几个分形matlab实现

几个分形的matlab实现

摘要：给出几个分形的实例，并用matlab编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感

关键字：Koch曲线实验图像

一、问题描述：

从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下

图1

在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch分形曲线。

二、算法分析：

考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。图1中，设

1

P和

5

P分别为

原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点

2

P，

3

P，

4

P。显然

2

P位

于线段三分之一处，

4

P位于线段三分之二处，

3

P点的位置可看成是由

4

P点以

2

P点为轴心，逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵

⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

=

)

3

cos(

)

3

sin(

)

3

sin(

)

3

cos(

π

π

π

π

A

实现。

算法根据初始数据（

1

P和

5

P点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个2

5⨯矩阵，矩阵的第一行为

1

P的坐标，第二行为

2

P的坐标……，第五行为

5

P的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x坐标，第二列元素分别为5个结点的y坐标。

进一步考虑Koch曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第k次迭代产生的结点数为k

n，第1

+

k次迭代产生的结点数为

1+

k

n，则

k

n和

1+

k

n中间的递推关系为3

4

1

-

=

+k

k

n

n。

三、实验程序及注释：

p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标

n=2; %n为结点数

A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵

for k=1:4

d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量

%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式

q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量

p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标

p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标

p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标

n=m; %迭代后新的结点数目

end

plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线

axis([0 10 0 10])

四、实验数据记录：

由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线：

图2

五、注记：

１．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线：

图3

此时，旋转矩阵为：

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=0110)2cos()2sin()2sin()2cos(ππππA 程序和曲线如下：

p=[0 0;10 0]; %P 为初始两个点的坐标,第一列为x 坐标,第二列为y 坐标 n=2; %n 为结点数 A=[0 -1;1 0]; %旋转矩阵 for k=1:4

d=diff(p)/3; %diff 计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量 %则d 就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=5*n-4; %迭代公式

q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量

p(6:5:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:5:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标 p(3:5:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标 p(4:5:m,:)=q+2*d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标 p(5:5:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于5k 位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目 end

plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线 axis([0 10 0 10])

图4

由于中间三分之一部分是一个正方形时，有很多连接的部分。所以我们将高度压缩到原来的0.7倍，即中间部分为一个长

与宽之比为1:0.7的矩形时，得到程序和曲线如下：

p=[0 0;10 0]; %P 为初始两个点的坐标,第一列为x 坐标,第二列为y 坐标 n=2; %n 为结点数