Newton分形的原理及Matlab实现

Ｎｅｗｔｏｎ分形的原理及Ｍａｔｌａｂ实现

作者：张健徐聪全付勇智

来源：《电脑知识与技术》2009年第24期

摘要:详细推导了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,用MATLAB编制程序实现了Newton迭代算法,得到了一些奇异、绚丽的分形图形。对《数学实验》课程有一定的参考价值。

关键词:Newton迭代法;分形;Matlab;数学实验

中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)24-6997-03

The Principles of Newton Fractal and it's Realization Using MATLAB

ZHANG Jian, XU Cong-quan, FU Yong-zhi

(Department of Basic Courses, Southwest Forestry College, Kunming 650224, China)

Abstract: The Principles and formulas of Newton fractal was explained,fractal graphics of Newton iteration was created using Matlab.

Key words: newton iteration; fractal; Matlab; mathematical experimental

分形是非线性科学的一个重要分支,应用于自然科学和社会科学的众多领域。其中,分形图形以其奇异、绚丽多彩的特点,广泛应用于纺织印染、广告设计、装潢设计、计算机美术教学等领域[1]。

很多分形图形都是用迭代的方式实现的,Newton迭代法就是其中的一种。由Newton迭代法产生的分形图形称为Newton分形[2]。很多文献都对Newton分形进行了介绍,但都没有详细的计算公式和算法说明,读者很难编制相应程序。本文详细介绍了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,设计了相应的实现算法,并用Matlab编制程序实现了Newton分形的绘制,生成了一些奇异、瑰丽的分形图形。

由于国内高校《数学实验》课程大多采用Matlab软件,同时很少涉及分形图形的实验,因此,Newton分形的Matlab实现可以丰富《数学实验》课程的内容,对数学类、计算机类、艺术类学生和教师有一定的参考价值。

1 Newton迭代法

17世纪,牛顿创立了一种依靠简单迭代计算求方程f(x)=0的根的方法[3]:

任取一点x0,利用公式(1)进行迭代,若存在,则序列xt收敛于方程f(x)=0在x0附近的一个根。

我们把复数z应用到公式(1)上,就得到了复平面上的Newton迭代公式:

现在,取一个较简单的函数f(z)=zn-1,则f(z)的一阶导数f’(z)=nzn-1,代入公式(2)得:

根据复数的三角表示式,可记zt为:

zt=xt+iyt=|zt|(cosθ+isinθ) (4)

其中,称为复数zt的模,θ为复数zt的辐角的主值,-π≤θ≤π。

辐角主值θ的计算方法如下[1]:

由复变函数知识可知:

将(5)、(6)两式代入(3)得:

即有:

(8)

式(8)就是编写程序时需要的迭代计算公式。

2 Newton分形的生成算法

在复平面上取定一个窗口,将此窗口均匀离散化为有限个点,将这些点记为初始点z0,按公式(8)进行迭代。其中,大多数的点都会很快收敛到方程f(z)=zn-1的某一个零点,但也有一些点经过

很多次迭代也不收敛。为此,可以设定一个正整数M和一个很小的数δ,若果当迭代次数小于M 时,就有两次迭代的两个点的距离小于δ,即

则认为z0是收敛的,即点z0被吸引到方程f(z)=zn-1=0的某一个根上;反之,当迭代次数达到了M,而|zt+1-zt|>δ时,则认为点z0是发散(逃逸)的。这就是逃逸时间算法的基本思想。

当点z0比较靠近方程f(z)=zn-1的根时,迭代过程就很少;离得越远,则迭代次数越多甚至不收敛[2]。

由此设计出函数f(z)=zn-1的Newton分形生成算法步骤如下:

1)设定复平面窗口范围,实部范围为[a1,a2],虚部范围为[b1,b2],并设定最大迭代步数M和判断距离δ;

2)将复平面窗口均匀离散化为有限个点,取定第一个点,将其记为z0,然后按公式(8)进行M 次迭代。

每进行一次迭代,按公式(9)判断迭代前后的距离是否小于δ,如果小于δ,根据当前迭代的次数M选择一种颜色在复平面上绘出点z0;如果达到了最大迭代次数M而迭代前后的距离仍然大于δ,则认为z0是发散的,选择白色(也可换为其他颜色)在复平面上绘出点z0。

3)在复平面窗口上取定第二个点,将其记为z0,按第(2)步的方法进行迭代和绘制。直到复平面上所有点迭代完毕。

3 Matlab程序设计

Matlab是由MathWorks公司与1984年推出的数学软件,原意为“矩阵实验室”。Matlab以其强大的功能和良好的开放性、面向问题性、易学易用等特点,越来越被广大科研人员和工程计算人员以及高校学生和老师所重视[4]。国内外《数学实验》课程大多采用Matlab软件作为计算工具,为此,我们使用Matlab编制了绘制Newton分形的程序。

程序由3个函数组成:

1)主函数newton.m:

function f = newton(n)

m=13;%迭代次数

a1=-2;%复平面窗口实部范围

a2=2;

b1=-1.5; %复平面窗口虚部范围

b2=1.5;

delta=0.01 %收敛判定距离

hold on

for i = a1:0.02:a2

for j =b1:0.02:b2

%对每一个点,调用迭代函数,返回收敛时间(即判断为收敛时的迭代次数M) f=f_iterat(i,j,n,m,delta);

if f > 0%用7种颜色(不含白色)绘制收敛点

switch rem(f,7) %求f除以7的余数

case 0

plot(i,j,'b.')%蓝色

case 1

plot(i,j,'c.')%青色

case 6

plot(i,j,'y.')%黄色

end

end

end