解析几何：曲线与方程

第50讲
曲线与方程
4． [教材改编] 过圆 x2＋y2＝4 上任一点 P 作 x 轴的垂线 PN， 垂足为 N，则线段 PN 的中点 M 的轨迹方程为________．
x2 2 [答案] 4 ＋y ＝1
x＝x1， x1＝x， [解析] 设 M(x， y) ， P(x1， y1)， 依题意得 y1 ⇒ 因 y＝ y1＝2y. 2 2 x 点 P(x1，y1)在圆上，代入圆的方程得 x2＋(2y)2＝4，即 ＋y2 4 ＝1.
x2 y2 [答案] (1) － ＝1(x≤－ 2) 2 2 x2 y2 (2) ＋ ＝1(0≤y≤4) 25 16
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[解析] (1)因为动圆 P 过点 N，所以|PN|是该圆的半径，又因 为动圆 P 与圆 M 外切， 所以有|PM|＝|PN|＋2 2， 即|PM|－|PN| ＝2 2，故点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，实轴长为 2 2， 焦距为 4 的双曲线的左支，即有 a＝ 2，c＝2，所以 b＝ 2 2 x y c2－a2＝ 2， 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 － ＝1(x≤ 2 2 － 2)． x2 y2 (2)设 P(x，y)，则 x＝5cos α，y＝4sin α，消掉参数得25＋16＝ 1，但当 0≤α≤π 时，－5≤x≤5，0≤y≤4，故动点 P 的轨 x2 y2 迹方程是25＋16＝1(0≤y≤4)．
图 7501
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(2)已知 M(－2，0)，N(2，0)，则以 MN 为斜边的直角三角 形的直角顶点 P 的轨迹方程为________.
[答案] (1)y2＝4x (2)x2＋y2＝4(x≠± 2)
→ → [解析] (1)设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，FP＝(x－1，y)，QP＝ → → → → → (x＋1， 0)， QF＝(2， －y)， 由QP· QF＝FP· FQ， 得(x＋1， 0)· (2， －y)＝(x－1，y)· (－2，y)，化简得 y2＝4x. 1 (2)MN 的中点为原点 O，易知|OP|＝ |MN|＝2，∴P 的轨迹 2 是以原点 O 为圆心，以 r＝2 为半径的圆，且除去与 x 轴的 两个交点，故 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4(x≠± 2)．
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f(x，y)＝0 ，并化简． (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程____________ (4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2 的方程为 F2(x，y)＝0，
则
F1（x，y）＝0， C1，C2 的交点坐标即为方程组 的实数解．若 F （ x ， y ）＝ 0 2
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1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或 适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x， y)＝0 的 实数解建立了如下关系： 这个方程的解 (1)曲线上点的坐标都是 ____________． 曲线上的点 ． (2)以这个方程的解为坐标的点都是____________ 那么这个方 方程的曲线 程叫作曲线的方程，这条曲线叫作____________ ． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一 点 M 的坐标． (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}．
x＝1， x＝－1， ⇒ 或 表示两个点(1，1)，(－1，－1)． y＝1 y＝－1.
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2．[教材改编] 一条线段 AB 的长为 2，两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点的轨迹是 ________．
[答案] 圆
[解析] 方法一：设 A(a，0)，B(0，b)，AB 中点为 M(x，y)，则 a＝2x，b＝2y，由|AB|＝2，得 （2x－0）2＋（0－2y）2＝2， 即 x2＋y2＝1. 方法二：当 A，B 分别在 x 轴，y 轴上时，由直角三角形 AOB 斜边上的中线等于斜边的一半可知，中点到原点的距离为 1. 当点 A 或 B 与原点重合时， 中点到原点的距离也是 1，故中点 轨迹为单位圆．
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通性通法
6．求轨迹方程的常用方法：直接法；待定系数法；代入转 移法；参数法． (1)如图 7501 所示，已知 F(1，0)，直线 l：x＝－1，P 为平 → → 面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点 Q，且QP· QF＝ → → FP· FQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为________．
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3． [教材改编] 已知△ABC 的两个顶点 A， B 的坐标分别是(－ 5，0)，(5，0)，且 AC，BC 所在直线的斜率之积等于－1， 则顶点 C 的轨迹方程为________．
[答案] x2＋y2＝25(y≠0)
y y [解析] 设 C(x，y)，则 kAC＝ ，k ＝ ，依题意可得 x＋5 BC x－5 y y kAC·kBC＝ · ＝－1，即 x2＋y2＝25，因为 A，B，C x＋5 x－5 不能共线， 故 y≠0， 所以顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝25(y≠0)
无交点 ． 此方程组无解，则两曲线________
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链接教材
1．[教材改编] 方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0 表示的轨迹 是________．
[答案] 两பைடு நூலகம்点
[ 解 析 ] 因 为 (x － y) ＋ (xy － 1)
2 2
x－y＝0， ＝0，所以 xy－1＝0
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易错问题
5．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与 纯粹性”的影响 (1)若动圆P过点N(－2，0)，且与另一圆M：(x－2)2＋y2＝8 外切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________． (2) 动 点 P(5cos α ， 4sin α)(0≤α≤π) 的 轨 迹 方 程 是 ________．