切线的判定与性质(1)

切线的判定与性质

1 •掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明.

2 •掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明. 3•能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.

、情境导入

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子一一圆型的木盘，你能设计 一个办法测量这个圆形物体的半径吗？

、合作探究 探究点一：切线的判定

【类型一】判定圆的切线

证：CD 是O O 的切线.

证明：连接 OC T AC = CD / D = 30°,「./ A =Z D = 30° . •/ OA= OC 2 = Z A = 30°,^/ 1 = 60°,^ / OCD= 90°,「. OCLCD 二 CD 是O 0的切线.

方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线 是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③经过半径的外端，并且垂直于这

条半径的直线是圆的切线. 探究点二：切线的性质

PA 为O O 的切线，A 为切点•直线

PO 与O O 交于B 、C 两点，/ P = 30°, 连接AO AB AC

如图，点D 在O O 的直径AB 的延长线上，点

C 在O O 上，AC= C

D / D = 30°,求

如图,

⑴求证：△ ACB^A APO

(2)若AP= .'3，求O O的半径.

⑴证明：•/ PA为O O的切线，A 为切点，•••/ OAP= 90° .又•••/ P= 30°,「./ AO申60°，又OA= OB AO助等边三角形.••• AB= AO / ABO= 60° .又T BC为O O的直径，•••/ BAC= 90° .在厶ACB^D^ APC中，/ BAC=Z OAP AB= AO / ABO=Z AOB「・A ACB^A APO

(2)解：在Rt△ AOF中，/ P= 30°, AP= ：3,「. AO= 1,「. CB= OP= 2, • OB= 1，即O O 的半径为1.

如图，AB是O O的直径，点F、C是

O O上的两点，且AF= FC= CB连接AC AF, 过点C作CDL AF交AF的延长线于点D垂足为D.

(1) 求证：CD是O O的切线；

(2) 若CD= 2 '3,求O O的半径.

分析：(1)连接OC由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得 / ACD= / B,

再根据等量代换得到 / AC O / ACD= 90°,从而证明CD是O O的切线；(2)由AF= FC= CB推得/ DAC=/ BAC= 30°,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求

得AB的长，进而求得O O的半径.

(1)证明：连接OC BC •/ FC= CB •••/ DAC=Z BAC •/ CDL AF, ADC= 90 ° . T AB 是直径，•/ ACB= 90° . •••/ ACD=Z B T BO= OC •/ OC B=Z OBC：/ ACG-Z OCB= 90° , / OCB=Z OBC / ACD=Z ABC •/ AC- / ACD= 90°,即OC L CD又T OC是O O的半径，• CD是O O的切线.

⑵解：T AF= FC= CB •/ DAC=/ BAC= 30° . T CDL AF, CD= 2 ■'3 , • AC= 4 g.在Rt△

ABC中 , / BAC= 30° , AC= 4 .;3 , • BC= 4 , AB= 8,「.O O的半径为4.

【类型三】探究圆的切线的条件

D如图，O。是厶ABC的外接圆，AB= AC= 10 , BC= 12 , P是BC上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D

3

(1)当点P在什么位置时，DP是O O的切线？请说明理由;

⑵当DP为O 0的切线时，求线段BP的长.

解析：⑴当点P是BC的中点时，得PBA= PCA得出PA是O0的直径，再利用DP// BC 得出DPI PA问题得证；

(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ AB0A ADP即可求出DP

的长.

解：⑴当点P是BC的中点时，DP是O O的切线.理由如下：••• AB= AC ••• A B= AC又

•/ P B= P C ••• PBA= PCA • PA 是O O 的直径.••• P B= PC •••/ 1=Z 2,又AB= AC /. PAI BC 又T DP/ BC • DPI PA •- DP是O O的切线.

(2)连接OB设PA交BC于点E由垂径定理，

1 ,, ”

得BE= 2BC= 6.在Rt △ ABE中 ,由勾股定理，得AE= ；A B—B E= 8.设O O的半径为r,

2 2 2 25

则OE= 8 —r,在Rt△ OBE中，由勾股定理，得r2= 62+ (8 —r)2,解得r = -4.在Rt△ ABC中,

25 / 25 2 2 15

AP= 2r = y, AB= 10,「. BF=、(代)—10=亍

三、板书设计

教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思

维.