函数的
关系式是
y
.
3 x
pN M ox
3. 如图，正比例函数 yk(xk0)与反比例函数
y 2 相交于A、B两点．过 A作x轴的垂线、过B
x
作y轴的垂线，垂足分别为D、C，设梯形ABCD的
面积为S，则(B )
A．S＝6
B．S=3
y
C．2<S<3
D．3<S<6.
A
O
D
x
B
C
③ 反比例函数的性质是什么?
形状
位置
变化趋势
y
对称性
面积不变性
0
y=
k x
x
K＞0
练习2
1. 已知k<0,则函数
y1=kx,y2=
k x
在同
(A)
一坐标系中的图象
大致是 ( D) (C)
(A)
2与. 已y2=知kkx>0在,则同函一数坐y标1=系kx中+k
1.当k>0时,图象的两个分支分 别在第一、三象限内；
y
y
=
6 x
0
x
2.当k<0时,图象的两个分支分
别在第二、四象限内。
y
3.图象的两个分支关于直角坐 标系的原点成中心对称。
00
xx
y=
6 xБайду номын сангаас
4.双曲线无限接近于x、y轴,但永远
不会与坐标轴相交
如果知道双曲线的
一支，利用对称性，
如何画另一支？
你能总结一下反比例函数的图象性质特征 吗?
x
y
（-4，2）
（1）判断k是正数还是负数；
0
x
（2）求这个反比例函数的解析式；
（3）补画这个反比例函数图象的另一支。
y
（-4，2）
0
x
做一做：
1、下列反比例函数的图象分别在哪个象限？
⑴
y=
3 x
⑵
y
=
-
1 x
2、已知反比例函数
y=
k x
（k≠0）
的图象上
一点的坐标为（ 2 ，2 ）。
求这个反比例函数的解析式。
的图象大致是 ( C )
(C)
y
0 x (B)
y
0 x (D)
y
0
(B)
x
y
0 x (D)
y 0x y 0x y 0x y 0x
适度拓展,探究思考
为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进
行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量 y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧
完后，y与x成反比例。现在测得药物8min燃毕，此
求m的取值范围．
6.在平面直角坐标系中有六个点A（1，5），
B（-3，-1.5)，Ｃ（-5，－１），
Ｄ（２，５／２），Ｅ（３，５／３），
Ｆ（５／２，２），其中有五个点在同一反比
例函数图像上，在这个反比例函数图像上的点
有（
）
例题解析,当堂练习
例1:已知反比例函数y= k (k≠0）的图象
的一支如图。
② 反比例函数的图象是什么样子的?怎样作图
象
面积不变性 反比例函y数 k x
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k
y
B P(m,n) 长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱
oA
x
三角形的面积
S AOP
k 2
y
课内练习：
1.如图,点P是反比例函数 y 图 4x象上的一点,PD⊥xP
轴于D.则△POD的面积为 .
形形状状图象是双曲线 位位置置 当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内
当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内
变化趋势 变化趋势 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会
与坐标轴相交 对对称称性性 双曲线是中心对称图形.
对称中心是： 坐标原点
练习 1
1.函数 y =
5 x
的图象在第_二_,_四__象限，
2. 双曲线y =
1 3x
经过点（-3，__91_）
3.函数
y=
m-2 x
的图象在二、四象限，则m的
取值范围是 _m__<_2.
4.对于函数 y = _____三___象限.
1 3x
，当 x<0时，图象在第
5.
已知反比例函数
y
m x
1的图像在二、四象限内
而一次函数y＝mx+2的图象经过一、二、三象限，
练一练
3、已知反比例函数y=mxm²-5 ，它的两个分支 分别在第一、第三象限，求m的值？
解：因为反比例函数y=mxm²-5 ，它的两个分
支分别在第一、第三象限
所以必须满足｛mm²-﹥5=0 -1 y 得：m =2
o
y=mxm²-5
x
梳理概括,形成结构
请大家围绕以下三个问题小结本节课 ① 什么是反比例函数?
描点法
列 表
描 点
连 线
x
y
=
6 x
y=
6 x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y
=
6 x
…
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
-6
63
2 1.5 1.2 1 …
y=
6 x
…
1
1.2 1.5
❖ 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,
称直线y=kx+b. 当k>0时,
当k<0时,
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
B>0
b=0
o
x
b<0
❖ y随x的增大而增大;
y随x的增大而减小.
设问：
1. 那反比例函数的图像是否象 前面所学的函数一样是直线呢？
2. 图像会与坐标轴相交吗，为什么？
（不相交，x≠0 ，y≠0）